Résoudre les équations trigonométriques suivantes si x ε π

R?soudre les ?quations trigonom?triques suivantes si x [0, 2[ 1. 3sinx - 2= 0 2. sinx + 1 = -cos2x 3. 4cos2x ? cosx = 3 4. tan2x + 4tanx ? 12 = 0 5. 6sin2(2x) + 7sin(2x) + 2 = 0 6. 8cos2(3x) - 2cos(3x) - 3 = 0

R?soudre les ?quations trigonom?triques suivantes si x [-/2, /2[ 7. 12sec2x + 5tanx = 14

Sylvain Lacroix 2010-2011

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Solutionnaire

R?soudre les ?quations trigonom?triques suivantes si x [0, 2[ 1. 3sinx - 2= 0

3sinx - 2= 0 3sinx = 2 sinx = 2/3 1 = 0,7297 2 = -1 = 2,4119

R?ponse : x {0,7297; 2,4119}

2. sinx + 1 = -cos2x Il faut mettre l'?quation ?gale ? 0. sinx + 1 + cos2x = 0 Il faudrait avoir l'?quation en fonction de sinx. sinx + 1 + (1- sin2x) = 0 -sin2x + sinx + 2 = 0 Factorisons (produit ac = -2, donc les facteurs sont -1 et 2) -sin2x + 2sinx - sinx + 2 = 0 -sinx(sinx ? 2) ? (sinx -2) = 0 (sinx ? 2)(-sinx ? 1) = 0 (sinx ? 2)(-sinx ? 1) = 0 Posons Sinx ? 2 = 0 sinx = 2 impossible -sinx - 1 = 0 sinx = -1 x = { 3/2} R?ponse : x { 3/2}

Sylvain Lacroix 2010-2011

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3. 4cos2x ? cosx = 3

Il faut mettre l'?quation ?gale ? 0. 4cos2x ? cosx = 3 4cos2x ? cosx ? 3 = 0

Factorisons 4cos2x ?4cosx + 3cosx ? 3 = 0

4cosx(cosx ? 1) + 3(cosx ? 1) = 0

(cosx ? 1)(4cosx + 3) = 0

Posons

cosx ? 1 = 0 cosx = 1 x = { 0}

4cosx + 3 = 0 cosx = -3/4 1 = 2,4189 2 = 2-1 = 3,8643 R?ponse : x {0; 2,4189; 3,8643}

x = { 2,4189; 3,8643}

4. tan2x + 4tanx ? 12 = 0 tan2x + 4tanx ? 12 = 0

Factorisons (ac = -12 et les facteurs sont 1x12 2x6 3x4)

Nous allons prendre -2 et 6 tan2x + 6tanx -2tanx ? 12 = 0

tanx(tanx + 6) ? 2(tanx + 6)

(tanx + 6)(tanx ? 2) = 0

Posons

tanx + 6 = 0 tanx = -6 x = -1,4056

tanx ? 2 = 0 tanx = 2 x = 1,1071

si x [0, 2[ et que la p?riode de tanx est , trouvons toutes les valeurs

x = -1,4056 x = -1,4056 + = 1,736 x = 1,736 + = 4,8776

x = 1,1071 x = 1,1071 + = 4,2487

R?ponse : x {1,1071; 1,736; 4,2487; 4,8776}

Sylvain Lacroix 2010-2011

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5. 6sin2(2x) + 7sin(2x) + 2 = 0

(Attention, sin(2x) veut dire que le (2x) c'est l'argument du sinus!)

Factorisons (produit ac = 12, donc les facteurs sont 3 et 4)

6sin2(2x) + 3sin(2x) + 4sin(2x) + 2 = 0 3sin(2x)(2sin(2x) + 1) + 2(2sin(2x) + 1) = 0

(2sin(2x) + 1)(3sin(2x) + 2) = 0

Posons

2sin(2x) + 1= 0 sin(2x) = -1/2 2x = 7/6 x = 7/12

1 = 7/6 2 = 11/6

2x = 11/6 x = 11/12

La p?riode du sinus est P = 2/|b| P = ou P = 12/12

Donc on va rajouter une p?riode tant que l'on va respecter la contrainte x [0, 2[

x = 7/12 + 12/12 = 19/12

x = 11/12 + 12/12 = 23/12

x {7/12, 11/12, 19/12, 23/12}

3sin(2x) + 2= 0 sin(2x) = -2/3 1 = -0,7297 2 = -1 = 3,8713 2x = -0,7297 x = -0,3649 (Ne respecte pas la contrainte)

2x = 3,8713 x = 1,9357

La p?riode du sinus est P = 2/|b| P = ou P = 3,141592

Donc on va rajouter une p?riode tant que l'on va respecter la contrainte x [0, 2[

Ou x [0, 6,2832[

x = -0,3649 + 3,141592 = 2,7767 x = 2,7767 + 3,141592 = 5,9183

x = 1,9357 + 3,141592 = 5,0773

x {1,9357; 2,7767; 5,0773; 5,9183}

R?ponse : x {7/12, 11/12, 19/12, 23/12, 1,9357; 2,7767; 5,0773; 5,9183 }

Sylvain Lacroix 2010-2011

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6. 8cos2(3x) - 2cos(3x) - 3 = 0 (Attention, cos(3x) veut dire que le (3x) c'est l'argument du cosinus!)

Factorisons (produit ac = -24, donc les facteurs sont -6 et 4)

8cos2(3x) + 4cos(3x) - 6cos(3x) - 3 = 0 4cos(3x)(2cos(3x) + 1) ? 3(2cos(3x) + 1) = 0

(2cos(3x) + 1)(4cos(3x) ? 3) = 0 Posons 2cos(3x) + 1 = 0 cos(3x) = -1/2 1 = 2/3 2 = 4/3

3x = 2/3 x = 2/9 3x = 4/3 x = 4/9 La p?riode du cosinus est P = 2/|b| P = 2/3 ou P = 6/9 Donc on va rajouter une p?riode tant que l'on va respecter la contrainte x [0, 2[ x = 2/9 + 6/9 = 8/9 x = 8/9 + 6/9 = 14/9 x = 4/9 + 6/9 = 10/9 x = 10/9 + 6/9 = 16/9

x {2/9, 4/9, 8/9, 10/9, 14/9, 16/9}

4cos(3x) ? 3 = 0 cos(3x) = ? 1 = 0,7227 2 = 2-1 = 5,5605 3x = 0,7227 x = 0,2409

3x = 5,5605

x = 1,8535

La p?riode du cosinus est P = 2/|b| P = 2/3 ou P = 2,0944

Donc on va rajouter une p?riode tant que l'on va respecter la contrainte x [0, 2[

Ou x [0, 6,2832[

x = 0,2409 + 2,0944 = 2,3353 x = 2,3353 + 2,0944 = 4,4297

x = 1,8535 + 2,0944 = 3,9479 x = 3,9479 + 2,0944 = 6,0423

x {0,2409; 1,8535; 2,3353; 3,9479; 4,4297; 6,0423}

R?ponse : x {2/9, 4/9, 8/9, 10/9, 14/9, 16/9; 0,2409; 1,8535; 2,3353; 3,9479; 4,4297; 6,0423}

Sylvain Lacroix 2010-2011

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