College Algebra

College Algebra Version 3 = 1.7320508075688772 . . .

by

Carl Stitz, Ph.D.

Jeff Zeager, Ph.D.

Lakeland Community College Lorain County Community College

Modified by Joel Robbin and Mike Schroeder University of Wisconsin, Madison

June 29, 2010

Table of Contents

Preface

v

0 Basic Algebra

1

0.1 The Laws of Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Kinds of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.3 Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.4 Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.5 Solving Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

0.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

0.7 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1 Coordinates

15

1.1 The Cartesian Coordinate Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1 Distance in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.1.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3 Graphs of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.4 Three Interesting Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.4.1 Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.4.2 Parabolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.4.3 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.4.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.4.5 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2 Functions

77

2.1 Introduction to Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

iv

Table of Contents

2.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.2 Function Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.3 Function Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.4 Graphs of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.4.1 General Function Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2.4.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2.4.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.5 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 2.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3 Linear and Quadratic Functions

157

3.1 Linear Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

3.2 Defining Functions (Word Problems) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

3.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

3.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

3.3 Quadratic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

3.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

3.4 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

3.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

3.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4 Polynomial Functions

215

4.1 Graphs of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

4.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

4.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

4.2 The Factor Theorem and The Remainder Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

4.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

4.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

5 Rational Functions

247

5.1 Introduction to Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

5.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

5.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

5.2 Graphs of Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Table of Contents

v

5.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 5.3 Rational Inequalities and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

5.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 5.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

6 Further Topics in Functions

295

6.1 Function Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

6.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

6.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

6.2 Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

6.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

6.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

7 Exponential and Logarithmic Functions

331

7.1 Introduction to Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 331

7.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

7.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

7.2 Properties of Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

7.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

7.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

7.3 Exponential Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

7.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

7.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

7.4 Logarithmic Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

7.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

7.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

7.5 Applications of Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 384

7.5.1 Applications of Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

7.5.2 Applications of Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

7.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

7.5.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

8 Systems of Equations

399

8.1 Systems of Linear Equations: Gaussian Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

8.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

8.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

8.2 Systems of Linear Equations: Augmented Matrices* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

8.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

8.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

8.3 Determinants and Cramer's Rule* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

8.3.1 Definition and Properties of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

8.3.2 Cramer's Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

8.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

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