ALJABAR LINIER & MATRIKS



ALJABAR LINIER & MATRIKSMODUL MATLABTEORIMATLAB MATLAB kependekan dari MATrix LABoratory merupakan sebuah paket perangkat lunak untuk komputasi teknik dan scientific (operasi‐operasi matriks dan matematika, baik dalam aljabar maupun bilangan kompleks, fungsi‐fungsi matriks, analisis data, polinomial, pengintegralan, pendeferensialan, persamaan‐persamaan nonlinear, interpolasi, pemrosesan sinyal, dll). MATLAB juga telah memiliki sejumlah perintah yang siap pakai (Built‐in), baik berupa variabel, pernyataan, maupun fungsi yang dapat langsung digunakan. MATLAB bisa sebagai kalkulator dan bahasa pemrograman. Operasi yang dilakukan MATLAB adalah skalar, matriks dan vektor, serta teks.MATRIKS DALAM MATLABMembuat MatriksPer elemen menggunakan spasi untuk memisahkan elemen dalam suatu baris menggunakan tanda semicolon ( ; ) untuk memisahkan baris dengan baris berikutnya elemen‐elemen matrik diletakkan di antara tanda [ dan ] Contoh: >> A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]lalu tekan ENTERUntuk matrik dengan ukuran besar dapat dinyatakan ke dalam beberapa baris input dengan carriage return (ENTER) sebagai pengganti tanda semikolon(;)Menggunakan fungsi FOR dan WHILEContoh: >> For i = 1:3, For j = 1:3, a(i,j) = 4*i‐(3+j); end endProgram tersebut berarti didefinisikan i dari 1 sampai 3 yang merupakan baris dari matrik dan kemudian juga didefinisikan j dari 1 sampai 3 yang merupakan kolom matrik. Kemudian dibuat matrik a yang setiap elemen‐nya merupakan hasil penambahan dari i dan j sesuai looping yag berjalan. Untuk mengetahui hasilnya maka diketikkan a yang merupakan variable penampung hasil eksekusi program : >> aMenggunakan rutin yang ada dalam MATLABMatriks identitas ordo nxn>> eye (n)Matriks satuan ordo nxn (semua elemennya bernilai 1 (satu))>> ones(n)Matrik dengan elemen acak ordo nxn (nilai elemen antara 0 dan 1)>> rand (n)Matrik dengan elemen berupa bilangan segitiga Pascal ordo nxn>> pascal (n)Rutin yang lain:RutinKeterangan[]matriks kosongCompanymatriks gabungangallerybeberapa matriks pengujian yang kecilhadamardmatriks Hadamardhankelmatriks Hankelhilbmatriks Hilbertinvhilbinvers matriks Hilbertmagicmagic squarerandnmatriks random terdistribusi normal dengan elemen-elemennya memiliki mean nol dan varians saturossermatriks pengujian nilai eigen simetriktoeplitzmatriks toeplitzvandermatriks vandermondeWilkinsonmatriks pengujuan nilai eigen WilkinsonzerosMatriks yang semua elemennya nolOperasi KomputasiSimbolOperasi*Perkalian/ atau \Pembagian (sama dengan operasi perkalian dengan invers)^Pemangkatan+Penjumlahan-Pengurangan‘Untuk mencari transpose matriksSama seperti komputasi manual, komputasi pada MATLAB memiliki prioritas dengan urutan perkalian atau pembagian, baru diikuti penjumlahan dan pengurangan. Jika ingin memprioritaskan operasi tertentu, bisa dilakukan dengan memberikan tanda kurung “( )”.Fungsi Matriks pada MATLABFungsiKeteranganbalance(A)Penyekalaan untuk memperbaiki akurasi nilai eigencdf2rdf(A)bentuk diagonal kompleks ke bentuk diagonal blok realchol(A)faktorisasi Choleskycond(A)matriks bilangan kondisicondest(A)estimasi matriks bilangan kondisi l-normd=eig(A)nilai eigen dan vektor eigen[V,D]=eig(A)det(A)determinanexpm(A)matriks eksponensialexpm1(A)implementasi M-file dari expmexmp2(A)Matriks eksponensial menggunakan deret Taylorexmp3(A)Matriks eksponensial menggunakan nilai eigen dan eigenfunm(A, ‘fun’)menghitung fungsi matriks umumhess(A)bentuk hessenberginvs(A)invers matrikslogm(A)logaritma matrikslscov(A, b, V)kuadrat terkecil dengan kovarians yang diketahuilu(A)faktor dari eliminasi Gaussiannnls(A, b)kuadrat terkecil nonnegativenorm(A)norm matriks dan vektornorm(A, 1)1-normnorm(A, 2)2-norm (Euclidean)norm(A, inf)takberhingga (infinity)norm(A, p)P-norm(hanya untuk vektor)norm(A, ‘fro’)F-normnull(A)spasi kosongorth(A)Ortogonalisasipinv(A)Pseudoinverspoly(A)Variabeln karakteristik / mencari koefisien persamaan polinomialroots(A)mencari akar persamaan polinomialpolyvalm(A)evaluasi polinomial matriksqr(A)dekomposisi ortogonal-triangularqrdelete(Q,R,j)menghapus kolom dari faktorisasi qrqrinsert(Q,R,j,x)menyelipkan kolom pada faktorisasi qrqz(A)nilai eigen yang digeneralisasirank(A)banyaknya baris atau kolom yang independen linierrecond(A)estimator kondisi resiprokalrref(A)mengurangi baris bentuk echelonrsf2csfbentuk schur real ke bentuk schur kompleksschur(A)dekomposisi Schursqrtm(A)matriks akar kuadratsvd(A)dekomposisi nilai singulartrace(A)jumlah elemen diagonalMEMULAI SCRIPT MATLABMATLAB menyediakan fasilitas makro, yang disebut M‐file MATLAB karena ekstension filenya .M. Dengan fasilitas makro ini pemrograman terhadap rutin‐rutinnya dapat dilakukan sendiri oleh pemakai. Script file merupakan file yang berisi sekumpulan instruksi. Jika file ini dijalankan, maka instruksi‐instruksi tersebut akan dijalankan secara berurutan. Dengan menuliskan nama file, kita dapat memanggil isi file tersebut. Dengan EDITOR DOS tuliskan !edit <ENTER> tuliskan isi file simpanlah file keluar dari EDITOR DOS untuk memanggil, ketik nama file lalu tekan Enter. Dengan NOTEPAD dengan menggunakan mouse, klik di File New M‐file tuliskan isi file simpanlah file pada direktori BIN dengan tahapan‐tahapan berikut : untuk pilihan FILE NAME, isilah dengan nama dari script‐file beserta ekstension‐nya. Adapun ekstension dari script‐file Matlab adalah .M , contoh : data . m untuk pilihan SAVE AS TYPE, pilihlah : ALL FILES (*.*). lalu klik‐lah pilihan SAVE. keluar dari NOTEPADuntuk memanggil klik di File Run M‐file, ketik nama file lalu klick OK, atau dapat juga dengan langsung mengetikkan nama dari Script‐filenya.HAL YANG HARUS DIPERHATIKAN: MATLAB hanya dapat digunakan untuk matrik‐matrik persegi panjang dengan elemen bilangan kompleks. Bila bagian imaginer bernilai nol maka tidak akan dicetak tetapi masih disediakan tempat di memori. Matrik 1x1 dianggap sebagai skalar. Matrik 1xn dianggap vektor baris. Matrik mx1 dianggap vektor kolom. MATLAB adalah software yang case sensitive, jadi huruf besar dan huruf kecil dianggap berbeda . Contoh‐nya : variabel ‘A’ berbeda dengan variabel ‘a’. Untuk sintaks‐sintaks dan fungsi‐fungsi baku dalam MATLAB sebaiknya digunakan huruf kecil. Untuk melihat susunan fungsi‐fungsi yang disediakan MATLAB dapat dilihat dengan menggunakan perintah HELP. Syntax penulisan : >> help <ENTER> atau >> help nama fungsi <ENTER> ALJABAR MATRIKSPenjumlahan dan pengurangan MatriksPenjumlahan dan pengurangan matriks bisa dilakukan dengan syarat kedua matriks ber-ordo sama. Operasi dilakukan pada tiap-tiap elemen matriks yang sama.Perkalian MatriksPerkalian dengan matriks dengan skalar bisa langsung dilakukan dengan mengalikan setiap elemen dengan nilai skalar.Perkalian matriks dengan matriks bisa dilakukan dengan syarat kolom matriks pertama sama dengan baris matriks kolom kedua. Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn, maka A X B jika q = m, hasil perkalian AB akan ber-ordo pxn.Matriks IdentitasMatriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1. Dengan sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=ADeterminanDeterminan adalah nilai skalar yang dimiliki oleh sebuah matrik bujur sangkar. Nilai ini diperoleh sebagai hasil penjumlahan semua suku yang dibentuk oleh permutasi elemen dari setiap vektor yang dapat dibentuk dari matrik tsbInversInvers suatu matrik adalah matrik yang memenuhi definisi berikut:Jika A = [aij] dengan ordo nxn maka:A‐1 = [aij] dengan ordo nxn dan memenuhi AA‐1 = I A‐1A = IPERSAMAAN LINIERBentuk persamaan linier dituliskan sebagai berikut:Dengan matriks kita bisa menyelesaikan persamaan linier diatas dengan bentuk Ax=b, sehingga bisa ditulis:a11a12a13…a1na21a22a23…a2na31…an1a32…an2a33…a3n………a3n…ann x1x2x3x4x5= b1b2b3b4b5Salah satu penyelesaiannya dengan menggunakan Metode Cramer:dimana: Aj?adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom?j?dengan matrik bOPERASI MATRIKS PADA MATLABMendefinisakan matriksApabila kita ingin mendefinisikan sebuah matrik maka kita mengetikkan pada command window sebagai berikut : >> A=[ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9] Setelah mengetikan perintah tersebut kemudian kita menekan ? (enter) dan akan tampak hasil sebagai berikut : A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Membuat matrik dengan perulangan for maka kita mengetikkan algoritma‐nya pada command window setelah pengetikan selesai diakhiri dengan end yang menyatakan akhir dari program.>> for i = 1:3, for j = 1:3,a(i,j) = 4*i-(3+j); endendProgram tersebut berarti didefinisikan i dari 1 sampai 3 yang merupakan baris dari matrik dan kemudian juga didefinisikan j dari 1 sampai 3 yang merupakan kolom matrik. Kemudian dibuat matrik a yang setiap elemen‐nya merupakan hasil penambahan dari i dan j sesuai looping yag berjalan.Untuk mengetahui hasilnya maka diketikkan a yang merupakan variable penampung hasil eksekusi program :>> aa = 0 -1 -2 4 3 2 8 7 6Operasi PenjumlahanInisialisasi matriks terlebih dahulu>> A = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9]A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> B = [ 3 2 1 ; 6 5 4 ; 9 8 7]B = 3 2 1 4 5 6 7 7 9 Lalu berikan operasi penambahan:>> A+B <ENTER>akan muncul hasilnya:ans = 4 4 4 8 10 12 14 15 18 Operasi PenguranganDengan matriks A dan B yang sudah diidentifikasikan sebelumnya, lalukan operasi pengurangan:>> A-B <ENTER>akan muncul hasilnya:ans = -2 0 2 0 0 0 0 1 0 Operasi PerkalianPerkalian dengan skalarDefinisikan skalar dan nilainya:>> k = 2>> A*kans = 1 4 6 8 10 1214 16 18Perkalian matriks dengan matriks>> A*Bans = 32 33 40 74 75 88116 117 136Determinan MatriksDengan matriks A dan B yang sudah diidentifikasikan sebelumnya>> det(B)ans =14Invers MatriksDengan matriks A dan B yang sudah diidentifikasikan sebelumnya>> inv(B)ans = 0.2148 -0.7857 0.5000 0.4286 1.4286 -1.0000-0.5000 -0.5000 0.5000( koma dilembangkan dengan titik (.))Trace>> trace(A)ans =15Transpose>> A’ans =1 4 72 5 83 6 9MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINIERGunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini x1?+ 2x3? = 6-3x1?+ 4x2?+ 6x3?= 30 -x1?- 2x2?+ 3x3? = 8 Penyelesaian:Membuat matriks A>> A=[1 0 2; -3 4 6; -1 -2 3]A = 1 0 2 -3 4 6 -1 -2 3Membuat matriks kolom b>> b =[6;30;8]b = 6 30 8Mencari determinan matriks A>> DetA=det(A)DetA = 44Membuat matriks A1, A2, dan A3, lalu menacri determinan masing-masingMatriks A1 diperoleh dengan mengganti kolom pertama matriks A dengan matriks kolom b>> A1=AA1 = 1 0 2 -3 4 6 -1 -2 3>> A1(:,1)=bA1 = 6 0 2 30 4 6 8 -2 3>> DetA1=det(A1)DetA1 = -40Matriks A2 diperoleh dengan mengganti kolom kedua matriks A dengan matriks kolom b>> A2=AA2 = 1 0 2 -3 4 6 -1 -2 3>> A2(:,2)=bA2 = 1 6 2 -3 30 6 -1 8 3>> DetA2=det(A2)DetA2 = 72Matriks A3 diperoleh dengan mengganti kolom ketiga matriks A dengan matriks kolom b>> A3=AA3 = 1 0 2 -3 4 6 -1 -2 3>> A3(:,3)=bA3 = 1 0 6 -3 4 30 -1 -2 8>> DetA3=det(A3)DetA3 = 152Mencari nilai x1, x2, dan x3>> x1=DetA1/DetAx1 = -0.9091>> x2=DetA2/DetAx2 = 1.6364>> x3=DetA3/DetAx3 = 3.4545PRAKTIK MANDIRIKerjakan latihan berikut dengan MATLAB, cetak hasilnya dan berikan penjelasan dalam bentuk laporan tertulis/cetak. Dikumpulkan tanggal 29 - 31 Desember 2012 ke Mas Eko (Kasi Fasilkom)Buatlah matriks dengan memasukkan per elemen, kemudian tampilkan screen shootnya!W=131211-22-1 ; Y=111011001Lalukan operasi berikut:W+YW+2YW*YW-YCarilah nilai trace W dan YTranspose W dan YDeterminan W dan YCetak hasilnya!(beri screenshoot)Diberikan matriks M=121043122Tentukan entri/elemen (2,3) dari M-1!Selesaikan persamaan linier berikut dengan menggunakan metode Cramer: x1 + 3x2 + x3 = 1 2x1 + x2 + x3 = 5-2x1 + 2x2 - x3 = -8Cetak hasilnya!(beri screenshoot)Definisikan Q=round(10*rand(6))Lakukan operasi berikut:B = QB(2, :) = Q(1, :)B(2, :) = Q(2, :)C = QC(3, :) = 4 * Q(3, :)D = QD(5, :) = Q(5, :) + 2 * Q(4, :)Cetak hasilnya!(beri screenshoot)Jelaskan bagaimana hubungan antara matriks B, C, dan D dengan Q?Carilah determinan dari matriks B, C, dan D! Bagaimana hubungan antara determinan-determinannya? ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download