Engenharia Civil « Faculdade Sudoeste Paulista (FSP)



No Inal tem exercícios de EDO, a maioria dos exercícios forma tirados do livro do Boulos Boyce.Este assunto é para se ter idéia de equa??es diferenciais elementares, para entendermos problemas ligados à engenharia de produ??o e civil. Dever?o ser entregues dia 16 de maio de 2012, com pelo menos 90 % feitos. Equa??es diferenciais Equa??o diferencial ordinária ( EDO) é uma equa??o onde figuram algumas derivadas de uma fun??o incógnita. Na equa??o pode aparecer a fun??o incógnita e a variável independente .Uma E D O contém apenas fun??es de uma variável e derivadas da mesma variável .Uma equa??o parcial ( E D P ) contem fun??es com mais de uma variável e suas derivadas parciais As equa??es diferenciais s?o usadas para construir modelos matemáticos de fen?menos físicos tais como na?din?mica dos fluidos e em mec?nica celeste deste modo, o estudo de equa??es diferenciais é um campo extenso na? matemática pura e aplicada.Veremos somente algumas equa??es diferencia ordinárias e elementares, que já quebrar?o um bom galho no curso da engenharia .A maior ordem da derivada é a ordem da equa??o , por exemplo aparece y’, y”, y’” e y””, é EDO de ordem quatroExemplos y” + 3 y –x =0, EDO de ordem 2y – y’”= 3x, EDO de ordem 3y”” = 5x, EDO de ordem 4d??dt? + gl sen ?= 0 ordem 2Y”+ 3 y” + 6 y = sen(x) ordem 2(Y”) ? + 3 y1 + 6 y = tg(x) ordem 2 A fun??o f(x) = sen 2x é solu??o da equa??o y” + 4 y=0, verifique, N?o só essa fun??o como um monte delas , por exemplo f(x) = -2 cos 2x., também é solu??o. A fun??o dada por A sen 2x + B cos 2x, também é solu??o da EDO, ent?o a solu??o de uma EDO é uma fun??o tendo por domínio um intervalo aberto de IR.Primeiro tipo de EDOY’= 2x? fácil de ver que y= x? + CEqua??es diferenciais de primeira ordem Pode ser representada por f ( x, y, y’) =0, quando representamos uma EDO da forma y’= F ( x,y), dizemos que está na forma normal. Na EDO , se tivermos um ponto ( xo, yo), o qual a fun??o passa por ele , dizemos que (xo, yo), é condi??o inicial do problema . A solu??o da equa??o tem valor inicial .Equa??es de variáveis separáveis. Uma EDO que possa ser colocada na forma y’=Q(x).R(y), com Q e R, fun??es n?o nulas , tendo por domínio um intervalo aberto dizemos que é E D O de variáveis separáveis Exemplos a) y’ = 3 x?. y?b) y’= sen x. y?c) y’ = 11+x?. yd) y’ = e2xe) y’=2yAs E D O acima s?o de variáveis separáveisSolu??o de uma equa??o de variáveis separáveisUma EDO pode ter solu??es constantes , por exemploY’=sen xy?, quando a derivada y’= 0 é porque y é constante , no caso 1/y? n?o tem raízes, portanto n?o tem solu??o constante.Y’= x( y-1) ( y-2) Para y=1 ou y=2, temos y’ =0, portanto y=1 e y=2, s?o solu??es constantes Solu??es das EDO de 1? ordem ( n?o constantes) Se s?o variáveis separáveis, o problema consiste em resolver duas integraisPor exemploy’ = 3 x?. y?Podemos escrever :d ydx = 3 x?. y? , ou d yy? = 3 x? dx Colocando a integral , dos dois lados, temosd yy? = 3 x? dx y-2dy= 3 x? dx y-1-1 = x ? + C , ou seja – 1/y= x?+C, , melhorando mais, temos y= -1/x?+Cy’=3 x?+4x+22( y-1) com valor inicial y(0)= -1d yd x = 3 x?+4x+22( y-1)2( y-1) d y = 3 x2+4x+2dx,inegrando os dois membros teremos : Y? - 2y = x? + 2 x? + 2 x + C Para y= -1 e x = 0 , teremos C = 3Y? - 2y = x? + 2 x? + 2 x + 3 ( resolu??o implícita). A resolu??o explicita se obterá tirando o valor de yY= 1 ±x?+2 x?+2x+4Equa??es homogêneasExistem algumas equa??es diferenciais de primeira ordem, mesmo de orden superior , que à primeira vista n?o s?o de variáveisi separáveis , mas uma substitui??o adequada , recai numa equa??o diferencial de variáveis separáveis .Por exemplo . Há uma técnica matemática para verificarmos se uma equa??o é homogênea , n?o mostraemos no nosso curso..Exemplo 1- y’ = x?+y?4 x y, xy ≠0 ao substituirmos y =t x, teremos y’=t + xt’t + xt’= x?+t?x?4 x tx t + xt’= 1+t?4 t4t? + 4xtt’ = 1 + t? 4xtt’= 1 – 3 t? t dt1-3t?= dx4 x Exemplo 2 De a solu??o das equa??es y’= y-x x , xy ≠0ao substituirmos y =t x, teremos y’=t + xt’t + xt’ = tx-x x t +x t’ = t-1 x t’ =-1 dt dx= -1 x dt = -dxx t= - ln x + Ccomo t = y/x, substituindo teremos Ou ainda y= x(C- ln x ) 3-Equa??es exatas - Já discutimos EDO de variáveis separáveis , homogêneas, vamos agora verificar uma equa??o do tipo 2x + y? + 2xy y’=0Se pegarmos uma fun??o F (x,y) = x? + xy?, terá a propriedade de ?F?x=2x+y? e ?F?y=2xyA fun??o procurada será x? +x y? = CExemplo 2Partindo de trás para frente F(x,y)= x? + y? + xy ?F?x=3x?+y ?F?y=3y?+x ?2f?x?y = 1 ?2f?y?x = 1Se tivermos ent?o ( 3x? + y ) + (3y?+x) dydx = 0 , é exatamente a derivada da fun??o F (x,y) Portanto a solu??o da equa??o ( 3x? + y ) + (3y?+x) y' = 0 será F(x,y)= x? + y? + xy = CMétodo para encontrar a solu??o Dizemos que uma equa??o diferencial é exata se pudermos colocá-la na forma ?F?x (x,y) + ?F?y x,y.y'=0 , onde F é diferenciável no dominio da equa??o dada por F(x,y) = CDada a equa??o diferencial ordinária P (x,y) + Q ( x,y) .y’=0 Devemos procurar uma fun??o denominada potencial de tal maneira que ?F?x=P e ?F ?y=QCondi??o de exatid?o ?Q?x= ?P ?yExemplo Seja a equa??o 3 x? - y? + (2y – 3 xy?)y’=0?P?y=-3y2 ?Q?x=-3y2 ?F?xx,y=3 x?-y? ?F?yx,y=2y-3xy?F(x,y) = 3x2-3y3dx = x? -3 y?x + g(y)So que a derivada com rela??o à y tem que ser igual a -3xy?+g'y=2y-3xy?Ent?o g’(y) =2 y e g(y) = y?Portanto a solu??o da EDO será x? - y?x + y? = C Estou preocupado em solucionar alguns casos de solu??o de EDO, deixando de lado um monte de defini??es e demonstra??es, que n?o cabem no nosso curso. Exercicios1-Verificar a ordem das EQO, e verificar se , as fun??es ao lado s?o solu??esy’= y solu??es : y=ex , y = ln x, y = Aex y”-y=0 , solu??es : y=e-x , y= Ae-x +B e-xy’+ 4 x?y?=0 solu??o y = x-42 x?y” + 3 x y’ – y =0 , solu??o y =x , x>0.X?y’” + x? y” – 1 =0 , solu??o y = lnx f) y = e2x é solu??o de y”-5y’+6y=0 ? g) y = e3x , é solu??o de y"?5y'+6y = 0?2) Determinar as solu??es das equa??es a) y’ = 3 x?b) y’= sen xc) y’ = 11+x?d) y’ = e2x3) Exercícios Quais equa??es s?o de variáveis separáveis y’ – 2x = yxy’+3xy=0y’=xyy’=x/yy’=sen x /y?y’=x?1-y?y’= 3x?+4x+22(y-1)4) Dar as solu??es constantes das equa??es a) y’=y?+27 b) y’=yx?c) y’ = y?-13xd) y’= senh( x) .xe) y’= x ( y?-5y + 6)Exercicios para entregar – Comece fazer jáEstes exercício n?o s?o para eu dar nota e sim para vocês se prepararem para a prova .Achar a solu??o das equa??es diferenciaisObserva??esTalvez voce encontre outras respostas , mas s?o equivalentes a essa , pergunte.Quando você tiver ln a + ln b equivale a ln (a.b) e ln a – ln b equivale a ln ( a/b)ln y = x , implica que y = ex ey = x , implica que y = ln x respostasxdx + y dy = 0y’=x?/yy’+ y? cos x =0y’= x/yy’=cos?xcos?yxy’= ( 1- y)xy’= ( 1- 2y)y’= x?/yy’=3x?y(1+x3) ( você lembra que quando o numerador é derviada do denominador , a integral é logaritmo neperiano ?y’=cos?xy?dydx=x- exy+ eydydx=x?1+ y?dydx=x?(y2+ 3y)3+2ydydx=cos(5x-3)cos( 2y-3)dydx=cos? (5x-3)cos?( 2y-3)a)x? + y? = c ( c≥0), circunferênciab) 2 y?=x4+ cc)y=1/(sen x + c) , sen x +c ≠0 e y = 0d) y? = 2 x + ce)y + (sen 2y)/2= x + (sen2x)/2 + cf) x= c / (1-y) e y =1g)x?( 1- 2y) = c e y = 1/2h) y? = x?/3 + ci) y?/2= ln 1+x?+ c, ou y =±2 (ln1+x?+ c) , 2 (ln1+x?+c)≥0, 1 + x?>0j) y4=2 x+sen2x2+ cy=±42 x+sen2x2+ c ,com 2 x+sen2x2+ c ≥0k) y?/2 + ey= x?/2 - ex+ cl) y + y?/3= x? + cm) lny?+3y= x?/3 + c, Sol. const.: y= 0, y =-3n) sen ( 2y-3)/2 = sem ( 5x – 3)/5 + c0) y + sen(4y-6)/4= x + sen(10x-6)/10 + cEncontre a solu??o do problema de valor inicial respostas1Y’=(1-2x)y? y(0) = -2Y?/3 = x – x? - 8/32xdx + y dy = 0 y(0)=5X? + y? =253xdx - y dy=0 y(0) = 1y? - x? = 14y’=2x y(0 ) = 4Y= x?+45y’=2x1+2y y(2)=0Y + y? = x? + c6y’= x( x2+1)4 y? y(0) = - 12y4=x4/4 + x?/2 + c7y’= ( e-x- ex )3+ 4 y y(0) = 13y + 2 y?= - e-x- ex +78 y’= ( 3 x?- ex )2 y-5 y(0) =1Y?-5y= x? - ex -39Sen 2x dx + cos 3y dy =0 y ( π/2)= π/3Cos 2x/2 – sen 3y/3 =- 1/210Dada as EDO Y’= 2y? + xy? determineSolu??o constante solu??o n?o constanteSolu??o com valor inicial y(0)=1,D (Vamos ver se lembra do termo passado , determine onde a solu??o atinge o valor mínimo, n?o vai perguntar se cai na prova )0Y =-1x22+2x+cY =-1x22+2x-1So procurar quando f(x)= -(x22+2x-1) é máximo. Só derivar e igualar a zero, x=-2, deriva outra vez f’’(x) =-1, portanto =-2 é ponto de máximo Resolver as equa??es homogêneas1y’=x-yx ( x≠0)Voce chegará em ln 1-2v= -2 ex +c ln 1-2v+ ln x?=c ln 1-2v x?=c , x? (1-2v) = ec =Asubstituir v chegará em y = x/2 + c/2x2y’=x+yx ( x≠y)v = ln x + c, fazendo as devidas substitui??es teremosy=x( lnx+ c)3y’=x?+y?xy ( xy≠0)v?= lnx + cy? = x? (lnx + c)4y’=x?+xy+ y?x? ( x≠0)Lembre-se que integral de dv/(1+v?)= arc tg varc tg v = ln x + c, pode substituir v = y/x, ou v= tg ( lnx +c), y = x tg ( lnx+C)5y’=x?+3y?2xy ( xy≠0) ln ( 1+v?) = lnx + c , e elevado a c = Aln 1+v?x=c 1+v?x= ec =A, Fazendo as devidas substitui??es teremos Y=±Ax?-x? 6y’=x4+xy?x?y? ( xy≠0)V? /3 = lnx + cV=33 (lnx+c), substitui v 7dy/dx=3x+yxY = x( lnx ? + c)8y’=x?+3 y?2xy ( xy≠0)Você vai chegar em ln(1+v?)= lnx + cln(1+v?)- lnx = cln1+v?x=c ou 1+v?x = ec, 1+v?x =c daqui você tira que v =±cx-1, troque o v por y/x e imp?e que o radical tem que ser positivo 9y’=x+ 2yx ( xy≠0)Y= Ax? -x10Y’=y? + xy + x?arc tg v = ln x + c, ou tg (ln x + c) = v e substitui v4) Verificar se as EDO s?o exatas , no caso de exata resolve-lasrespostas( receita de bolo)1 ( 2x+3) + ( 2y-2)y’=0x?+ 3x + y? - 2y =c2( 2x + 4y) + ( 2x – 2y) y’=0N?o é exata 3 ( 3x?-2xy +2) dx + ( 6y? - x? + 3) dy=0x?- x?y+ 2x + 2 y? + 3y =c4( 2xy? + 2y)+ ( 2x?y + 2x)y’=0X?y? + 2xy=c5dxdy=- ax+bybx+cya x? + 2 bxy + cy? = k6 dxdy=- ax-bybx-cyN?o é exata7(ex sen y -2y senx) dx+ (ex cos y+2cosx) dy=0ex sen y+2ycosx=c , também y=0 8(ex sen y+3y) dx- (3x-ex sen y) dy=0N?o é exata9(yexy cos2x -2exy sen2x+2x) dx+ (xexy cos2x-3 ) dy=0exy cos2x +x?-3y=c difícil10( y/x + 6x) dx + ( ln x – 2) dy=0 ( x>0)y ln x + 3 x? - 2y = c11( x lny + xy) dx + ( y lnx + xy) dy=0 ( x>0, y >0)N?o é exata12x dx(x2+ y2)3/2+ y dy(x2+ y2)3/2 = 0x?+ y? =c difícil13Resolva a equa??o ( 2x – y ) dx + ( 2y – x ) d y =0, de valor inicial y(1) = 3Y = [ x + 28-3 x?]/2 x< 28/3 ................
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