OS ELEMENTOS BÁSICOS DA GEOMETRIA



Os elementos básicos do estudo da Geometria são ideias de ponto, reta e plano. No nosso dia-a-dia usamos essas palavras em diversas ocasiões, e com diversos significados, tais como:

– Esse é o ponto de partida para a execução do projeto.

– A que ponto chegamos!

– Estamos na reta final do trabalho.

– Eu tenho um plano!

Sob o ponto de vista da Geometria, no entanto, essas palavras têm significados muito específicos. Contudo, apesar de serem conceitos importantes, são difíceis de serem definidos por serem intuitivos.

Tente dar uma definição de um deles:

– O que é reta?

O PONTO, A RETA E O PLANO

O ponto, a reta e o plano não existem no mundo real: um grão de areia, uma vareta ou um tampo de mesa nos dão uma ideia de ponto, de reta e de plano. Mas nunca vimos um grão que não tenha volume (por menor que ele seja), uma vareta que não tenha espessura e se prolongue indefinidamente, ou um tampo de mesa que se prolongue em todas as direções.

O ponto

Graficamente, um ponto pode ser representado pela figura “(”, e é indicado por letras maiúsculas do nosso alfabeto. Assim, temos:

A reta

Uma reta é uma figura com infinitos pontos. Graficamente, uma reta pode ser representada pela figura a seguir, e é indicada por letras minúsculas do nosso alfabeto.

Podemos também indicar uma reta pelos pontos que pertencem a ela. Por exemplo: se uma reta contém os pontos A e B, podemos indicá-la por:

reta AB ou simplesmente reta AB, quando especificado que AB é uma reta.

Quando três ou mais pontos pertencem à mesma reta, eles são chamados de pontos colineares.

O plano

Graficamente, um plano pode ser representado pela figura a seguir (um paralelogramo), e é indicado por uma letra minúscula do alfabeto grego: ( (alfa), ( (beta), ( (gama), ( (delta) etc.

plano (

A Semi-reta

Se pudéssemos cortar uma reta ao meio e ficar apenas com a sua metade, teríamos o que chamamos de semi-reta e o ponto onde a reta foi cortada seria o ponto de origem da semi-reta.

Graficamente, uma semi-reta pode ser representada pela figura a seguir:

O Segmento de Reta

Vamos considerar a figura a seguir que representa uma reta que contém os pontos A e B.

A parte da figura que fica entre os pontos A e B, incluindo os pontos A e B, é o que chamamos de segmento de reta. Neste caso, A e B são chamados extremidades do segmento AB.

Para trabalhar com esses conceitos, precisamos raciocinar de forma a evitar erros. Queremos encontrar propriedades que sejam verdadeiras.

Justamente porque ponto, reta e plano não existem no mundo real, é importante que usemos certas regras que permitam dizer se nossas conclusões são verdadeiras ou não. Nem sempre os nossos sentidos, ou o nosso bom senso, nos levam a conclusões válidas, como você verá nos exemplos a seguir.

Na figura 1 a seguir, com o auxílio de uma régua, veja se as linhas que ligam M a N e P a Q são linhas retas.

Na figura 2 abaixo, qual das linhas é maior: a horizontal ou a vertical?

Bem, se por um lado não podemos confiar apenas no bom senso e na intuição, por outro, eles são muito importantes. Isto porque em Geometria, algumas afirmações são aceitas como sendo verdadeiras sem quaisquer contestações, pois são situações bastante intuitivas.

Veja a seguir algumas dessas afirmações.

✓ Por um único ponto passam inúmeras retas.

✓ Por dois pontos distintos (ou seja, diferentes), passa uma única reta.

Medida de um segmento de reta

Determinar a medida de um segmento de reta é medir o seu comprimento, ou seja, dizer qual é o seu tamanho. Para isso, precisamos de uma unidade de medida, que é o que tomaremos por comparação (medir quer dizer comparar), como por exemplo: o palmo, o passo, a jarda, o metro, o quilômetro etc.

Observe a figura a seguir.

Tomando como unidade de medida o segmento u, você seria capaz de dizer as medidas dos segmentos:

XY (

PB (

PQ (

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS

Num mesmo plano, duas retas podem ser: paralelas, concorrentes ou coincidentes. E, quando em planos diferentes, podem ser, também, reversas. Veja.

Retas paralelas

Duas retas são ditas paralelas quando não têm pontos em comum.

Retas Concorrentes (ou secantes)

Duas retas são ditas concorrentes (ou secantes) quando têm apenas um ponto em comum.

OBS.: Há um caso particular de retas concorrentes que são as retas que se cruzam formando quatro ângulos congruentes (iguais); a representação deste caso lembra a figura do sinal de mais (+).

Retas Coincidentes

Duas retas são ditas coincidentes quando têm mais de um ponto em comum.

Retas Reversas

Duas retas são ditas reversas quando não possuem pontos em comum e se encontram em planos diferentes. Observe.

No desenho acima, temos um cubo, uma figura com várias faces. As retas u e v estão em faces diferentes e não se cruzam.

Exercícios

1. Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa.

• Por um ponto passam infinitas retas.

• Por três pontos dados passa uma reta.

• Quatro pontos dados, todos distintos, determinam duas retas.

• Se dois pontos distintos A e B pertencem às retas r e s, então r = s.

• Duas retas distintas que têm um ponto em comum são concorrentes.

• Quatro pontos distintos, sendo três deles colineares, determinam quatro retas.

2. Dados três pontos distintos de uma reta, quantos segmentos distintos eles determinam?

3. Marque numa folha quatro pontos distintos, três a três não colineares. Quantas retas podemos traçar passando por dois desses pontos?

4. Dados dois pontos distintos, A e B, quantos segmentos há com extremidades A e B? Quantos segmentos há que passam pelos pontos A e B?

5. Faça um desenho onde constem os pontos A, B, C, D e E, e retas r e s, satisfazendo ao mesmo tempo os itens a seguir:

• r e s não são coincidentes;

• A ( r e A ( s;

• B ( r e C ( r;

• B e C estão em semiplanos opostos com respeito a s;

• D e E estão em semiplanos opostos com respeito a r, e nenhum dos dois pontos pertence a s.

6. Desenhe dois segmentos AB e CD tais que a interseção de AB e CD é o conjunto vazio, mas AB e CD têm um ponto em comum.

7. Desenhe dois segmentos AB e CD tais que a interseção de AB e CD é o conjunto vazio, mas AB = CD.

8. Escreva o que significa dizer que três pontos não são colineares.

9. (ESA) Na figura abaixo, o segmento AB mede 14 cm e o segmento MN mede 12 cm, M é o ponto médio de AB e N o ponto médio de BC. A medida do segmento AC, em cm, é:

a) 28 b) 20 c) 12 d) 19 e) 24

10. (ESA) Considere os pontos colineares A, B, O e C na ordem OABC. Se AO = 3 cm, OB = 5 cm e 4AB + AC – 2BC = 6, então a distância, em cm, entre os pontos O e C é igual a:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

11. Observe a figura e leia com atenção as afirmações que seguem a seu respeito.

I. As retas t e u são concorrentes oblíquas.

II. As retas s e u são reversas.

III. As retas s e t são concorrentes perpendiculares.

IV. As retas u e r são paralelas.

V. As retas t e s são coplanares.

De acordo com a figura anterior, a alternativa correta é:

a) todas as afirmações acima são verdadeiras

b) nenhuma das afirmações acima é verdadeira

c) As falsas são I, IV e V

d) as verdadeiras são II, III IV

e) as verdadeiras são II e IV

As 10 regras do Futebol de Rua,

o verdadeiro futebol de macho!

1. A BOLA

A bola pode ser qualquer coisa remotamente esférica. Até uma bola de futebol serve. No desespero, usa-se qualquer coisa que role, como uma pedra, uma lata vazia ou a merendeira do irmão menor.

2. O “GOL”

O gol pode ser feito com o que estiver à mão: tijolos, paralelepípedos de concreto, camisas emboladas, chinelos, os livros da escola e até o seu irmão menor. Se for golzinho, há uma distância de mais ou menos 4 ou passos, dependo do tamanho do pé (38, 40 etc).

3. O CAMPO

O campo pode ser só até o fio da calçada, calçada e rua, rua e a calçada do outro lado e, nos grandes clássicos, o quarteirão inteiro.

4. DURAÇÃO DO JOGO

O jogo normalmente vira 5 e termina 10; pode durar até a mãe do dono da bola chamar ou escurecer. Nos jogos noturnos, até alguém da vizinhança ameaçar chamar a polícia.

5. FORMAÇÃO DOS TIMES

Varia de 3 a 70 jogadores de cada lado. Ruim vai para o gol. Perneta joga na ponta, na esquerda ou na direita, dependendo da perna que faltar. De óculos é meia-armador, para evitar os choques. Os com mais corpo é beque.

6. O JUIZ

Não tem juiz.

7. AS INTERRUPÇÕES

No futebol de rua, a partida só pode ser paralisada em 3 eventualidades:

a) Se a bola entrar por uma janela. Neste caso os jogadores devem esperar 10 min pela devolução voluntária da bola. Se isso não ocorrer, os jogadores devem designar voluntários para bater na porta da casa e solicitar a devolução, primeiro com bons modos e depois com ameaças de depredação.

b) Quando passar na rua qualquer garota gostosa.

c) Quando passarem veículos pesados, de ônibus para cima. Bicicletas e Fusquinhas podem ser chutados junto com a bola e, se entrar, é gol.

8. AS SUBSTITUIÇÕES

São permitidas substituições nos casos de:

a) Um jogador ser carregado para casa pela orelha para fazer lição.

b) Jogador que arrancou o tampão do dedão do pé. Porém, nestes casos, o mesmo acaba voltando a partida após utilizar aquela água “santa” da torneira do quintal de alguém.

c) Em caso de atropelamento.

9. AS PENALIDADES

A única falta prevista nas regras do futebol de rua é atirar o adversário dentro do bueiro.

10. A JUSTIÇA ESPORTIVA

Os casos de litígio serão resolvidos na porrada, prevalece os mais fortes e/ou quem pegar uma pedra antes.

QUEM NÃO JOGOU, PERDEU UM DOS MELHORES MOMENTOS DA VIDA.

Extraído e adaptado do site



Acessado em 17 de março de 2011.

O texto acima, escrito por um jovem chamado Carlos Eli nos leva a um momento incrível de nossas vidas (pelo menos para os homens).

Há um momento em que, ao falar sobre o “gol”, é citada a distância entre os objetos utilizados – 4 ou 5 passos (aqui, o passo se refere ao comprimento do pé do jogador).

Neste caso, “o passo” é a unidade de medida utilizada para medir a distância entre os objetos.

Saiba que medir significa comparar.

Portanto, para medir uma distância, é necessário ter alguma coisa que se possa comparar com essa distância.

No caso do “golzinho”, a distância está entre uma baliza e outra e a unidade de medida utilizada foi o passo.

As diferentes unidades de Medida

ao longo da história

Medidas de comprimento:

Côvado, do cotovelo à ponta dos dedos = 45 centímetros

Braça, 4 côvados = 1.80 metros

Estádio, 400 côvados = 1.480 metros

Milha = cerca de 3 metros

Caminho de um sábado = aproximadamente 1.080 metros

s elementos básicos do estudo da Geometria são ideias de ponto, reta e plano. No nosso dia-a-dia usamos essas palavras em diversas ocasiões, e com diversos significados, tais como:

– Esse é o ponto de partida para a execução do projeto.

– A que ponto chegamos!

– Estamos na reta final do trabalho.

– Eu tenho um plano!

Sob o ponto de vista da Geometria, no entanto, essas palavras têm significados muito específicos. Contudo, apesar de serem conceitos importantes, são difíceis de serem definidos por serem intuitivos.

Tente dar uma definição de um deles:

– O que é reta?

O PONTO, A RETA E O PLANO

O ponto, a reta e o plano não existem no mundo real: um grão de areia, uma vareta ou um tampo de mesa nos dão uma ideia de ponto, de reta e de plano. Mas nunca vimos um grão que não tenha volume (por menor que ele seja), uma vareta que não tenha espessura e se prolongue indefinidamente, ou um tampo de mesa que se prolongue em todas as direções.

O ponto

Graficamente, um ponto pode ser representado pela figura “(”, e é indicado por letras maiúsculas do nosso alfabeto. Assim, temos:

Ângulos são figuras geométricas formadas por duas semi-retas de mesma origem.

A cada ângulo podemos associar um número, ou seja, uma medida. A unidade de medida que vamos, inicialmente, utilizar para trabalhar com tais medidas é o Grau.

Tomando uma circunferência e dividindo-a em 360 partes iguais, cada um dos ângulos centrais obtidos por essa divisão tem como medida 1 grau (indica-se: 1º).

[pic]

CLASSIFICAÇÃO PARA OS ÂNGULOS DE

ACORDO COM SUAS MEDIDAS:

Ângulo nulo:

É a figura formada por duas semi-retas coincidentes, considerando que não há abertura entre elas.

Ângulo agudo:

Ângulo cuja medida está entre 0º e 90º.

Ângulo reto:

Ângulo que tem medida igual a 90º.

Ângulo obtuso:

Ângulo cuja medida está entre 90º e 180º.

Ângulo raso ou meia volta:

Ângulo que tem medida igual a 180º.

Ângulo rombo ou uma volta:

Ângulo que tem medida igual a 360º.

OUTRAS CLASSIFICAÇÕES...

Ângulos congruentes:

Dois ângulos são congruentes quando possuem e mesma medida.

Ângulos adjacentes:

Dois ângulos são adjacentes quando têm o mesmo vértice e um dos lados em comum e não possuem pontos interiores em comum.

Ângulos complementares:

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

[pic]

Ângulos suplementares:

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes (iguais).

Ângulos opostos pelo vértice

Dois ângulos são chamados opostos pelo vértice quando os lados de um ângulo são semi-retas opostas aos lados do outro.

Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes, ou seja, têm a mesma medida.

Exercícios

01. Descubra a medida dos ângulos centrais desconhecidos.

02. (ENEM-2004) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a

a) uma volta completa.

b) uma volta e meia.

c) duas voltas completas.

d) duas voltas e meia.

03. A medida do suplemento de um ângulo cuja medida é a, é:

a) 90º – a c) 90 + a

b) 180º – a d) 180º + a

04. (U. Passo Fundo – RS) A diferença entre dois ângulos suplementares é 48º. O maior deles mede:

a) 42º b) 69º c) 76º d) 204 e) 114º

05. Na figura abaixo, a medida de x é:

a) 20º b) 45º c) 27º d) 9º

06. Na figura abaixo, a medida do menor ângulo é:

a) 45º b) 70º c) 20º d)110º

07. Na figura abaixo, qual o valor de x?

08. Na figura abaixo, qual o valor de x e y?

09. Sobre a figura abaixo, é correto afirmar que:

a) AÔB = AÔC c) AÔC = EÔG

b) AÔC = BÔE d) BÔD = CÔF

10. Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, supondo um relógio analógico, quando o relógio estiver marcando:

a) 2h

b) 18h

c) 21h

d) 12:30h

e) 3:40h

11. Qual é o ângulo que somado ao triplo do seu complemento é igual a 210?

12. Determine dois ângulos suplementares, sabendo que um deles é o triplo do outro.

13. Qual é a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares?

GABARITO:

1- a) 110º b) 160º; 2-D; 3-B; 4-E; 5-A; 6-B; 7-40º; 8-x=15º e y=130º; 9-C; 10- a) 60º, b) 180º, c) 90º, d) 165º, e) 130º; 11-30º; 12-45º e 135º, 13-90º;

[pic]

Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito ângulos, assim denominados.

Os ângulos formados têm nomes particulares. Veja:

Ângulos correspondentes: a e e, b e f, c e g, d e h;

Ângulos alternos internos: c e e, d e f;

Ângulos alternos externos: a e g, b e h;

Ângulos colaterais internos: c e f, d e e; e

Ângulos colaterais externos: a e h, b e g.

Propriedades

← Ângulos alternos internos são

← Ângulos alternos externos são

← Ângulos correspondentes são

← Ângulos colaterais internos são

← Ângulos colaterais externos são

Exercícios

01. Na figura, r // s e t é transversal.

t

a d

r

b c

e h

s

f g

Então, a afirmativa correta é:

a) a = b

b) b + h = 180º

c) c + h = 180º

d) b = e

02. Dadas as retas paralelas cortadas por transversal abaixo, faça o que se pede:

a) Calcule x, y e z, sabendo que 2x + y + z = 240º.

b) Calcule x e y.

Então, a afirmativa correta é:

e) a = b

f) b + h = 180º

g) c + h = 180º

h) b = e

03. Qual é o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, supondo o relógio analógico, quando este marcar 2:30h? E quando marcar 2:45h?

04. Qual é o ângulo que somado ao triplo do seu complemento é igual a 210º?

05. Determine dois ângulos suplementares, sabendo que um deles é o triplo do outro.

06. Qual é a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares?

07. Na figura, AÊJ = DÔI e CÔI é o complemento de DÔI. Identifique a sentença correta.

a) AF // GI.

b) CK ( GI.

c) JÔK é o complemento de DÊF.

d) DÔI é suplemento de IÔK.

08. Calcule o valor de x, sendo r//s.

r

40º

112º

x

s

09. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos alternos externos expressos em graus por 13x – 8º e 6x + 13º.

A medida desses ângulos vale:

a) 31º b) 3º ou 177º c) 30º e 150º d) 62º e) 93º

10. Para calcular a circunferência terrestre, o sábio Erastóstenes valeu-se da distância conhecida de 800km entre as localidades de Alexandria e Siena no Egito (A e B, respectivamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele sabia que quando em Siena os raios solares

caiam verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2º com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em torno da Terra.

7,2º raios

A solares

800km

B

11. (UNIRIO) As retas r e s são paralelas. O valor do ângulo α apresentado na figura abaixo é:

a) 40º b) 50º c) 130º d) 45º e) 65º

12. (CAP-UFRJ-06) Na figura a seguir, considere o par de retas t, v e o par de retas r, s.

[pic] [pic]

a) Indique o par de retas paralelas.

b) De acordo com a orientação apresentada, determine se o outro par de retas se interceptará ao norte, ao sul, à leste ou à oeste. Justifique.

GABARITO

1-C; 2-A; 3-40.000km; 4-72º; 5-A; 6-B; 7-A; 8-a) t e v, b)?; 9-

1. CONCEITO

Os triângulos, assim como as retas, os ângulos, os segmentos de reta etc. são objetos idealizados, nascidos da observação de objetos materiais com forma triangular (como por exemplo um guardanapo de papel dobrado). Veja se você consegue identificar alguns triângulos na figura a seguir.

1. Definição

Dados três pontos A, B e C não colineares, à reunião dos segmentos AB, AC e BC chama-se triângulo ABC (ou ΔABC).

Indicação:

(ABC = AB ( AC ( BC

2. Elementos de um Triângulo

No (ABC acima, temos:

lados: AB, BC e AC

vértices: A, B e C

ângulos internos: [pic], [pic] e [pic]

ou ainda, [pic], [pic] e [pic].

3. Classificação

1. Quanto aos lados

Quanto aos lados, os triângulos podem ser classificados da seguinte maneira:

✓ equiláteros: se, e somente se, têm os três lados congruentes;

✓ isósceles: se têm dois lados congruentes; e

✓ escalenos: se, e somente se, dois quaisquer lados não são iguais, ou seja, todos os lados diferentes.

2. Quanto aos ângulos

Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser classificados da seguinte maneira:

✓ retângulo: se, e somente se, têm um ângulo reto;

✓ acutângulo: se, e somente se, têm os três ângulos agudos; e

✓ obtusângulo: se, e somente se, tem um ângulo obtuso.

É possível desenhar um triângulo acutângulo escaleno e um triângulo obtusângulo isósceles? E triângulos equiláteros obtusângulos? Procure verificar quais as combinações possíveis de acordo com seus desenhos.

Condição de Existência

4. “Em todo triângulo, a medida de qualquer lado é menor que a soma das medidas dos outros lados.”

Chamando as medidas dos três lados de um triângulo qualquer de a, b e c, temos:

Exemplo

É possível formar um triângulo com as medidas 2cm, 3cm e 6cm?

Vejamos...

Se cada medida deve ser menor que a soma das outras, então...

2 < 3 + 6 => verdadeiro

3 < 2 + 6 => verdadeiro

6 < 2 + 3 => falso

Conclusão

» Não é possível formar um triângulo com essas medidas.

2. PROPRIEDADES QUE RELACIONAM OS ÂNGULOS DE UM TRIÂNGULO

1ª propriedade:

A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180º.

2ª propriedade:

A medida do ângulo externo de um triângulo qualquer é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes a ele.

Na figura acima, x é um ângulo externo não adjacente aos ângulos A e C.

Pela 2ª propriedade, temos:

3ª propriedade:

Num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo, e ao menor lado opõe-se o menor ângulo.

3. PONTOS NOTÁVEIS

1. Mediana

Segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto a ele.

Todo triângulo possui três medianas, que se encontram em um ponto chamado baricentro.

1. Base Média de um Triângulo

Def.: Base média de um triângulo é um segmento que liga dois pontos médios dos lados de um triângulo. Este segmento é paralelo a um dos lados e vale metade do lado do qual ele é paralelo.

2. Propriedade do Baricentro

Sendo G o baricentro, temos:

2. Bissetriz (interna)

Segmento que une um vértice a um ponto qualquer do lado oposto a ele e divide o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida (congruentes).

Todo triângulo possui três bissetrizes, que se encontram em um ponto chamado Incentro.

1. Propriedade do Incentro

1. Em todo triângulo, o Incentro é equidistante (tem a mesma distância) dos três lados.

2. O incentro é, também, o centro do círculo inscrito no triângulo.

3. Altura

Segmento que liga um dos vértices ao lado oposto (ou ao seu prolongamento) e que é perpendicular a esse lado (ou prolongamento).

Todo triângulo possui três alturas, que se encontram em um ponto chamado Ortocentro.

1. Posições do Ortocentro em relação a um triângulo

1. é interno, se o triângulo é acutângulo (todos os ângulos são agudos).

2. coincide com o vértice do ângulo reto, se o triângulo é retângulo.

3. é externo, se o triângulo é obtusângulo (possui um ângulo obtuso).

Você seria capaz de encontrar o Ortocentro de cada um dos triângulos a seguir?

4. Mediatriz

É uma reta perpendicular ao lado de um triângulo, passando pelo seu ponto médio.

Todo triângulo possui três mediatrizes, que se encontram em um ponto chamado Circuncentro.

1. Propriedade do Circuncentro

1. O ponto P (circuncentro), no triângulo anterior, é equidistante dos três vértices do triângulo.

2. O circuncentro é também o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Observações Importantes

I. Num triângulo retângulo, a mediana relativa a hipotenusa divide o triângulo original em dois triângulos isósceles.

II. No triângulo equilátero, o incentro, o baricentro, o ortocentro e o circuncentro coincidem num único ponto O, chamado “centro do triângulo equilátero”.

Na figura acima temos:

R ( raio da circunferência (maior) circunscrita ao triângulo

r ( raio da circunferência (menor)inscrita ao triângulo

h ( altura do triângulo equilátero

Como O é também o baricentro (encontro das medianas) do triângulo, esse ponto divide a altura AH em segmentos proporcionais a 2 e 1.

Assim, se r e R são os raios das circunferências inscrita e circunscrita, respectivamente, e h é a altura, é imediato que

Exercícios

01. Observe a figura a seguir e determine:

a) os vértices do triângulo;

b) a indicação do triângulo;

c) o ângulo oposto ao lado PN;

d) o lado oposto ao ângulo [pic];

e) [pic];

f) a medida do ângulo [pic] se [pic]= 140º;

g) a medida do ângulo [pic] se [pic] = 45º.

02. É possível a construção de um triângulo retângulo equilátero?

03. É possível a construção de um triângulo que tenha dois ângulos retos? E a de um triângulo que tenha dois ângulos obtusos?

04. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana. Determine o perímetro desse triângulo.

05. Considerando congruentes os triângulos abaixo, calcule o valor de x e de y.

06. Na figura a seguir, 5x, 3x – 15º e 2x + 5º representam as medidas dos três ângulos internos do triângulo AMN. Nestas condições, qual deve ser o valor de x?

07. Qual deve ser o valor da medida m do ângulo externo do triângulo abaixo?

08. (CAP-UFRJ-2006) Considere a figura a seguir.

a) Calcule a medida do ângulo BÂO.

b) Identifique qual dos triângulos é um triangulo retângulo. Justifique.

c) No triangulo CDO, identifique o lado de maior comprimento. Justifique.

d) Determine o menor lado do polígono ABCDEO.

09. (PUC) Na figura abaixo, a = 100º e b = 110º. Quanto mede o ângulo x?

10. (FAETEC) Na figura abaixo, r é a bissetriz do ângulo ABC. Se ( = 40º e ( = 30º, então:

r

11. (UFMG) Na figura a seguir, [pic], [pic] é bissetriz de [pic], [pic] é bissetriz de [pic] e a medida do ângulo [pic] é 140º. A medida do ângulo [pic], em graus, é:

a) 35º d) 15º

b) 40º e) 20º

c) 30º

12. Analise, em cada um dos casos abaixo, se é possível construir um triângulo com as seguintes medidas dos lados:

a) 6, 10 e 18

b) 8, 4 e 6

c) 3, 10 e 17

13. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação a seguir:

a) os ângulos agudos de um triângulo retângulo são suplementares.

b) se a medida em graus de um ângulo é x, então o seu suplemento mede, em graus, 180º - x.

c) qualquer triângulo isósceles tem todos os seus ângulos agudos.

d) se a medida em graus de um ângulo é x, então o seu complemento é 90º + x.

14. Na figura abaixo, a medida de AD é igual a medida de BD. Então, x, y e z medem, respectivamente:

a) 100º, 30º e 40º

b) 100º, 70º e 10º

c) 80º, 70º e 10º

d) 80º, 30º e 40º

15. (PUC-RJ) Dada a figura, coloque os segmentos em ordem crescente.

16. (UFMG) Na figura abaixo, DB = DE e AD é a bissetriz interna do triângulo ABC. O ângulo α mede:

a) 10º

b) 14º

c) 16º

d) 18º

e)20º

17. (CP II) Na figura abaixo, os ângulos destacados medem 30º, 45º e 60º.

Identifique, na figura, a medida de cada ângulo.

18. (UERJ/UFF) MNP é um triângulo isósceles (MN = NP) cujo ângulo M vale 40º. I é o ponto de interseção das bissetrizes internas do triângulo. O valor do ângulo NIP é:

a) 35º b) 70º c) 90º d) 110º e) 140º

19. (UFF) O triângulo MNP é tal que M=80º e P=60º. A medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo interno N com a bissetriz do ângulo externo P é:

a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º

20. (UFF) Determine o intervalo de variação de x, para que exista um triângulo com as medidas:

a) x + 10, 2x + 4 e 20 – 2x.

b) 40 – x, 3x – 15 e x + 10

(UFRJ-2000) Na figura ao lado, cada um dos sete quadros contém a medida de um ângulo expressa em graus. Em quaisquer três quadros consecutivos, temos os três ângulos internos de um triângulo.

Determine o valor de x.

21. Na figura, temos:

a) x = a – b + c

b) x = a + b + c

c) x = a – b – c

d) x = – a + b + c

e) x = a + b – c

22. (UFU-MG) Na figura abaixo, AO e OB são perpendiculares, BC é bissetriz do ângulo DBA e AC é a bissetriz do ângulo EÂB. A medida do ângulo BCA é:

23. (PUC-RJ) As dimensões do triângulo ABC são AB = 11, AC = 18 e BC = 20. Calcule o perímetro do triângulo AMN, sabendo-se que MN é paralelo a BC, que OB é bissetriz do ângulo ABC e que OC é a bissetriz do ângulo ACB.

24. (UNB-DF) Considere as afirmações:

I. Se num triângulo, a altura relativa a um lado coincide com a bissetriz do ângulo oposto a ele, o triângulo é necessariamente isósceles.

II. Num triângulo isósceles qualquer, as três medianas são necessariamente iguais.

III. Se um triângulo tem duas alturas iguais, então ele é necessariamente equilátero.

Pode-se afirmar que:

a) I e II são corretas, III é falsa.

b) todas são falsas.

c) I é correta, II e III são falsas.

d) n.r.a.

25. Obtenha x na figura abaixo, onde as retas r e s são paralelas.

26. Se a medida de um ângulo interno de um triângulo é igual a soma das medidas dos dois outros ângulos internos, então, necessariamente, este triângulo é:

a) retângulo

b) equilátero

c) tem lados medindo 3, 4 e 5;

d) é isósceles, não equilátero

e) tem ângulo interno de 30º

27. (FUVEST) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é:

28. (PUC) O maior dos segmentos desenhados na figura a seguir é:

29. Em um triângulo AOE, os ângulos  e Ô medem, respectivamente, 86º e 34º. Determine a medida do ângulo formado pela mediatriz relativa ao lado OE e pela bissetriz do ângulo Ê.

30. O triângulo AOE é tal que  = 80º e Ê = 60º. A medida do ângulo formado pela bissetriz interna de Ô com a bissetriz externa do ângulo externo de Ê é:

a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º

31. (PUC-RJ-2005) Os ângulos de um triângulo medidos em graus são:

3x – 48, 2x + 10 e x – 10.

O maior ângulo mede:

(A) 86° (B) 45° (C) 75° (D) 90° (E) 40°

1-a) A, M, N; b) (AMN; c) Â ou MÂN; d) AN; e) 180º f) 40º; g) 135º; 2-Não. Justifique.; 3-Não. Justifique.; 4-9,5cm; 5- x=10 e y=13; 6-x=19; 7-85º; 8-a) 48º b) (BOC c) CD; d) AB; 9-a; 10-b; 11-b; 12-a) não b)sim c) não; 13-F,V,F,F; 14-d; 15-b ................
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