Analysis Tools with Applications, - UCSD Mathematics

Bruce K. Driver

Analysis Tools with Applications,

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June 9, 2003 File:analpde.tex

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Contents

Part I Basic Topological, Metric and Banach Space Notions

1 Limits, sums, and other basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Set Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Limits, Limsups, and Liminfs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Sums of positive functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Sums of complex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Iterated sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 p -- spaces, Minkowski and Holder Inequalities . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.1 Some inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7.1 Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7.2 Limit Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7.3 Dominated Convergence Theorem Problems . . . . . . . . . . 21 1.7.4 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Metric, Banach and Topological Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 Basic metric space notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Basic Topological Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Bounded Linear Operators Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Compactness in Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 Compactness in Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.8 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.9 Supplement: Sums in Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.10 Word of Caution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.10.1 Riemannian Metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.11.1 Banach Space Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.11.2 Ascoli-Arzela Theorem Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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Contents

2.11.3 General Topological Space Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.11.4 Connectedness Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3 Locally Compact Hausdorff Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1 Locally compact form of Urysohn Metrization Theorem . . . . . . 69 3.2 Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3 C0(X) and the Alexanderov Compactification . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4 More on Separation Axioms: Normal Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Part II The Riemann Integral and Ordinary Differential Equations

4 The Riemann Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.0.1 The Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.0.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1 More Examples of Bounded Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2 Inverting Elements in L(X) and Linear ODE . . . . . . . . . . . . . . . 95

5 H?lder Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6 Ordinary Differential Equations in a Banach Space . . . . . . . . 105 6.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.2 Linear Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.3 Uniqueness Theorem and Continuous Dependence on Initial Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.4 Local Existence (Non-Linear ODE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.5 Global Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.6 Semi-Group Properties of time independent flows . . . . . . . . . . . . 121 6.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Part III Lebesbgue Integration Theory

7 Algebras, -- Algebras and Measurability . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.1 Introduction: What are measures and why "measurable" sets . 131 7.2 The problem with Lebesgue "measure" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.3 Algebras and -- algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.4 Continuous and Measurable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.4.1 More general pointwise limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.5 Topologies and -- Algebras Generated by Functions . . . . . . . . 146 7.6 Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.6.1 Products with a Finite Number of Factors . . . . . . . . . . . . 148 7.6.2 General Product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Contents

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8 Measures and Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.1 Example of Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 8.2 Integrals of Simple functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.3 Integrals of positive functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.4 Integrals of Complex Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.5 Measurability on Complete Measure Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 8.6 Comparison of the Lebesgue and the Riemann Integral . . . . . . . 184 8.7 Appendix: Bochner Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 8.8 Bochner Integrals (NEEDS WORK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 8.8.1 Bochner Integral Problems From Folland . . . . . . . . . . . . . 192 8.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

9 Fubini's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

9.1 Measure Theoretic Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9.2 Fubini-Tonelli's Theorem and Product Measure . . . . . . . . . . . . . 206 9.3 Lebesgue measure on Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 9.4 Polar Coordinates and Surface Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.5 Regularity of Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 9.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

10 Lp -spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 10.1 Jensen's Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 10.2 Modes of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 10.3 Completeness of Lp -- spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 10.3.1 Summary: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 10.4 Converse of H?lder's Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 10.5 Uniform Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 10.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

11 Approximation Theorems and Convolutions . . . . . . . . . . . . . . . 259 11.1 Convolution and Young's Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 11.1.1 Smooth Partitions of Unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 11.2 Classical Weierstrass Approximation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 273 11.2.1 First proof of the Weierstrass Approximation Theorem 11.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 11.2.2 Second proof of the Weierstrass Approximation Theorem 11.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 11.3 Stone-Weierstrass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 11.4 Locally Compact Version of Stone-Weierstrass Theorem . . . . . . 282 11.5 Dynkin's Multiplicative System Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 11.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

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Contents

12 Construction of Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 12.1 Finitely Additive Measures and Associated Integrals . . . . . . . . . 289 12.1.1 Integrals associated to finitely additive measures . . . . . . 291 12.2 The Daniell-Stone Construction Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 12.3 Extensions of premeasures to measures I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 12.4 Riesz Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 12.4.1 The Riemann -- Stieljtes -- Lebesgue Integral . . . . . . . . . . 307 12.5 Metric space regularity results resisted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 12.6 Measure on Products of Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 12.7 Measures on general infinite product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 12.8 Extensions of premeasures to measures II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 12.8.1 "Radon" measures on (R, BR) Revisited . . . . . . . . . . . . . . 316 12.9 Supplement: Generalizations of Theorem 12.37 to Rn . . . . . . . . 318 12.10Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 12.10.1The Laws of Large Number Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . 322

13 Daniell Integral Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

13.1 Extension of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 13.2 The Structure of L1(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 13.3 Relationship to Measure Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

Part IV Hilbert Spaces and Spectral Theory of Compact Operators

14 Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 14.1 Hilbert Spaces Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 14.2 Hilbert Space Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 14.3 Fourier Series Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 14.4 Weak Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 14.5 Supplement 1: Converse of the Parallelogram Law . . . . . . . . . . . 365 14.6 Supplement 2. Non-complete inner product spaces . . . . . . . . . . . 367 14.7 Supplement 3: Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 14.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 14.9 Fourier Series Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 14.10 Dirichlet Problems on D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

15 Polar Decomposition of an Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

16 Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 16.1 Hilbert Schmidt and Trace Class Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 16.2 The Spectral Theorem for Self Adjoint Compact Operators . . . 398 16.3 Structure of Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 16.4 Trace Class Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 16.5 Fredholm Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 16.6 Tensor Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

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