Lektion 6 Logaritmefunktioner

[Pages:10]Lektion 6 Logaritmefunktioner

? Den naturlige logaritmefunktion

? Andre logaritmefunktioner

log(x)

? Regneregler ? Integration

ln(1) = 0, ln(e) = 1

ln(a ? b) = ln(a) + ln(b) ln(ar) = r ln(a)

1 x

dx

=

ln

|x|

+

C

? En ber?mt gr?nsev?rdi (eller to)

1

Den naturlige logaritmefunktion

Den naurlige logaritmefunktion

Definition af ln 5

4

ln x = x 1 dt, x > 0, 1t

3

2

1

0

1

2

3

4

5

m?aler arealet mellem 1.-aksen og grafen

for

y

=

1 t

begr?nset

af

de

lodrette

linjer

t = 1 og t = x. Funktionen ln x, x > 0, er

voksende og differentiabel med

d ln x = 1, x > 0

dx

x

Da

ln 1

=

0

og

ln 4

>

1 2

+

1 3

+

1 4

=

13 12

>

1

findes der et tal, e, et sted mellem 1 og 4 s?a

ln e = 1.

ln(4)>1/2+1/3+1/4 2

1.5

De vigtigste egenskaber er

1

0.5

0 0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

ln(1) = 0, ln(e) = 1

ln(x ? y) = ln(x) + ln(y), ln x = ln(x) - ln(y)

y

m

ln(x n )

=

m

ln(x)

Graf for ln(x) 2

n

1

lim

x0+

ln x

=

-,

xlim ln x

=

x

1

2

3

4

5

6

7

0

?1

?2

?3

2

Hvorfor? Hold y > 0 fast og kig p?a funktionen x ln(xy). Dens afledte

d ln(xy) = y = 1 = d ln(x)

dx

xy x dx

er den samme som den afledte for ln(x). Derfor er forskellen mellem de to funktioner konstant. Inds?tter vi x = 1 ser vi at den konstant er ln y. Alts?a har vi demonstreret at

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

for alle positive tal x og y. Men s?a er

ln(x-1) = - ln(x)

for ln(x) + ln(x-1) = ln(x ? x-1) = ln 1 = 0. For alle hele tal n er s?a ln(xn) = n ln(x).

Heraf f?ar vi

m

n ln(x n ) = ln

(x

m n

)n

= ln(xm) = m ln(x)

Gr?nsev?rdierne for den voksende funktion ln(x) for x g?aende mod f?lger af at ln en = n g?ar mod og ln e-n = -n mod - for n .

3

Logaritmer med andre grundtal

Den naturlige logaritme funktion opfylder

ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln(e) = 1

Funktionen log(x) = ln(x) ln(10)

som opfylder at

ln og log 2

1

x

2

4

6

8

10

0

?1

?2

?3

log(x ? y) = log(x) + log(y), log(10) = 1

er logaritmen med grundtal 10.

Helt generelt, n?ar a er et positivt tal, kaldes

funktionen

log fkt med grundtal 2 og 1/2 4

loga(x)

=

ln(x) ln(a)

som opfylder

2

0

2

4

6

8

10

x

?2

?4

loga(x ? y) = loga(x) + loga(y), loga(a) = 1

logaritmen med grundtal a. De forskellige logaritmefunktioner er proportionale.

Eksempel 1 log(100) = 2, log(0, 01) = -2 og log(1265) = log(1, 265) + 3. Dette blev tidligere brugt til beregninger. log2(8) = 3, log2(1/8) = -3 = log1/2(8).

4

Integration

Formlen

1 dx = ln |x| + C x

er

1 x

kort dx =

for

1 x

ln(-x)

dx = n?ar x

ln(x) < 0.

n?ar

x

>

0

og

Integration ved substitution giver

u (x) dx = ln |u(x)| + C u(x) for enhver positiv (eller negativ) differentiabel funktion u(x). Feks

1 2x -

1

dx

=

1 2

ln |2x

-

1|

+

C

x x2 -

1

dx

=

1 2

ln

|x2

-

1|

+

C

tan x dx =

sin x cos x

dx

=

-

ln

|

cos

x|

+

C

Partiel integration giver

ln x dx = 1 ? ln x dx 1

= x ln x - x ? dx = x ln x - x + C x

5

Eksempel 2 (Anvendelse af ln)

N?ar ellers cos x = 0 s?a er 1 + tan2 x =

1 cos2

x

.

For

0

<

x

<

/2

f?lger

det

at

d ln 1 + tan x = 1

dx cos x

cos x

eller

1

1

dx = ln |

+ tan x| + C

cos x

cos x

= ln 1 + cos x

1 cos2

x

-

1

+C

Omvendt

substitution

u

=

1 cos

x,

du dx

=

1 cos x

tan x,

giver

nu

(

1

du)

1

=

1

? 1 ? tan x dx

u2 - 1

cos x

tan2 x cos x

1

1

1

=

dx = ln

+

cos x

cos x

cos2 x - 1 + C

= (ln |u +

s?a vi har vist at 1 du = ln u +

u2 - 1

u2 - 1| + C)( 1 ) cos x

u2 - 1 + C

Eksempel 3 Ved omvendt substitution u =

x2,

du dx

= 2x,

f?ar

vi

1

+1udu

=

2( u

-

ln(1

+

u))

+

C

6

To ber?mte gr?nsev?rdier

Lad r > 0 v?re et positivt tal (en br?k). B?ade potensfunktion xr og logaritmefunk-

tionen ln(x) g?ar mod for x . Hvem vinder? Potensfunktion xr g?ar mod 0 og ln(x) g?ar mod - for x 0+. Hvem vin-

der? Det g?r potensfunktionen:

xlim

ln(x) xr

=

0

=

lim

x0+

xr

ln(x)

Hvorfor? Af grafen for ln(x) ser vi at

ln(x) x - 1 < x

Sammenligning 6

4

2

0

1

2

3

4

5

6

7

x

?2

for alle positive x. Specielt for x > 1 har vi

s?a

r2

r

r

0

ln x xr

=

ln(x2 r ) xr

=

2 ln(x2) r xr

2 x2 r xr

21

=

r

x

r 2

hvor den sidste br?k g?ar mod 0 for x .

Det giver den f?rste af de to gr?nsev?r-

dier. Den anden f?as nu ved at s?tte x = 1/y og lade y 0+.

7

Opgaver til Lektion 6

1.

Find

d dx

ln(1

+

x2).

2. Find

1 3x+2

dx.

3. Find

x+1 x2+4

dx.

4. Bestem tangenten til y = x3ln x i punktet

(1, 0).

5. Find den kvadratiske (2. ordens) approximation til f (x) = ln(1 + x) t?t ved x0 = 0. Brug det til at beregne ln(1, 01). Hvad siger lommeregneren?

6. Hvad er limn n n?

7. P?a en logaritmisk skala afs?tter vi 10 = 101 i 1, 100 = 102 i 2, . . ., 10n i n. Hvor afs?tter vi 50?

8. (Eksamen Januar 2001) a) Brug substitution til at finde det ubestemt integral

1 dx (x > 1)

x ln x b) Brug dit resultat fra punkt a) til at beregne den eksakte v?rdi af det bestemte

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download