FINITE ELEMENT METHOD - Indian Institute of Space Science and Technology

FINITE ELEMENT METHOD

Abdusamad A. Salih

Department of Aerospace Engineering Indian Institute of Space Science and Technology

Thiruvananthapuram - 695547, India. salih@iist.ac.in

ii

Contents

1 Introduction

3

1.1 Finite Difference Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Finite Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Direct Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Variational Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Weighted Residual Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Direct Approach to Finite Element Method

7

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Linear Spring System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Solution of System of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Direct Approach to Steady-Sate Heat Conduction Problem . . . . . . . . . . . . 13

3 Calculus of Variations

15

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 First Variation of Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 The Fundamental Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5.1 Maxima and minima of functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.6 The Simplest Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6.1 Essential and natural boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.6.2 Other forms of Euler?Lagrange equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.6.3 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.7 Advanced Variational Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.7.1 Variational problems with high-order derivatives . . . . . . . . . . . . . 30

3.7.2 Variational problems with several independent variables . . . . . . . . . 31

3.8 Application of EL Equation: Minimal Path Problems . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.8.1 Shortest distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.8.2 The brachistochrone problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.8.3 Deflection of beam ? variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . 36

iii

CONTENTS

1

3.9 Construction of Functionals from PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.10 Rayleigh?Ritz Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Weighted Residual Methods

45

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Point Collocation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Subdomain Collocation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.4 Least Square Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5 Galerkin Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Finite Element Method

65

5.1 Finite Element Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.1 Steps in FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.2 Selection of Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.3 One-dimensional Linear Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.4 One-dimensional Quadratic Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Two-dimensional Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2.1 Linear Triangular Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2.2 Bilinear Rectangular Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 Finite Element Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2

CONTENTS

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