CAPÍTULO 5 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

CAP?TULO 5

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

En este cap?tulo se introducir? el concepto de variable aleatoria, cuya importancia radica en introducir modelos matem?ticos en el c?lculo de probabilidades. Luego, se considerar?n las distribuciones de probabilidades de variables aleatorias discretas con su media y varianza respectiva. Existen muchas distribuciones discretas, pero en este texto s?lo se discutir? en detalle la distribuci?n binomial. Debido a que este texto no requiere un curso previo de C?lculo diferencial e integral, el estudio de las variables aleatorias continuas es omitido, solamente se considerar? aplicaciones de una variable con distribuci?n Normal que es de crucial importancia para el proceso de Inferencia Estad?stica.

5.1 Variables Aleatorias

Una variable aleatoria es aquella que asume sus valores de acuerdo a los resultados de un experimento aleatorio. Usualmente se representa por las ?ltimas letras del alfabeto: X, Y o Z. Propiamente una variable aleatoria X es una funci?n cuyo dominio es la colecci?n de eventos del espacio muestral S y cuyo rango Rx, es un subconjunto de los n?meros reales.

Algunos ejemplos de variables aleatorias son:

X: La suma que aparece al lanzar un par de dados. Y: El n?mero de caras que aparecen al lanzar una moneda tres veces. Z: El n?mero de errores que se encuentran en la p?gina de un libro.

Ejemplo 5.1 De una caja que contiene 5 bolas numeradas del 1 al 5 se extraen 3 bolas una por una y sin reposici?n. Entonces X: El mayor de los tres n?meros sacados, es una variable aleatoria. Aqui el espacio muestral del experimento es:

S = {(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), (2,3,4), (2,3,5), (2,4,5), (3,4,5)}

y la variable aleatoria X asume los valores: 3, 4 y 5. Por ejemplo, X 2,3,4 4 .

El objetivo de la variable aleatoria es introducir notaci?n matem?tica en el c?lculo de probabilidades, la cual es mucho m?s simple y breve. Por ejemplo, en lugar de usar la frase "la probabilidad de que el mayor de los 3 n?meros extraidos sea 4", se escribe simplemente como "P(X = 4)". Por otro lado,

P(X = 4) = P(w est?n en S, tal que X(w) = 4) = P({(1,2,4), (1,3,4), (2,3,4)}) = 3/10

Edgar Acu?a

Cap?tulo 5 Distribuciones de Probabilidades

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Si el rango de valores Rx de la variable aleatoria X es finito o infinito enumerable entonces se dice que es una variable aleatoria discreta. Si su rango de valores Rx es infinito no enumerable entonces se dice que es una variable aleatoria continua.

5.1.1. Funci?n de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Si X es una variable aleatoria discreta con rango de valores Rx entonces, su funci?n de probabilidad se define por:

p(x) = P[X = x], para todo x Rx

y tiene las siguientes propiedades:

i) p(x) > 0 y

ii) p(x) = 1,

x Rx

Cuando Rx no contiene muchos valores es m?s conveniente expresar p(x) en una tabla de valores, la cual es llamada tabla de funci?n de probabilidad.

Ejemplo 5.2 Hallar la funci?n de probabilidad de la variable del ejemplo anterior

Soluci?n: Expresando p(x) en una tabla de valores se tiene que:

x

p(x)

3

1/10

4

3/10

5

6/10

Ejemplo 5.3. Se lanza una par de dados legales y distinguibles entre si. Hallar la funci?n de probabilidad de X: la suma de los dos dados.

Soluci?n: Expresando p(x) en una tabla de valores y observando el espacio muestral del experimento se tiene que:

x

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

P(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Ejemplo 5.4. De un lote que contiene 10 articulos, de los cuales 4 son da?ados se extraen al azar y sin reposici?n 3. Se define la variable aleatoria X: N?mero de art?culos da?ados que hay en la muestra. Hallar la funci?n de probabilidad de X.

Edgar Acu?a

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132

Soluci?n: En este caso el rango de valores de X es Rx = {0, 1, 2, 3} y en particular

p(2)

= Prob(sacar

2

da?ados)

=

4 2

6 1

,

y

en

general

p(x)

=

4 x

3

6

x ,

para

x

=

0,1,2,3.

130

130

Calculando las combinaciones se obtiene la siguiente tabla de funci?n de probabilidad:

X

p(x)

0

1/6

1

?

2

3/10

3

1/30

5.1.2. Funci?n de distribuci?n acumulativa

Sea X una variable aleatoria discreta con funci?n de probabilidad p(x) y rango de valores Rx, entonces su funci?n de distribuci?n acumulativa se define por:

F (t) P( X t) p(x) xt

t es cualquier n?mero real. En particular, si t es un valor que est? en Rx , el cual consiste de enteros no negativos, entonces:

F(t) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) +...+ p(t)

Ejemplo 5.5. Hallar la funci?n de distribuci?n acumulativa para el ejemplo anterior.

Soluci?n:

x

p(x)

F(x)

0

1/6

1/6

1

?

4/6

2

3/10

29/30

3

1/30

1

La gr?fica de una funci?n de distribuci?n acumulativa es creciente y del tipo escalonado, con saltos en los puntos que est?n en el rango de valores y cuya magnitud es igual al valor de la funci?n de probabilidad en dicho punto (Ver Figura 5.1). M?s formalmente tiene la siguiente propiedad:

Edgar Acu?a

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133

Propiedad. La relaci?n entre la funci?n de distribuci?n de probabilidad y la funci?n de distribuci?n acumulativa est? dada por:

p(x) = F(x) - F(x-1) para todo valor de x en el rango de valores de la variable aleatoria.

En la siguiente Figura se muestra la funci?n de distribuci?n acumulativa para el ejemplo anterior.

1.0

0.967 1

0.667 0.5

F(x)

0.167

0 0.0

-1

0

1

2

3

4

5

x

Figura 5.1 Gr?fica de la distribucion acumulada de la variable aleatoria del ejemplo 5.4

Ejemplo 5.6. Una variable aleatoria X tiene funci?n de distribuci?n acumulativa dada por la siguiente tabla de valores:

x

F(x)

3

1/10

4

4/10

5

1

a) Hallar la probabilidad de que X sea menor o igual que 3. b) Hallar la probabilidad de que X sea mayor o igual que 5. c) Hallar la probabilidad de que X sea igual a 5.

Edgar Acu?a

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Soluci?n: a) P(X 3) = F(3) = 1/10. b) P(X 5) = 1- P(X 4) = 1-F(4) = 1-4/10 = 6/10. c) p(4) = F(4) - F(3) = 4/110 = 1/10 = 3/10.

5.1.3 Valor Esperado y Varianza de una Variable Aleatoria Discreta

Sea X una variable aleatoria discreta con funci?n de probabilidad p(x) y rango de valores Rx, entonces su Valor Esperado o Media se define como el n?mero:

E(X ) xp(x)

x

La suma es sobre todos los valores x que est?n en Rx.

Ejemplo 5.7. Hallar el valor esperado de la suma obtenida al lanzar un par de dados.

Soluci?n.

x

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

p(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

xp(x) 2/36 6/36 12/36 20/36 30/36 42/36 40/36 36/36 30/36 22/36 12/36

La suma de la fila xp(x) es 252/36 = 7, dando un valor esperado de 7. Esto significa que la suma que se espera que salga al lanzar un par de dados es 7.

Ejemplo 5.8. Hallar el valor esperado del n?mero de articulos da?ados que hay en la muestra de tama?o 3 extraida de un lote que contiene 10 art?culos de los cuales, 4 son da?ados.

Soluci?n:

x

p(x)

0

1/6

1

1/2

2

3/10

3

1/30

xp(x) 0 ?

6/10 3/30

Sumando la ?ltima columna se obtiene que = 12/10 = 1.2 articulos da?ados. O sea, se espera que en la muestra hayan 1.2 art?culos da?ados. No tiene mucho sentido la interpretaci?n directa del n?mero, pero equivale a decir que si se extraen 10 muestras independientes de tama?o 3, en promedio deben salir un total de 12 art?culos da?ados, si se extrajeran 20 muestras, debrian salir 24 da?ados y asi sucesivamente.

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