Informatika Unindra



BAB 1INTEGRAL TAK TENTUDefinisi Integral Jika f (x) adalahsebuahfungsi, dimanaturunandari f(x): f’(x)=f(x)f’(x)=f(x)d f(x)dx=f(x)Maka f(x) disebut anti turunanatau integral tidaktentudari f(x) ditulisfxdx.Rumus-rumusdasar integrald (fx)dx dx=fx+cxrdx=1r+1xr+1+c(u+v)dx= u dx+ v dxxudu=1m+1um+1+c , m ≠ -1au dx= au dx , a = konstanta1u du = |n|u|+caudu=au|na +c , a > 0 dan a ≠ 1eudu= eu+cdua2+u2 =arcsinua+cduuu2+a2 =1aarcsec ua+cdua2+u2 =1aarctan ua+cdua2+u2 =12ain [ a+ua-u]+cduu2+a2 =12ain [ u-au+a]+cduu2+a2 =in u+u2+a2+cduu2+a2 =in u+u2+a2+ca2-u2 du=12u a2-u2+12a2 arcsinua+cu2+a2 du=12u u2+a2+12a2 in u+u2+a2+cu2-a2 du=12u u2-a2-12a2 in |u+u2-a2|+cContoh soal :3x7-4x5+5x3-6xdx= 38x8-23x6+54x2+cx2+5dx= x2dx+ 5dx=13x3+c, +5x+c=13x3+5x+c1x3 dx = x-3=1-2x-2+c(x-3)2dx= (x2-6x+9)dx= x2dx-6xdx+9dx= 13x3-3x2+9x+c2x(x2-1x)dx= (2x3-2)dx= 12x4-2x+cx3-5x2+6x2 dx=(x-5+6 x-2)dx= 12x4-2x+cdx1-x2= arcsinx+cdx1+x2= arctanx+cdxxx2-1=arc sec x + cdx4x2+9=16 arctan2x3+cdxx2-1=12in [ x-1x+1]+cdx1-x2=12in [ 1+x1-x]+cdx4x2+9= 12 in 2x+ 4x2+9+cdxx2-1= in [ x+x2-1]+c25-x2 dx=12x 25-x2+ 252 arcsinx5+cx2-36 dx= 12x x2-36-18 in [ x+x2-36]+c BAB 2INTEGRAL TRIGONOMETRI2.1 Rumus – rumusdasarsinu du= -cosu+csinu du= sinu+ctan u du= in [ secu]+ccot u du= in [ sinu]+csec u du= in [ secu+tanu]+ccosec u du= in [ cosecu+cotu]+csec2u du=tanu+ccosec2u du=-cotu+ccosec utanu du=secu+ccosec ucotu du=-cosecu+c2.2 HubunganDalamTrigometrisin2x+cos2x=11+tan2x=sec2x1+cot2x=cosec2xsin2x=12 (1-cos2x)cos2x=12 (1+cos2x)sinxcosx=12sin2xsinxcosy=12(sinx-y+sinx+y)sinxsiny=12(cosx-y+cosx+y)cosxcosy=12(cosx-y+cosx+y1-cosx=2 sin212x1+cosx=2 cos212x1 ±sinx=1 ±cos (12x-x)tanx=sinxcosxcotx=cosxsinxsecx=1cosxcosec x=1sinxContoh soal :sin 12 x dx= 2sin 12 x-12 dx=-2cos12 x+ccos 3x dx= 13cos 3x-3.dx=13sin 3x+ctan 2x dx= 12tan 2x.2=12in [ sec2x]+csin x+cos xdx= sin x dx+cos x dx=-cosx+sinx+c2cosx+3 sin xdx= 2 cos x dx-3 sin x dx= 2sinx+3 cos x+c2 sec2x-2 tan x.secxdx= 2 sec2x dx-5 tan sec x dx =2sinx+3 cos x+c = 2 tan x – 5 sec x + ccos 2 x-πdx= 12sin2x-π+c2 sec2 5x dx= 2 sec2 5x dx=2 (15tan5x+c)=25tan5x+ccosec22x+14πdx= -12cot2x+14π+c5 tan 3x.sec(3x)= 5tan 3x.sec (3x) =5 (13sec3x+c)= 53sec3x+ccot5x-12π.cosec x-12πdx=cosec x-12π+c(si x-cosx)2dx= sin2x-2sinx cox x+ cos2x= sin2x+ cos2x-2sinx cox x= 1 –sin 2x∫( 1 –sin 2 x) dx = x – (-12cos2 x)+c= x + 12cos2 x+c cos23x dx= ∫(12+12cos6x) dxcos 2 x = 2 cos2x-1=∫12dx +∫12 cos 6x dxcos 2 x = 12(1+cos2x)= 12x+12.16sin6x+ccos 2 3x = 12(1+cos6x)= 12x+112sin6x+c = 12+12cos6xsin2xcos2x dx= ∫12sin4x dxsin 2x = 2 sinxcosx= 12 (-14cos4x)+c= -18cos4x+csin5xcos2x dx= ∫12(sin7x+sin3x) dxIngat : sinx cosx= 12sinx+y+sin?(x-y) Maka= 12∫sin 7x dx+∫sin 3x dx= 12(-17cos7x-13cos3x)+c= -114cos7x-16cos3x+c2cos10x.cos4x dx= (cos14x+cos6x) dxIngat cosx cosy=12cosx+ycosx-y Maka= 114sinx+ 16sin6x+c sin3x . cos2x dxMisalkan : U = cos xdu = - sin x dx sin3x . cos2x dx= sin2x . cos2xsinxdx sin2x+cos2x=1 sin2x=1-cos2x= 1-cos2x cos2x sinx dx= - 1- u2 u2 du= - u2- u4 du= u2- u4 du= 15 u5-13 u3+c=15 cos5x-13 cos3x+c sin4x . cos7x dx U = sin x du = cos x dx= sin4x . cos7x dx = sin4x . cos6xcosx dx = u4(1- u2 )3du= u4(1- 3u2+ 3u4- u6)du= ( u5- 3u6+ 3u8- u10)du= 16 u6-37 u7+39 u9-111 u11x+c sin5x dx U = cosx du = - sin x dx= sin5xsinx dx = (1-cos 2x )2sinx dx = - (1-u 2 )2du = (1-2u 2+ u4)du = - (u-23 u3+15 u5)+c=- 15 cos5x+23 cos3x-cosx+c tan2x sec4 x dxU = tan xdu = sec2x dx= tan2x (1+ tan2x) sec4 x dx= u2 (1+ u2)du= (u4+ u2)du= 15 u5+13 u3+c= 15 tan5+13 tan3x+c tan3x sec x dxU = sex xdu = sec x tan x dx= tan2xsecxtanx dx= (sec2x-1)secxtanx dx= 13 u3-u+c= 13 sec3x-secx+csin7xcos 3x dx = 12(sin(7+3)x+sin (7-3)x dx= 12 (sin10x+sin4x) dx= 12 (-110cos10x-14cos4x)+c= 140(2cos10x+5cos4x)+csin7xsin 3x dx = 12(cos(7-3)x-cos (7+3)x )dx= 12 (cos4x-cos10x) dx= 12 (14sin4x-110sin10x)+c= 140(5sin4x-2sin10x)+ccos7xcos 3x dx = 12(cos(7-3)x+cos (7+3)x )dx= 12 (cos4x?cos10x) dx= 12 (14sin4x+110sin10x)+c= 140(5sin4x+2sin10x)+cLatihan Soal-soal sin2x dx cos2(3x) dx sin2x cos3x dx sin3x sin2x dxsin2xcos5x dxcos4xcos2x dx tan2x dxsin2xcos3x dxBAB IIITEKNIK PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSTITUSIContoh Soal X24X3+2dxMisalkan : u = x3+2du = 3 dxdx = 13 x2du= X24X3+2dx = X24u.13 X2du= 13 u14du= 13144du= 13.43 u34 = 49 u34+c = 49 (x3+2 )34+c X21- 2x3dxMisalkan : u = 1- 2x3du = -6x2dudx =- 16x2 du= X21- 2x3dx = X2u.(-16x2) du= -161udu= -16 |n|u||+c= -16n1- 2x3|+c(x3+2 )23x2dx Misalkan : U = x3+2 dx = 1 3x2dudu = 3x2dx.(x3+2 )23x2dx = u23x2.1 3x2du= u2du-13u3+c= 13(x3+2)3+c3x31+2x2dxMisalkanU = 1 - 2x2du = -4x dxdx = - 14xdu.3x31+2x2dx = 3xu.-14xdu= -34u.du= -34.23u32+c= -612(1-2x2)32+csecxdxxMisalkan : U = xdu = 12xdx = 2xdu.secxdxx = secux.2xdu= 2|n|sec u + tan u|+c= 2 sec u du= 2 |n|secx+tanx|+cxcos2(x2)dxMisalkan : U = x2du = 2x dxdx = 12xdu.xcos2(x2)dx = xcos2.u.12xdu= xcos2.u.du= 12sec2u du= 12tanx2+c= 12tanu+c6e1xx2dxMisalkan : U = 1xdu = -1x2dxdx = -x2du.6e1xx2dx = -6eux2x2du= -6eu+c= -eudu= -6e1x+cx3x4+11 dxMisalkan : U = x4+11du = 4x3dxdx = 14x3du.x3x4+11 dx = x3.u.14x3 dx= 14.23u32+c= 16u32+c= 16(x4+11)32+cSUBSTITUSI DENGAN RUMUS BAKU FUNGSI ALJABARduau-u2= sin-1(ua)+cduuu2-a2= 1asec-1ua+c= 1acos-1au+cdua2+u2= 1atan-1ua+cContoh :35-9x2dx=duau-u2= sin-1(ua)+cMisalkan : u = 3x du = 3 dx dx = 13du= 35-u2.13du=15-u2du=sin-1u5+c=sin-13x5+cex4+9e2xdx=dua2-u2= 1atan-1ua+cMisalkan : u = 3ex du =3exdx dx = 13exdu= ex4+u2. 13exdu=1314+u2du=13.12tan-1u2+c= 16tan-13ex2+cBAB IVINTEGRAL FUNGSI EKSPONENex=fungsi pangkat/fungsi eksponen pangakat fungsi(x2+16)11pangkat fungsibentuk= eudu=eu+caudu=auna|+cContoh soal :e2xMisalkan : u = 2x du = 2 dxdx = 12du= eu.12du=12eu.du= 12eu= 12e2x+cx e-x2dxMisalkan : u = -x2du = - 2x dxdx = 12du= x eu 12x du= -12eu+c= 12. e-x2+cx ex2 dxMisalkan : u = x2 du = 2x dx2x dx=du dx=12xdu= x ex2 dx= x .eu .12xdu= 12eu du= 12ex2 +cex1+exdxMisalkan : u = 1+exdu = exdxexdx=du dx=duex=exu.duex=duu=nu+c=n1+ex+c esinycosy dyMisalkan : u = sin ydu = cos y dydy=ducosy= eu.cosy.ducosy= eu.du= esiny+c10cot3xcosec2 3x dxMisalkan : u = cot 3xdu = -13cosec2 3x dx-13cosec2 3x dx=du dx = du-13cosec2 3x= 10cot3xcosec2 3x dx= 10ucosec2 3x du-13cosec2 3x= 10udu-13=-3.10cosec2+ce-xdxMisalkan : u = -x du =-dx dx =-du=eudu= -e-x+c= -eu+ce3xdxMisalkan : u=3x du = 3 dx dx = 13du= eu.13du=13e3x+ca2xMisalkan : u = 2xdu = 2 dxdx = du2= au.du2=12a2x+ce3cos2x-sin2x dxMisalkan : u = 3cos2xdu = -3.2 sin 2x = -6 sin2x dxdx = du-6sin2x=eu.sin2x.du-6sin2x=eu.du-6=eu.-16+c=-16e3cos2x+ce4xdxMisalkan : u = 4xdu = 4 dx 4 dx =du dx = du4= eu.du4=14eu+c=14e4x+ce-x2+2xdxMisalkan : u = -x2+2du = -2x dx-2x dx = dudx = du-2x= eu.xdu-2x=-12eu+c= -12e-x2+2+cetan2xsec22xdxMisalkan : u = tan2xdu = 2sec22xdx2sec22xdx=dudx = du2sec22x= eu.sec22xdxdusec22x=12e4+c= 12etan2x+2+ce2sin3xcos3xdxMisalkan : u =2sin3xdu = 2.3cos3xdx6cos3xdx=dudx = du6cos3x= eu.cos3xdu6cos3x=eu.du6= 16e2sin3x+cBila Integral, adalahRasionalkecualibentukakar :nau+b, substitusi au+b=znakanmenggantikanbentukitudengan integral rasional.q+pu+u2, substitusi q+pu+u2=z-u2akanmenggantikannyadengan integral rasional.q+pu-u2=α+uβ-usubstitusiq+pu-u2=α+u2z2atauq+pu-u2=β-u2z2akanmenggantikannyadengan integral rasional.Contoh :Carilahdxx1-xSubstitusi 1-x=z2Makax=1-z2sehingga dx = -2 z dxdxx1-x=-2 z dx1-z2z=-2 dz1-z2=-212n1+z1-z+c=-n1+z1-z+cTentukandx(x-2)x+2Jawab :Substitusi x+2=z2 maka x=z2-z sehingga dx = -2 z dxJadidx(x-2)x+2=2z dz(z2-2-2)z=2z dz(z2-4)z=2 dzz2-4=2.12.2nz-2z+2=12nx+2-2x+2+2|+cBAB 5SUBSTITUSI TRIGONOMETRIIntegral yang mengandunga2-b2x2, a2+b2x2,b2x2-a2Dapatdirubahkedalambentuklain yang menyangkutfungsitrigometripeubahbarusebagaiberikut:UntukDapatUntukmendapatkana2-b2x2x=absinza1-sin2z=acosza2+b2x2x=abtanza1+tan2z=aseczb2x2-a2x=abseczasec2z-1=atanza2=4a=2 Example4+x2z2xvx=abtanzx=21tanzx=2tanzdxx24+x2mengacu a2+b2 berarti2tanz=xtanz=x24+x = 2seczMengacu padaa1+tan2z= asecz= 2seczx=2tanzdx=2sec2z dzu=sinzdu=cosz dzcosz dz= dudz= ducoszdxx24+x2= 14u-2cosz ducosz= 14-u-1+c= -14u-1+c= -14sin-1z+c= -14sinz+c= -4+x24xdxx24+x2= 2sec2z dz2tanz22secz=2sec2z dz4tan2z2secz= 2secz secz4tan2z 2seczdz= 14secztan2zdz= 141coszsin2zcos2zdz= 141cosz×cos2zsin2zdz= 14coszsin2zdzdxx24+x2= 14sin-2z cosz dzx=32tanzdx=32sec2z dzsec2z dzx=dbtanzx=32tanz2x=3tanz3tanz=2xtanz=2x3a2=9b2=4b=2dxX9+4x2a = 3 mengacu a2+b29+4x2z32xvdxx9+4x2= 32sec2z dz32tanz.3secz=secz.secz3tanz.3seczdz= 13.secztanzdz= 13cosec z dz= 131coszsin2zcos2zdz= 14ncosec z-cotz|+c= 13n9+4x2-3X|+cMengacu pada rumusa=1+tan2z=asecz9+4x2=3seczKet :Sin = cosecTan = cotCos = secdx=32cosz dzMengacupadarumusa=1+sin2z=acosz9-4x2=3cosza2=9 a = 3b2=4 b=2x=absinzx=32sinz2x=3sinz3sinz=2xsinz=2x39+4x2xdxmengacu ke a2-b23z9+4x22xv9-x2xdx=3cosz.32cosz dz32sinz=3cos2zsinzdz=3(1-sin2z)sinz=31sinz-31-sin2zsinzdz=3cosec dz-3sinz dz=3ncosec z-cotz|+cingat rumus= 3ncosec z-cotz|+cosz+c= = 3n3-9-4x2x|+9-4x2+ca2=4 a = 2b=1x=21seczx=2secz2secz=xsecz=x2secz=1cosxz2x2-4vx2x2-4dxMengacub2x2-a2x=abseczdx=2secxtanx dzx2-4=2tanzMengacuasec2z=atanzx2x2-4dx=(2secz)2.2secztanz2tanzdz= 4sec2z.secz dz= 4sec3z dz= secztanz+2nsecz+tanz|+c= 12xx2-4+2nx+x2-4|+cdx=32sec2z dz9+4x2=asecz= 3 sec zx=dbtanzx=32tanza2=9 a = 3b2=1 b=2dx9+4x29+4x2z32xv2x=3tanz3 tanz=2x tanz=2x3dx9+4x2=32sec2z3seczdz=32sec2z3dz=12secz dz=12secz dz= 12nsecz+tanz|+c= 12n9+4x23+2x3|+c= 12n9+4x2+2x3|+cx=abtanzx=41tanzx=4tanz4tanz=xtanz=x4a2=16 a = 4b2=1 b=1xdxx2+16=xdx16+x216+x2z4xvxdxx2+16=4tanz.4sec2z dz4secz=tanz.4secz dz= 4tanz seczdz=4secz+c= 16+x24+c= 16+x2+ca1-sin2z=acosz9-2x2=coszdx=32cosz dz32sinz=xsinz=x32=322a2=9 a = 2b2=3 b=2x=32sinz2x=3sinz3sinz=2xsinz=2x3x29+2x2dx3z9+2x22xvBAB 6INTEGRAL PARSIAL/BAGIANJika pengintergralan dengan substitusi tidak berhasil, maka menggunakan integral parsial. Teknik integral parsial didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil dua fungsi.Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat diturunkan.d (uv) = u. dv + v duu dv = d (uv) – v duu dv=uv-v duCatatan :Integral yang diberikan harus dipisahkan menjadi 2 bagian u, du, dx dan dv.Yang dipilih dv harus yang dapat segera diintegrasi.v du tidak boleh lebih sulit dari pada u. dvContohsoal :x.sinx dxMislakan : u = xdv = sin xdu = dxv = sinx dx=-cosxx.sinx dx=uv-v du= -x.cosx--cosx= -x.cosx+sinx+cx.cosx dxMislakan :u = xdv = cos xdu = dxv = cosx dx=sinxx.cosx dx=uv-vdu= xsinx-sinx dx= xsinx+cosx+csin2x dxsinxsinx dxMislakan : U = sin xdv = sin x du = cos x dx v = sinxdx=-cosxsin2x dx=sinx- cosx+cosxcosx dx= -sinx. cosx+cos2x dx=-sinx. cosx+(1-sin2x) dx= -sinx. cosx+dx-sin2xdx2 sin2xdx=-sinx. cosx+x+c 2 sin2xdx=-12sin2x +x+c2 sin2xdx=-12sin2x +x+csin2xdx=-12.12sin2x +12x+c= -14sin2x +12x+csec2x dx = secxsec2x dxMislakan :U = sec xdu = sec x tan x dxdv = sec2xv = sec2x dx=tanxsec2x dx = sec x tan x - tan2xsecx dx= sec x tan x - (sec2-1)secx dx= sec x tan x - (sec3-secx) dx= sec x tan x - sec3+secx dx2 sec3x dx=secxtanx+secx dx= secxtanx+nsecx+tanx |+csec3x dx= 12{secxtanx+nsecx+tanx|+c}= 12secx+tanx+12nsecx+tanx|+c}BAB 7INTEGRAL PECAHAN PARSIALSebuahfungsi f (x) =f (x)g (x), dimana f (x) dan g(x) adalah polonomialDisebutpecahanrasionalJika :derajat f(x) lebihkecildariderajat g(x), f(x) disebutnaik.Derajat f(x) lebihbesardariderajat g(x), f(x) disebuttidaknaik.Contohsoal :Factor linear yang berlainandxsec2sec2-4Uraianpenyebutnyax2-4=x-2x+2= 1x2-4=Ax-2+Bx+2 hilangkan pecahan sehingga diperoleh :dikalikan (x-2)(x+2)3I = A (x+2)+B (x-2)Tentukankonstanta A dan BNilai-nilai yang diperolehadalahnilai x yang menyebabkanpenyebutdalampecahanparcialmenjadi0 ;yaitu x = -2 dan x = 2SubtitusiX= -2x = 2I = A (x+2)+B (x-2)I = A (x+2)+B (x-2)I = A (-2+2)+B (-2-2)I = A (2+2)+B (2-2)I = -4 BI = 4 BB =- 14B = 14dxx2-4=14dxx-4-14dxx+4=14nx-2-14nx+2+c1x2-4=ax-2+bx+4jadi = 14x-4+14x+4Carilah(x+1)x3+x2-6xdxx3+x2-6x=xx2+x-6= x x-2(x+3)(x+1)x3+x2-6x= x+1x3+x2-6x=ax+bx-2+cx+3X + 1 = ax-2x+3+bxx+3+cx(x-2X = 0x = 2x = -3X = 0I = -6aa(0-2)(0+3)+b.0(0+3)+c.0(0-2)A =- 16-2 a. 3 a = -6aX = 2X+1 = a(x-2)(x+3)+bx(x+3)+cx(x-2)2+1 = a(2-2)(2+3)+bx(2+3)+cx(2-2)3 = a. 0. 6+ 2b (5) + 2c.03 = 10 b10b = 3B = 310X = -3X+1 = a(x-2)(x+3)+bx(x+3)+cx(x-2)-3+1 = a(-3-2)(-3+3)+bx(-3+3)+cx(-3-2)-2 = 5. 0. 6+ -3b. 0 + 15c-2 = 15c15 c = -2c = -215(x+1)x3+x2-6xdx=-16dxx+310-215dxx+3= -16nx+nx-2-215nx+3|+c(3x+5)x3-x2-x+1Faktor Linear yang berulangUntuk factor yang tidakdapatdireduksia2+bx-c yang muncul sekali dalam penyebut pecahan rasional yang baik, terdapat pecahan parcial tunggal berbentuk ax+bax2+b+c dimana A dan B adalah konstanta :Yang harusditentukanx3+x2+x+2x4+3x2+2Lanjutanlatihansoal integral parsialx in x dxu=in x du= 1xdxdv=x dx v= 12x2x exdxu= x du= dxdv=ex dx v= exdx=exexcosxdxu= ex du= ex dxdv=cosx v=sinxx2in x dxu= in x du= dxx=1xdxdv=x2dx v=13x3x2sinxu= x2 du= 2x dxdv=sinx v=-cosx1+xdxu= x du= dxdv=1+x v=1+x dx=23(1+x)32=(1+x)12BAB 8INTEGRAL TERTENTUDefinisi : integral tertentudarisudutfungsi f (x) terhadap xDari x = a hingga x = bbaf(x)dx=fb-f(a) F = anti turunan fSifat-sifat :abf(x)dx=0abf(x)dx=-baf(x)dxabc f(x)dx=c abf(x)dxc = konstantaab fx±g x=abfxdx±abgxdxabfxdx+acfxdx=acfxdxContoh :122x dx043 dx02x2+2x-1 dx121x3dx013xdx-11(2x2-x3)dx-6-10dxx+218(x13+x43)dx0π2cosx dx0π(sinx-cosx) dxπ4π22sin2 x dx0π3sinx dxπ234πsinx dx-12dxx2-902πsin12t dt122(x2-1)BAB 9LUAS DAERAH BIDANG RATADAERAH DIATAS SUMBU XJika y = f (x) menentukanpersamaansebuahkurvapadabidang x y danjikakontinudantidak negative padaselang (interval) a cx < b lihatlahdaerah R yang dibatasiolehgrafik-grafikdari y=f(x) x=a, x=b dan y=0.1604010433070Terlihatbahwa R terletakdibawah y=f(x) antara x=0 dan y=b denganluasdaerah, A(R) ditentukanoleh:A(R) = baf(x)dxContohsoal :Tentukanluasdaerah R dibawahkurva y=x4-2x3+2 antara x=-1 dan x=2A(R) = -12(x4-2x3+2)dx = (325-163+4) = 5110 satuan luas atau satuan kuadrat2470785172085 = (x55-x42+2X)B. Daerah dibawahsumbu xLuasdinyatakanolehbilangan yang tidak negative Jikagrafik y=f(x) terletakdibawahsumbu x, makaabf(x) dx adalah bilangan negatif, sehingga tidak dapat menggambarkansuatuluas. Akan tetapibilanganituadalah negative untukluasdaerah yang dibatasioleh y=f(x), x=a, x=b, dan y=0.Contohsoal :Tentukanluasdaerah R yang dibatasiolehx23-4Sumbu x. X=-2 dan x=3A(R) = -23x23-4dx=-23-x23-4dx= [-x39+4x]=[-279+12]-[89-8]=1459176212567945Y = 0Y = x23=123X=0Y=-4Luasdaerah yang terletakdibawahfungsi y=f(x), diatassumbu x dandiantara x=a hingga x=b, dapatdicaridengancara.Membagidaerahdari x=a hingga x=b menjadi n bagian.Luassetiappersegipanjangadalahf(xk) ?k x.Jadijumlah n buahpersegipanjang yang didekatiadalah:k=1nF Xk?k xlimit dari jumlah ini adalah baf(x)dx yang merupakan luas dari daerah tersebut.Jikasuatudaerahdibatasiolehfungsi f(x) dan g(x), makaluasdaerahtersebut.Latihansoal :Cariluasdaerah yang dibatasiolehkurvay=x2 sumbu x dari x = 1 sampai x = 3.Carilahluas yang terletakdiatassumbu x dandibawahparabola y=4x-x2.Carilahluas yang dibatasioleh parabola x=8+2y-y2, sumbu y garis y = -1 dan y = 3Carilahluas yang dibatasi parabola y=x2-7x+6Sumbu x dangaris x = 2 dan x = 6Carilahluaskurvay=x3-6x2+8x dan sumbu x.Carilahluas yang dibatasi parabola x=4-y2 dan sumbu y.Carilahluaspotonganterkecildarilingkaranx2+y2=25 oleh garis x = 3.Carilahluas yang dibatasioleh parabola y=6x-x2 dan y=x2-2x Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehkurvafx=4-x2Sumbu x = 0 dan x = 1.Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehgarisy=14x-2 sumbu xGaris x = 4 dansumbu y.Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehkurvay=fx=-sinx,0≤x≤2πDan sumbu x.Tentukanluas yang dibatasikurvafx=4-x2, garis x = 0 dan diatas garis y = 1.BAB 10VOLUME BENDA PUTARBenda putardibentukdenganmemutarsuatubidangdaftarsekelilingsebuahgaris yang disebutsumbuputarpadabidangdatar.-635-1270Volume bendaputar yang terbentukolehperputarankurva y = f(x) mengelilingisumbux ,dari x = a, sampai x = b.Diperolehdengan :Membagidaerahmenjadi n bagianpersegipanjang (gambardiatas) masing-masingdenganlebar Δ x.Jikadiputarmengelilingisumbu x makaakanterbentukcakramdenganjari-jari y dantinggi Δ x.Sehingga volume untuksetiapcakramadalahπ y2Δ xMaka volume bendaputarabπ y2dx=abπ y2(x)dxJikadaerahdibatasiolehfungsi f (x) dan g(x), maka volume daerahtersebut.abπ [y2x-g2(x)]dxApabiladaerahdiputarmengelilingisumbu y, makadigunakanmetoderumahsiputdenganrumus :v=2π abx y dxContoh :Carilah volume bendaputar yang terbentukolehperputarandaerahdikuadran 1 yang dibatasioleh parabola y2=8x dan latus rectumnnya (x = 2) sekeliling sumbu x.Carilah volume benda yang terbentukkarenaperputarandaerah yang dibatasiOlehy2=8x , latus rectum (x = 2) sekeliling latus rectum.Cari volume benda yang diperolehdenganmemutarellips.Cari volume benda yang diperolehdenganmemutardaerahantaray=x2-5x+6Dan y = 0 mengelilingisumbu y.Carilah volume benda yang dibatasiolehkurvay=1xsumbu x garis x = 1 dangaris x = 4 diputarmengelilingisumbu y.Tentuka volume bendaputar, jikadibatasiolehgrafikf(x)=4-x2sumbu x dansumbu y diputar 360? terhadapsumbu x dansumbu y.Hitung volume bendaputar yang dibatasiolehkurvay=x2 sumbum x,0≤x≤2 diputar terhadap sumbu x.Hitung volume bendaputar yang terbentukjikadaerah yang dibatasiolehkurvay=x2Dan y=-x2+4x diputar terhadap sumbu x.BAB 11PANJANG BUSURJika A (a,c) dan B(b,d) duatitik yang terletakpadakurva y = f(x) dengan f(x) danturunannya f’(x) masing-masing continue dalamselang a ≤ x ≤ b.449643546355Makapanjangbusur AB adalah :s=abds=ba1+(dydx)2dxJikaA(a,c) dan B(b,d) duatitikpadakurva x=g(y) dengan g(y) danturunannya g’(y), masing-masing continue dalamselang c ≤ x ≤ d makapanjangbusur AB adalah.s=abds=cd1+(dydx)2dxJika A (U=U?) dan B (U=U?) duatitikpadakurva yang didefinisikandenganpersamaanparameter X = f(u) dan y = g(u)Makapanjangbusur AB adalah.s=abds=U?U?(dxdu)2+(dydu)2duContohsoal :Caripanjangbusurkurvay=x32dari x = 0 sampai x = 5Caripanjangbusurkurvax=t2 y=t3dari t = 0 sampai t = 4Caripanjangbusurkurvax=3y32-1 dari y = 0 sampai y = 4Tentukanpanjanggarisdenganpersamaan y = x+1 x = 1 sampai x = 5BAB 12INTEGRAL RANGKAP4057650336550 Merupakandaerahtertutuppadabidang x ?y Yang dibatasikurvatertutup cDaerah D dibagimenjadi n daerahDaerah bagianke-I (I = 1, 2, …)denganluas ?Titik A (xi, yi) merupakansebarangtitikDalambagiandaerahke-iSedangkan di adalah diameter yang terpanjangPadadaerahbagianke-iDitentjumlahfxi, yi?i A=fxi, yi ?2 A+fx2, y2?2 A+…+fxn, yn?n AJikalimn→0i=1nfxi, yi ?i Aada , maka limit itu ditulis :fx,y dA= limn→∞i=1nfxi, yi ?i AContohsoal :01x2xdy dx=16-122x2-2x2+xx dy dx =9412y3y(x+y) dx dy=140312(2x+3y) dx dy=4521203(2x+3y)dx dy=4520804(x2+y)dx dy=1283+128=89631203(x+y)dx dy=92412(x2+y2)dx dy=7030112dx dy=124y8-yydx dy=32301xxy+y3 dy dx =7060120y32xy2dx dy=3401x2xxy2dy dx=1400π224cos?ρ3dρ d?=10π0π0cos? ρsin? dρ d?=13 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download