BAB I BILANGAN BERPANGKAT,BENTUK AKAR & LOGARITMA



TRIGONOMETRI

[pic]

Standar Kompetensi 5. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar 5.1. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri

5.2. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri

5.3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, dan penafsirannya

Kegiatan Belajar 1

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat:

▪ Memahami pengertian perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen).

▪ Menggunakan perbandingan trigonometri, kemudian menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran.

▪ Memahami dan mampu menerapkan tentang konsep koordinat cartesius dan kutub, serta pengkonversian koordinat cartesius dan kutub.

▪ Memahami dan mampu menerapkan aturan sinus dan cosinus.

▪ Menemukan rumus segitiga melalui perbandingan trigonometri serta menggunakan rumus tersebut untuk menentukan luas segitiga.

A. Sudut dan Pengukurannya

Definisi - definisi

Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua potongan garis yang bertemu pada suatu titik B

[pic]

O C

Garis OA dan OB disebut kaki sudut

[pic]adalah besar sudut pusat dengan panjang busurnya = [pic] keliling lingkaran

[pic] = 60 / ( dibaca 60 detik)

1/ = 60// ( dibaca 60 detik)

B

r r

1 radian

O A

r

Besar sudut 1 radian adalah besar sudut pusat dengan panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran

1 radian = [pic] ( besar AOB )

[pic] radian = [pic]

Contoh

1. Nyatakan [pic]dalam derajat, menit dan detik!

Penyelesaian

[pic] = [pic] + 0,12 x 60 /

= [pic] + 7,2 /

= [pic] + 7 / + 0,2 x 60 //

= [pic] + 7 / + 12 //

= [pic]7 / 12 //

2. Nyatakan [pic] radian dalam derajat

Penyelesaian

[pic] radian = [pic]

[pic] radian = [pic] = [pic]

3. Nyatakan [pic] dalam radian

Penyelesaian

[pic]= [pic] radian

[pic] radian = [pic] radian = 0,698

[pic] Latihan

1. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam derajat, menit dan detik!

a. [pic]

b. [pic]

c. [pic]

2. Nyatakan ukuran sudut berikut dalam derajat!

a. [pic] radian

b. [pic] radian

3. Nyatakanukuran sudut berikut dalam radian!

a. [pic]25 /

b. [pic]15 / 45 //

B. Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku

C

a b

[pic]

B A

c

Diketahui [pic]ABC merupakan segitiga siku-siku di B.

BC = a disebut sisi di depan sudut [pic]

AB = c disebut sisi di dekat sudut [pic]

AC = b disebut sisi miring atau hipotenusa

Dari segitiga diatas diperoleh perbandingan-perbandingan sebagai berikut:

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic]

4. [pic]

5. [pic]

6. [pic]

Dari perbandingan-perbandingan di atas diperoleh:

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic]

4. [pic]

Contoh

1. Diketahui segitiga ABC siku siku di A, dengan panjang sisi BC = 5 dan AC = 4 cm. Carilah keenam nilai perbandingan-perbandingan trigonometrinya untuk sudut C!

Penyelesaian:

C

4 5

A B

Karena panjang sisi AB belum diketahui, maka harus dicari terlebih dahulu. Menurut teorema Pythagoras berlaku:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Karena ketiga sisinya sudah diketahui, maka nilai-nilai perbandingan trigonometrinya adalah:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

2. Carilah nilai Cos A dan Tan A jika diketahui Sin A = [pic] !

Penyelesaian

Perhatikan gambar berikut:

C

8 5

A B

Diketahui [pic] , maka dapat ditentukan BC = 5 dan AC = 8.

Menurut Teotema Pythagoras diperoleh

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Dengan demikian

[pic]

[pic]

[pic] Latihan

1. Carilah nilai-nilai perbandingan trigonometri dari sudut B pada segitiga siku-siku berikut!

1. C

7

A

5

2. A

11

B

C

3. Carilah nilai kelima perbandingan trigonometri untuk sudut α yang belum diketahui jika diketahui

a. [pic]

b. [pic]

c. [pic]

d. [pic]

C. Nilai Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut-Sudut Istimewa.

1. Diketahui segitiga ABC sama sisi dengan masing-masing sisinya 4 cm.

C

a. Tentukan tinggi CD.

2 1

4 4 b. Tentukan besar sudut A.

c. Tentukan nilai dari :

2 2

i. cos 600

A D B ii. sin 600

iii. tan 600

iv. sec 600

v. csc 600

vi. ctg 600

2. Pada segitiga ABC di atas , selanjutnya tentukan :

a. Tentukan besar sudut C. b. Tentukan besar sudut C1 .

c. Tentukan nilai dari :

i. cos 300 ii. sin 300 iii. tan 300

iv. sec 300 v. csc 300 vi. Ctg 300

3. Diketahui suatu persegi ABCD dengan sisi 4 cm.

D 4 C a. Tentukan panjang diagonal AC.

b. Tentukan besar sudut A1 .

4 4 c. Tentukan nilai dari :

i. cos 450

A 2 1 B ii. sin 450

iii. tan 450

iv. sec 450

v. csc 450

vi. ctg 450

4. Dari uraian di atas diperoleh nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa sbb :

|Sudut (α) |00 |300 |450 |600 |900 |

|Cos α |… |… |… |… |… |

|Sin α |… |… |… |… |… |

|Tan α |… |… |… |… |… |

D. Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut di Berbagai Kuadran

1. Nilai perbandingan trigonometri sudut di kuadran I.

Y

Titik P1 (x,y) suatu titik di kuadran I .

P1 (x,y) OP1 = r dan P1OX+membentuk sudut θ .

r y maka : cos θ = x / r

θ sin θ = y / r

0 x X+

tan θ = y / x

2. Nilai perbandingan trigonometri sudut di kuadran II.

Y

P2 (-x,y) P1 (x,y)

θ

X- 0 X+

Titik P1 (x,y) suatu titik di kuadran I dicerminkan terhadap sumbu Y, maka diperoleh titik P2(-x,y) suatu titik di kuadran II. Jika sudut P10X+ = θ , maka sudut P20X+ = 1800 – θ .

Sehingga diperoleh :

[pic] atau [pic]

[pic] atau [pic]

[pic] atau [pic]

Contoh :

Tentukan nilai dari :

a. cos 1200 b. sin 1500 c. tan 1450

Jawab :

a. cos 1200 = cos(180 – 60)0 = - cos 600 = - ½

b. sin 1350 = sin(180 – 45)0 = sin 450 = ½ √2

c. tan 1500 = tan(180 – 30)0 = - tan 300 = 1/3.√3

3. Nilai perbandingan trigonometri sudut di kuadran III.

Y

P1 (x,y)

r

θ

X- 0 X+

r

P3 (-x,-y)

Dengan memperhatikan gambar di atas , titik P3(-x,-y) diperoleh dari titik P1(x,y) yang diputar dengan pusat O (0,0) sejauh 1800, sehingga sudut P3OX+ adalah (1800 + θ).

Selanjutnya dapat ditentukan nilai dari :

[pic] atau [pic]

[pic] atau [pic]

[pic] atau [pic]

Contoh :

Tentukan nilai dari :

a. cos 2400 b. sin 2100 c. tan 2250

Jawab :

a. cos 2400 = cos(180 + 60)0 = - cos 600 = - ½

b. sin 2100 = sin(180 + 30)0 = - sin 300 = - ½

c. tan 2250 = tan(180 + 45)0 = tan 450 = 1

4.Nilai perbandingan trigonometri sudut di kuadran IV.

P1 (x,y) Jika titik P1(x,y) dicerminkan terhadap

sumbu X,maka diperoleh titik P4(x,-y)

sehingga sudut P4OX+ = 3600 – θ = -. θ

Selanjtnya dapat ditentukan nilai dari :

θ

O - θ X+ [pic]

[pic]

P4(x,-y) [pic]

Contoh:

Tentukan nilai dari :

a. cos 3300 b. sin 3300 c. tan 3150

Jawab :

a. cos 3300 = cos(360 – 30)0 = cos(-300) = cos 300 = ½√3

b. sin 3300 = sin(360 – 30)0 = sin(-300) = - sin 300 = - ½

c. tan 3150 = tan(360 – 45)0 = tan(-450) = - tan 450 = -1.

4. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut yang lebih dari 3600.

Selanjutnya untuk sudut-sudut yang lebih dari 3600 berlaku sebagai berikut :

Cos(n.3600 + θ) = cos θ

Sin(n.3600 + θ) = sin θ

Tan(n.1800 + θ) = tan θ

Contoh :

a. Cos 7500 = cos(2.360 + 30)0 = cos 300 = ½√3

b. Sin 11250 = sin(3.360 + 45)0 = sin 450 = ½√2

c. Tan 9600 = tan(5.180 + 60)0 = tan 600 = √3

[pic] Latihan

Salin dan lengkapilah tabel berikut :

|No. |Derajat |Radian |Cosinus |Sinus |Tangens |

|1 |0 |… |… |… |… |

|2 |30 |… |… |… |… |

|3 |45 |… |… |… |… |

|4 |60 |… |… |… |… |

|5 |90 |… |… |… |… |

|6 |120 |… |… |… |… |

|7 |135 |… |… |… |… |

|8 |150 |… |… |… |… |

|9 |180 |… |… |… |… |

|10 |210 |… |… |… |… |

|11 |225 |… |… |… |… |

|12 |240 |… |... |... |… |

|13 |270 |… |… |… |... |

|14 |300 |… |… |… |… |

|15 |315 |… |… |… |… |

|16 |330 |… |… |… |… |

|17 |360 |… |… |… |… |

|18 |390 |… |… |… |… |

|19 |405 |… |… |… |… |

|20 |420 |… |… |… |… |

|21 |450 |… |… |… |… |

|22 |480 |… |… |… |… |

|23 |495 |… |… |… |… |

|24 |510 |… |… |… |… |

|25 |540 |… |… |… |… |

|26 |570 |… |… |… |… |

|27 |585 |…. |… |… |… |

|28 |600 |… |… |… |… |

|29 |630 |… |… |… |… |

|30 |660 |… |… |… |… |

|31 |675 |… |… |… |… |

|32 |690 |… |… |… |… |

|33 |720 |… |… |… |… |

E. Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Yang Berelasi.

1. Relasi antara θ dan (900- θ)

Y P’(y,x) y = x Jika titik P1(x,y) dicerminkan terhadap garis

y = x , maka diperoleh titik P’(y,x) , sehingga

sudut P’OX+ = (900 – θ)

Sehingga diperoleh nilai :

P1 (x,y) Cos(900 – θ) = [pic] = Sin θ

X+ Sin(900 – θ) = [pic] = Cos θ

O

Tan(900 – θ) = [pic] = Ctg θ

2. Relasi antara θ dan (900 + θ)

Titik P1(x,y) diputar 900 maka diperoleh titik

P’’(-y,x) Y P”(-y,x) dengan sudut P”OX+ = (900 + θ)

Sehingga diperoleh nilai :

P1(x,y)

Cos(900+θ) = [pic] = - Sin θ

θ X+ Sin(900+θ) = [pic] = Cos θ

Tan(900+θ) = [pic] = - Ctg θ

3. Relasi θ dan (2700 – θ)

Cos(2700 – θ) = cos(1800 + (900 – θ)) = - cos(900 – θ) = - sin θ

Sin(2700 – θ) = sin(1800 + (900 – θ)) = - sin(900 – θ) = - cos θ

Tan(2700 – θ) = tan(1800 + (900 – θ)) = tan(900 – θ) = ctg θ

4. Relasi θ dan (2700 + θ)

Cos(2700 + θ) = cos(1800 + (900 + θ)) = - cos(900 + θ) = - ( - sin θ) = sin θ

Sin(2700 + θ) = sin(1800 + (900 + θ)) = - sin(900 + θ) = - cos θ

Tan(2700 + θ) = tan(1800 + (900 + θ)) = tan(900 + θ) = - ctg θ.

[pic] Latihan

1.Nyatakan dalam sinus sudut lancip untuk :

a. cos 600 = … b. cos 750 = …

c. cos 1350 = … d .cos 1600 = …

e. cos 2400 = … f. cos 2500 = …

g. cos 3300 = … h. cos 3500 = ….

2. Nyatakan dalam nilai cosinus sudut lancip dari :

a. sin 600 = … b. sin 750 = …

c. sin 1500 = … d. sin 2500 = …

e. sin 3350 = … f. sin 3450 = …

3. Nyatakan dalam nilai cotangen sudut lancip dari :

a. tan 600 = … b. tan 1350 = …

c. tan 2350 = … d. tan 3450 = …

F.Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

| | |

|Y |Y |

| | |

|P ( x , y ) |P ( r , θ ) |

| | |

|y |r |

| | |

|O |O θ |

|x X |x X |

| | |

|a. Sistem Koordinat Kartesius |b. Sistem Koordinat Kutub |

Hubungan Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub.

Y

P(x,y) ≡ P(r,θ)

r

y

(

x X

i. Mengubah system koordinat kutub P(r,() menjadi system koordinat kartesius (x,y).

Cos θ = [pic] x = r.cos θ

Sin θ = [pic] y = r.sin θ

Jadi:” Jika koordinat kutubnya P(r,θ) , maka koordinat kartesiusnya P(r.cos θ , r.sin θ)”

Contoh :

Ubahlah dalam system koordinat kartesius untuk titik P (10 , 3000 ).

Jawab :

P ( 10 , 3000 )

x = r.cos θ = 10. cos 3000 = 10 . ½ = 5

y = r.sin θ = 10 . sin 3000 = 10 . -½ V3 = -5V3

Jadi : koordinat kartesius titik P (5 , - 5 V3)

ii. Mengubah system koordinat kartesius (x,y) menjadi system koordinat kutub (r , ( )

r2 = x2 + y2 r = [pic]

tan θ = [pic] θ = anti tan [pic] dan θ di kuadran dari (x,y)

Jadi :

“ Jika koordinat kartesius P(x,y) , maka koordinat kutubnya P([pic],[pic]) “

Contoh :

Ubahlah dalam system koordinat kutub untuk titik Q ( -6 , 2V3 )

Jawab :

Q ( -6 , 2V3 )

r = [pic] = [pic]

θ = anti tan [pic] = anti tan [pic] = anti tan [pic] dan ( ada di kuadran II

( = 1500

Jadi koordinat kutub titik Q ( 4V3 , 1500 )

[pic] Latihan

1. Ubahlah dalam system koordinat kartesius.

a. A (10, 600) b. B (8, 1500)

c. C (6,2250) d. D ( 4, 3000)

e. E (12, 1800) f. F ( 6, 2700 )

2. Ubahlah dalam system koordinat kutub.

a. P(3,√3) b. Q(-3,3)

c. R(-2√3,-6) d. S(6,- 2√3)

e. T(4 ,- 4 ) f. F(-5,-5)

G.Rumus-Rumus Yang Menghubungkan Kosinus, Sinus dan Tangens.

Pada gambar di samping berlaku :

x2 + y2 = r2

r y

θ cos θ = [pic] tan θ = [pic]

x sin θ = [pic]

1. Hubungan Cosinus dan Sinus

Pada persamaan x2 + y2 = r2 , jika masing-masing ruas dibagi dengan r2 , maka

Diperoleh [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

atau [pic] atau [pic]

atau [pic] atau [pic]

2. Hubungan antara cosinus, sinus dan tangens

Pada persamaan [pic] [pic] atau [pic]

Contoh :

Diketahui sin A = -3/5 dan A sudut pada kuadran III , tentukan nilai dari :

a. cos A

b. tan A

Jawab :

Sin A = -3/5 , A pada kuadran III

a. [pic]

[pic]

[pic]

[pic] atau [pic]

Karena A di kuadran III , maka nilai cos A = -4/5

b. [pic]

[pic] Latihan

1.Diketahui sin A = [pic] dan A sudut di kuadran II, tentukan nilai dari :

a. cos A b. tan A.

2. Diketahui cos B = [pic] dan B sudut di kuadran IV , tentukan nilai dari :

a. sin B b. tan B

3. Diketahui tan C = [pic] dan C sudut di kuadran I , tentukan nilai dari :

a. sin C b. cos C

4. Diketahui sin D = [pic] dan cos E = [pic],D sudut di kuadran II dan E sudut di kuadran III

Tentukan nilai dari :

a. cos D b. tan D c. sin E d. tan E

e. cos D.cos E – sin D.sin E f. sin D.cos E + cos D.sin E.

5. Diketahui cos A = a dan tan B = b , sudut A dan sudut B di kuadran I.

Tentukan nilai dari :

a. sin A b. tan A c. sin B d. cos B

H.Identitas Trigonometri

Adapun identitas trigonometri antara lain :

1. [pic] atau [pic] atau [pic]

2. tan A = [pic] 3. sec A = [pic] 4. csc A = [pic]

5. cot A = [pic] 6. sec2A = 1 + tan2A 7. csc2A = 1 + cot2A

Contoh :

Buktikan bahwa :cos A. tan A = sin A.

Bukti :

Ruas kiri = cos A.tan A

= cos A . [pic]

= sin A

= Ruas kanan (terbukti )

[pic] Latihan

Buktikanlah bahwa :

1. cot A. tan A = 1

2. sec A. sin A = tan A

3. [pic]

4. [pic]

5. [pic]

6. [pic]

7. [pic]

8. sin A. sec A + cos A. csc A = sec A. csc A

9. [pic]

10. sin A. cos A.(tan A + ctg A) = 1

I. Fungsi Trigonometri

Jika f :A B dengan A himpunan besar suatu sudut dan B himpunan bilangan real, maka f fungsi trigonometri.

f : x f(x)

Misalnya :

1. f : x cos x

2. f : x sin x

3. f : x tan x

Contoh :

Jika f(x) = sin x , tentukan nilai dari :

a. f(1/2.π) b. f(2/3π) c. f(3/4π)

Jawab :

a. f(1/2.π) = sin(1/2.π) = 1

b. f(2/3.π) = sin(2/3.π) = ½√3

c. f(3/4.π) = sin(3/4.π) = ½√2

[pic] Latihan

1. Diketahui f : x cos x , tentukan nilai dari :

a.f(300) b. f(1200) c. f(2250) d. f(3000)

2. Diketahui f : x sin x , tentukan nilai dari :

a. f(450) b. f(1500) c. f(2100) d. f(3000)

3. Diketahui f : x tan x , tentukan nilai dari :

a. f(1/4π) b. f(3/4π)) c. f(π) d. f(3/2π)

J.Grafik Fungsi Trigonometri

Contoh :

Gambarlah grafik dari y = f(x) = sin x untuk 00( x ( 3600.

Jawab :

Buat tabel :

|X |0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 |

|Sin x |0 ½ ½V2 ½V3 1 ½V3 1/2V2 ½ 0 -1/2 -1/2V2 –1/2V3 -1 –1/2V3 –1/2V2 –1/2 0 |

1 ………………………………………………………………………………………

1/2

0 90 180 270 360 X

-1/2

-1 ……………………………………………………………………………………

[pic] Latihan

1. Gambarlah grafik dari y = f(x) = cos x , untuk 0( x ( 360.

2. Gambarlah grafik y = f(x) = tan x, untuk 0( x ( 360.

3. Gambarlah grafik fungsi y = cos x , untuk -720 ( x ( 720.

4. Gambarlah grafik fungsi y = sin x , untuk -720 ( x ( 720.

5. Gambarlah grafik fungsi y = sin x , untuk -2( ( x ( 2(.

6. Gambarlah grafik fungsi y = cos x , untuk -2( ( x ( 2(.

7. Gambarlah grafik fungsi y = tan x , untuk -2( ( x ( 2(.

8. Gambarlah grafik fungsi y = sin 2x , untuk -2( ( x ( 2(.

9. Gambarlah grafik fungsi y = cos 3x , untuk -2( ( x ( 2(.

10. Gambarlah grafik fungsi y = tan 2x , untuk -2( ( x ( 2(.

K. Persamaan Trigonometri

1. Jika cos x = cos p , maka x = p + k.2( , dengan k bilangan bulat

2. Jika sin x = sin p , maka x = p + k.2(, dengan k bilangan bulat.

3. Jika tan x = tan p , maka x = p + k. (, dengan k bilangan bulat.

4. Jika cos 2x = cos p , maka 2x = p + k.2( ,atau x = ½.p + k(

5. Jika sin 2x = sin p , maka 2x = p + k.2(,. atau x = ½.p + k(

6. Jika tan 2x = tan p , maka 2x = p + k. (, , atau x = ½.p + ½.k(

dst.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 ( x ( 2( :

1. 2.sin x + 1 = 0. 2. 2.cos2x – 2 = 0.

Jawab :

1. 2.sin x + 1 = 0

2.sin x = -1

sin x = -1/2

sin x = sin 7/6( atau sin x = sin 11/6(

x = 7/6( atau x = 11/6(

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah :{ 7/6( , 11/6( }

2. 2.cos 2x – 2 = 0.

2.Cos 2x = 2

cos 2x = 1

cos 2x = cos 0 atau cos 2x = cos 2(

2x = 0 + k.2( atau 2x = 2(+ k.2(

x = 0 + k.( atau x = ( + k.(

Untuk k = 0 maka x = 0 atau x = (

Untuk k = 1 maka x = ( atau x = 2(

Untuk k = 2 maka x = 2( atau x = 3(

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah :{ 0 , ( , 2( }

[pic] Latihan

1. Untuk 0 ( x ( 360, tentukan himpunan penyelesian persamaan berikut :

a. 2.sin x0 = 1 b. 4.cos x0 + 2 = 0

c. tan x0 + 1 = 0 d. 3.sin 2x0 – 3 = 0

e. 2.cos 3x0 – 1 = 0 f. 3 tan 3x 0+ V3 = 0

2. Untuk 0 ( x ( 2(, tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :

a. 2.sin x + (3 = 0 b. 3.cos x + 3 = 0

c. 4.tan x + 4 = 0 d. 3.sin 2x – 1 = 2.

e. 2. cos 3x + 2 = 0 f. 3.tan 3x + 3 = 0

3. Untuk 0 ( x ( 2(, tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut :

a. sin (x – ½ () = ½ b. 3.cos(x + () - 3 = 0

c. 4.tan(2x - () - 4 = 0 d. 3.sin (2x + () – 1 = 2.

e. 2. cos(3x – ½() + 2 = 0 f. 3.tan(3x - () - 3 = 0

L.Aturan Sinus

Bunyi aturan Sinus :

“Pada sebarang segitiga , perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang menghadapinya adalah sama untuk setiap sisi dan sudut yang terdapat pada segitiga”.

Secara matematis : Pada segitiga ABC berlaku : [pic]

Bukti : C

Perhatikan segitiga ABC di samping !

E t1 = CD merupakan garis tinggi yang ditarik dari titik

sudut C dan tegak lurus sisi AB dan t2 = AE merupakan

b a garis tinggi yang ditarik dari titik A dan tegak lurus

t2 t1 sisi BC.

D

A c B

Pada segitiga ADC, berlaku : sin A = [pic] b.sin A = a.sin B

Pada segitiga BDC, berlaku : sin B = [pic] [pic] ….. (1)

Pada segitiga BAE, berlaku : sin B = [pic] c.sin B = b.sin C

Pada segitiga CAE, berlaku : sin C = [pic] [pic] ….. (2)

Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa : [pic]

Contoh :

Pada segitiga ABC, diketahui BC = 6 cm, sudut A = 600 dan sudut B = 450.

Tentukan panjang sisi AC .

Jawab :

Diketahui : BC = a = 6 , (A = 600 dan (B = 450

Ditanyakan : AC = b = …

Perhitungan : Antara : a , b , (A dan (B diperoleh hubungan : [pic]

Sehingga : [pic] atau b = [pic]

Jadi panjang sisi AC = b = 2V6 cm.

[pic] Latihan

1. Diketahui segitiga ABC , panjang sisi AB = 10 cm, sudut A = 300 dan sudut C = 450.

Tentukan : a. Besar sudut B

b. Panjang sisi BC.

c. Panjang sisi AC.

2. Pada segitiga , sudut P = 1050, sudut Q = 300 dan panjang sisi PQ = 12 cm.

Tentukan : a. Besar sudut R

b. Panjang sisi PR

c. Panjang sisi QR.

3. Pada segitiga ABC, sudut B = 600, sisi AC = 6(6 cm, dan sisi BC = 12

Tentukan : a. Sudut A

b. Sudut C

c. Panjang sisi AB.

4. Padsegitiga PQR, sudut Q = 300, sisi PQ = 8(2 cm , dan sisi PR = 8 cm.

Tentukan : a. Sudut P

b.Sudut R

c. Panjang sisi QR.

5. Sebuah kapal sedang berlabuh dalam kedudukan menghadap ke sebuah menara. Dari puncak menara itu, seorang pengamat melihat bagian depan kapal dengan sudut deviasi 300 dan bagian belakang kapal dengan sudut deviasi 600. Jika tinggi orang yang mengamati 1,7meter , tinggi menara 72 meter, dan menara berada 1,3 meter di atas permukaan laut. Tentukan panjang kapal tersebut !

M. Aturan Kosinus

C Pada sebarang segitiga ABC, berlaku aturan sbb:

b a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A

t a b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B

c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C

D

A c B

Bukti :

Pada segitiga ADC , berlaku cos A = [pic] AD = AC. Cos A = b.cos A

CD2 = AC2 – AD2 = b2 – ( b.cos A )2 = b2 – b2.cos2A

Pada segitiga BCD, berlaku BC2 = CD2 + BD2

a2 = b2 – b2.cos2A + ( c – b.cos A )2

a2 = b2 – b2.cos2A + c2 –2.b.c.cos A + b2.cos2A

a2 = b2 + c2 – 2.b.c cos A ( terbukti )

Dengan cara yang sama dapat pula dibuktikan bahwa :

b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B dan c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C

Bentuk lain aturan kosinus :

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A atau cos A = [pic]

b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B atau cos B = [pic]

c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C atau cos C = [pic]

Contoh :

Pada segitiga ABC, diketahui AB = 8 cm, AC = 6 cm dan (A = 600.

Tentukan : a. Panjang sisi BC

b. Besar (B.

Jawab :

Diketahui : AB = c = 8 cm AC = b = 6 cm dan (A = 600.

a. BC = a = [pic]

a = [pic]

Jadi panjang sisi BC = a = [pic] cm.

b. cos B = [pic]

(B = anti cos 0,355 = ……..

Jadi : Besar sudut B adalah ……..

[pic] Latihan

1. Diketahui segitiga ABC, dengan sisi AB = 5 cm , BC = 8 cm , dan sudut B = 600.

Tentukan :

a. Panjang sisi AC b. Besar sudut C.

2. Diketahui segitiga PQR, dengan sisi PQ = 7 cm , QR = 4 cm dan sudut Q = 1200.

Tentukan :

a. Panjang sisi PR b. Besar sudut P.

3. Diketahui segitiga ABC , dengan sisi AB = 8(3 cm, BC = 8 cm dan AC = 8(2 cm.

Tentukan :

a. Besar sudut A b. Besar sudut B c. Besar sudut C

4. Diketahui segitiga PQR, dengan sisi PQ = 4 cm , PR = 5 cm dan QR = 6 cm.

Tentukan :

a. Besar sudut terbesar b. Besar sudut terkecil.

5. Sebuah pesawat udara lepas landas dengan arah 0400 sejauh 300 km, kemudian dengan

arah 2800 sejauh 400 km dan akhirnya kembali ke landasan. Panjang lintasan dari

landasan sampai kembali ke landasan lagi adalah ……..km.

6. Pada waktu yang bersamaan , dua buah kapal meninggalkan pelabuhan .Kapal A

berlayar dengan arah 0720 dan kecepatannya 15 km/jam.Kapal B dengan arah 1320 dan

kecepatannya 10 km/jam. Tentukan jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama

3 jam.

7. Koordinat kutub titik P(10,370) dan titik Q(15,1570). Tentukan jarak PQ.

N. Luas Segitiga

1. Rumus luas segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut apit.

C Pada segitiga ADC, sin A = t/b atau t = b sin A

Pada segitiga BDC , sin B = t/a atau t = a sin B

Luas segitiga ABC = ½ x alas x tinggi

= ½ .c.t

b t a = ½. c.b.sin A = ½ .b.c.sin A

= ½ .c.a.sin B = ½ .a.c sin B

c

= ½ .a.b.sin C

A D B

Luas segitiga ABC = ½ a b sin C = ½ a c sin B = ½ b c sin A

2. Rumus luas segitiga jika diketahui satu sisi dan tiga sudutnya.

Dari aturan sinus di dapat bahwa : [pic]

Maka jika disubstitusikan pada rumus di atas diperoleh rumus luas segitiga sbb:

Luas segitiga ABC = [pic] = [pic] = [pic]

3. Rumus luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya.

Luas segitiga ABC = [pic] dengan s = ½.(a+b+c)

Contoh 1 :

Tentukan luas segitiga ABC, jika diketahui sisi AB = 6 cm, AC = 8 cm dan sudut A = 600

Jawab :

AB = c = 6 cm AC = b = 8 cm sudut A = 600

Luas = ½.b.c.sin A = ½.8.6.sin 600 =24.1/2(3 = 12(3 cm2.

Contoh 2 :

Tentukan luas segitiga ABC , jika diketahui sisi AB = 5 cm , AC = 7 cm dan BC = 8 cm.

Jawab :

AB = c = 5 cm. AC = b = 7 cm BC = a = 8 cm.

S = ½.(a+b+c) = ½.(8 + 7 + 5) = ½.20 = 10 cm.

Luas = [pic]

[pic] Latihan

1. Diketahui segitiga ABC, sisi AB = 10 cm, sisi BC = 6 cm dan sudut B = 600.

Tentukan luas segitiga tsb.

2. Diketahui segitiga PQR, dengan sisi PQ = 12 cm , QR = 9 cm dan sudut Q = 1200.

Tentukan luas segitiga tsb.

3. Diketahui segitiga ABC,dengan sisi AB = 6 cm , sudut A = 300, sudut B = 600

Tentukan luas segitiga tsb .

4. Diketahui segitiga PQR , dengan sisi PQ = 10 cm, sudut P = 450, sudut Q = 600.

Tentukan luas segitiga tsb.

5. Diketahui segitiga ABC, dengan sisi AB = 8 cm, BC = 10 cm dan AC = 12 cm.

Tentukan luas segitiga tsb.

6. Diketahui segitiga KLM, dengan KL = 15 cm, LM = 25 cm dan KM = 30 cm.

Tentukan luas segitiga tsb.

7. Diketahui segienam beraturan yang dibuat dalam lingkaran yang berpusat di O dan

berjari-jari 4 cm, dengan titik –titik sudut ABCDEF.

a. Gambarlah segienam beraturan tsb.

b. Tentukan luas segitiga OAB.

c. Tentukan luas segienam beraturan ABCDEF.

8. Diketahui segi dua belas beraturan yang dibuat dalam lingkaran yang berpusat di O

dan berjari-jari 5 cm, dengan titik-titik sudut ABCDEFGHIJKL.

a. Gambarlah segi dua belas beraturan tsb.

b. Tentukan luas segitiga OAB.

c. Tentukan luas segiduabelas tsb.

9. Diketahui segi delapan beraturan dengan sisi 6 cm. Jika O titik pusat dan ABCDEFGH

sebagai titik-titik sudutnya.

a. Gambarlah segidelapan tsb.

b. Tentukan luas segitiga OAB.

c. Tentukan luas segi delapan tsb.

10. Diketahui segi dua belas beraturan dengan sisi 4 cm . Jika pusatnya O dan titik

sudutnya ABCDEFGHIJKL.

a. Gambarlah segi dua belas beraturan tsb.

b. Tentukan luas segitiga OAB.

c. Tentukan luas segi dua belas tsb.

EVALUASI

I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar dan berikan alasannya !

1. Diketahui sin A = 5/13 dan A sudut di kuadran II, maka tan A = …

a. 12/5 b. 5/12 c. 12/13

d. –5/12 e. –12/5

2. Jika tan x = -V3 , x sudut tumpul, maka cos x = …

a. -1 b. –1/2 V3 c. – 1/2

d. 1/2 e. 1/2V3

3. Nilai dari [pic]

a. -2 b. -1 c. 1/2

d. 1 e. 2

4.Nilai dari sin 7500= …

a. 1/2 b. 1/2V3 c. –1/2

d. – 1/2V3 e. -1

5. Bentuk tan A.csc A identik dengan …

a. cos A b. sin A c. sec A

d. sin2A e. cos2A

6. Koordinat Kartesius dari titik ( 6, 2400) adalah …

a. ( - 3, 3V3) b. ( - 3V3, - 3) c. ( - 3 , - 3V3)

d. ( 3V3, - 3) e. ( 3 , -3V3)

7. Koordinat kutub dari titik ( - 5,5V3) adalah …

a. ( 10, 1200) b. ( 10, 1500) c. (10, 2400)

d. (10, 3000) e. (10, 3300)

8. Diketahui f(x) = sin x + cos x + tan x , maka nilai dari f(() = …

a. - 1 b. 0 c. 1/2

d. 1 e. 2

1

9.

0 180 360 X

-1

Gambar di atas adalah grafik fungsi f(x) = …

a. sin x b. cos x c. – sin x

d. – cos x e. tan x

10. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin 2x0 + V3 = 0 untuk 0< x< 360 adalah …

a. 30 dan 60 b. 30, 60, 210 dan 240 c. 15 dan 75

d. 15 , 75 , 195 dan 255 e. 120, 150 , 300 dan 330

11. Himpunan penyelesaian persamaan tan 2x + V3 = 0 untuk 0 < x < ( adalah …

a. {[pic] } b. {[pic] } c. {[pic] }

d.{[pic] } e. {[pic] }

12. Pada segitiga ABC, sudut B = 300 , panjang sisi AB = 6V2 cm dan panjang sisi AC = 6 cm , maka besar sudut A = … derajat.

a. 30 b. 45 c. 60

d. 105 e. 120

13. Pada segitiga ABC, sudut B = 600, sudut C = 750 dan sisi AC = 20V6 cm, maka panjang sisi BC = … cm.

a. 15 b. 20 c. 15V2

d. 20V2 e. 40

14. Pada segitiga ABC , panjang sisi AB = 10 cm , BC = 16 cm dan sudut B = 600, maka panjang sisi AC = …cm.

a. 10 b. 12 c. 14

d. 16 e. 18

15. Perhatikan gambar berikut :

Besar sudut x adalah ….derajat.

a. 30 x

b. 45 16 10

c. 60

d. 90

e. 120 14

16. Luas segitiga yang gambarnya di samping

adalah …. satuan luas

a. 15V2 10 1200 6

b. 15V3

c. 30V2

d. 30V3

e. 30

17. Luas segitiga yang gambarnya di samping

adalah …. satuan luas.

a. 8V3 4V3 4

b. 9V3

c. 12V3

d. 18

e. 24 8

18. Luas segitiga yang gambarnya di samping

adalah …. satuan luas. ( sin 750 = p )

a. 16pV3 750

b. 16pV6 8

c. 32pV2 450

d. 32pV3

e. 32pV6

19. Luas suatu persegi yang dibuat dalam lingkaran yang berjari-jari 10 cm adalah … cm2.

a. 50V2 b. 100 c. 100V2 d. 200 e. 200V2

20. Luas jajaran genjang ABCD dengan panjang sisi AB = 10 cm , AD = 8 cm dan besar sudut ABC = 1200 adalah … cm2.

a. 20 b. 20V3 c. 40 d. 40V3 e. 80

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download