NotesonMathematics-1021 - IIT Kanpur

Notes on Mathematics - 1021

Peeyush Chandra, A. K. Lal, V. Raghavendra, G. Santhanam

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2

Contents

I Linear Algebra

7

1 Matrices

9

1.1 Definition of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Special Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Operations on Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Multiplication of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Some More Special Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Submatrix of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Block Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Matrices over Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Linear System of Equations

19

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Definition and a Solution Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 A Solution Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Row Operations and Equivalent Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 Gauss Elimination Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Row Reduced Echelon Form of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.1 Gauss-Jordan Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.2 Elementary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Rank of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6 Existence of Solution of Ax = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.2 Main Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7 Invertible Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7.1 Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7.2 Equivalent conditions for Invertibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.7.3 Inverse and Gauss-Jordan Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.8.1 Adjoint of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.8.2 Cramer's Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.9 Miscellaneous Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Finite Dimensional Vector Spaces

49

3.1 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4

CONTENTS

3.1.3 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.4 Linear Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 Linear Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.1 Important Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4 Ordered Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Linear Transformations

69

4.1 Definitions and Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Matrix of a linear transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3 Rank-Nullity Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4 Similarity of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5 Inner Product Spaces

87

5.1 Definition and Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2 Gram-Schmidt Orthogonalisation Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3 Orthogonal Projections and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3.1 Matrix of the Orthogonal Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6 Eigenvalues, Eigenvectors and Diagonalization

107

6.1 Introduction and Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2 diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.3 Diagonalizable matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.4 Sylvester's Law of Inertia and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

II Ordinary Differential Equation

129

7 Differential Equations

131

7.1 Introduction and Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.2 Separable Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.2.1 Equations Reducible to Separable Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.3 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.3.1 Integrating Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.4 Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.5 Miscellaneous Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.6 Initial Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.6.1 Orthogonal Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.7 Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8 Second Order and Higher Order Equations

153

8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.2 More on Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.2.1 Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.2.2 Method of Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.3 Second Order equations with Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.4 Non Homogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.5 Variation of Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.6 Higher Order Equations with Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

CONTENTS

5

8.7 Method of Undetermined Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

9 Solutions Based on Power Series

175

9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9.1.1 Properties of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.2 Solutions in terms of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

9.3 Statement of Frobenius Theorem for Regular (Ordinary) Point . . . . . . . . . . . . . . . 180

9.4 Legendre Equations and Legendre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.4.2 Legendre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

III Laplace Transform

189

10 Laplace Transform

191

10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.2 Definitions and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

10.3 Properties of Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

10.3.1 Inverse Transforms of Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

10.3.2 Transform of Unit Step Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

10.4 Some Useful Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

10.4.1 Limiting Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

10.5 Application to Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

10.6 Transform of the Unit-Impulse Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

IV Numerical Applications

207

11 Newton's Interpolation Formulae

209

11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

11.2 Difference Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

11.2.1 Forward Difference Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

11.2.2 Backward Difference Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

11.2.3 Central Difference Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

11.2.4 Shift Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

11.2.5 Averaging Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

11.3 Relations between Difference operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

11.4 Newton's Interpolation Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

12 Lagrange's Interpolation Formula

221

12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.2 Divided Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.3 Lagrange's Interpolation formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

12.4 Gauss's and Stirling's Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

13 Numerical Differentiation and Integration

229

13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

13.2 Numerical Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

13.3 Numerical Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

6

CONTENTS

13.3.1 A General Quadrature Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 13.3.2 Trapezoidal Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 13.3.3 Simpson's Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

14 Appendix

239

14.1 System of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

14.2 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

14.3 Properties of Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

14.4 Dimension of M + N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

14.5 Proof of Rank-Nullity Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

14.6 Condition for Exactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

 ................
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