Análise Combinatória - Professor Camilo



Análise Combinatória

Um motivo tão mundano quanto os jogos de azar é que acabou levando ao desenvolvimento da Análise Combinatória. A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos métodos de contagem. Grandes matemáticos se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.

A Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção, sob certas circunstâncias, de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto.

Dois conceitos são fundamentais para a análise combinatória: Fatorial de um número e o Princípio Fundamental da Contagem (árvore de possibilidades).

Os três tipos principais de agrupamentos são as Permutações, os Arranjos e as Combinações. Estes agrupamentos podem ser simples, com repetição ou circulares.

Princípio fundamental da contagem - PFC

 

Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por n etapas, é dado por:

T = k1. k2.k3....kn

Exemplo1 O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados e 3 tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções:

monitores teclados CPU

3 x 4 x 3 = 36 Então, têm-se 36 possibilidades de configurações diferentes.

Exemplo2 ( FGV - SP ) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido ? a)90 b)100 c)110 d)130 e)120

Saladas carne bebidas sobremesas

2 x 4 x 5 x 3 = 120

Árvore das possibilidades: digrama que tem por objetivo visualizar as diversas opções da contagem de um acontecimento, é um método direto de contagem

Exemplo1: Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne,. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido ?

Escolha da salada Escolha da Carne

Exemplo 2 João e Paulo disputam entre si um campeonato de xadrez com as seguintes regras:

I - vence a disputa quem ganhar duas partidas seguidas ou três em qualquer ordem.

II - em caso de empate, o vencedor será declarado através sorteio.

O número de resultados possíveis nesta competição é:

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 15

Solução:

Seja J a vitória de João e P a vitória de Paulo. Verificamos que são dez os resultados possíveis.

Os três tipos principais de agrupamentos

1-Arranjos simples :Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posição dos seus elementos(a ordem que os elementos ocupam dentro do grupo tem importância ). Perceba que, se quisermos formar centenas de algarismos distintos, utilizando apenas os 5 primeiros números ímpares (1; 3. 5;7; 9) teremos as seguintes centenas:135; 137;139; 153, 157, e assim sucessivamente.

Se invertermos a posição dos elementos de qualquer uma destas centenas conseguiremos outra centena diferente: 135 ≠ 351. Temos então um ARRANJO de 5 números (1; 3;5;7;9) em grupos de três (centenas).

 

Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:

 

[pic]

 

Resolvendo o problema das centenas temos: A5,3 = 5!/(5-3)!

A5,3 = 5!/2! A5,3 = 5.4.3.2!/2! A5,3 = 5.4.3 = 60

Logo, utilizando apenas os cinco primeiros números impares, podemos formar 60 centenas de algarismos diferentes.

2-Permutação Simples: É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de

agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.

Exemplo 1 Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Exemplo2 Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum. Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. Calcule o número de anagramas da palavra MUNDIAL.

 

A Palavra MUNDIAL tem 7 letras então o seu anagrama é: P7 = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

2-1 Permutação com elementos repetidos

[pic] a, b, c,... etc representam a quantidade de repetição de uma letra

Exemplo1 Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA? Neste problema temos n = 5 (cinco letras) e a = 2 (a letra A se repete duas vezes)

P = 5!/2! = 5.4.3 = 60

Exemplo2: Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA. (não considere o acento)

Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo P o número de anagramas, podemos escrever:

P= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 Resposta: 151200 anagramas.

Exemplo3 Quantos são os anagramas da palavra CANDIDATA ?

Solução : Já sabemos que um anagrama corresponde a uma permutação das letras da palavra. CANDIDATA- 9 letras, sendo 3 A, 2 D, 1 C, 1 N, 1 I , 1 T

O número de anagramas é : P9 3 , 2 = [pic]= [pic]= 30.240

Exemplo4. Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA?   Neste problema temos n = 5 (cinco letras), a = 2 (a letra R se repete duas vezes) e b = 3 (a letra A se repete três vezes). P = 5!/(3!.2!) = 5.4.3!/(3!.2) = 10

3 - Combinações simples : 

Temos uma combinação quando os agrupamentos conseguidos permanecem iguais ao se inverter a posição dos seus elementos(a ordem em que os elementos ocupam no grupo não tem importância).

Perceba que se houver cinco pessoas(João, Pedro, Luís, Gilberto e Ana) , entre as quais desejamos formar grupos de três, o grupo formado por João, Pedro e Luís é o mesmo grupo formado por Luís, Pedro e João. Temos, então, uma combinação de cinco elementos em grupos de três.

 

Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k  (taxa k) , temos a seguinte fórmula:

 

| |

 

Resolvendo o problema dos grupos de 5 pessoas para escolher 3, temos: C5,3 = 5!/[(5-3)!.3!] => C5,3 = 5!/[(2!.3!]

C5,3 = 5.4.3!/[2.3!] C5,3 = 20/2 = 10 Podem ser formados 10 grupos

Exemplo2:Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?

Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. 

C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003 formas diferentes.

 

Exemplo3. Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?

C7,3 = 7! / [(7-3)! . 3!] = 7! / (4! . 3!) = 7.6.5.4! / 4!.3.2.1 = 35

 

Exemplo4. Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantas retas podem ser construídas passando por estes 9 pontos? C9,2 = 9! / [(9-2)! . 2!] = 9! / (7! . 2!) = 9.8.7! / 7!.2.1 = 36 retas

Exercícios técnica de agrupamento

Grupo das Permutações

1- Seja um conjunto com 10 cientistas. De quantos modos distintos estes cientistas podem sentar-se junto a uma mesa circular para realizar uma experiência sem que haja repetição das posições? a) 456749 b) 2348695 c)362880

2- Quantos são os anagramas da palavra CANDIDATA? a)30240 b)35678 c)23.8345

3- Quantos anagramas podemos fazer com a palavra ASTRIDE, que:

a) começam com vogal; b)T e R aparecem juntas nessa ordem; c) começam com DE

4) Considere os números obtidos do número 2341 efetuando-se todas as permutações de seus

algarismos. Quantos números maiores que 2000 podemos escrever?

5) Considere os números obtidos do número 302403 efetuando-se todas as permutações

de seus algarismos. Quantos números distintos podemos escrever?

Grupo dos arranjos

1-O quadrangular final de um torneio de Vôlei é disputado por 4 seleções:Brasil, Canadá, Cuba e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados(1º,2º e 3º) a)12 b)24 c)16 d) 8 e) 16

2- Considere os números obtidos do número 2,3,4,1; Quantos números de 3 algarismos

distintos podemos escrever; Quantos desses números são maiores que 200?

3- Com oito pessoas que sabem dirigir, de quantas maneiras distintas conseguimos

colocar 5 delas em um fusca?

Grupo das combinações

1-Num colégio, há 5 bons esportistas. O prof. De Educação física vai escolher 2 de deles para

representar a escola. Quantas são as possibilidades dessa escolha. a)10 b) 20 c) 15

2- Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? a)21 b)35 c)40

3-Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantas retas podem ser construídas passando por estes 9 pontos?a)36 b) 18 c)29 d)40

4- Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? a) 3450 b) 3003 c)3045

5- Quantas são as diagonais de um decágono

6- São dados 8 pontos em um plano, dos quais não existem mais do que 2 que estão alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados .

7-Uma organização dispõe de 8 economistas e 5 engenheiros. De quantos modos podemos formar uma comissão com 7 membros, sendo 3 economista e 4 engenheiros?

Exercícios

1. ( ITA - SP ) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ? a)60 b)120 c)240 d)40 e)80

2- Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos ? a)52 b)86 c)24 d)32 e)48

3) Num colégio, há 5 bons esportistas. O prof. De Educação física vai escolher 2 de deles para

representar a escola. Quantas são as possibilidades dessa escolha.

a) 10 b) 20 c) 15 d) 7

4) O quadrangular final de um torneio de Vôlei é disputado por 4 seleções:Brasil, Canadá, Cuba e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados(1º,2º e 3º) a)12 b)24 c)16 d) 8 e) 16

Atividade para avaliação técnica de contagem

1-Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5 e 9 ?

2- Há 4 meios de transportes entre as cidades A e B e três meios de transportes entre B e C. Calcule o n° de modos de fazer o percurso de A até C , passando por B.

3-O vagão de um trem possui 7 portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode entrar no trem e sair dele por uma porta diferente da que entrou ?

4- Numa festa há 7 moças e 5 rapazes. Quantos casais podem ser formados?

5-Um artista tem 3 cartolas, 4casacos e 2 bengalas, todos diferentes.Quantas apresentações ele pode fazer sem repetir as três mesmas peças.

6- Quantos são os anagramas da palavra “PATO”, escreva 6 desses anagramas

7-Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual o número de seqüências possíveis de cara e coroa?

8- Com 4 pontos distintos num plano, não tendo mais do que dois numa mesma reta, quantas retas podemos traçar por esses 4 pontos

9-Com 4 pontos distintos num plano, não tendo mais do que dois numa mesma reta, quantos triângulos podemos traçar por esses 4 pontos

10-Uma determinada viagem pode ser feita de avião, ônibus, navio ou trem. De quantos modos pode-se escolher o meio de transporte se não for usado na volta o mesmos meio de transporte da ida ?

11- Deseja-se pintar uma bandeira, com 3 faixas verticais, dispondo de 3 corres, sem que se tenha 2 faixas consecutivas da mesma cor. De quantas maneiras isto é possível.

12- Um torneio de Vôlei é disputado por 4 seleções:Brasil,Canadá,Cuba e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados(1º,2º e 3º).

13-Um restaurante oferece no cardápio 2 tipos pratos de entrada e 4 tipos de saladas. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode fazer o seu pedido, contendo um prato de entrada e um tipo de salada?

14- Numa urna estão 4 bolas de cores diferentes.Uma pessoa deve retirar duas dessas bolas, uma após a outra, sem reposição. De quantas formas diferentes isso é possível?

14- Quantas são as diagonais de um Quadrado

Exercício 1

1-Em uma biblioteca existem 5 portas. Calcule o n° de modos que uma pessoa pode entrar e sair dessa biblioteca, por porta diferente da que entrou?

2- Quantos n° ímpares de 2 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,

3- Quantas são as diagonais de um pentágono

4- Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 3 paletós e 2 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos ?

Exercicio2

1-Em uma biblioteca existem 6 portas. Calcule o n° de modos que uma pessoa pode entrar e sair dessa biblioteca, por porta diferente da que entrou?

2- Quantos n° ímpares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,

3-Numa urna estão 4 bolas de cores diferentes.Uma pessoa deve retirar duas dessas bolas,

uma após a outra, sem reposição. De quantas formas diferentes isso é possível?

4-Com 4 pontos distintos num plano, não tendo mais do que dois numa mesma reta,

quantos triângulos podemos traçar por esses 4 pontos

5- Um torneio de Vôlei é disputado por 5 seleções:Brasil,Canadá, Chile,Cuba e EUA. De

quantas maneiras distintas podemos ter os dois primeiros colocados(1º,2º)

6- Quantos são os anagramas da palavra “GATO

7- Há 4 meios de transportes entre as cidades A e B e três meios de transportes entre B e C.

Calcule o n° de modos de fazer o percurso de A até C , passando por B.

8 Quantas peças tem um jogo de dominó comum 0 a 6)

9- Numa confeitaria há 5 sabores de picolés e 3 tipos de salgados. Supondo que Maria só tenha permissão para chupar um picolé e comer um salgado. Quantas são os possíveis pedidos que Maria possa fazer .

10- Se quantas formas diferentes podemos dispor numa fila 4 bolas; Uma vermelha ,uma verde , uma branca e uma azul.

04. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 

1. PAIVA, Manoel. MATEMÁTICA , vol. único. Editora Moderna,

2.

3.

4.

5.

6. Matemática CIÊNCIAS e Aplicações, vol 2 Editora Atual Iezzi,Gelson

Exercícios de arranjo e combinação para o 2A e 2C

Entregar na quarta-feira 16/09 02 alunos * usar as fórmulas

1. ( ITA - SP ) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ? a)60 b)120 c)240 d)40 e)80

2- Um torneio de Vôlei é disputado por 5 seleções:Brasil,Canadá, Chile,Cuba e EUA.

de quantas maneiras distintas podemos ter os dois primeiros colocados(1º,2º)

3) Num colégio, há 5 bons esportistas. O prof. De Educação física vai escolher 2 de deles para

representar a escola. Quantas são as possibilidades dessa escolha.

a) 10 b) 20 c) 15 d) 7

4-- Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? a)21 b)35 c)40

5-Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantas retas podem ser construídas passando por estes 9 pontos?

a)36 b) 18 c)29 d)40

6- Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? a) 3450 b) 3003 c)3045

7- Quantas são as diagonais de um decágono

8- São dados 8 pontos em um plano, dos quais não existem mais do que 2 que estão alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados .

9-Uma organização dispõe de 8 economistas e 5 engenheiros. De quantos modos podemos formar uma comissão com 7 membros, sendo 3 economista e 4 engenheiros?

10- Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 0, 1, 3, 5, 6, e 9

11-Com 7 pessoas que sabem dirigir, de quantas maneiras distintas conseguimos colocar

4 delas em um veículo ?

12-Com um grupo de 7 homens e 5mulheres, quantas comissões de 5 pessoas

podemos formar se em cada uma deve haver 2 homens e 3 mulheres?

13- Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2,3,6,7,9, de modo que sejam pares

14- Considere os números obtidos do número 2,3,4,5,1; Quantos números de 3

algarismos distintos, maiores que 300 podemos escrever ? 15- A senha de um cartão é formada por duas letras distintas acompanhadas de 3

números distintos. Quantas senhas podem ser formadas com 10 letras e 7números ?

16--Sobre uma circunferência são marcados 7 pontos distintos. Quantas retas podem ser

construídas passando por dois desses 7 pontos?

17- Num galpão estão 8 lâmpadas, apenas 3 devem ficar acesas. Quantos grupos

diferentes de 3 lâmpadas acesas podemos ter?

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peixe

Salada de alface

8 possibilidades diferentes

franco

carne cozida

Salada de tomate

Lingüiça

[pic]

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