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UNIDAD DIDÁCTICA 14
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: lo que tienes que dominar.
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1. Experimentos ALEATORIOS.
2. SUCESOS en un experimento aleatorio.
3. Operaciones con sucesos: SUCESOS INCOMPATIBLES.
4. CONCEPTO DE PROBABILIDAD: axiomas y teoremas.
5. PROBABILIDAD CONDICIONADA: sucesos independientes.
6. Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes.
7. ACTIVIDADES.
1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS
1. Experimento: MODELIZACIÓN
Los experimentos son cadenas de sucesos que pueden repetirse en las mismas condiciones cuantas veces de desee. Es decir, son reproducibles (en las mismas condiciones) a voluntad.
Para estudiar los fenómenos observables hay que modelizar. Modelizar un experimento es construir un modelo matemático del mismo. Necesariamente, este modelo debe simplificar las cosas y permitir la omisión de ciertos detalles. El éxito del modelo depende de si los detalles omitidos tienen o no importancia en el fenómeno estudiado. Una de las formas de analizar la validez de un modelo es deducir un cierto número de consecuencias del mismo y luego contrastarlas con las observaciones del fenómeno.
2. Modelo DETERMINISTA/Experimento DETERMINISTA
Se llama modelo determinista aquel que asocia a un experimento una única cadena de sucesos que conduce a un resultado final que es predecible con certeza.
Ejemplos:
▪ Caída de una piedra.
▪ El lanzamiento de un misil.
▪ Movimiento de un planeta.
Un ejemplo clásico de modelo determinístico es de caída libre h=1/2 g t2 . Las condiciones de validez de este modelo de caída: cuerpo puntual (suficientemente pequeño), gravedad constante (cercano a la Tierra), sin aire (en un tubo con vacío). En estas condiciones se podría predecir la altura que se desplaza un cuerpo transcurrido un tiempo "t". En la física clásica son muy comunes el uso de modelos determinísticos. Un modelo determinístico que permita predecir si una moneda cae cara o ceca necesariamente es muy complejo, dependería por ejemplo de la forma en que se lanza, del espacio que rodea la moneda, de las características de la moneda en sí. Todo esto implica mucho esfuerzo para general el modelo matemático y luego para reproducir las condiciones de validez del mismo.
3. Modelo ALEATORIO/Experimento ALEATORIO
Otra forma de abordar el problema es analizar los resultados posibles al lanzar una moneda y luego asignar con algún criterio probabilidad de ocurrencia a dicha asignación. Un modelo probabilístico (o estocástico) está representado en esta distribución de probabilidades entre los resultados posibles. Un modelo del mismo tipo puede generarse para estudiar los resultados al lanzar un dado. Como otros ejemplos, se puede considerar una situación meteorológica (cantidad de lluvia que caerá en una tormenta y en un lugar específicos), cantidad de bacterias en un litro de leche, cantidad de glóbulos blancos en una muestra de sangre, cantidad de días lluviosos en el año en curso, tiempo de duración de un artefacto doméstico, peso que traslada un ascensor, incerteza en la medición de la distancia Tierra-Luna, etc.
Una de las diferencias fundamentales entre un modelo determinístico y uno probabilístico, es que el primero se utilizan consideraciones específicas para predecir resultados, mientras que en un modelo probabilístico se utilizan las mismas consideraciones para especificar una distribución de probabilidades.
Se llama experimento aleatorio aquel que, aunque se repita en las mismas condiciones, tiene asociados varios resultados posibles sin que podamos determinar con certeza cuál va a ocurrir.
Las características de estos experimentos aleatorios pueden resumirse en:
o Es posible repetir cada experimento en forma indefinida sin cambiar esencialmente las condiciones.
o Aunque en general no se pueda indicar cuál será un resultado particular, se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento.
o A medida que el experimento se repite, los resultados individualmente parecen ocurrir en forma caprichosa. Sin embargo, en muchos casos, si el experimento se repite un gran número de veces, aparece un patrón definido o regularidad.
Algunos ejemplos de experimentos aleatorios son:
▪ E1: Se lanza un dado equilibrado y se observa el número que aparece en la cara superior.
▪ E2: Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número total de caras obtenidas.
▪ E3: Resultado de un partido de fútbol.
▪ E4: Extraer una carta de una baraja.
▪ E5: Lanzar una moneda y anotar si sale cara o cruz.
▪ E6: Abrir un libro al azar y anotar el número de página.
Se llama ESPACIO MUESTRAL de un experimento aleatorio al conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Se designa por E.
E = {R1, R2, R3,…, Rn}
Cada uno de los RESULTADOS Rk que forman el espacio muestral se llama caso o punto muestral. El ESPACIO MUESTRAL depende de los resultados en que nos fijemos.
Ejemplos para algunos de los experimentos aleatorios mencionados:
▪ Para E1 corresponde el espacio muestral E1= {1;2;3;4;5;6}
▪ Para E2 corresponde el espacio muestral E2= {0;1;2;3;4}
▪ Para E3 corresponde el espacio muestral E3= {(0,0), (1,0), (1,1)….}
▪ Para E4 corresponde el espacio muestral E4= {1c, 2c, 3c, 4c, … Rb}
▪ Para E5 corresponde el espacio muestral E5= {C, X}
▪ Para E6 corresponde el espacio muestral E6={1, 2, 3, … }
Un espacio muestral no necesariamente es un conjunto con una cantidad finita de elementos. Hay espacios muestrales con un número infinito de elementos, incluso no numerable.
Ejemplos:
▪ Lanzar un dardo a una diana y anotar la posición del punto donde se clava.
▪ Cortar a ciegas un cordel y anotar la longitud del trozo menor.
▪ Elegir al azar un punto del intervalo [0, 1]
Ejercicio: COMPLETA
E1:
E2:
E3: Extraer un artículo de un lote que contiene artículos defectuosos "D" y no defectuosos "N".
E4: Designar un delegado de un grupo de 50 personas.
E5: Contar el número de automóviles que cruzan la intersección de dos calles, hasta que ocurra un accidente.
E6: Fabricar artículos, hasta producir 5 defectuosos y contar el número total de artículos fabricados.
E7: Contar el número de vehículos que llegan a una estación de servicios en un día.
E8: Elegir un punto del intervalo cerrado [0, 1].
E9: Observar el tiempo de vida de un artefacto eléctrico.
E10: De una urna que contiene fichas blancas y negras se escoge una y se anota su color.
E11: Verificar el estado de un transistor: (0 = Apagado; 1 = Prendido).
Experimento Conjuntos de resultados Posibles: Espacio Muestral
E1: [pic] C = cara S = cruz
E2: [pic]
E3: [pic]
E4: [pic] Ai representa una persona.
E5: [pic]
E6: [pic]
E7: [pic]
E8: [pic]
E9: [pic]
E10: [pic]
E11: [pic]
2. SUCESOS en un experimento aleatorio
Cada experimento aleatorio tiene asociada una familia de sucesos o ESPACIO DE SUCESOS. Un SUCESO está caracterizado por su ocurrencia o no respecto a cualquier resultado observable en la realización de un experimento aleatorio.
Ejemplo: En el experimento aleatorio de lanzar un dado de seis caras podemos contemplar los siguientes sucesos o eventos:
▪ S1= {Salir par} = {2, 4, 6}
▪ S2= {Salir múltiplo de 3} = {3, 6}
▪ S3= {Sacar más que 3} = {4, 5, 6}
Diremos que un suceso A se verifica (o se realiza) si al efectuar una prueba del experimento aleatorio obtenemos como resultado uno de los puntos muestrales que VERIFICAN el suceso A.
Ejemplo. Sea el experimento consistente en lanzar una dado, con E={1,2,3,4,5,6} y sea el suceso A={1,3,5} = “salir impar” Entonces diremos que A se verifica si al lanzar el dado sale 1, 3 ó 5, y diremos que no se verifica si sale 2, 4 ó 6.
Como vemos, todo suceso tiene asociado un subconjunto del espacio muestral E, compuesto por todos los resultados que lo VERIFICAN.
Ejemplo. En el experimento consistente en lanzar una moneda:
E={C , X } S={∅,{C},{X },{C , X }}
∅ y E son siempre subconjuntos de E.
Ejercicio. En el experimento que consiste en extraer una carta de una baraja española, consideremos los sucesos A = “salir figura”, B = “salir un as”. ¿Cuándo diremos que se ha realizado el suceso A? ¿Y el suceso B?
TIPOS DE SUCESOS
• Suceso elemental es el suceso formado por un solo punto muestral.
• Suceso compuesto es el suceso formado por dos o más puntos muestrales.
• Suceso cierto (o suceso seguro) es el que siempre se realiza. Está formado por todos los resultados posibles del experimento, es decir, coincide con E.
• Suceso imposible es el que no se realiza nunca. Se designa por ∅ y no tiene ningún elemento del espacio muestral.
Ejemplo. En el experimento consistente en lanzar un dado:
Sucesos elementales: {1} {2} {3} {4} {5} {6}
Algunos sucesos compuestos: A={1,2} B={4,3,2} C={1,3,5,6}
Suceso cierto: E={1,2,3,4,5,6}
Suceso imposible: ∅
• Suceso contrario de A, A’: Dado un suceso cualquiera A del espacio de sucesos S, se llama suceso contrario (o complementario) del suceso A al suceso que se realiza cuando no se realiza A, y recíprocamente.
El suceso contrario de A se representa por Ac (o también A' o no A ).
El suceso Ac está formado por los puntos muestrales de E que no pertenecen a A.
Ejercicio. En el experimento consistente en lanzar un dado, halla los sucesos contrarios de los siguientes sucesos:
A={1,2,5} B={1,3} C={4} D={1,3,5,6} E={1,2,3,4,5,6} F=∅
3. OPERACIONES con sucesos: sucesos incompatibles.
Como hemos visto cada SUCESO de un experimento aleatorio tiene asociado un subconjunto del espacio muestral E. Es decir, el ESPACIO DE SUCESOS es un subconjunto del conjunto de las partes del conjunto muestral. Conviene, pues, repasar un poco la TEORÍA DE CONJUNTOS.
▪ Cardinal de un conjunto.
▪ Subconjunto de un conjunto.
▪ Conjunto de las partes de un conjunto P(E).
▪ Operaciones en P(E).
Llamamos suceso unión de A y B ( AUB ) al suceso que se realiza cuando se realizan A ó B. El suceso AUB contiene todos los elementos de A y todos los de B.
Llamamos suceso intersección de A y B (A∩B ) al suceso que se realiza cuando se realizan simultáneamente A y B. El suceso A∩B está formado por los elementos comunes de A y B.
Ejemplo. Sea el experimento consistente en lanzar un dado.
Si A={1,2,5} y B={2,3,5} , entonces AUB={1,2,3,5} y A∩B={2,5}
Ejercicio. Calcula la unión y la intersección de:
a) C={2,4,6} y D={2,5}
b) M={2,5} y N={1,3,6}
Propiedad.
▪ Se cumple que AUA = A.
▪ ∅c=E
▪ A∩A = A
▪ Ec=∅
Dos sucesos son incompatibles cuando es imposible que se realicen simultáneamente.
Si A∩B=∅ entonces A y B son incompatibles.
Si A∩B≠∅ entonces A y B son compatibles.
Por tanto, un suceso y su contrario son incompatibles.
Ejercicio nº 1.-
En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el número que tiene.
a) Describe los sucesos:
A = "Obtener par" B = "Obtener impar"
C = "Obtener primo" D = "Obtener impar menor que 9"
escribiendo todos sus elementos.
b) ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Y entre C y D?
c) ¿Cuál es el suceso A U B? ¿y C ∩ D?
Solución:
a) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
B = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
D = {3, 5, 7}
b) B = A'; D c C
c) A U B = E = Espacio muestral; C ∩ D = D
4. PROBABILIDAD de un suceso.
Si repetimos un experimento aleatorio un número muy grande de veces, y calculamos la frecuencia relativa de un suceso A, fr(A), la LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS asegura que dicha frecuencia converge hacia un determinado valor que llamaremos probabilidad de A, P(A).
La probabilidad de un suceso A, P(A), mide la esperanza que tenemos de que ese suceso ocurra al realizar un determinado experimento aleatorio.
Así pues, sea E el espacio muestral de un experimento aleatorio. A cada suceso A se le asocia un número, designado P(A) y llamado probabilidad de A, el cual satisface las siguientes AXIOMAS:
[pic]
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
Es decir la probabilidad es un número entre "0" [imposible] y "1" [seguro].
Ejemplo: La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5. p(A)=0,5, que indica que esperamos que la mitad de las veces salga par.
[pic]
2) P(E) = 1
Es decir la probabilidad de que ocurra el espacio muestral (suceso seguro) es "1".
Ejemplo: La probabilidad de sacar un número del 1 al 6 en un dado equilibrado es "1".
[pic]
3) Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles (sin elementos en común, intersección vacía),
P(AUB) = P(A) + P(B)
Es decir la probabilidad de que ocurra la unión de dos sucesos disjuntos entre sí es la suma de las probabilidades individuales.
Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado {"as" o sacar "número par"} es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos.
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Consecuencia de los axiomas (Teoremas)
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1) P(A´) = 1 - P(A)
Es decir la probabilidad del complemento de un suceso A es "1 - P(A)".
Ejemplo1: La probabilidad de sacar un número impar en un dado equilibrado es "1 menos la probabilidad de sacar par".
[pic]
2) Si Ø es el conjunto vacío, entonces P(Ø) = 0
Es decir la probabilidad de un suceso imposible o conjunto vacío es "0".
Ejemplo: La probabilidad de sacar "7" en un dado equilibrado es 0.
[pic]
3) Si A1, A2, .........., Ai son "i" sucesos disjuntos (incompatibles)
P(A1UA2UA3U......UAi) = P(A1) + P(A2)+ P(A3)+.............+ P(Ai)
Es decir la probabilidad de que ocurra la unión de "i" sucesos incompatibles es la suma de las probabilidades individuales. Si la unión de estos conjuntos Aj forman el espacio muestral entonces la suma de las probabilidades es "1"
Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado "par" o sacar "número par" es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos.
APLICACIÓN PRÁCTICA
Si un suceso A tiene asociado el siguiente subconjunto de E, {R1, R2, R3, … , RK}, entonces, como los resultados de un experimento aleatorio son incompatibles entre sí, para calcular la p(A) basta sumar la probabilidad de los resultados que lo VERIFICAN:
p(A) = p (R1UR2UR3U…URK) = p(R1) + p(R2) + p(R3) + … + p(RK)
REGLA DE LAPLACE
Si los n resultados de un experimento aleatorio son equiprobables (todos tienen la misma probabilidad p(Rk) = 1/n )entonces lo anterior se puede traducir así:
p(A) = p(R1) + p(R2) + p(R3) + … + p(RK) = k p(RK) = k/n = casos favorables/casos posibles
que es la Regla de Laplace: la probabilidad de un suceso de un experimento aleatorio con resultados equiprobables se puede calcular como el cociente entre los casos o resultados favorables a A entre los casos o resultados posibles del experimento aleatorio.
[pic]4) Si A y B son sucesos cualesquiera
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Es decir la probabilidad de que ocurra la unión de dos sucesos es la suma de las probabilidades individuales menos la probabilidad de la intersección.
Ejemplo:
|[pic] |P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B) |
| | |
| |Ejemplo: |
| |A: el estudiante es mujer |
| |B: el estudiante fuma |
| |AUB: el estudiante es mujer o fuma |
| |A∩B: el estudiante es mujer y fuma |
|[pic] |Unión de conjuntos disjuntos (otra forma de expresar la unión) |
| | |
| |E = (A∩B´) U (A∩B) U (A´∩B) U (A´∩B´) |
| | |
| |P(E)= P(A∩B´)+P(A∩B)+P(A´∩B)+P(A´∩B´) = 1 |
| |Ejemplo: |
| |A∩B´: el estudiante es mujer y no fuma |
| |A∩B: el estudiante es mujer y fuma |
| |A´∩B: el estudiante no es mujer y fuma |
| |A´∩B´: el estudiante no es mujer y no fuma |
[pic]
5) Si A y B son eventos tales que [pic] entonces [pic]
[pic]
6) Si A, B y C son tres eventos cualesquiera en [pic]entonces
[pic]
ACTIVIDADES
1. Forma el espacio muestral del los siguientes experimentos aleatorios:
a) Lanzamiento de una moneda al aire.
b) Lanzamiento de un dado de seis caras.
c) Extración de una bola de una urna con doce bolas numeradas del 1 al 12.
d) Extración de una bola de una urna que contiene 5 bolas rojas, 4 amarillas y 3 verdes.
2. En una caja hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Consideramos el experimento
aleatorio extraer una bola de la caja.
a) Escribe el espacio muestral.
b) Sean los sucesos A={2, 3, 6}; B={1, 5, 9, 10}; C={2, 5}. Señala dos sucesos
que sean compatibles y otros dos que sean incompatibles.
c) Escribe los sucesos contrarios de A, B y C.
3. Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado de seis
caras numeradas del 1 al 6 y anotar el valor de la cara superior.
a) Determina el espacio muestral.
b) Escribe los sucesos obtener múltiplo de 2 y obtener múltiplo de 3.
c) ¿Son compatibles o incompatibles los sucesos del apartado anterior?
d) Escribe el suceso contrario de obtener menor que 5.
4. Se dispone de un dado con forma de octaedro y caras numeradas de 1 a 8. Se
lanza y se anota el resultado de la cara oculta.
a) Escribe el espacio muestral.
b) Escribe los sucesos obtener par y obtener impar.
c) Determina si los sucesos del apartado anterior son compatibles,
incompatibles o contrarios.
d) Escribe el suceso obtener múltiplo de 5.
e) Escribe un suceso compatible y otro incompatible con el anterior. Escribe
también su suceso contrario.
5. Se considera el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado de 6 caras y
anotar el resultado. Sean los sucesos: A={obtener múltiplo de 3}; B={obtener un
número primo}; C={obtener un número par}. ¿Son compatibles los sucesos A y B,
A y C, B y C?. ¿Son contrarios alguno de los sucesos anteriores?.
6. Una bolsa contiene 5 bolas rojas, 3 azules y 1 amarilla. Se extrae una bola sin
mirar. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos: obtener bola roja, no
obtener bola roja, obtener bola azul, no obtener bola azul, obtener bola amarilla,
no obtener bola amarilla.
7. En un baraja española de 40 cartas, se extrae una carta al azar. Calcula la
probabilidad de los siguientes sucesos: sacar una copa, sacar una sota, sacar la
sota de copas.
8. En una caja hay 9 bolas numeradas de 1 a 9. Se extrae una bola al azar. Calcula
la probabilidad de: sacar la bola 5, sacar una bola inferior a 4, sacar una bola
mayor que 6, sacar una bola mayor que 2 y menor que 6.
9. Se lanza un dado con las caras numeradas de 1 a 6
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4?.
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 3?.
d) ¿Son compatibles o incompatibles los sucesos anteriores?.
e) ¿Algunos de los sucesos de a), b), c) son contrarios?.
10. Una urna tiene 10 bolas rojas y 4 bolas azules. Se extrae una bola al azar. Halla la
probabilidad de los siguientes sucesos: sacar una bola verde, sacar una bola roja,
sacar una bola azul. De entre los sucesos anteriores, ¿hay algunos que sean
contrarios?.
11. Se extrae al azar una carta de una baraja española. Halla la probabilidad de los
siguientes sucesos: que sea oro, que sea figura, que sea la sota de oros, que sea
oro o figura.
12. Tenemos una ruleta dividida en 12 sectores de igual tamaño. Hacemos girar la
ruleta y anotamos el número del sector que queda en la parte superior. Calcula la
probabilidad de los siguientes sucesos: salir par, salir múltiplo de 6, salir múltiplo
de 5, salir múltiplo de 4, salir impar, salir múltiplo de 3. Clasifica los sucesos
anteriores en compatibles e incompatibles.
13. Se extare un carta al azar de una baraja española. Di si son o no equiprobables
los sucesos: salir oro, salir copa, salir espada, salir figura, salir rey, salir as.
14. Una máquina tragaperras ha dado a la largo de un día los siguientes premios
premio 0€ 1€ 5€ 10€
nº de veces 840 60 13 1
Halla la probabilidad de los siguientes sucesos
a) Que no entregue ningún premio.
b) Que entregue un premio de 10€.
c) que entregue un premio menor que 10€.
15. Se tiene una ruleta dividida en 8 sectores de igual tamaño numeradas de 1 a 8.
Los sectores 1, 2, 5, 6 y 7 están además coloreados de verde. Los sectores 3, 4 y
8 están coloreados de rojo. Calcula los siguientes probabilidades: obtener 3,
obtener color rojo, obtener un múltiplo de 2, obtener color verde. ¿Cuáles de los
sucesos anteriores son contrarios?.
16. En un armario de cocina hay 6 refrescos de cola, 12 de naranja y 5 de limón.
Cuando Ana iba a coger un refresco se fue la luz y, por tanto, lo tomó al azar.
Halla las siguientes probabilidades: que sea de cola, que sea de limón, que sea de
naranja, que sea de cola o limón, que no sea de limón.
17. Una ruleta como la de los casinos tiene 37 agujeros numerados de 0 a 36. Halla la
probabilidad de los siguientes sucesos: que salga 15, que salga múltiplo de 7, que
salga un número acabado en 4, que salga un número de una cifra, que salga un
número que empiece por 3.
18. La probabilidad de que un alumno llegue tarde a clase es de 1/15, ¿cuál es la
probabilidad de que llegue puntualmente?.
19. Se sabe que para una persona que prueba el tabaco la probabilidad de hacerse
adicto a la nicotina es 4/5. Calcula la probabilidad de que una persona que pruebe
el tabaco no se haga adicto a la nicotina.
A la vista de los resultados, ¿qué es más probable, hacerse adicto o no?. Justifica
tu respuesta.
20. Estás jugando con un dado cargado en el que no todas las caras tienen la misma
probabilidad de salir. Para este dado, la probabilidad de que salga una
determinada cara es proporcional su número.
Considera los sucesos: A salir número par, B salir número impar y C salir número
primo. Calcula la probabilidad de los sucesos A, B, C, , y AUC, A∩C’ y B∩C.
21. En una habitación se encuentran 210 personas de las cuales la mitad son mayores de edad y la tercera parte del total son mujeres, mientras los varones menores de edad representan el 40% del total. Calcula las siguientes probabilidades:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa habitación sea menor de edad?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa habitación sea mujer?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa habitación sea menor de edad o mayor de edad?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa habitación sea menor de edad y varón?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa habitación sea mayor de edad y mujer?
f) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa habitación sea menor de edad o varón?
Autoevaluación
1. Indica cuál de los siguientes experimentos es aleatorio.
a) Lanzar tres monedas y apuntar el número de caras.
b) Dejar caer una piedra desde 5 metros y decir con qué velocidad llegará al suelo.
c) El día de la semana en que caerá el 12 de julio del año 2020.
d) El resultado del próximo partido Madrid−Barsa.
2. Se gira la aguja de la ruleta y se observa el número del sector dónde se para.
a) Describe el espacio muestral asociado.
b) ¿Cuántos sucesos elementales forman cada uno de los sucesos:
B = “blanco”, G = “gris” y N = “negro?
c) Describe los sucesos contrarios de los sucesos B, G y N.
d) ¿Cuál es el suceso seguro? Indica un suceso imposible.
3. Para la misma ruleta, indica los sucesos elementales que forman los sucesos:
a) A = “El número obtenido es par”.
b) B = “El número obtenido es múltiplo de 3”.
c) A U B y A ∩ B.
d) Suceso contrario de cada uno de los sucesos anteriores.
4. Si la ruleta del ejercicio 2 está bien construida, cada uno de los números tiene la misma probabilidad de salir. Con esto, calcula la probabilidad de que la aguja se pare en cada uno de los colores blanco, gris o negro; y la probabilidad de sus respectivos contrarios.
5. Se lanzan tres monedas al aire y se observa el número de caras y cruces que salen.
a) Forma el espacio muestral de los resultados.
b) ¿Por cuántos resultados elementales está formado el suceso “dos caras y una cruz”?
c) ¿Cuántos resultados elementales hay en total?
d) ¿Son equiprobables los sucesos sacar “tres caras” y sacar “dos caras y una cruz”?
¿Cuánto vale la probabilidad de cada uno de esos dos sucesos?
6. Una urna contiene bolas del mismo tamaño pintadas de distintos colores: 3 amarillas, 5 rojas y 6 verdes. Si se extrae una bola al azar:
a) Determina el espacio muestral.
b) Son equiprobables los sucesos “bola amarilla”, “bola roja” o “bola verde”.
c) Halla la probabilidad de cada uno de los sucesos anteriores.
7. Los alumnos de 3º y 4º de ESO de un IES se distribuyen por curso y sexo como se indica en la tabla, auque hay números borrados:
Curso Chicos Chicas Total
3º ESO 65 135
4º ES0 62
Total 120 252
a) Completa los números que faltan.
b) Si se elige un alumno al azar, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
A = “sea una chica” B = “sea de 4º de ESO”
C = “sea una chica de 4º de ESO” D = “sea un chico de 3º de ESO”
Soluciones:
1. Aleatorios: a) y d). Deterministas: b) y c)
2. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. b) B = {2, 5, 8}; G = {1, 3, 7, 9}; N = {4, 6}
c) B = {1, 3, 4, 6, 7, 9}; G = {2, 4, 5, 6, 8}; N = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9}
d) Seguro: “Se para en un número entre el 1 y el 9”. Imposible: “Se para en el número 0”
3. a) A = {2, 4, 6, 8}. b) B = {3, 6, 9}. c) A È B = {2, 3, 4, 6, 8, 9}; A Ç B = {6}.
d) AC = {1, 3, 5, 7, 9}; BC = {1, 2, 4, 5, 7, 8}; (A U B)C = {1, 5, 7};
(A ∩ B)C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}.
4. P(blanco) = 3/9; P(gris) = 4/9; P(negro) = 2/9;
P(no blanco) = 1- 3/9 = 6/9; P(no gris) = 1-4/9 = 5/9; P(no negro) = 1 – 2/9 = 7/9
5. a) E = {3 caras, 2 caras y 1 cruz, 1 cara y 2 cruces, 3 cruces}.
b) “dos caras y una cruz” = {CCX, CXC, XCC}.
c) {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX}. d) No. El suceso “3 caras” está
formado por 1 solo suceso elemental; el suceso “dos caras y una cruz” lo forman 3 sucesos elementales. P(3 caras) = 1/8; P(2 caras y 1 cruz) = 3/8.
6. a) E = {amarilla, roja, verde}
b) No son equiprobables pues cada suceso está compuesto por un número distinto de sucesos elementales.
c) P(amarilla) = 3/14; P(roja) = 5/14; P(verde) = 6/14.
7. a) Como en 3º hay un total de 135 alumnos, el número de chicas es: 135 – 65 = 70.
Como el total de alumnos de 3º y 4º es de 252, en 4º habrá: 252 – 135 = 117.
Los chicos de 4º deben ser: 117 – 62 = 55.
Y el total de chicos entre 3º y 4º: 65 + 55 = 120.
Con esto, la tabla completa es:
Curso Chicos Chicas Total
3º ESO 65 70 135
4º ES0 55 62 117
Total 120 132 252
b) P(Chica) = 132/252; P(de 4º de ESO) =117/252; P(Chica de 4º) = 62/252
P(Chico de 3º) = 65/252
Simulación de experimentos
En muchas ocasiones realizar un experimento aleatorio un número elevado de veces no resulta fácil, entonces recurrimos a la simulación.
Simular un experimento aleatorio consiste en sustituirlo por otro más sencillo y capaz de reproducir los mismos resultados.
Las calculadoras científicas disponen de la tecla RAND, RAN# ó RANDOM que al activarla, genera un número al azar comprendido entre 0 y 1, llamado número aleatorio. Estos números resultan de gran utilidad en la simulación de experimentos.
1.-Imagina que en una clase hay 12 chicos y 9 chicas. Queremos simular muchas veces la elección al azar de un estudiante para estudiar la probabilidad de ocurrencia del resultado ‘obtener chica’.
Indica cuál de los siguientes procedimientos es válido y cuál no, para hacer la simulación anterior y asegurar la aleatoriedad del proceso. Justifica tu respuesta.
-En una bolsa no transparente meto 12 monedas luxemburguesas y 9 monedas españolas de 1 Euro. A continuación extraigo una de ellas.
-En una bolsa no transparente meto doce monedas de 50 céntimos y nueve de 10. A continuación extraigo una de ellas.
-En una bolsa no transparente meto 4 monedas españolas de un euro y 3 monedas luxemburguesas. A continuación extraigo una de ellas.
-En una bolsa no transparente meto 14 palillos de los cuales 6 son más cortos y 8 más largos. A continuación extraigo uno.
-En una bolsa no transparente meto 14 palillos de los cuales 6 son rojos y 8 azules. A continuación extraigo uno.
-Con 7 cartas , tres de las cuales son reyes y cuatro ases. Extraigo una tras barajarlas.
-Tirando un dado y asociando la puntuación 1, 2, 3, 4 a ser chico y la puntuación 5 y 6 a ser chica.
-Tirando dos monedas y asignando el resultado chico a obtener al menos una cara y el resultado chica a obtener dos cruces.
2.- Indica procedimientos para simular un experimento aleatorio con:
- cuatro posibles resultados, todos equiprobables.
- tres posibles resultados, todos equiprobables.
- cinco posibles resultados, todos equiprobables.
- 8 resultados, todos equiprobables.
- 3 resultados de los cuales uno tiene doble probabilidad que el otro.
5. PROBABILIDAD CONDICIONADA.
En muchos problemas de probabilidad hay que calcula la probabilidad de un suceso B sabiendo que ha ocurrido el suceso A. Esta información adicional restringe el espacio muestral E, a un nuevo espacio muestral A, con lo que podemos definir la probabilidad de B condicionada a A, P(B/A) de la siguiente manera:
Donde:
P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.
P (B ∩ A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B
P (A) es la probabilidad a priori del suceso A
Ejemplo 1: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.
P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A).
P (B ∩A) es la probabilidad de que salga el dos y número par.
P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par.
Por lo tanto: P (B ∩A) = 1/6, P (A) = ½, P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3
Luego, la probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido un número par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).
Ejemplo 2: En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusión de que la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (suceso B) es el 0,10 (probabilidad a priori). Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (suceso A) es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y coronarios (suceso intersección de A y B) es del 0,05.
Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si está obesa (probabilidad condicionada P(B/A)).
P (B ∩A) = 0,05, P (A) = 0,25, P (B/A) = 0,05 / 0,25 = 0,20
Por lo tanto, la probabilidad condicionada es superior a la probabilidad a priori. No siempre esto es así, a veces la probabilidad condicionada es igual a la probabilidad a priori o menor.
Por ejemplo: probabilidad de que al tirar un dado salga el número 2, condicionada a que haya salido un número impar. La probabilidad condicionada es en este caso cero, frente a una probabilidad a priori de 1/6.
Ejemplo 3:
Estudiamos el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 años casados) y el suceso B (varones mayores de 40 años con más de 2 hijos) y obtenemos la siguiente información:
Un 35% de los varones mayores de 40 años están casados.
De los varones mayores de 40 años y casados, un 30% tienen más de 2 hijos (suceso B condicionado al suceso A).
Calcular la probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté casado y tenga más de 2 hijos (suceso intersección de A y B).
Por lo tanto:
P (A) = 0,35
P (B/A) = 0,30
P (A ∩ B) = 0,35 * 0,30 = 0,105
Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 años están casados y tienen más de 2 hijos.
Ejemplo 4:
Estudiamos el suceso A (alumnos que hablan inglés) y el suceso B (alumnos que hablan alemán) y obtenemos la siguiente información:
Un 50% de los alumnos hablan inglés.
De los alumnos que hablan inglés, un 20% hablan también alemán (suceso B condicionado al suceso A).
Calcular la probabilidad de que un alumno hable inglés y alemán
(suceso intersección de A y B).
Por lo tanto:
P (A) = 0,50
P (B/A) = 0,20
P (A ∩ B) = 0,50 * 0,20 = 0,10
Es decir, un 10% de los alumnos hablan inglés y alemán.
SUCESOS INDEPENDIENTES
Dos sucesos son independientes entre sí, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta para nada a la ocurrencia del otro:
Ejemplo: el suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo son independientes: el que un alumno sea más o menos alto no va a influir en el color de su cabello, ni viceversa.
Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de las siguientes condiciones:
P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso B, condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es exactamente igual a la probabilidad de B.
Ejemplo: la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso B), condicionada a que haga buen tiempo (suceso A), es igual a la propia probabilidad del suceso B.
P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso A, condicionada a que previamente se haya dado el suceso B, es exactamente igual a la probabilidad de A.
Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A), condicionada a que al tirar una moneda salga cara (suceso B), es igual a la propia probabilidad del suceso A.
Si el suceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso B también es independiente del suceso A.
De donde se deduce que si dos sucesos son independientes tenemos que:
REGLA DEL PRODUCTO
P (A ∩ B) = P (A) * P (B) es decir, la probabilidad de que se de el suceso conjunto A y B es exactamente igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B.
Ejemplo: la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A) y salga cara al tirar una moneda (suceso B), es igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B
Ejemplo 1º:
Analicemos dos sucesos:
Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4
Suceso B: la probabilidad de tener un accidente es del 0,1
Suceso intersección: la probabilidad de que haga buen tiempo y tener un accidente es del 0,08
Veamos si se cumple alguna de las condiciones señaladas:
P (B/A) = P (A ∩ B) / P (A) = 0,08 / 0,4 = 0,2 (que no es igual a P (B))
P (A/B) = P (A ∩ B) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133 (que no es igual a P (A))
P (A ∩ B) = 0,08 (que no es igual a P (A) multiplicado por P (B))
Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones señaladas por lo que estos dos sucesos no son independientes, sino que existe algún grado de dependencia entre ellos.
Ejemplo 2º:
Analicemos dos sucesos:
Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4
Suceso B: la probabilidad de salir cara al lanzar una moneda es del 0,5
Suceso intersección: la probabilidad de que haga buen tiempo y que salga cara es 0,2
Veamos si se cumple alguna de las condiciones señaladas:
P (B/A) = P (A ∩ B) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5 (igual que P (B))
P (A/B) = P (A ∩ B) / P (B) = 0,2 / 0,6 = 0,4 (igual que P (A))
P (A Λ B) = 0,2 (igual a P (A) multiplicado por P (B))
Por lo tanto, estos dos sucesos sí son independientes.
EXPERIMENTO COMPUESTO
Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples.
Cuando un experimento o suceso aleatorio sigue un modelo dinámico, es decir, cuando se puede a su vez dividir en subexperimentos, que se realizan consecutivamente en el tiempo, se puede estudiar como modelo aleatorio multidimensional, o bien, como un modelo de aleatorio de experimentos simples, estudiando según el resultado que ocurra tras cada experimento simple, y los posibles resultados del siguiente experimento.
Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto.
En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en árbol para encontrar el espacio muestral del mismo.
La probabilidad de un suceso en un experimento compuesto se calcula a partir de las probabilidades de los experimentos simples que lo forman.
Por ejemplo el experimento de lanzar tres monedas puede considerarse compuesto del experimento simple de lanzar una moneda tres veces seguidas.
|[pic] |Podemos construir el espacio muestral mediante un diagrama de árbol, como se vio |
| |anteriormente, y consta de 8 elementos: |
| |E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX} |
| |Así la probabilidad de obtener tres caras es: |
| |P(CCC) = 1/8 |
| |Pero se llega al mismo resultado si se multiplica la probabilidad de obtener cara |
| |en cada uno de los tres lanzamientos: |
| |P(C1)·P(C2)·P(C3) = (1/2)·(1/2)·(1/2) = 1/8 |
Observa en el diagrama que cada rama del camino lleva a un resultado, la probabilidad de cada resultado es la de cada camino, y en cada uno se calcula multiplicando las probabilidades de las ramas que lo componen.
► Como veremos a continuación, la probabilidad de un "camino" en un diagrama de árbol, es igual al producto de las probabilidades de las ramas de dicho camino.
PROBABILIDAD COMPUESTA
Regla de la Multiplicación
Del concepto de probabilidad condicional, obtenemos una fórmula para hallar la probabilidad de la intersección (o producto) de los eventos A y B.
[pic] [pic]
y también
[pic]
Este resultado en probabilidades se denomina REGLA DE LA MULTIPLICACION o probabilidad de la intersección, (o probabilidad conjunta); expresa la probabilidad de que ocurran los eventos A y B.
Ejemplo 1 : Una caja contiene 5 bolas blancas y 6 negras; se extrae 2 bolas, ¿cuál es la
probabilidad que las dos resulten blancas
PRIMERA FORMA. Se extraen las bolas una a una, sin reposición.
Sean los eventos:
A1 : "La primera bola resulta blanca"
A2: "La segunda bola resulta blanca"
E: "Las dos bolas resulten blancas"
La probabilidad pedida es del evento E = A1 ( A2 = A1 A2
E, es la intersección de los dos eventos y la ocurrencia de A1 influye en la de A2, o sea
[pic]
En la urna hay 11 bolas de las cuales 5 son blancas, entonces [pic]
Después de la ocurrencia del evento A1, queda 10 bolas de las cuales 4 son blancas, luego
[pic] por lo tanto
[pic]
DIAGRAMA DE ÁRBOL
Teorema de las Probabilidades Totales:
P(a) = P[(A∩a)U(B∩a)] = P(A∩a) + P(B∩b) = P(A).P(a/A) + P(B).P(a/B)
Si un SUCESO se verifica en varias ramas del árbol, la probabilidad de ese suceso es la suma de las probabilidades de cada una de estas ramas.
EJEMPLO
Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
b) Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la primera urna?
Solución: Hacemos un diagrama en árbol:
[pic]
[pic] [pic]
TABLA DE CONTINGENCIA
| |A |B | |
|a |P(A∩a) |P(B∩a) |P(a) |
|b |P(A∩b) |P(B∩b) |P(b) |
| |P(A) |P(B) |1 |
Las PROBABILIDADES CONDICIONADAS se calculan por la definición:
P(A/a) = P(A∩a) / P(a)
EJEMPLO
En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Solución: Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan:
[pic]
Llamamos I ’ "Habla ingles", F ’ "Habla francés".
a) Tenemos que hallar P[I ∪ F]:
[pic]
[pic]
EJERCICIOS
[pic] En una urna hay cuatro bolas numeradas con los dígitos 1, 3, 4 y 6. Se extraen dos bolas a la vez:
a) Escribe el Espacio muestral
b) ¿Cuál es la Probabilidad de que las dos sean impares?
c) ¿Cuál es la Probabilidad de que la suma sea Par?
[pic] En una urna hay dos bolas blancas y una negra. Se extrae una bola, se mira el color y se devuelve a la urna. Se extrae, de nuevo, otra bola:
a) Escribe el Espacio muestral
b) ¿Cuál es la Probabilidad de que las dos sean Blancas?
c) ¿Cuál es la Probabilidad de que al menos una sea blanca?
[pic] En un grupo de 3º de Educación Secundaria Obligatoria hay 27 estudiantes, 10 son chicas. Sabemos que 7 chicos tienen suspensas las Matemáticas y hay un total de 17 chicos y chicas que las han aprobado.
a) Calcula la Probabilidad de que al elegir al azar un estudiante sea una chica que ha aprobado Matemáticas.
b) Calcula la Probabilidad de que al elegir al azar un estudiante sea un chico con las Matemáticas suspensas.
c) Calcula la Probabilidad de que al elegir al azar un estudiante con las Matemáticas suspensas sea una chica.
[pic] De una baraja española (40 cartas) se extrae una carta. Si sale un Oro o una Copa se lanzan dos monedas, si sale una espada se lanza una moneda y si sale bastos no se lanza ninguna.
a) ¿Cuál es la Probabilidad de que salga alguna cara?
b) ¿Cuál es la Probabilidad de que salga un Oro y además no salga ninguna cara?
c) ¿Cuál es la Probabilidad de que salgan dos caras?
[pic] Se lanza un dado. Si sale un número par se lanzan dos monedas, si sale impar se lanza una moneda.
a) ¿Cuál es la Probabilidad de que salga alguna cara?
b) ¿Cuál es la Probabilidad de que salga un número impar y ademas no salga ninguna cara?
c) ¿Cuál es la Probabilidad de que salgan tres caras?
[pic] En un invernadero hay flores de dos especies (tulipanes y rosas) y de dos colores (rojos y blancos). Se sabe que hay un 60 % de tulipanes, de los cuales la mitad son rojos, y un 40 % de rosas, de las cuales una cuarta parte son blancas.
a) Calcular la probabilidad de que al escoger al azar una flor sea un tulipán blanco.
b) Calcular la probabilidad de que al escoger al azar un tulipán este sea blanco.
c) Calcular la probabilidad de que al escoger al azar una flor blanca sea un tulipán.
d) Calcular la probabilidad de que al escoger al azar una flor sea blanca.
[pic] En una urna (A) hay tres bolas blancas y dos negras y en otra urna (C) hay tres bolas negras y dos blancas. Se saca una carta de una baraja española de cuarenta cartas y si sale una figura se extrae una bola de la urna A, si no sale figura se extrae una bola de la urna C.
a) Calcular la Probabilidad de sacar una bola blanca.
b) ¿Son independientes los sucesos:
B = {sacar una bola blanca} y A = {sacar una figura}?
[pic] Tenemos dos urnas A y B. La urna A contiene 2 bolas negras, 3 bolas rojas y 1 bola verde. La urna B contiene 3 bolas negras, 3 bolas rojas y 2 bolas verdes. Lanzamos un dado al aire y si sale un número menor que 3 sacamos una bola de la urna A y si sale 3, 4, 5 ó 6 sacamos una bola de la urna B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea verde?
b) Sabiendo que ha salido la urna A ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea verde?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga la urna A y la bola sea verde?
d) Sabiendo que la bola obtenida es verde ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la urna A?
[pic] Sabemos que en dos pueblos (que denominaremos A y B) hay la siguiente distribución de personas según sexo:
En el pueblo A hay 180 mujeres y 120 hombres.
En el pueblo B hay 90 mujeres y 110 hombres.
Para hacer una estadística, se elige uno de los dos pueblos atendiendo a su población (se sabe que P(A) = 3/5 y que P(B) = 2/5 ) y se escoge una persona que resulta que es una mujer. Calcular la Probabilidad de que sea del pueblo B.
[pic] Tenemos dos urnas A y B. La urna A contiene 2 bolas negras, 5 bolas rojas y 1 bola blanca. La urna B contiene 3 bolas negras, 3 bolas rojas y 2 bolas blancas. Lanzamos un dado al aire y si sale un número menor que 5 sacamos una bola de la urna A y si sale 5 ó 6 sacamos una bola de la urna B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
b) Sabiendo que la bola obtenida es blanca ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la urna A?
6. TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTAL y de BAYES.
SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS
Los sucesos A1, ,A2,..., An de un experimento aleatorio constituyen un sistema completo de sucesos si se verifica:
1. A1UA2UA3U...UAn=E
2. A1,A2,..., An son incompatibles dos a dos, es decir, Ai∩Aj=∅ Para todo i, j
Ejemplo.
▪ Sea el experimento consistente en lanzar un dado. Para este experimento los sucesos A= {Salir par} y B = {Salir impar} forman un sistema completo de sucesos, ya que AUB = E y A∩B=∅.
▪ Sea el experimento consistente en lanzar un dado. Para este experimento los sucesos A={1,2,6} , B={3,4} y C={5} forman un sistema completo de sucesos, ya que AUBUC=E y A∩B=A∩C=B∩C=∅
Teorema de la Probabilidad Total
Sea B1, B2, ...., Bk una Partición de E , entonces para cualquier evento A en E se cumple:
[pic]
CONSECUENCIA
Si B es un evento en E tal que 0 < [pic] < 1, entonces para cualquier evento A en E
[pic]
El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:
Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.
La fórmula para calcular esta probabilidad es:
[pic]
Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.
Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:
Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).
Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%
Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.
Ejercicio 1º: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas:
a) Amarilla: probabilidad del 50%.
b) Verde: probabilidad del 30%
c) Roja: probabilidad del 20%.
Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es:
a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.
b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%
c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.
Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?:
1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%
2.- Aplicamos la fórmula:
[pic]
Luego,
P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54
Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.
Ejercicio 2º: Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:
a) Carlos, con una probabilidad del 60%
b) Juan, con una probabilidad del 30%
c) Luis, con una probabilidad del 10%
En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:
a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.
b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.
c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.
En definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?:
1.- Los tres candidatos forman un sistema completo
2.- Aplicamos la fórmula:
P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15
Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%. Lo llevas claro amigo...
Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:
Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).
Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).
La fórmula del Teorema de Bayes es:
Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.
Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%
c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".
Vamos a aplicar la fórmula:
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
[pic]
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.
b) Probabilidad de que estuviera nevando:
[pic]
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
[pic]
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.
Problemas de Probabilidad
[pic]
Ejercicio nº 1.-
Sean A y B los sucesos tales que:
P[A] ’ 0,4 P[A' ∩ B] ’ 0,4 P[A ∩ B] ’ 0,1
Calcula P[A ∪ B] y P[B].
Solución:
• Calculamos en primer lugar P [B]:
P[B] ’ P[A' ∩ B] + P[A ∩ B] ’0,4 + 0,1 ’ 0,5
• P[A ∪ B] ’ P[A] + P[B] − P[A ∩ B] ’ 0,4 + 0,5 − 0,1 ’ 0,8
Ejercicio nº 2.-
Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que:
P[A'] ’ 0,6 P[B] ’ 0,3 P[A' ∪ B'] ’ 0,9
a) ¿Son independientes A y B?
b) Calcula P[A' / B].
Solución:
a) P[A' ∪ B'] ’ P[(A ∩ B )'] ’1 − P[A ∩ B] ’ 0,9 → P[A ∩ B] ’ 0,1
P[A'] ’ 1 − P[A] ’ 0,6 → P[A] ’ 0,4
[pic]
Por tanto, A y B no son independientes.
b) Como:
necesitamos calcular P[A' ∩ B]:
P[A' ∩ B] ’ P[B] − P[A ∩ B] ’ 0,3 − 0,1 ’ 0,2
Por tanto:
Ejercicio nº 3.-
Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número?
Solución: Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que el segundo elija el mismo número?
Por tanto, la probabilidad de que no piensen el mismo número será:
Ejercicio nº 4.-
En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Solución: Vamos a organizar los datos en una tabla, completando los que faltan:
[pic]
Llamamos I ’ "Habla ingles", F ’ "Habla francés".
a) Tenemos que hallar P[I ∪ F]:
[pic] [pic]
Ejercicio nº 5.-
Una urna, A, contiene 7 bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la urna A y, si sale cruz, la extraemos de B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?
b) Sabiendo que salió un número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A?
Solución: Hacemos un diagrama en árbol:
[pic]
[pic]
Ejercicio nº 6.-
De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) Describe los sucesos:
A ’ "Mayor que 6" B ’ "No obtener 6" C ’ "Menor que 6"
escribiendo todos sus elementos.
c) Halla los sucesos A ∪ B, A ∩ B y B' ∩ A'.
Solución: a) E ’ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
b) A ’ { 7, 8, 9 } B ’ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 } C ’ { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
[pic]
Ejercicio nº 7.-
Sabiendo que: P[A ∩ B] ’ 0,2 P[B'] ’ 0,7 P[A ∩ B'] ’ 0,5 Calcula P[A ∪ B] y P[A].
Solución: P[A] ’ P[A ∩ B'] + P[A ∩ B] ’ 0,5 + 0,2 ’ 0,7
P[B] ’ 1 − P[B'] ’ 1 − 0,7 ’ 0,3
P[A ∪ B] ’ P[A] + P[B] − P[A ∩ B] ’ 0,7 + 0,3 − 0,2 ’ 0,8
Ejercicio nº8.-
De dos sucesos A y B sabemos que: P[A'] ’ 0,48 P[A ∪ B] ’ 0,82 P[B] ’ 0,42
a) ¿Son A y B independientes? b) ¿Cuánto vale P[A / B]?
Solución: a) P[A'] ’ 1− P[A] ’ 0,48 → P[A] ’ 0,52
P[A ∪ B] ’ P[A] + P[B] − P[A ∩ B] → 0,82 ’ 0,52 + 0,42 − P[A ∩ B] → P[A ∩ B] ’ 0,12
[pic] No son independientes.
[pic]
Ejercicio nº9.-
Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean:
a) Las dos de oros. b) Una de copas u otra de oros.
c) Al menos una de oros. d) La primera de copas y la segunda de oro.
Solución: [pic] [pic]
[pic] [pic]
Ejercicio nº 10.-
Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son: - A 32 personas les gusta leer y ver la tele. - A 92 personas les gusta leer.
- A 47 personas les gusta ver la tele.
Si elegimos al azar una de esas personas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
Solución: Vamos a organizar la información en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:
[pic]
Llamemos L = "Le gusta leer" y T = "Le gusta ver la tele".
[pic] [pic] [pic]
Ejercicio nº 11.-
El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa población:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad?
b) Si sabemos que ha dado positiva, ¿cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad?
Solución: Hacemos un diagrama en árbol:
a) P[Enfermo y Positiva] ’ 0,0097
[pic]
Ejercicio nº 12.-
a) Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?
b) Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, ¿cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número?
Solución:
a) Para calcular la probabilidad, suponemos que el primero ya ha elegido número. La pregunta es: ¿cuál es a probabilidad de que el segundo elija el mismo número?
[pic] [pic]
Ejercicio nº 13.-
En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemáticas, 16 que han aprobado inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos.
Elegimos al azar un alumno de esa clase:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas?
b) Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés?
c) ¿Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"?
Solución: Organizamos los datos en una tabla de doble entrada, completando los que faltan:
[pic]
Llamamos M ’ "Aprueba matemáticas", I ’ Aprueba inglés".
[pic] [pic]
[pic]
[pic] [pic]
Ejercicio nº 14.-
Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6 bolas blancas y 2 rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después extraemos una bola de B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?
Solución:
Hacemos un diagrama en árbol:
[pic]
[pic]
Ejercicio nº 15.-
En un pueblo hay 100 jóvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de chicas en el pueblo es de 45. Si elegimos un joven de esa localidad al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?
b) Si sabemos que juega al tenis, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un chico que no juegue al tenis?
Solución: Hacemos una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:
[pic]
[pic] [pic] [pic]
Ejercicio nº 16.-
Una bola bolsa, A, contiene 3 bolas rojas y 5 verdes. Otra bolsa, B, contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. Lanzamos un dado: si sale un uno, extraemos una bola de la bolsa A; y si no sale un uno, la extraemos de B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja?
b) Sabiendo que salió roja, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de A?
Solución: Hacemos un diagrama en árbol:
[pic]
[pic]
Ejercicio nº 17.-
En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas?
Solución: Tenemos que hallar la probabilidad de que ocurra el siguiente suceso:
A = "el opositor conoce, al menos, uno de los tres temas"
Para calcularla, utilizaremos el complementario. Si sabe 35 temas, hay 85 - 35 = 50 temas que no sabe; entonces:
P [A] = 1 - P [A'] = 1 - P ["no sabe ninguno de los tres"]
Por tanto, la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas es de 0,802.
Ejercicio nº 18.-
Tenemos para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si metemos al zar cada carta en uno de los sobres, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le corresponde?
Solución: Hacemos un diagrama que refleje la situación. Llamamos a los sobres A, B y C; y a las cartas correspondientes a, b y c. Así, tenemos las siguientes posibilidades:
Vemos que hay seis posibles ordenaciones y que en cuatro de ellas hay al menos una coincidencia.
Por tanto, la probabilidad pedida será:
Ejercicio nº 19.-
En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2 500 personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2 100 vieron la película, 1 500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate?
c) Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate?
Solución: Organizamos la información en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:
[pic]
Llamamos D ’ "Vio el debate" y P ’ "Vio la película".
[pic]
[pic]
[pic]
7. ACTIVIDADES
ACTIVIDAD nº 1: EL LENGUAJE DEL AZAR. ESCALA DE PROBABILIDADES.
Vamos a realizar una previsión del tiempo para el próximo 6 de Julio en Pamplona:
(1) Utiliza una de las siguientes expresiones (u otra similar) para describir cada una de las posibilidades que se citan:
Es bastante probable
2. Lo más probable es
3. Es probable
4. Es imposible
5. Es muy probable
6. Es casi seguro
7. Es seguro
8. Es difícil
9. Es casi imposible
10. Hay muchas posibilidades de
11. Hay pocas posibilidades de
12. Es poco probable
13. que llueva
1. que nieve
2. que el día sea cálido y soleado
3. que haga un ligero viento
4. que el cielo esté nublado
5. que la temperatura oscile entre los 25 y 30 grados
6. que la temperatura máxima sobrepase los 30º
7. que la mínima esté por debajo de los 5º
8. que haga más calor que en Buenos Aires.
2) Ordena las frases que has construido según la confianza que tienes de que ocurran. Compara tu lista con las de otros compañeros.
(3) Asigna a cada uno de los sucesos anteriores un número entre 0 y 1 tanto mayor cuanto mayor sea la confianza que tengas de que ocurra. (El 0 sería el valor correspondiente a la palabra “imposible”, el 1 a “seguro” y 0’5 correspondería a “es tan probable que ocurra como que no ocurra”).
Para asignar un número (o probabilidad) a cada suceso, intenta adivinar cuántas veces ha ocurrido en los últimos 10 años. Por ejemplo, si piensas que el 6 de julio llueve, por término medio, en tres ocasiones cada 10 años, daremos el valor 3/10 = 0’3 al suceso citado.
RESUMEN: Una situación de la vida ordinaria (el pronóstico del tiempo) sirve como pretexto para la asignación de probabilidades (primero cualitativa y luego cuantitativamente) como grado de creencia.
ORGANIZACIÓN: Trabajo individual (respondiendo a las cuestiones en el cuaderno)
AMPLIACIÓN:
1. Asigna probabilidades según el grado de seguridad que tengas de que se produzcan a los siguientes sucesos:
a) Un bebé que va a nacer será niña.
b) La carta extraída de una baraja será oros.
c) Este año Osasuna subirá a 1ª División.
d) Al lanzar un dado saldrá 5.
e) Mañana saldrá el sol por el Este.
f) Al lanzar una moneda dos veces, saldrá cara por lo menos una vez.
g) La próxima vez que juegues a la “primitiva” te tocará premio.
h) El profesor de Matemáticas es de tu mismo signo del zodiaco.
i) Alguna vez en tu vida viajarás a la Luna.
j) Antes del año 2000 se inventará la vacuna contra el SIDA.
ACTIVIDAD nº 2: PROBABILIDADES IMPREVISIBLES. EXPERIMENTACIÓN.
LA PRUEBA DE LA BODA:
Antiguamente, en cierta isla del Pacífico, para poder casarse era precisa la “aprobación de los dioses”. Para obtenerla, la pareja debía superar la “prueba de las cuerdas” en presencia del sacerdote:
Este tomaba 6 trozos de cuerda iguales y, juntos, los ataba con un nudo central. Después, cada novio debía anudar de dos en dos los seis cabos de uno de los lados.
[pic]
Finalmente, el sacerdote deshacía el nudo central y sólo si las 6 cuerdas aparecían unidas (formando un ciclo) concedía el permiso para la boda.
[pic]
1) A primera vista, te parece que superar la prueba es ¿fácil, muy difícil, bastante probable, ….?. Intenta adivinar aproximadamente qué porcentaje de parejas superaba la prueba.
(2) Para poder medir o asignar un número a la confianza que se puede tener en superarla, vamos a experimentar reiteradamente:
Realiza la prueba con tu compañero 10 veces y anotar los resultados. ¿Qué probabilidad le asignarías ahora a recibir el permiso para la boda?.
El profesor recogerá en la pizarra los resultados de todas las parejas en una tabla como la siguiente :
|Pareja nº |frecuencia |frecuencia |Nº experiencias |frecuencia |% |
| |absoluta |acumulada(Fa) |acumuladas (N) |relativa (Fa/N) | |
|1 | | |10 | | |
|2 | | |20 | | |
|.. | | |.. | | |
|.. | | |.. | | |
|15 | | |150 | | |
Y recordará los conceptos de frecuencia absoluta y frecuencia relativa, ligando a ésta última la idea de probabilidad.
Resaltará también cómo (y por qué) tanto la frecuencia relativa como la probabilidad sólo pueden tomar valores entre 0 y 1. Por otro lado, ambas se pueden expresar en forma de fracción, decimal o porcentual. Habrá que aclarar posibles dudas o errores en el paso de una a otra forma.
(3) A la vista de los resultados de toda la clase, ¿qué os parece más probable, superar la prueba o fracasar en ella?
RESUMEN: Se trata de asignar a un suceso, en principio incierto, una probabilidad “a posteriori” basándonos exclusivamente en la experimentación. Por consiguiente, se utiliza la probabilidad en el sentido frecuencial.
ORGANIZACIÓN: Trabajo por parejas.
MATERIALES: 6 trozos iguales de cuerda (o hilos) para cada pareja de alumnos.
AMPLIACIÓN:
2. (RETO) Intenta deducir de una manera lógica la proporción de intentos que resultarán exitosos en la prueba de las cuerdas.
ACTIVIDAD nº 3: COMPORTAMIENTO DEL AZAR. LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS.
[pic]
LANZAMIENTO DE UN DADO EN EL JUEGO DE LA OCA.
En el transcurso de una partida al juego de la Oca nos encontramos en la siguiente situación: Le toca tirar a Luis (en la casilla nº 57) y Amaia está en la 51. Cuando Luis lance el dado:
A) Si sale un 1, cae en la casilla de “la muerte”, termina la partida y Luis pierde.
B) Si sale un 2 ó un 6, Luis gana.
C) En los demás casos, le llega el turno a Amaia.
1) Asignar a cada uno de los sucesos anteriores una probabilidad en forma porcentual: piensa cuántas veces ocurrirá, por término medio, cada suceso si se lanza 100 veces el dado.
(2) Haremos un experimento para aproximarnos a los números (o probabilidades) asignados a los tres primeros sucesos anteriores.
Fijaros en la tabla siguiente y tratad de adivinar cuántas veces, aproximadamente ocurrirá cada uno de los tres sucesos si lanzamos un dado 30 veces.
|Resultados |Nº de veces |Recuento |Frecuencia |Frecuencia |
| |esperado | |absoluta |relativa |
|A: Sale un 2 ó un 6 | | | | |
|B: Sale un 1 | | | | |
|C: Sale 3,4 ó 5 | | | | |
|Total: |30 | | | |
Lanzar el dado 30 veces y anotar los resultados en la tabla. Recuerda que el número de veces que ocurre cada suceso es su frecuencia absoluta. Si dividimos la frecuencia absoluta entre el número total de lanzamientos (en este caso, 30) obtenemos la proporción de veces que ocurre ese suceso, o sea la frecuencia relativa que, como podréis observar, siempre varía entre 0 y 1. Completar todas las columnas de la tabla.
El profesor mostrará en la pizarra los resultados de toda la clase. A partir de ellos completará la siguiente tabla:
|Suceso observado, A: “que salga un 2 ó un 6” |
|Pareja nº |frecuencia |frecuencia |Nº experiencias |frecuencia |% |
| |absoluta |acumulada(Fa) |acumuladas (N) |relativa (Fa/N) | |
|1 | | |30 | | |
|2 | | |60 | | |
|.. | | |.. | | |
|.. | | |.. | | |
|15 | | |450 | | |
[pic]
En un diagrama cartesiano como el de la figura adjunta se representarán los puntos (N, Fa/N) , número de experiencias acumuladas, frecuencia relativa:
A pesar de que la ley de estabilidad de las frecuencias relativas es válida sólo cuando n crece indefinidamente, es posible que los alumnos aprecien una cierta regularidad o tendencia hacia el valor asignado a priori, aunque el numero de experiencias de clase sea limitado.
[pic]
Posteriormente, y con la ayuda del ordenador, se mostrará la gráfica resultante para una número de experiencias muy grande:
En las experiencias de azar se puede observar que cuando el número de experiencias es suficientemente elevado, los valores de la frecuencia relativa se estabilizan en torno a un número concreto. A ese es al que llamaremos frecuencia relativa esperada o probabilidad del suceso estudiado.
(3) Repetir el proceso anterior (completar la tabla de frecuencias acumuladas y dibujar la gráfica de frecuencias relativas correspondiente) para los sucesos B: “que salga el 1” y C: “que salga 3,4 ó 5”.
¿Qué número asignarías ahora a P(B) y P(C)?.
RESUMEN: El lanzamiento de un dado es un experimento con probabilidades previsibles de antemano para la mayoría de los alumnos. En la actividad se experimenta volviendo a trabajar la probabilidad en el sentido frecuencial y se comprueba el funcionamiento de la 1ª Ley de los grandes números. Se trata de comprobar como los fenómenos aleatorios, que son imprevisibles aisladamente, se vuelven tremendamente regulares cuando se repiten muchas veces.
MATERIALES: un dado cúbico por pareja.
ORGANIZACIÓN: Trabajo por parejas, recogiendo los resultados en el cuaderno individual.
AMPLIACIÓN:
3. Cuál de las tres afirmaciones siguientes es falsa?
a) La frecuencia relativa de un suceso tiene que ser menor que 1.
b) La frecuencia relativa de un suceso no puede ser menor que 0.
c) La frecuencia relativa del suceso imposible es 0.
ACTIVIDAD nº 4: DISTINTOS TIPOS DE SUCESOS.
SEGUIMOS CON EL JUEGO DE LA OCA:
(1) Lanzar un dado es un ejemplo de experimento aleatorio (es decir, un experimento cuyo resultado no se puede predecir: depende del azar). ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener al lanzar un dado?. Representa estos resultados formando un conjunto: E =( , , … (.
¿Cuántos elementos tiene E ?.
Al conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio lo llamamos espacio muestral y lo representamos con la letra E.
Como el espacio muestral es un conjunto, podemos formar subconjuntos suyos , por ejemplo:
A = “que Luis gane en la 1ª tirada” =(2, 6(.
Escribir los elementos de los subconjuntos de E siguientes:
B = “ que Luis caiga en la casilla de la muerte” =( (
C = “ que le llegue el turno a Amaia” =
D = “ que salga impar”
F = “ que salga mayor que 4 “
E = “ que salga entre 0 y 7”
G = “que salga el 5”.
H = “que salga el 7”
El profesor aprovechará los ejemplos para definir suceso elemental, suceso compuesto, suceso seguro y suceso imposible.
(2) Si el dado no está trucado, ¿qué os parece más probable, que salga el 4 o que salga el 6?. Cuando en un experimento aleatorio todos los resultados posibles son igual de probables, se habla de sucesos elementales equiprobables .
Observar las siguientes cantidades:
P(A) = ; nº de elementos de A = ; nº de elementos de E = .
P(B) = ; nº de elementos de B = ; nº de elementos de E = .
P(C) = ; nº de elementos de C =
¿Existe alguna relación entre ellas?. Teniéndola en cuenta, calcular las probabilidades de los sucesos:
D = “ que salga impar”
G = “que salga el 5”
I = “que salga el 4”
H = “que salga el 7”.
J = “que salga un número primo”
F = “que salga mayor que 4”
K = “que no salga el 5”
L = “que salga menor que 10”
RESUMEN: Es continuación de la actividad anterior. Se introduce alguna terminología como espacio muestral, suceso elemental, suceso seguro, etc. y la notación P(A) y al final se pone al alumno en situación de intuir la Regla de Laplace.
ORGANIZACIÓN: Trabajo individual con la ayuda del profesor.
El profesor, al final de la actividad, puede aprovechar el ejemplo para explicar y enunciar la citada regla de Laplace:
En el lanzamiento de un dado, E=(1,2,3,4,5,6( y se cumple que P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) = 1.
Si el dado es correcto P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6) = [pic] pues [pic] y si A=(2,6(, P(A) = P(2)+P(6)= [pic] .
En general:
1. La probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de sus sucesos elementales.
2. Cuando los N sucesos elementales del espacio muestral son equiprobables, la probabilidad de cada uno es [pic]
3. Si un suceso consta de n sucesos elementales, su probabilidad es [pic]
Es decir:
[pic] (Ley de Laplace).
Además de llegar al enunciado de la Regla, conviene matizar su utilidad para deducir la probabilidad “a priori” de sucesos sin necesidad de realizar los experimentos. Por contra, en muchos experimentos con resultados no equiprobables, la probabilidad se estima “a posteriori” después de repetir muchas pruebas u observaciones (por ejemplo, la probabilidad de curación con un determinado medicamento, la de que llueva en agosto en un lugar señalado, etc.)
AMPLIACIÓN:
4. Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 3 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja? ¿Y la probabilidad de que no sea blanca?
4. Expresa con un porcentaje la probabilidad de que en una jugada de la ruleta (números del 0 al 36) el resultado sea impar.
5. Se extrae una carta de la baraja de 40. Probabilidad de que sea a) de oros b) un rey c) oros o rey d) ni oros ni rey. ¿Qué es más probable que salga un oro o una figura?
6. ¿Cuál es la probabilidad de que el número del “gordo” de Navidad termine en 3?
7. Gorka va a comprar un décimo de Lotería de Navidad y le ofrecen los números 00015, 12345, 88288 y 36726. Rechaza el primero porque le parece difícil que salga un número tan bajo; el segundo porque le parece muy raro que salgan las cinco cifras consecutivas; el tercero porque los capicúas casi nunca salen y elige el cuarto porque le parece el más normal y, por tanto, el que tendrá mayor probabilidad de salir. ¿Te parece correcto su razonamiento?. Justifica tu respuesta.
8. (RETO) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de la matrícula de un coche sea capicúa?. ¿Y el del “gordo” de Navidad?.
ACTIVIDAD nº 5: REGLA DE LAPLACE
JUGANDO A LOS DADOS: Dos hermanos deciden jugarse a los dados quién fregará la vajilla de la cena: lanzarán dos dados y si la diferencia entre ellos es de 0, 1 ó 2 friega uno. Si la diferencia es de 3, 4 ó 5 friega el otro.
(1) ¿Crees que se trata de un sorteo equitativo?. Si tuvieras que participar en él, ¿qué opción preferirías?
|Diferencia de puntos |Recuento |Fa |Fr |
| |0 | | | |
|gana uno |1 | | | |
| |2 | | | |
| |3 | | | |
|gana el otro |4 | | | |
| |5 | | | |
|Total de lanzamientos: |25 | |
(2) Practica con tu pareja el sorteo y anota los resultados en una tabla como la que se adjunta:
Comprueba que todas las frecuencias relativas suman 1.
A la vista de los resultados, ¿confirmas tus primeras opiniones del apartado (1)?
El profesor anotará en la pizarra los resultados de todas las parejas.
(3) Completar la siguiente tabla:
|Suceso |Fa para n |Fr para n |Fa para n |Fr para n |Probabilidad |
| |= 25 |= 25 |= 375 |= 375 |estimada |
|dif. = 0 | | | | | |
|dif. = 1 | | | | | |
|dif. = 2 | | | | | |
|dif. = 3 | | | | | |
|dif. = 4 | | | | | |
|dif. = 5 | | | | | |
|gana el 1º | | | | | |
|gana el 2º | | | | | |
3) Considerando el experimento aleatorio de lanzar dos dados y anotar la diferencia, el espacio muestral será E = (0,1,2,3,4,5(. Comprueba si las probabilidades que has estimado cumplen que P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5) =1.
Las probabilidades de los sucesos A: “que gane el 1º” =(0,1,2( y B: “que gane el 2º” =(3,4,5( ¿cumplen la Ley de Laplace según la cual [pic]?
¿A qué te parece que es debido? ¿Son equiprobables los resultados 0 y 5?. ¿De cuántas formas distintas pueden caer los dos dados para que su diferencia sea 0?. ¿Y para que sea 5?. ¿Encuentras alguna relación entre los números anteriores y las probabilidades estimadas anteriormente?.
| | | | | | | |
| |0 |1 |2 |3 |4 |5 |
| |1 |0 |1 |2 |3 |4 |
| |2 |1 |0 |1 |2 |3 |
| |3 |2 |1 |0 |1 |2 |
| |4 |3 |2 |1 |0 |1 |
| |5 |4 |3 |2 |1 |0 |
(5) Se pueden representar todas las formas posibles de obtener cada diferencia mediante una tabla “de doble entrada”:
Observa que, si los dados no están trucados, la probabilidad de cada una de las 36 parejas de resultados es la misma.
Si se lanzan los dos dados 1000 veces, ¿alrededor de cuántas veces cabe esperar que salga el “seis doble”? ¿Y que la diferencia de los dados sea 5?.
(6) A la vista de la tabla, calcula de nuevo las probabilidades anteriores: P(0), P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(que gane el 1º) y P(que gane el 2º).
El profesor, con la ayuda del ordenador podrá mostrar de nuevo tablas y gráficas en las que se observe la 1ª Ley de los grandes números para las frecuencias relativas de alguno de los sucesos anteriores:
[pic][pic]
Será conveniente recalcar y explicar la necesidad de que los sucesos elementales sean equiprobables para poder aplicar la Regla de Laplace.
También es interesante comentar las diferencias entre las probabilidades o frecuencias relativas esperadas y los resultados reales o frecuencias relativas obtenidas con la práctica. Hay que aprovechar estas diferencias para que los alumnos tomen conciencia del carácter no determinista del azar y de la imposibilidad de predecir los resultados.
Por último, se puede aprovechar el ejemplo para hablar de suceso contrario y recalcar la propiedad que cumple su probabilidad: [pic]
RESUMEN: Se propone a los alumnos las reglas de un juego sencillo para dos personas (basado en el lanzamiento de dos dados) en el que deben elegir ser uno de los dos jugadores. Se trata de que descubran si las reglas dan ventaja a alguno de los jugadores teniendo que asignar probabilidades a sucesos no equiprobables. Tras la experimentación se cuestiona la validez de la Regla de Laplace según el tipo de planteamiento teórico.
ORGANIZACIÓN: Apartado (2) por parejas, el resto individualmente (respondiendo en el cuaderno a las cuestiones).
MATERIALES: dos dados (preferiblemente de distinto color) por pareja..
AMPLIACIÓN:
10. Marta y Jorge han inventado un juego con las siguientes reglas: lanzan dos monedas simultáneamente; si las dos son caras, Marta gana un punto; en caso contrario, gana un punto Jorge. Se repite 20 veces el lanzamiento y gana el que consiga más puntos. ¿Crees que es un juego equitativo? ¿Qué jugador preferirías ser, Jorge o Marta?. Propón alguna pequeña modificación en las reglas para que el juego sea justo. 11La probabilidad de obtener suma 8 al lanzar dos dados es ... a) 1/11 b) 1/36 c) 1/12 = 3/36 d) 5/36. ¿Por qué?
ACTIVIDAD nº 6: DIAGRAMAS DE ÁRBOL. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.
LA TRAVESÍA DEL RÍO.
ORGANIZACIÓN: Juego para dos personas.
[pic]
MATERIALES: Para cada pareja: dos dados, 12 fichas (o papelitos) de un color y 12 de otro color y un tablero (o folio) como este:
REGLAS:
Cada jugador dispone de 12 fichas. Uno de ellos las sitúa en un lado del río y el otro en el lado opuesto. Las fichas se distribuyen en las casillas de la manera que se desee, pudiéndose optar por poner más de una ficha en una casilla y dejar otras en blanco.
Los jugadores van lanzando los dados por turno. Si la suma de los números obtenidos coincide con el número de una casilla en la que hay fichas, una de estas pasa al otro lado del río.
Gana el primero que pasa al otro lado todas sus fichas.
1) Propón una primera estrategia o disposición de las doce fichas que pienses puede ser la mejor para ganar el juego. Después realiza el juego con tu pareja. Cada pareja anotará el número de veces que aparece cada suma en una tabla como la siguiente:
|SUMAS |
Después de esta primera partida es conveniente una puesta en común en la que se comenten las distintas estrategias propuestas y se recojan las distintas conclusiones obtenidas por la clase. Es interesante aprovechar este tipo de situaciones para promover en los alumnos un vocabulario preciso y con sentido.
2) Representar las frecuencias relativas de tu tabla en un diagrama de barras: has de dibujar sobre cada uno de los resultados posibles (representados en el eje horizontal) un rectángulo cuya altura mida tanto como su frecuencia relativa (escala en el eje vertical).
(3) Construye una tabla de doble entrada (similar a la de la actividad anterior) para representar las distintas formas de obtener cada suma.
El profesor representará en la pizarra el mismo espacio muestral utilizando un diagrama de árbol:
[pic]
(4) Utiliza la información anterior para calcular las probabilidades de las distintas sumas: P(1), P(2), ...., P(12).
(5) A partir de ellas dibuja el diagrama de barras correspondiente.
6) Si se realizan 1000 lanzamientos de los dos dados, ¿alrededor de cuántas veces cabe esperar que la suma sea 2?, ¿y 3?, ¿y 7?, ¿y 11?.
El profesor, de nuevo con la ayuda del ordenador, podrá mostrar los histogramas correspondientes a distintos números de lanzamientos y aprovechar para explicar la idea de distribución de probabilidad:
[pic]
RESUMEN: El juego sirve de excusa para seguir trabajando en clase con situaciones aleatorias. Se recurre por primera vez a los diagramas de árbol para representar los distintos sucesos elementales y calcular probabilidades. Finalmente, se introduce gráficamente la idea de distribución de probabilidad.
AMPLIACIÓN:
12. Representa gráficamente las distribuciones de probabilidad correspondientes al lanzamiento de un dado y a la diferencia de dos dados lanzados a la vez.
12. Jugando al Monopoly, caeremos en un hotel del rival si en la próxima tirada nuestros dos dados suman 7,8 o 10. Calcula la probabilidad de que así ocurra.
13. (RETO) Un observador expresó a Galileo su sorpresa al observar que, al jugar con tres dados, la suma 10 aparece con más frecuencia que la suma 9. ¿Por qué ocurre esto?.
ACTIVIDAD nº 7: EXPERIENCIAS COMPUESTAS. SIMULACIÓN.
HIJOS E HIJAS:
Una pareja desea tener dos hijos y especula con las posibilidades de que estos sean chicos o chicas.
(1) Teniendo en cuenta que aproximadamente la mitad de los recién nacidos son varones y la mitad hembras, de 1000 familias de dos hermanos, aproximadamente cuántas cabe esperar que sean de dos chicos? ¿y de dos chicas? ¿y de un chico y una chica?.
Volviendo a la pareja inicial, cuando tengan los dos hijos, estima las siguientes probabilidades:
P(que las dos sean chicas), P(que los dos sean chicos), P(que sean chico y chica). Asegúrate de que las tres probabilidades sumen 1.
(2) Simularemos lo que ocurre con muchas parejas: lanzaremos dos monedas que representarán los dos hijos de la pareja. Las caras se interpretarán como chicas y las cruces como chicos. Repetir el lanzamiento 30 veces anotando los resultados y pedir los de otras parejas hasta completar la siguiente tabla:
| Suceso | |Fa para |Fr para |Fa para |Fr para |Fa para |Fr para |
| |Recuento |n = 30 |n = 30 |n = 60 |n = 60 |n = 120 |n = 120 |
|los tres chicos | | | | | | | |
|2 chicos y 1 chica | | | | | | | |
|1 chico y 2 chicas | | | | | | | |
|las tres chicas | | | | | | | |
3) Dibujar un árbol para representar los distintos casos posibles (teniendo en cuenta el orden).
(4) Si una pareja va a tener 3 hijos, utilizar la regla de Laplace y el diagrama de árbol para obtener las probabilidades de los sucesos siguientes:
A: que los tres sean chicos.
B: que sean 2 chicos y unas chica.
C: que sean 1 chico y dos chicas.
D: que sean las tres chicas.
F: que los tres sean del mismo sexo.
G: que los tres no sean del mismo sexo.
H: que el primer hijo sea varón:
I: que no todos sean varones pero sí el mayor.
J: que el segundo hijo sea varón
(5) a) El suceso G se dice que es el suceso contrario de F pues ocurre cuando y sólo cuando no ocurre F. Se escribe: G = [pic].
¿Encontráis alguna relación entre las probabilidades de F y de [pic] ?.
b) El suceso F se dice que es el suceso unión de A y D pues ocurre cuando ocurre A, o D, o ambos. Se escribe: F = A(D.
¿ Encontráis alguna relación entre las probabilidades de A, D y A(D ?.
Citar algún otro ejemplo de unión de sucesos entre los anteriores.
c) El suceso I se dice que es el suceso intersección de G y H pues ocurre cuando G y H ocurren simultáneamente. Se escribe: I = G(H.
¿Cuál sería el suceso G(H?. ¿Y su probabilidad?. ¿Encuentras alguna relación entre las probabilidades de G, H, G(H y G(H ?.
¿Cómo describiríais el suceso H(J?. Aplica la regla de Laplace para hallar su probabilidad. ¿Encontráis alguna relación entre las probabilidades de los sucesos H, J y H(J?
d) Los sucesos A y D se dicen sucesos incompatibles pues no pueden ocurrir simultáneamente.
¿Cuál será el suceso A(D?. ¿Y su probabilidad?. Citar algún par de sucesos de entre los anteriores que sean incompatibles.
En este apartado de la actividad, el papel del profesor como orientador y ayuda puede ser imprescindible para muchos de los alumnos. En cualquier caso, al final será precisa una explicación más detenida, con más ejemplos y otros recursos como pueden ser los diagramas de Venn.
RESUMEN: En esta ocasión se aprovecha la calculadora (su generador de números aleatorios) para simular nacimientos de tres hermanos. Los alumnos tienen que utilizar diagramas de árbol y la regla de Laplace para calcular probabilidades. Finalmente, se aprovecha la situación para introducir, con ejemplos, las distintas relaciones entre sucesos.
ORGANIZACIÓN: Apartado (1) individualmente, a partir del (2) por parejas.
MATERIALES: Una calculadora científica por pareja.
AMPLIACIÓN:
15. Al lanzar tres monedas, ¿cuál es el suceso contrario de “sacar por lo menos una cara”?. Su probabilidad será: a) 7/8 b) 1/8 c) 3/8 d) 3/4 .
15. (RETO) Lanzamos dos dados. Llamamos A, B y C a los siguientes sucesos: A, la suma de puntos es 6; B, en al menos uno de los dados ha salido el 1; C, En los dos dados el resultado es el mismo.
a) Calcula sus probabilidades.
b) ¿En qué consisten los sucesos A(B, A(B, A(C, B y A(B
c) Calcula las probabilidades de cada uno de los sucesos del apartado anterior.
| |HOMBRES |MUJERES |
|HACEN DEPORTE |56 |127 |
|NO HACEN DEPORTE |144 |173 |
17. En un grupo de 500 personas unos hacen deporte y otros no. Se tiene:
Se elige al azar uno de ellos. Calcula, en forma porcentual, la probabilidad de que a) sea hombre; b) sea mujer; c) haga deporte;
d) sea mujer y haga deporte; e) sea mujer o haga deporte; f) sabiendo que hace deporte, sea mujer.
18. En un pueblo de Navarra el 60 % de los vecinos leen “el Noticias” , el 90 % “el Noticias” o “el Diario” y el 50 % leen los dos. Calcula la probabilidad de que al elegir una persona de ese pueblo lea “el Diario” .
ACTIVIDAD nº 9: REGLA DEL PRODUCTO.
JUGANDO AL BALONCESTO:
Un jugador de baloncesto, que suele encestar el 70 por 100 de sus tiros libres, tiene que lanzar una personal “uno más uno”. Esto implica que sólo si acierta el primer tiro, dispondrá de un segundo lanzamiento. Por tanto, es posible que consiga en la jugada 0 puntos (fallando el primer lanzamiento), 1 (encestando el primero y fallando el segundo) o 2 (acertando los dos intentos).
(1) ¿Qué es más probable que suceda?.
(2) Simularemos el lanzamiento utilizando de nuevo la función RAN de la calculadora:
Nos fijaremos en los dos primeros decimales del número obtenido en pantalla. Si el primer decimal está comprendido entre el 1 y el 7, interpretaremos que ha encestado el primer tiro y si es un 8, 9 o 0, que ha fallado. Análogamente asociaremos el resultado del posible segundo intento al segundo decimal del número. Por ejemplo 0.283 lo interpretaremos como que encesta el primer tiro y falla el segundo.
Repetir 30 veces la simulación, anotar los resultados y representarlos en un diagrama de barras.
El profesor anotará en la pizarra los de toda la clase para que completéis la siguiente tabla:
| Suceso |Recuento |Fa para n|Fr para |Fa para |Fr para |% |
| | |= 30 |n = 30 |n = 450 |n = 450 | |
|logra los 2 puntos | | | | | | |
|logra 1 punto | | | | | | |
|0 puntos | | | | | | |
(3) Contesta a las siguientes cuestiones:
a) ¿Es más probable obtener 0 que 2 puntos?.
b) ¿Es más probable obtener 0 que 1 punto?.
c) ¿Cuál es la probabilidad de fallar el primer lanzamiento?
d) ¿Y la de acertarlo?.
e) ¿Cuál es la probabilidad de conseguir los 2 puntos si ya se ha logrado el primero?.
(4) Vamos a intentar calcular las probabilidades o frecuencias relativas esperadas de cada una de las tres posibilidades: imaginando que el lanzador va a repetir la jugada en 100 ocasiones y dado por hecho que acierta el 70 % de sus tiros, completa el siguiente árbol:
Distribución esperada
de 100 personales:
Por tanto:
P(2) = ...... ; P(1) = ...... ; P(0) = ...... .
(5) Otra forma de representar el problema es escribir las probabilidades sobre el diagrama de árbol en lugar de hacer un reparto proporcional:
¿Cómo se pueden obtener las probabilidades de conseguir 2 puntos y 1 punto a partir de las que aparecen en el diagrama?
La actividad concluirá con una explicación del profesor acerca del sentido de la regla de la multiplicación de probabilidades. Se trata de hacer comprender que una proporción de otra proporción o una fracción de otra fracción es equivalente al producto de las mismas.
RESUMEN: Se presenta una situación de experimentos compuestos independientes con sucesos no equiprobables. En primer lugar, se realiza una simulación (con números aleatorios) para sacar las primeras conclusiones y, posteriormente, se recurre al diagrama de árbol y los repartos proporcionales para la resolución teórica del problema. Todo ello enfocado a poder entender el sentido de la regla de la multiplicación de un modo intuitivo y sin introducir, de momento, la notación formal: P(A(B) = P(A).P(B(A).
ORGANIZACIÓN: Trabajo por parejas.
AMPLIACIÓN:
19. Utilizar la regla del producto para calcular la probabilidad de que en una familia de 3 hijos, los tres sean varones. ¿Cuál será la probabilidad de que al menos haya una chica?.
19. Una de las reglas del parchís consiste en “volver a casa” si sale 6 tres veces consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra?
20. Sacamos dos cartas de la baraja (con reposición). Calcular las probabilidades de que:
a) ambas sean oros, b) ninguna sea oro, c) alguna sea oros.
19. (RETO) Repite el problema anterior pero sin reposición.
20. Calcular la probabilidad de sobrevivir en 4 ocasiones al “juego” de la ruleta rusa (con un revólver de 6 balas).
21. Aprovechar la regla del producto para hallar la probabilidad de superar la “prueba de las cuerdas”.
22. (RETO) ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar n veces dos dados se obtenga al menos un 6 doble?.
ACTIVIDAD nº 10: PROBABILIDAD CONDICIONADA.
APUESTAS EN UN PARTIDO DE PELOTA:
Dos amigos se han apostado 1000 pesetas (cada uno) al ganador de un partido de pelota. Con el marcador en Beloki: 20 - Eugui: 21 , Beloki recibe un pelotazo en el ojo que obliga a suspender el partido.
(1) ¿Cuál te parece que debe ser el reparto más justo de las 2000 pesetas apostadas?. ¿Por qué?.
(2) Imagina que la misma situación se fuera a repetir 1000 veces. Coloca en cada rama del siguiente “árbol” el número de veces que se podría esperar cada resultado (suponiendo a los dos jugadores igual de fuertes):
¿En qué porcentaje de ocasiones sería vencedor Eugui? ¿Y Beloki?.
(3) Estima la probabilidad de que gane Beloki. ¿Cuál consideras entonces el reparto más justo de las 2000 pts.?. ¿Por qué?.
Sería conveniente una puesta en común de las distintas opiniones, pudiendo resolverse teóricamente, o mediante una simulación con (4) fichas, el problema en el supuesto de que en cada tanto es igual de probable que gane uno como el otro pelotari.
(4) Juan, que es quien apostaba por Eugui considera que le corresponden 1500 de las 2000 pts. Pero Sergio no está conforme: admite que hay un 50% de probabilidad de que Eugui ganase 22-20 pero argumenta que en el caso contrario, llegando al empate a 21, Beloki tendría ventaja por corresponderle el saque: en el mismo partido, de 20 tantos en los que ha sacado, ha ganado 16 de ellos y sólo ha perdido 4.
Según el punto de vista de Sergio, ¿Cuál es la probabilidad de que, si Beloki gana el primer tanto, también gane el segundo?.
Si llamamos B1 al suceso “que Beloki gane el primer tanto” y B2 a “que Beloki gane el segundo”, la probabilidad solicitada en la pregunta anterior se representa así: P(B2(B1) y se lee probabilidad del suceso B2 condicionado al suceso B1 . ¿Qué representará P(E2(B1) y cuál será su valor?
Repite de nuevo la distribución de los 1000 hipotéticos finales. ¿Cuál será el reparto justo propuesto por Sergio?. ¿Y la probabilidad de que Beloki gane el partido?.
Podría hacerse, en lugar de la distribución de los 1000 hipotéticos casos, una simulación con (10 o 20) fichas.
(5) Completa el diagrama siguiente poniendo el valor de las distintas probabilidades:
[pic]
¿Funciona en este problema la regla del producto?. Intenta formularla:
P(B1(B2) = P( ).P( ) ; P(B1(E2) = P( ).P( ) .
RESUMEN: Las apuestas y los repartos justos son un contexto adecuado para un planteamiento probabilístico. Inicialmente se insiste en recurrir a los diagramas de árbol utilizando en ellos repartos proporcionales en lugar de las propias probabilidades. Y posteriormente se introduce la probabilidad condicionada y se aprovecha el ejemplo para que los propios alumnos formulen la regla del producto. (Todo ello en una situación de experimentos compuestos dependientes).
ORGANIZACIÓN: Trabajo en el cuaderno individual.
AMPLIACIÓN:
26. ¿Cómo se podría utilizar la calculadora (su función RAN ) para simular el final del partido? Hazlo 20 veces y anota los resultados. Calcula la frecuencia relativa de que gane Beloki.
26. (RETO) Con el partido en empate a 20 y Eugui en posesión del saque, calcular la probabilidad de que gane Beloki si se estima que cada uno de los pelotaris gana el 80% de los tantos en los que saca.
[pic]
27. ¿Cómo se podría utilizar la calculadora para simular el final del partido en éstas nuevas circunstancias? Hazlo 20 veces y anota los resultados. Calcula la frecuencia relativa de que gane Beloki.
28. La princesa de cierto país medieval quería casarse con un poeta sin fortuna en contra de la opinión de sus padres. Finalmente el rey le hizo la siguiente propuesta: “Para casarse contigo, el poeta deberá penetrar en un laberinto que termina en dos habitaciones A y B; en una de ellas habrá un tigre hambriento, en la otra le esperarás tú para casaros”. ¿En cuál de las dos habitaciones debe colocarse la princesa?
Prueba “introduciendo 18 poetas” (o fichas).
29. En una clase hay 12 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos alumnos de clase. Calcular la probabilidad de que:
a) los dos sean chicos, b) las dos sean chicas, c) sean un chico y una chica.
26. Para el próximo examen de cierta asignatura entran 10 temas de los que sólo te sabes 6. En el examen tendrás que contestar a dos temas. Calcula la probabilidad de que: a) te sepas los dos temas; b) no te sepas ninguno de los dos; c) te sepas sólo uno de los dos.
ACTIVIDAD nº 11: NÚMEROS ALEATORIOS. ESPERANZA EN UN JUEGO.
EL JUEGO DE LA RULETA:
Inocencio ha ideado un plan para vivir sin trabajar: ahorró 150.000 pts. y se ha trasladado a vivir a Biarritz donde se propone ganar cada noche 10.000 pts. en el Casino con las que poder pasar el día siguiente. Para ello jugará a la ruleta siempre a “PASA” (números del 19 al 36) con la siguiente estrategia:
En la primera apuesta juega 10.000 pts. Si gana se retira, y si pierde (por que ha salido un número del 0 al 18) apuesta por segunda vez, pero ahora 20.000 pts. Ganando se retira y si pierde de nuevo, tendrá que jugarse 40.000 pts. en la tercera apuesta. Si gana se retira, y si pierde le queda la cuarta y última oportunidad donde se jugará 80.000 pts. (Ganando tendría, como siempre, un beneficio final de 10.000 pts. = 80.000 - 40.000 - 20.000 - 10.000).
Inocencio cree que perder cuatro tiradas consecutivas jugando a “PASA” en la ruleta es algo casi imposible, de lo que deduce que podrá ganar 10.000 pesetas diarias hasta aburrirse.
[pic]
Antes de que los alumnos empiecen a desarrollar la actividad, el profesor podrá extenderse tanto como lo estime conveniente acerca del juego de la Ruleta: su origen, funcionamiento, diferentes tipos de apuestas y premios, etc. Incluso se puede llevar a clase una ruleta y un tablero de juguete (son relativamente sencillos de conseguir).
(1) ¿Qué te parece el plan de Inocencio?. ¿Crees que tendrá éxito o detectas alguna pega?
Para la simulación, el profesor repartirá una tabla de números aleatorios, preferiblemente diferente, para cada pareja. (Con el ordenador es algo muy fácil de obtener: ver una al final de la actividad).
(2) Idear y describir un método para, utilizando la tabla de números aleatorios, simular lo que le ocurrirá a Inocencio en la ruleta durante varias noches consecutivas.
Será conveniente una puesta en común para que cada pareja exponga a la clase qué método ha elegido, pudiendo, de esa manera, corregir las estrategias erróneas y enriquecer la visión de los alumnos.
(3) Realizar la simulación de lo que le ocurre a nuestro amigo en sus 20 primeras noches de juego, anotando los resultados. (Cada noche o bien sale del casino ganando 10.000 pts. y vuelve al día siguiente, o bien pierde las 150.000 y se queda sin ahorros).
Calcular cuánto ha perdido (o ganado) la Banca con Inocencio al final de estos 20 días.
Cuando todas las parejas hayan completado la simulación se pueden recoger los resultados y las conclusiones a las que ha llegado la clase. ¿En cuántas parejas el jugador “ha sobrevivido” las 20 noches?, ¿cuál seria el balance total de la banca imaginando que ha sido un jugador por cada pareja quien ha probado suerte?.
(4) Calcular y expresar en forma de porcentaje las probabilidades de los siguientes sucesos :
a) Que en una tirada de la ruleta salga “PASA”.
b) Que Inocencio gane 10.000 pts. en una noche. (Resultará más fácil si calculáis antes la probabilidad de lo contrario: que pierda cuatro apuestas consecutivas).
c) Que gane las 10.000 diarias durante los 8 primero días. (Utilizar la calculadora).
d) Que “sobreviva” 20 días.
(5) Se llama esperanza en un juego al producto de la probabilidad de ganar por el premio que se recibirá en el caso de ganar. Un juego es equitativo cuando las esperanzas son iguales para todos los jugadores.
Calcular la esperanza del jugador y de la banca en cada una de los juegos siguientes en la ruleta:
1. Una apuesta de 10.000 pts. a “PASA”.
2. Una apuesta de 1.000 pts. al número 13.
3. Una noche siguiendo la estrategia de Inocencio.
¿Son equitativos estos juegos?, ¿a quién benefician?.
RESUMEN: El famoso juego de la ruleta es adecuado para actividades que pueden ser de un grado de complejidad muy variado. Nos sirve de excusa para introducir las tablas de números aleatorios como recurso para realizar simulaciones con mayor rapidez. Como en alguna ocasión anterior, se les sugiere utilizar la propiedad [pic] para el cálculo de alguna probabilidad. Finalmente, se explica cómo conocer si un juego es equitativo.
ORGANIZACIÓN Y MATERIAL: Por parejas: una tabla de números aleatorios para cada una.
AMPLIACIÓN:
32. Un jugador apuesta en la misma jugada a la ruleta 500 pts. a “PASA” y otras 500 a la 3ª columna (la docena de números múltiplos de 3). ¿Qué probabilidad tiene de perder las 1000 pts.?. ¿Cuánto gana si sale el número 24?. ¿Y si sale el 15?. Calcular su esperanza y la de la banca en el mismo juego.
32. Kepa y Nerea practican un juego con dos dados: si sale “doble”, Nerea gana 10 puntos; si no sale “doble” ¿cuántos puntos debe ganar Kepa para que el juego sea equitativo?.
33. (RETO) Averigua el precio y los distintos premios que es posible obtener con un décimo de la Lotería de Navidad. Calcula la esperanza en el juego de alguien que compra un décimo y del organismo recaudador.
— Utiliza la tabla de números aleatorios para hacer simulaciones que te permitan aproximarte a la solución de los siguientes problemas (describe cómo la has utilizado y explica a qué conclusión llegas):
35. Cada bollycao trae un cromo de una Spice Girl. ¿Cuántos bollycaos habrá que comprar para conseguir la colección completa de 5 fotos?.
35. ¿Cuántas ocasiones por término medio sobrevive un jugador a la ruleta rusa?
36. (RETO) ¿Cuál es la probabilidad de que en una clase de 25 alumnos coincidan dos cumpleaños?.
37. (RETO) En una pastelería donde están preparando guindas en almíbar un empleado, por despiste, echa tres guindas de plástico en alguno de los botes que están abiertos sobre la mesa. Si en ese momento hay allí cinco botes, ¿cuál es la probabilidad de encontrar una o más guindas de plástico en uno de los cinco botes, tomado al azar?
ACTIVIDAD nº 12: SUMA Y PRODUCTO DE PROBABILIDADES.
[pic]
EL RATÓN:
Los números indican la probabilidad que tiene el ratón de tomar cada camino, una vez situado en la bifurcación previa, debido a las dificultades del mismo. ¿Cuántos ratones conseguirán saciar su apetito?
(1) Imagina 300 ratones que se enfrentan a la misma situación. Escribe sobre cada tramo el número de ratones que se puede esperar que lo recorran. Al final, ¿cuántos se salvan del cepo?.
(2) Calcula y pon en forma de fracción irreducible las probabilidades de los siguientes sucesos:
A: Que el ratón llegue al queso de arriba.
B: Que el ratón llegue al queso de abajo.
C: Que el ratón llegue a algún queso.
(3) ¿Hay alguna relación entre las probabilidades anteriores?. ¿Y entre ellas y las que aparecen en el dibujo?.
RESUMEN: Se insiste en el cálculo de probabilidades de manera intuitiva: utilizando en diagramas de árbol repartos proporcionales en lugar de las propias probabilidades. Al final, aparece en los cálculos la suma de dos productos: algo habitual en muchos problemas de probabilidad. Un suceso que puede ocurrir de varias maneras se expresa como unión de sucesos incompatibles, lo que se traduce en una suma de probabilidades. Por otra parte, si un suceso es compuesto, se expresa como intersección de otros, lo que equivale a un producto de probabilidades.
Es decir que se aplica el Teorema de la Probabilidad Total pero sin necesidad de enunciarlo ni formularlo.
ORGANIZACIÓN: Trabajo individual.
AMPLIACIÓN:
39. En Estella se sabe que si hoy hace sol, la probabilidad de que mañana también lo haga es 4/5. Pero si hoy está nublado, la probabilidad de que mañana lo siga estando es 2/3. Si hoy es viernes y hace sol, ¿cuál es la probabilidad de que el domingo también haga sol?
39. (RETO) Una bolsa contiene 6 bolas negras y 4 blancas. Extraemos tres bolas. Hallar la probabilidad de que las tres sean del mismo color.
40. (RETO) Se cuenta que un rey, harto de su caballo, decide venderlo. La princesa se ha encariñado del animal y pide a su padre que se lo regale. El rey, ante la insistencia de su hija, resuelve concederle una oportunidad. Ella puede repartir dos bolas blancas y dos negras en dos urnas y, eligiendo al azar una de las urnas, se quedará con el caballo si extrae bola blanca.
¿Cómo debe repartir la princesa las bolas para tener la máxima probabilidad de quedarse con el caballo?
ACTIVIDAD nº 13: TABLAS DE CONTINGENCIA.
CONTROL DE CALIDAD:
La empresa “SILENCIOSOS S.A.” se dedica a la fabricación de tubos de escape para automóviles. Por los controles de calidad que la misma empresa lleva a cabo se puede concluir diciendo que aproximadamente el 5% de los tubos de escape producidos son defectuosos. En el laboratorio de control de calidad hay instalado un dispositivo que detecta el 90% de los tubos incorrectos, pero también califica como defectuosos el 2% de los correctos. El gerente de la empresa está interesado en conocer las probabilidades siguientes:
1. Probabilidad de que sea correcto un tubo calificado como defectuoso por el dispositivo.
2. Probabilidad de que sea defectuoso un tubo calificado por el dispositivo como correcto.
(1) ¿Qué respuesta le darías al gerente si te pidiera tu opinión inmediata?
(2) Teniendo en cuenta los datos anteriores, completar la tabla siguiente, donde se recoge la distribución esperada para 10000 tubos fabricados por SILENCIOSOS S.A.:
| |Tubos calificados como |Tubos calificados como |Total |
| |defectuosos (C) |no defectuosos ([pic]) | |
|Tubos defectuosos (D) | | | |
|Tubos no defectuosos | | | |
|([pic]) | | | |
|Total | | |10.000 |
(3) A la vista de los datos de la tabla, calcula la probabilidad de los sucesos siguientes:
D: que un tubo sea defectuoso.
[pic]: que un tubo no sea defectuoso.
C: que un tubo sea calificado como defectuoso.
[pic] : que un tubo sea calificado como correcto.
D(C: que un tubo sea defectuoso y sea calificado como defectuoso.
[pic](C: que ….
D ([pic]: que ….
(4) ¿Qué representará P([pic](C)?. Calcula su valor y exprésalo como un porcentaje.
¿Encuentras alguna relación entre el valor de P([pic](C) y las probabilidades calculadas en (3)?.
El profesor podrá explicar o resolver este apartado para los alumnos con mayores dificultades, dejando para que resuelvan ellos el siguiente que es análogo.
(5) Calcula P(D(C) y P(D([pic]). ¿A cuál de las cuestiones formuladas por el gerente dará respuesta cuál de estas probabilidades?.
¿Sabrías ponerla en función de algunas de las probabilidades calculadas en el apartado (3)?
(6) Planteemos el problema mediante un diagrama de árbol. Completa las cantidades que corresponderían a cada rama:
[pic]
A la vista del árbol, responde a las siguientes cuestiones comprobando que no contradicen las conclusiones anteriores:
4. ¿Cuántos de los 10000 tubos son calificados como defectuosos?.
5. ¿Cuántos de ellos son en realidad correctos?.
6. ¿Cuál es el valor de P(C)?. ¿Y de P(D(C)?. ¿Y de P(D(C)?.
(6) Otra forma parecida de representar el problema es escribiendo las probabilidades de cada rama del árbol. Complétalo:
[pic]
(Ayuda: Cada una de las probabilidades condicionadas se deduce casi inmediatamente a partir de los datos del enunciado del problema. Por ejemplo, P(C(D) sería la probabilidad de que un tubo realmente defectuoso no sea calificado como tal, es decir el 10% = 0’1).
(7) Pon en función de las seis probabilidades que aparecen en el árbol cada una de las siguientes (que ya has calculado anteriormente):
P(D(C) =
P(D([pic]) =
P(D(C) =
P(C) =
P(C) =
P(D(C) =
P(D(C) =
P(D(C) =
RESUMEN: Se conduce a los alumnos al uso de tablas de contingencia y de diagramas para resolver de una manera intuitiva, una situación típica de Bayes. Lógicamente se trabaja con la probabilidad condicionada. En el último apartado se intenta que el alumno llegue, aprovechando los ejemplos y de una manera intuitiva, a formular los teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes.
ORGANIZACIÓN: Los alumnos trabajarán individualmente.
AMPLIACIÓN:
42. En cierto país donde existe una enfermedad endémica, se sabe que el 12% de la población padece dicha enfermedad. Se dispone de una prueba para detectarla, pero no es totalmente fiable, ya que da positivo en sólo el 90% de los casos de personas realmente enfermas y también da positivo en el 5% de las personas sanas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que la prueba le ha dado positivo?
43. En una empresa trabajan 150 hombres y 50 mujeres. Alguien ha estado fumando en la zona de descanso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido una mujer si estimamos que fuman el 30% de los hombres y el 50% de las mujeres?. (Haz una tabla de contingencia)
42. (RETO) A una reunión asisten 300 personas de las que 100 son vizcaínos, 60 guipuzcoanos y el resto navarros. Alguien está hablando en euskera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un navarro sabiendo que hablan vasco el 30% de los vizcaínos, el 60% de los guipuzcoanos y el 20% de los navarros?
-----------------------
LOS EXPERIMENTOS
aunque se repitan en idénticas condiciones
PUEDEN SER
DETERMINISTAS
ALETORIOS
S0 ( S1 ( S2 …. ( R
( R1
( R2 ESPACIO
S0 ( … ( R3 MUESTRAL
……
( Rn
6
5
4
3
2
1
1 --------- (1,1)
6 --------- (6,6)
6 --------- (1,6)
5 --------- (1,5)
4 --------- (1,4)
3 --------- (1,3)
2 --------- (1,2)
111
V
H
V
V
VV
VH
HV
H
HH
H
De 100 veces …
SEGUNDO TIRO
PRIMER TIRO
…... veces
…... veces
ACIERTO
FALLO
ACIERTO
FALLO
: 2 PUNTOS, ….. % de las 100 veces
: 1 PUNTO, ..... % de las 100 veces
: 0 PUNTOS, ..... % de las 100 veces
30 % de ….. =..... veces
70 % de..... =..... veces
SEGUNDO TIRO
PRIMER TIRO
0’7
ACIERTO
: 2 PUNTOS
0’7
ACIERTO
0’3
FALLO
: 1 PUNTO
0’3
FALLO
: 0 PUNTOS
22-20
Eugui gana
22-21
21-20
Eugui gana
21-21
21-22
Beloki gana
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
B
P(A)
P(a/A)
P(B)
A
P(b/A)
P(a/B)
P(b/B)
a
b
a
b
P(A ∩ a) = P(A).P(a/A)
P(A ∩ b) = P(A).P(b/A)
P(B ∩ a) = P(B).P(a/B)
P(B ∩ a) = P(B).P(b/B)
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