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APRESENTA??O: O presente documento é constituído de 4 partes, a saber: Breve teoria; Exemplo; Exercícios; Gabarito dos exercícios. Bons estudos!PROGRAMA??O LINEAR – MODELAGEMPrograma??o linear consiste em métodos para resolver problemas de otimiza??o com restri??es (conjunto de inequa??es lineares), onde a fun??o objetivo obtida do problema ou quest?o a ser resolvida é uma fun??o linear.Neste primeiro momento será treinada a quest?o de interpreta??o de sistemas propostos com foco em construir o modelo matemático da situa??o.Para ilustrar a confec??o de modelos matemáticos vamos observar o exemplo abaixo.EXEMPLO DE CONSTRU??O DO MODELOSuponha que para construir uma casa popular por mês uma construtora necessite de 2 pedreiros e 4 serventes. Para construir um apartamento no mesmo intervalo de tempo, a mesma construtora necessita de 3 pedreiros e 8 serventes. A construtora possui um efetivo total de 30 pedreiros e 70 serventes contratados. A construtora obtém um lucro de R$3.000,00 na venda de cada casa popular e de R$5.000,00 na venda de cada apartamento e toda "produ??o" da construtora é vendida. Qual é a quantidade ótima de casas populares e apartamentos que a construtora deve construir para que obtenha lucro máximo.Solu??oVariáveis de decis?o?x1Quantidade de casas populares a serem construídas.x2Quantidade de apartamentos a serem construídos.Observa??o: Tratam-se das variáveis que a construtora pode decidir, ou seja, quanto produzir em termos de casas ou apartamentos.Fun??o objetivo?Max Z=3.000x1+5.000x2Maximizar o lucro da construtora.Observa??o: Cada casa vendida rende um lucro para a construtora de $ 3.000. No caso de apartamentos o lucro é de $ 5.000. A empresa deseja maximizar o seu lucro, e este vai depender do volume de casas e apartamentos vendidos.Restri??es?2x1+3x2≤30Restri??o técnica de pedreiros.4x1+8x2≤70Restri??o técnica de serventes.x1≥0 ; x2≥0Restri??es de n?o negatividade.Observa??o: Restri??es de n?o negatividade fazem men??o que a construtora vai (quantidade positiva) ou n?o (zero unidades) produzir casas ou apartamentos. Perceba que n?o é possível pensar em produ??o negativa. Já as restri??es técnicas apresentam as restri??es oriundas dos recursos disponíveis para a atividade, ou seja, dada a capacidade alocada a construtora n?o consegue uma produ??o infinita de casas e/ ou apartamentos.EXERC?CIOSConstruir o modelo matemático de programa??o linear dos sistemas descritos a seguir: Orienta??es: Primeiro tentar resolver. Gabarito na última página.Fonte dos exercícios propostos: SILVA, Ernes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; GON?ALVES, Valter; MUROLO, Afr?nio Carlos. Pesquisa Operacional para os cursos de: Economia, Administra??o e Ciências Contábeis. 3 ed. S?o Paulo: Atlas, 2008.Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de $5,00 e o do cinto é de $2,00, pede-se: o modelo do sistema de produ??o do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de $100,00 e o lucro unitário de P2 é de $150,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 n?o devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produ??o mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua regi?o de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a $20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a $10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a $30,00 de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminh?o para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.Uma rede de telvis?o local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa "A" com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a aten??o de 30.000 telespectadores, enquanto o programa "B", com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a aten??o de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocionador insiste no uso de no mínimo 5 minutos para sua propaganda e que n?o há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema.Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabrica??o em rela??o ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários s?o de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produ??o que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa, o modelo do sistema descrito.Uma empresa, após um processo de racionaliza??o de produ??o, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2, R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o pre?o de coloca??o no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $120,00 por unidade e P2, $150,00 por unidade. O departamento de produ??o forneceu a seguinte tabela de uso de recursos. ProdutoRecursos R1por unidadeRecursos R2por unidadeRecursos R3por unidadeP1235P2423Disponibilidade de recursos por mês10090120Que produ??o mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema.Um fazendeiro está estudando a divis?o de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas:A (Arrendamento) - Destinar certa quantidade de alqueires para a planta??o de cana-de-a?úcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $300,00 por alqueire por ano.P (Pecuária) - Usar outra parte para a cria??o de gado de corte. A recupera??o das pastagens requer aduba??o (100Kg/Alq.) e irriga??o (100.000 litros de água/Alq.) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $400,00 por alqueire por ano.S (Plantio de Soja) - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200Kg por alqueire de adubos 200.000 litros de água/Alq. para irriga??o por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $500,00/alqueire no ano.Disponibilidade de recursos por ano:12.750.000 litros de água14.000 Kg de adubo100 alqueires de terra.Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decis?o.O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econ?mica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2.As alternativas s?o:Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento mínimo de $3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $1.000,00 investidos.Investir diretamente na divulga??o dos produtos. Cada $1.000,00 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno é de 10%.A empresa disp?e de $10.000,00 para esse empreendimento. Quanto deverá destinar a cada atividade? Construa o modelo do sistema descrito.Uma liga especial constituída de ferro, carv?o, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados: Material Recuperado 1 - MR1 – Composi??o:ferro - 60%carv?o - 20%silício - 20%Custo por Kg: $0,20Material Recuperado 2 - MR2 - Composi??oferro - 70%carv?o - 20%silício - 5%níquel - 5%Custo por Kg: $0,25A liga deve ter a seguinte composi??o final:Matéria-prima% Mínima% MáximaFerro6065Carv?o1520Silício1520Níquel58 O custo dos materiais puros s?o (por Kg): ferro: $0,30; carv?o: $0,20; silício: $0,28; níquel:$0,50. Qual deverá ser a composi??o da mistura em termos dos materiais disponíveis, com menor custo por Kg? Construa o modelo de decis?o. Uma rede de depósitos de material de constru??o tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 50 m3 (L1), 80 m3 (L2), 40 m3 (L3), 100 m3 (L4) de areia grossa. Essa areia pode ser encarregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas dist?ncias às lojas est?o no quadro (em km):L1L2L3L4P130202418P212363024P38152520O caminh?o pode transportar 10 m3 por viagem. Os portos tem areia para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a dist?ncia total percorrida entre os portos e as lojas e supra as necessidades das lojas. Construa o modelo linear do problema.GABARITO DOS EXERC?CIOS PROPOSTOS1)Variáveis de decis?o?x1Quantidade de sapatos/horax2Quantidade de cintos/horaFun??o objetivo?Max Z=5x1+2x2Maximiza??o do lucroRestri??es do modelo?2x1+x2≤6Restri??o técnica de quantidade de couro10x1+12x2≤60Restri??o técnica de tempox1≥0 ; x2≥0Restri??o de n?o negatividade2)Variáveis de decis?o?x1Quantidade de P1x2Quantidade de P2Fun??o objetivo?Max Z=100x1+150x2Maximiza??o do lucroRestri??es do modelo?2x1+3x2≤120Restri??o técnica de tempo de produ??ox1≤40Restri??o técnica de produ??o baseada na demandax2≤30Restri??o técnica de produ??o baseada na demandax1≥0 ; x2≥0Restri??o de n?o negatividade3)Variáveis de decis?o?x1Quantidade de pêssegosx2Quantidade de tangerinasFun??o objetivo?Max Z=4.000+10x1+30x2Maximiza??o do lucro (4000 por conta que laranjas s?o constantes)Restri??es do modelo?x1+x2≤600Restri??o técnica de transporte descontado volume de caixas de laranjasx1≥100Restri??o técnica de transporte de pêssegox2≤200Restri??o técnica de transporte de tangerinasx1≥0 ; x2≥0Restri??o de n?o negatividade4)Variáveis de decis?o?x1Frequência semanal do programa Ax2Frequência semanal do programa BFun??o objetivo?Max Z=30000x1+10000x2Maximiza??o do número de telespectadoresRestri??es do modelo?20x1+10x2≤80Restri??o técnica de tempo de músicax1+x2≥5Restri??o técnica de tempo de propagandax1≥0 ; x2≥0Restri??o de n?o negatividade5)Variáveis de decis?o?x1Quantidade de M1 por diax2Quantidade de M2 por diaFun??o objetivo?Max Z=4x1+3x2Maximiza??o do lucroRestri??es do modelo?2x1+x2≤1.000Restri??o técnica de volume de produ??ox1+x2≤800Restri??o técnica de produ??o por conta do volume de courox1≤400Restri??o técnica de disponibilidade de fivelas para M1x2≤700Restri??o técnica de disponibilidade de fivelas para M2x1≥0 ; x2≥0Restri??o de n?o negatividade6)Variáveis de decis?o?x1Quantidade de P1x2Quantidade de P2Fun??o objetivo?Max Z=120x1+150x2Maximiza??o do lucroRestri??es do modelo?2x1+4x2≤100Restri??o técnica de recurso R13x1+2x2≤90Restri??o técnica de recurso R25x1+3x2≤120Restri??o técnica de recurso R3x1≥0 ; x2≥0Restri??o de n?o negatividade7)Variáveis de decis?o?x1Quantidade de alqueires para A (arrendamento)x2Quantidade de alqueires para P (pecuária)x3Quantidade de alqueires para S (plantio de soja)Fun??o objetivo?Max Z=300x1+400x2+500x3Maximiza??o do lucroRestri??es do modelo?x1+x2+x3≤100Restri??o técnica de área total100.000x1+200.000x2≤12.750.000Restri??o técnica de volume total de água100x2+200x3Restri??o técnica de adubo disponívelx1≥0 ; x2≥0 ; x3≥0Restri??o de n?o negatividade8)Variáveis de decis?o?x1Quantidade de $ 1.000 investidos no programa institucionalx2Quantidade de $ 1.000 investidos diretamente em P1x3Quantidade de $ 1.000 investidos diretamente em P2Fun??o objetivo?Min Z=1.000x1+1.000x2+1.000x3Minimiza??o do custoRestri??es do modelo?x1≥3Restri??o técnica. 3 investimentos mínimos de $ 1.0003x1+4x2≥30Restri??o técnica de aumentar vendas em 30%3x1+10x3≥30Restri??o técnica de aumentar vendas em 30%x1+x2+x3≤10Restri??o técnica de recursosx1≥0 ; x2≥0 ; x3≥0Restri??o de n?o negatividade9)Variáveis de decis?o?x1Quantidade de MR1x2Quantidade de MR2x3Quantidade de ferrox4Quantidade de carv?ox5Quantidade de silíciox6Quantidade de níquelFun??o objetivo?Min Z=0,2x1+0,25x2+0,3x3+0,2x4+0,28x5+0,5x5Minimiza??o do custoRestri??es do modelo?0,6x1+0,7x2+x3≥0,60Restri??o técnica – mínimo de ferro0,6x1+0,7x2+x3≤0,65Restri??o técnica – máximo de ferro0,2x1+0,2x2+x4≥0,15Restri??o técnica – mínimo de carv?o0,2x1+0,2x2+x4≤0,20Restri??o técnica – máximo de carv?o0,2x1+0,05x2+x5≥0,15Restri??o técnica – mínimo de silício0,2x1+0,05x2+x5≤0,20Restri??o técnica – máximo de silício0,05x2+x6≥0,05Restri??o técnica – mínimo de níquel0,05x2+x6≤0,08Restri??o técnica – máximo de níquelx1≥0 ; x2≥0 ; x3≥0 ; x4≥0 ; x5≥0 ; x6≥0Restri??o de n?o negatividade10)Variáveis de decis?o?x11Número de viagens de P1 a L1x12Número de viagens de P1 a L2x13Número de viagens de P1 a L3x14Número de viagens de P1 a L4x21Número de viagens de P2 a L1x22Número de viagens de P2 a L2x23Número de viagens de P2 a L3x24Número de viagens de P2 a L4x31Número de viagens de P3 a L1x32Número de viagens de P3 a L2x33Número de viagens de P3 a L3x34Número de viagens de P3 a L4Fun??o objetivo?Minimiza??o da dist?nciaMin Z=30x11+20x12+24x13+18x14+12x21+36x22+30x23+24x24+8x31+15x32+25x33+20x34Restri??es do modelo?x11+x21+x31=5Restri??o técnica – loja 1x12+x22+x32=8Restri??o técnica – loja 2x13+x23+x33=4Restri??o técnica – loja 3x14+x24+x34=10Restri??o técnica – loja 4x11 ; x12 ; x13 ; x14 ; x21 ; x22 ; x23 ; x24 ; x31 ; x32 ; x33 ; x34 ≥0Restri??o de n?o negatividade ................
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