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TASAS EQUIVALENTES
Como se había mencionado anteriormente, siempre el periodo de capitalización de los intereses debe coincidir con el periodo del tiempo, es decir, si la tasa es mensual el periodo debe ser mensual, si la tasa es trimestral entonces el periodo debe ser trimestral, si el periodo es diario la tasa debe ser diaria y así sucesivamente.
Pero, en muchas operaciones financieras el periodo y la capitalización de los intereses no coinciden, por lo que se hace necesario convertir la tasa efectiva dada a una equivalente a esta que haga que estos coincidan. Este proceso es conocido como tasas equivalentes.
En general, se considera que dos tasas efectivas diferentes (con distintos periodos de capitalización) son equivalentes si estas producen el mismo monto o valor futuro al final de un año[1]. A través de la siguiente formula matemática se puede realizar la conversión de una tasa efectiva a otra efectiva diferente equivalente a la anterior:
i1 = (1+i2)[pic]- 1
Donde[2]:
i1 = Tasa efectiva periódica desconocida o que se va ha hallar
m1 = Número de periodos en un año de la tasa efectiva desconocida
i2 = Tasa efectiva periódica conocida
m2 =Número de periodos en un año de la tasa efectiva conocida
Nota: Esta formula solo se debe utilizar para convertir una tasa efectiva conocida en otra tasa efectiva diferente equivalente. En el caso de que la tasa conocida no sea efectiva, sino, nominal esta se debe convertir a efectiva con la formula [pic]antes de utiliza la formula de tasas equivalentes.
Veamos a continuación unos ejemplos de utilización de la formula.
Ejemplo 1: Dado el 30 % EA, determine una tasa efectiva equivalente:
a. EM
b. ES
d. ED (suponga un año de 360 días)
Solución:
Lo primero que se hace es identificar los valores conocidos i2 y m2
i2 = 30 % EA = 0.3 EA
m2 = 1 (porque en un año solo hay un año)
Luego si se procede a determinar la tasa efectiva equivalente para cada punto:
a. i1 = ? EM
m2 = 12 (porque en el año hay 12 meses y la tasa desconocida es mensual)
Luego se procede a remplazar en la formula de tasas equivalentes: i1=(1+i2)[pic]- 1
[pic]i1=(1+0.3)[pic]- 1 = 0.02210445 EM [pic]0.0221 EM[pic]2.21 % EM, tasa efectiva equivalente al 30 % EA[3]
b. Para resolver la parte b. se puede tomar a i2 como 0.3 EA o como 0.02210445 EM (la tasa hallada anteriormente) cualquiera de las dos ara la misma respuesta ya que son equivalente (se recomienda hacer la comprobación)
i2=0.3 EA
m2=1
i1=? ES
m1=2 (en un año hay dos semestres)
Luego se remplaza en la formula i1=(1+i2)[pic]- 1
[pic]i1=(1+0.3)[pic] - 1 = 0.140175425 ES[pic]0.1401 ES[pic]14.01 % ES, tasa efectiva semestral equivalente al 30 % EA y al 2.21 % EM
c. Aquí
i2= 0.3 EA
m2= 1
i1= ? ED
m1= 360 días
Luego se remplaza en la formula i1= (1+i2)[pic]- 1
[pic]i1= (1+0.3)[pic] - 1 = 0.0072905 ED [pic]0.7295 % ED
Ejemplo 2: Dado el 2.5 % EM, determine una tasa equivalente:
a. EA
b. EQ
c. NB
Solución:
Inicialmente identificamos los valores conocidos i2 y m2
i2= 2.5 % EM =0.025 EM
m2 = 12
Luego si se procede a resolver cada ítems
a. Aquí
i1= ? EA
m1 = 1
Se remplaza en la formula i1=(1+i2)[pic]- 1
[pic]i1= (1+0.025)[pic] - 1 = 0.000823486 8ED [pic]0.082 % ED, tasa ED equivalente al 2.5 % EM
b. Aquí
i1= ? EQ
m1 = 24
Se remplaza en la formula i1=(1+i2)[pic]- 1
[pic]i1= (1+0.025)[pic] - 1 = 0.012422837 EQ [pic]1.24 5% EQ, tasa EQ equivalente al 2.5 % EM
c. El procedimiento en este caso es determinar inicialmente la tasa EB, luego utilizando la formula [pic], despejando en esta a J se determina la tasa nominal.
i1 =? EB
m1=6 (en un año hay 6 bimestres)
Luego se remplaza en la formula i1= (1+i2)[pic]- 1
[pic]i1= (1+0.025)[pic] - 1 = 0.050625 EB; luego se convierte en Nominal bimestral despejando en la formula [pic], [pic]j = i x m
J = 0.050625 x 6 = 0.30375 NB = 30.37 % NB, tasa NB equivalente al 2.5 % EM
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[1] En la practica, se puede generalizar a “n” años
[2] Una forma sencilla de demostración de esta formula se encuentra en el libro Ingeniería Económica de Guillermo Baca Currea
[3] Si usted desea comprobar esto, puede probarlo numéricamente inventado un capital inicial y un periodo de tiempo, luego determina el valor final utilizando ambas tasas (con todos los decimales), debe darle igual. Por ejemplo suponga un capital P= $ 2.500.000, un periodo de 3 años (36 meses). Determine el valor futuro utilizando ambas tasas , debe darle con ambas tasas $ 5.492.500 (recuerde utilizar todos los decimales)
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