Različni načini dokazovanja Pitagorovega ... - …
-90043046799500ZBORNIK POVZETKOV IN PROGRAM2. ?TUDENTSKE KONFERENCE RA?UNALNI?KA ORODJA V MATEMATIKILjubljana, 20162. ?tudentska konferenca Ra?unalni?ka orodja v matematiki (ROM)Ljubljana, 15. in 16. februar 2016Naslov: Zbornik povzetkov Uredil: Matija LokarOblikovanje: Uro? Vaupoti? Izdala: Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani Ljubljana, februar 2016PredgovorPri re?evanju ?tevilnih matemati?nih problemov si lahko pomagamo z razli?nimi ra?unalni?kimi orodji. Ta nam lahko pomagajo pri vizualizaciji matemati?nih objektov, pri raziskovanju njihovih zna?ilnosti, omogo?ajo hitrej?e in preprostej?e pregledovanje dolo?enih domnev …Zato je za matematika dobro, da je seznanjen z mo?nostmi, ki jih prina?ajo tovrstni programi. Teh je na voljo res veliko. Nekateri so bolj primerni za eno vrsto nalog, drugi spet za drugo. Vsaj osnovni pregled nad ?tevilnimi razli?icami tovrstnih programov je zato zelo za?elen. V sklopu predmeta Ra?unalni?ka orodja v matematiki na visoko?olskem ?tudiju Prakti?na matematika Fakultete za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani, spoznavamo razna orodja, ki jih potem ?tudenti uporabljajo pri drugih predmetih tekom ?tudija. Ker pa je zelo pomembno, da znajo oceniti primernost dolo?enega orodja za posamezno nalogo, morajo v sklopu predmeta tudi prou?iti njim ?e neznano ra?unalni?ko orodje in drugim poro?ati o svojih ugotovitvah.V tem zborniku so zbrani povzetki predstavitev, ki so jih pripravili ?tudenti. Matija LokarKazalo TOC \o "1-1" Razli?ni na?ini dokazovanja Pitagorovega izreka PAGEREF _Toc442872280 \h 6Ra?unalni?ki program Graph PAGEREF _Toc442872281 \h 7Monte Carlo metoda – skupek ra?unalni?kih algoritmov za re?evanje numeri?nih problemov z uporabo naklju?nega izbiranja PAGEREF _Toc442872282 \h 8Uporaba GeoGebre, Mathematice, Matlaba pri re?evanju nalog na izpitu pri algebri. PAGEREF _Toc442872283 \h 9Pascalov Trikotnik PAGEREF _Toc442872284 \h 10Uporaba programa Wolfram Mathematica in programskega jezika Python za generiranje permutacij in podobnih matemati?nih objektov PAGEREF _Toc442872285 \h 11Uporaba Mathematice pri re?evanju diofantskih ena?b PAGEREF _Toc442872286 \h 12GraphTea PAGEREF _Toc442872287 \h 13Robocompass - sistem za dinami?ne geometrijske konstrukcije in transformacije PAGEREF _Toc442872288 \h 14Izra?un dol?ine slovenske obale s pomo?jo programa Wolfram Mathematica PAGEREF _Toc442872289 \h 15Maxima PAGEREF _Toc442872290 \h 16Uporaba GeoGebre in Mathematice pri konstrukciji Fermatove to?ke PAGEREF _Toc442872291 \h 17Teorija Grafov PAGEREF _Toc442872292 \h 18Calculator ++ PAGEREF _Toc442872293 \h 19MalMath: Step by step solver PAGEREF _Toc442872294 \h 20Geogebra Graphing Calculator PAGEREF _Toc442872295 \h 21Epski krogi PAGEREF _Toc442872296 \h 22Konstrukcija cikloide s pomo?jo GeoGebre PAGEREF _Toc442872297 \h 23Re?evanje rekurzivnih ena?b PAGEREF _Toc442872298 \h 24OEIS, njena uporaba in Sloanova vrzel PAGEREF _Toc442872299 \h 25Eulerjeva premica in trilinearni koordinatni sistem PAGEREF _Toc442872300 \h 26Cinderella PAGEREF _Toc442872301 \h 27Cymath PAGEREF _Toc442872302 \h 28Geometrija v Mathematici PAGEREF _Toc442872303 \h 29Uporaba knji?njice NumPy pri problemih iz Linearne Algebre PAGEREF _Toc442872304 \h 30Desmos PAGEREF _Toc442872305 \h 31Microsoft Mathematics PAGEREF _Toc442872306 \h 32Symbolab PAGEREF _Toc442872307 \h 33Rotacije, translacije in skaliranje matemati?nih objektov s pomo?jo matrik PAGEREF _Toc442872308 \h 34Uporaba GeoGebre in Mathematice pri re?evanju matemati?nih nalog zapletenih funkcij PAGEREF _Toc442872309 \h 35Racionalne funkcije v programu Maxima PAGEREF _Toc442872310 \h 36Preprosta linearna regresija po metodi najmanj?ih kvadratov z uporabo programa R PAGEREF _Toc442872311 \h 37GeoGebraScript PAGEREF _Toc442872312 \h 38GEUP 7 - program za pomo? pri geometriji PAGEREF _Toc442872313 \h 39Bertrandov paradoks PAGEREF _Toc442872314 \h 40Razli?ni na?ini dokazovanja Pitagorovega izrekaAlenka Kej?ar, Fakulteta za matematiko in fiziko Ljubljana, UL, alenka.kejzar@student.fmf.uni-lj.si?e v osnovni ?oli smo se pri geometriji nau?ili formulo Pitagorovega izreka: a2+b2=c2, ki nam pove, da je kvadrat hipotenuze pravokotnega trikotnika enak vsoti kvadratov katet tega trikotnika. S pomo?jo te formule smo re?evali ?tevilne primere tako v osnovni kot srednji ?oli, gimnaziji in kasneje tudi na fakulteti vendar nikoli nismo podvomili o pravilnosti le te. Prav zato sem se odlo?ila, da si pogledam nekaj dokazov, s katerimi so matematiki iz razli?nih koncev sveta in ?asovnih obdobij dokazovali pravilnost Pitagorovega izreka. Izmed vseh dokazov Pitagorovega izreka sem jih izbrala sedem in jih s pomo?jo programov Wolfram Mathematica in GeoGebra tudi sama preizkusila. Nekaj teh dokazov pa si bomo ogledali tudi na sami predstavitvi.-82880580390KazaloProgramKazaloProgramRa?unalni?ki program Graph Keni ?uligoj, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, keni.suligoj@student.fmf.uni-lj.si Predstavil bom program Graph s katerim lahko ri?emo grafe matemati?nih funkcij v koordinatnem sistemu. Funkcije so lahko s podane standardno, parameti?no ali polarno funkcijo.Program je namenjen slikovni predstavi grafov in bolj?emu razumevanju njegovih lastnosti, saj nam omogo?a risanje grafov, relacij, to?k, tangent,... . Z njegovo pomo?jo lahko ra?unamo tudi dolo?ene inrtegrale, itd.Namenjen je vsem, ki na svojem podro?ju dela potrebujejo pomo? pri vizualizaciji grafov. Zaradi svoje prprostosti uporabnik ne potrebuje nobenega predznanja. 046863000-35379276860KazaloProgramKazaloProgramMonte Carlo metoda – skupek ra?unalni?kih algoritmov za re?evanje numeri?nih problemov z uporabo naklju?nega izbiranja Marko Jereb, Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza Ljubljana, markojereb@Monte Carlo metode/simulacije pogosto uporabljamo, kadar z drugimi numeri?nimi metodami ne moremo re?iti problema. Pri teh metodah gre dejansko za to, da s pomo?jo generiranja velike mno?ice naklju?nih ?tevil poskusimo priti do re?itve problema. Same metode najve?krat razdelimo v tri razli?ne razrede: optimizacija, numeri?na integracija in verjetnostna porazdelitev.Na za?etku si bomo pogledali predstavitev metode ter nekaj besed o zgodovini. Nato sledijo la?ji primeri kjer lahko z MC metodami preverimo verjetnostno porazdelitev metov razli?ne kocke (razli?ne stranice, obte?ena kocka...). Nakar sledi predstavitev uporabe na bolj ?ivljenskih primerih (finance, fizika) in zaklju?ek na matemati?nih problemih (uporaba pri ra?unanju dolo?enih integralov).Vsi programi bodo napisani s Pythonom(2.7), rezultati pa predstavljeni s pomo?jo mathplotlib knji?nice.-59129295275KazaloProgramKazaloProgramUporaba GeoGebre, Mathematice, Matlaba pri re?evanju nalog na izpitu pri algebri.Martin ?e?novar, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, martin.cesnovar@student.fmf.uni-lj.si Z znanimi ra?unalni?kimi orodji bomo re?ili izpit. Ta je dosegljiv na naslovu nalogi 1 bomo trikotnik narisali?s pomo?jo Geogebre. Pri tem bomo uporabili risanje v 3d.Pri nalogi 2 bomo z razli?nimi orodji re?ili problem, ko moramo iz delno znane matrike A in znanih lastnih vektorjev izra?unati matri?no funkcijo. Pri tem bomo pri programu Matlab spoznali zanke while in for.? Pri nalogi 3 bomo dokazali, da matrika ni normalna, poiskali bomo lastne vrednosti in lastne vektorje in posku?ali bomo poiskati skalarni produkt v katerem je matrika normalna. Pri nalogi 4 bomo posku?ali z mathematico dokazati, da velja det(M)*det(V) = det(A).-95002206375KazaloProgramKazaloProgramPascalov Trikotnik Nikoleta Krsti?, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, Nikoleta.Krstic@student.fmf.uni-lj.si V tej predstavitvi bomo raziskovali lastnosti ?e dobro znanega Pascalovega trikotnika. Orodje, s katerim bomo delali, je Mathematica.Ve?inoma smo ?e vsi sli?ali za Pascalov trikotnik. Imenuje se po francoskem matematiku. Blaise Pascal je bil namre? prvi, ki je v 17. stoletju obrnaval to temo. Vendar nas ve?ina verjetno ne ve, za kaj je Pascalov trikotnik uporaben in koliko zanimivosti je skritih v tem trikotniku. V Pascalovem trikotniku se nahajajo binomska, trikotna, tetraedarska ?tevila in Fibonaccijevo zaporedje. Poleg zgodovine si bomo ogledali, kako v programu Mathematica lahko na ve? na?inov naredimo(nari?emo) Pascalov trikotnik in kaj lahko ?e dodatno spreminjamo.-94756331470KazaloProgramKazaloProgramUporaba programa Wolfram Mathematica in programskega jezika Python za generiranje permutacij in podobnih matemati?nih objektovRastko Veri?, Fakulteta za matematiko in fiziko, rastko07@Za svojo temo permutacije sem si izbral orodji Wolfram Mathematica in Python.Svojo predstavitev bom za?el tako da bom govoril malo o teoriji seveda. V katerih granah matematike se koncept permutacij pojavi.96520088455500V nadaljevanju si bomo dolo?ene ukaze, kot so npr. Permutations, Binomial in drugi ogledali podrobneje. Kot se vidi na sliki spodaj, bom predstavil na kak?ne vse na?ine lahko uporabljamo funckije Permutations v izbranem orodju. V komentarjih na zaslonski sliki se vidi kaj dela vsaka "verzija" tiste funkcije.Zaradi svoje hitrosti ra?unanja, mislim da je tisto orodje primerno za obravnavanje ene take teme.Bom tudi predstavil tiste funkcije v programskem jeziku Python v modulu itertools ki vsebuje funkcije kot so iterotools.permutations in binations. ?e bo ?asa, bom predstavil svojo funkcijo ki naj bi vrnila vse mo?ne permutacije ene liste. Svojo predstavitev bom zaklju?il z zanimivostjo in vpra?anjem za publiko.-106631168275KazaloProgramKazaloProgramUporaba Mathematice pri re?evanju diofantskih ena?bSamantha Sla?ek, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, samantha.slacek@student.fmf.uni-lj.si O diofantskih ena?bah govorimo, kadar moramo poiskati celo?tevilske re?itve ena?be s celo?tevilskimi koeficienti. S tak?nimi problemi se je prvi ukvarjal gr?ki matematik Diofant, ki je ?ivel okoli leta 250 po na?em ?tetju.Poznamo ve? tipov diofantskih ena?b. S pomo?jo Mathematice lahko re?imo vsako izmed njih. Predstavila bom samo nekatere od teh.Predvsem bom govorila, kako se v Mathematici sploh lotimo re?evanja diofantskih ena?b. Predstavila bom, katere ukaze vse potrebujemo ter te ukaze podrobno opisala. Pokazala bom tudi nekaj re?enih zgledov diofantskih ena?b.-94376211455KazaloProgramKazaloProgramGraphTea Anej Jereb, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, anej.jereb@student.fmf.uni-lj.siOpisal bom program za ra?unalnik GraphTea, dostopen na . Program je namenjen pou?evanju, u?enju in raziskovanju teorije grafov. Program omogo?a risanje grafov na tri na?ine. Preprosto z uporabo mi?ke, z orodjem “Generate Graph”, ki ustvari graf glede na parametre, ki mu jih podamo ter tako da graf nalo?imo iz neke datoteke, recimo narejene v MATLAB-u. Izgled grafa lahko spreminjamo po na?ih ?eljah z obilico orodij in ga shranimo preprosto kot sliko ali v drugih formatih za uporabo v programih kot sta MATLAB in LaTeX. Graf analiziramo s pomo?jo mnogih poro?il, ki nam jih program lahko naredi. Na primer koliko je kromati?no ?tevilo, vsa mo?na barvanja, ?tevilo trikotnikov, ali je graf Eulerjev itd. Omogo?eno je tudi izvajanje algoritmov na grafih. Te nam lahko poka?e korak za korakom in ga lahko kadarkoli za?asno prekinemo, tako da la?je spremljamo kako delujejo. To je zelo uporabno za u?enje algoritmov, ki se jih uporablja v teoriji grafov. V predstavitvi bom prikazal osnove uporabe programa in kako z njim re?iti probleme, na katere bodo ?tudentje naleteli tekom ?tudija Prakti?ne matematike.-47254509905KazaloProgramKazaloProgramRobocompass - sistem za dinami?ne geometrijske konstrukcije in transformacijeAnja Trop, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, anja.trop@student.fmf.uni-lj.siRobocompass je sistem za dinami?no geometrijo in izvajanje transformacij nad geometrijskimi liki. Namenjen je predvsem u?enju geometrije. Vgrajena ima orodja, ki posnemajo uporabo ravnila, ?estila in kotomera, ki jih uporabljamo pri ro?no izvedenih konstrukcijah. Aplikacija je brezpla?no dostopna v spletni trgovini Crome. Simulira korake geometrijske konstrukcije, ki jih vnesemo s pomo?jo vgrajenih ukazov. Je odli?en interaktivni pripomo?ek zlasti za u?ence in dijake, ki se ?ele spoznavajo z osnovami geometrije. Poleg predvajanja korakov konstrukcije lahko dodamo ?e lasten opis postopka, ki se nam prika?e v pasici zgoraj. Tako nadgradimo kvaliteto predstavitve in omogo?imo ve?jo razumljivost, kar je predvsem uporabno s strani pedagogov. Robocompass je tako tudi odli?en pripomo?ek u?iteljem, ki lahko z zanimivimi predstavitvami spodbudijo u?ence k dodatnemu odkrivanju in eksperimentiranju.Aplikacija z registracijo uporabnika omogo?a enostavno arhiviranje in dostopanje do datotek v oblaku ter generiranje spletnih povezav do delovnih listov. Tako ?ir?i krog ljudi na enostaven na?in dostopa do gradiva.Na predavanju se bomo najprej seznanili z aplikacijo in zmo?nostmi, nato si bomo ogledali nekaj vgrajenih ukazov, zaklju?ili pa bomo s prikazom postopka konstrukcije trikotnika z uporabo Eulerjevega izreka.-4762582550KazaloProgramKazaloProgramIzra?un dol?ine slovenske obale s pomo?jo programa Wolfram MathematicaBla? Poljanec, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, blaz.poljanec@student.fmf.uni-lj.siZanima nas, kako dolga je slovenska obala. Pri tem nam bo v pomo? paradoks Benoita Mandelbrota (matematik; 1924-2010). V svojem ?lanku iz leta 1967 'Kako dolga je angle?ka obala?' se ukvarja s tem, da dol?ina obale ni to?no dolo?ena oziroma jo je te?ko dolo?iti. Pri tem vpra?anju si je pomagal s fraktali (posameznimi manj?imi deli celote). Za preu?evanje je vzel angle?ko obalo. Ker pa linija obale ni pravilnih, ravnih oblik, je dol?ina odvisna od velikosti izbranih fraktalov. Pri?el je do zaklju?ka, da manj?i kot so fraktali, bolj se prilegajo obali in posledi?no bolj natan?no izmerijo njeno dol?ino.Nas zanima slovenska obala. Dol?ino slednje bomo izra?unali z Wolfram Mathematico. Gre za matemati?ni program, ki nam prihrani ogromno ?asa pri samem ra?unanju. Povezan je tudi z internetnim programom Wolfram Alpha, ki zdru?uje znanja iz mnogih podro?ij, ne zgolj iz matematike. Ta dva programa uporabnikom po celem svetu nudita veliko mo?nosti za ustvarjanje raznih prikazov. Nekateri so dostopni tudi na spletnem mestu Wolfram Demonstrations Project. Tam se nahaja tudi na? zgled, ''How Long Is The Coast Of Britain'' (dostopen na: ).Na predavanju si bomo ogledali, kako v Wolfram Mathematici s pomo?jo ukaza Manipulate in drugih, z njim povezanih ukazov, ?imbolj natan?no prikazati dol?ino slovenske obale po prej omenjenem paradoksu in zgledu.0360680-2413064135KazaloProgramKazaloProgramMaximaBorna Kav?i?, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL , Borna.Kavcic@student.fmf.uni-lj.siOrodje Maxima je orodje , s katerim lahko re?ujemo veliko matemati?nih problemov, namenjen je za re?evanje tako nalog iz matematike kot tudi iz linearne algebre, orodje Maxima je zelo natan?no , kar se ti?e ra?unanja .Maxima je zelo vsestransko orodje in lahko z njim izra?unamo marsikaj kot npr. integrale, limite, vsote vrst, faktorizacija na pra?tevila, deljenje polinomov, inverze ter determinante matrik itd. , lahko tudi ri?emo grafe in sicer tako v 2D kot tudi v 3D obliki.Opisoval bom ukaze , ki so na voljo v Maximi , torej kar mi ?tudentje prvega letnika ?e poznamo, zraven bodo tudi zgledi , ter opisani postopki re?evanja dolo?enih nalog. Narisanih bo tudi nekaj grafov funkcij v 2D in 3D obliki.Namen predstavitve bo bolj?e spoznanje orodja Maxima s predstavitvijo ukazov ter nekaj zgledi re?evanja nalog, ter da je Maxima lahko dobra alternativa npr. Wolfram Mathematici ali pa Geogebri.-58750652145KazaloProgramKazaloProgramUporaba GeoGebre in Mathematice pri konstrukciji Fermatove to?keDarko Petrovi?, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, Darko.Petrovic@student.fmf.uni-lj.siV prispevku si bomo ogledali kako lahko konstruiramo Fermatove to?ko z orodjima GeoGebra in Mathematica. Opis te je dosegljiv na naslovu bomo prikazali na koliko vse na?inov lahko nari?emo Fermatovo to?ko. Na?teli bomo vse njene zna?ilnosti. To?ko bomo narisali s pomo?jo GeoGebre in njenimi enostavnimi vgrajenimi orodji. Nato bomo ?e izra?unali lege Fermatove to?ke v razli?nih trikotnikih.Trikotniki so pravilni, pravokotni, ostrokotni, topokotni ali enakokraki. V vsakem si bomo ogledali konstrukcijo Fermatove to?ke. Konstrukcijo trikotnikov in njihovih Fermatovih to?k bomo posku?ali izvesti tudi s programom Mathematica, navkljub znatno ve?ji zapletenosti pri konstruiranju likov kot je v GeoGebri. -16666359348KazaloProgramKazaloProgramTeorija GrafovDavid Pan?i?, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, David.Pancic@student.fmf.uni-lj.si V tem predavanju se bomo ukvarjali s teorijo grafov s pomo?jo programov Mathematica in GeoGebra.Teorija grafov je matemati?na in ra?unalni?ka disciplina ki raziskuje grafe. To so mno?ice to?k povezanih s povezavami.Mathematica je sistem za numeri?no in simbolno ra?unanje, v njem obstaja veliko ukazov vezanih za teorijo grafov. Ogledali si bomo nekatere od njih in pogledali, kako si lahko z njimi pomagamo pri re?evanju nalog iz teorije grafov. GeoGebra je prosto dostopen program za dinami?no geometrijo. V njem ne obstajajo ukazi specifi?no za Teorijo grafov. Vseeno pa si z Geogebro lahko pomagamo pri re?evanju tovrstnih nalog, ?e ne drugega vsaj pri pridobitvi ob?utka za kaj pri nalogi gre.Skozi predstavitev bomo re?ili nekaj kratkih nalog, analizirali grafe in preverili nekaj trditev.-47254132525KazaloProgramKazaloProgramCalculator ++Erika Medo?, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, Erika.Medos@student.fmf.uni-lj.siCalculator ++ je napreden kalkulator. Poleg enostavnih problemov lahko z njim re?ujemo tudi kompleksnej?e probleme. Na voljo sta dva na?ina: enostaven (simple) in napreden (engineer). Program ima na voljo veliko vgrajenih funkcij, uporabniku pa dopu??a mo?nost dodajanja lastnih funkcij. Vgrajene ima tudi razli?ne konstante, lahko pa dodamo tudi svoje. Calculator ++ ima opcijo graf (graph), ki omogo?a risanje 2D in 3D grafov. Program je mogo?e uporabljati na android napravah - na tablicah in mobilnih telefonih. Poleg dobimo ?e kalkulator, ki dela kot samostojen progam in ?lebdi? nad ostalimi aplikacijami.V predstavitvi bom predstavila program bolj podrobno, ogledali si bomo tudi nekaj primerov, ki jih lahko re?imo s programom. -35560240665KazaloProgramKazaloProgramMalMath: Step by step solverErika ?avli, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, erika.savli@student.fmf.uni-lj.si Mobilna aplikacija MalMath: Step by step solver je namenjena uporabi na pametnem telefonu ali tabli?nem ra?unalniku. Aplikacija je brezpla?na in je za prenos na voljo v Google Play trgovini, za njeno delovanje pa ne potrebujemo internetne povezave.MalMath je uporaben za re?evanje limit, dolo?enih in nedolo?enih integralov, ena?b, trigonometri?nih ena?b in tudi za risanje grafov funkcij. Kot pove ?e samo ime, step by step solver, je najve?ja prednost aplikacije ta, da nam pri ra?unanju, poleg re?itve, vrne tudi podroben opis korakov, s katerimi pridemo do le-te, pri risanju grafov pa poleg izrisanega grafa dobimo ?e analizo grafa, torej njegovo definicijsko obmo?je, ni?le, asimptote funkcije, ekstreme in intervale nara??anja in padanja. Tak?en na?in podajanja rezultatov je koristen, saj se lahko iz korakov in njihovega opisa nau?imo kako priti do rezultata oz. kako ?im bolj natan?no, z upo?tevanjem vseh lastnosti, ki jih dobimo pri analizi grafa, ta graf tudi narisati.V predstavitvi si bomo ogledali nekaj zgledov re?evanja limit in risanja grafov iz vaj in doma?ih nalog predmeta Matematika 1. 1270-190500 -3556035560KazaloProgramKazaloProgramGeogebra Graphing CalculatorGaja Rihar, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, Gaja.Rihar@student.fmf.uni-lj.si Geogebra Graphing Calculator je program, prirejen po ra?unalni?ki razli?ici svetovno znane Geogebre, le da je ta namenjen uporabi na pametnih telefonih (rahlo druga?na oblika za prilagajanje telefenskomu ekranu, a iste funkcije). S pomo?jo interaktivnega sistema omogo?a izobra?evanje na tehni?nem, matemati?nem in naravoslovnem podro?ju. Z mnogimi vgrajenimi funkcijami zdru?uje geometrijo, risanje, algebro, tabele, statistiko in diferencialni ra?un. Predstavlja izredno dober na?in za vizualizacijo in nazorno predstavo v naravoslovju. Zaradi svojega dinami?nega prikaza matematike, preproste uporabe in predvsem pou?ne interaktivnosti je primeren za vse stopnje izobra?evanja in je prijazen vsem uporabnikom.Geogebra je svetovno znan in najbolj uporabljen program na svetu na tem podro?ju. Razli?ica namenjena pametnim telefonom tako doda ?e 'piko na i' s svojo lahko in hitro dostopnostjo. Datoteke s kon?nico .ggb, primerne za uporabo na ra?unalniku, je mo? odpreti tudi v mobilni verziji, kjer vse dela enako (problem lahko nastane le pri postavitvi objektov po prostoru, saj se dimenzije ekrana spremenijo). Izvoz gradiva je prav tako mo?en z razli?nimi obla?nimi programi, kot so Gmail, GoogleDrive, Bluetooth. Ob prijavi v GeoGebra Tube (uporabite lahko ?e kak obstoje? naslov npr. Facebook ipd.) pa se celotno delo lahko shrani na profil tako, da do njega lahko dostopamo z vseh naprav. -82880274320KazaloProgramKazaloProgramEpski krogi Gregor Vavdi, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, gregor.vavdi@student.fmf.uni-lj.siAli znate dolo?iti naslednji ?len zaporedju:115,123,139, 163, ?Zaporedje je na prvi pogled videti povsem obi?ajno, vendar se v njem skriva veliko ve? kot mislimo na za?etku.Pokazali bomo, da je to zaporedje povezano s krogi. Vzeli bomo krog in z ustrezno konstrukcijo pri?arali zgornje zaporedje. Ker pa smo matematiki, bomo vse skupaj ?e dokazali s pomo?jo inverzije. Seveda si bomo pomagali s ra?unalni?kim orodjem GeoGebra, da bo stvar pravilno in natan?no narisana.?e ste preve? neu?akani in bi ?e danes radi izvedeli kak?no povezavo ima zaporedje z krogom, si lahko to pogledate na naslednjem videu: , -71442259080KazaloProgramKazaloProgramKonstrukcija cikloide s pomo?jo GeoGebreJaka Pivk, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, jaka.pivk@student.fmf.uni-lj.si Cikloida je krivulja, ki jo pri gibanju geometrijskega lika po neki premici ali krivulji opi?e na tem liku izbrana to?ka. Na osnovi gradiva s spletnega naslova? bomo ogledali, kako cikloido?konstruiramo s pomo?jo Geogebre.Izberemo opcijo Rotiraj objekt okoli to?ke in kliknemo na to?ko A in B ter v vnosno polje vnesemo r. Pojavi se nam nova to?ka B' katera bo naredila krivuljo. Za lep?o izbolj?avo na koncu lahko pobarvamo to?ko, omogo?imo sled, pobarvamo objekt in omogo?imo animacijo.V prispevku si bomo ogledali, kak?ne razli?ne cikloide dobimo, ?e kot osnovni objekt uporabimo kvadrat, trikotnik, pravokotnik.-1632441565226KazaloProgramKazaloProgramRe?evanje rekurzivnih ena?bJakob Vali?, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, Jakob.Valic@student.fmf.uni-lj.siV prispevku si bomo ogledali re?evanje rekurzivnih ena?b s pomo?jo programa Mathematica. Gre za ena?be zaporedij, katerih naslednji ?len je podan s kombinacijo prej?njih. Uporabljali bomo funkcijo RSolve, s katero Mathematica dolo?i splo?ni ?len zaporedja. Splo?ni ?len je natan?no dolo?en v primeru, ko podamo tudi za?etni ?len zaporedja, ki je ozna?en z a0. ?e tega ?lena ne poznamo, nam Mathematica vrne splo?ni ?len zaporedja, ki v svoji formuli vklju?uje eno ali ve? konstant, ozna?enih s C[1], C[2], itd. Te konstante lahko naknadno dolo?imo s pomo?jo prepisovalnih pravil. Rekurzivno podano zaporedje lahko napi?emo tudi v obliki funkcije, ki jo lahko predstavimo grafi?no. Namesto funkcije RSolve lahko uporabljamo tudi RSolveValue. Razlika je v tem, da nam RSolve poda re?itev v dvojnih zavitih oklepajih, RSolveValue pa brez oklepajev. Na koncu si bomo pogledali ?e prakti?no uporabo re?evanja rekurzivnih ena?b, in sicer pri ra?unanju korakov, potrebnih za premestitev n-obro?ev pri igri Hanojski stolpi; drugi primer bo iz obrestnih mer.Primer re?evanja preproste rekurzivne ena?be: -35560156845KazaloProgramKazaloProgramOEIS, njena uporaba in Sloanova vrzelJan Tom?i? Pivk, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, jan.tomsic-pivk@student.fmf.uni-lj.si Pri raznih matemati?nih raziskavah pogosto naletimo na zaporedja. Da bi matematikom po celem svetu olaj?al ?ivljenja je leta 2000 Neil Sloane usposobil Spletno enciklopedijo celo?tevilskih zaporedij.V predavanju bom najprej na kratko opisal nastanek enciklopedije, nato pa se spustil v podrobnosti uporabe iskalnika in drugih orodij, ki so dostopna na strani ter ob nekaj primerih razlo?il kaj vse lahko v enciklopediji izvemo o nekem zaporedju.Za zaklju?ek bom omenil ?e nekaj zanimivih zaporedij, nekaj zaporedij, ki smo jih matematiki ob ?tudiju mogo?e ?e sre?ali, in Sloanovo vrzel; delitev med matemati?no zanimivimi in nezanimivimi ?tevili.-83185227330KazaloProgramKazaloProgramEulerjeva premica in trilinearni koordinatni sistemJure Srabotnik, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, jure.srabotnik@student.fmf.unilj.siEulerjeva premica je v geometriji premica v poljubnem neenakostrani?nem trikotniku, ki poteka skozi posebne to?ke trikotnika. Ene izmed teh so: vi?inska to?ka, sredi??e trikotniku o?rtane kro?nice in te?i??e trikotnika. S pomo?jo podobnih trikotnikov bom dokazal, da vi?inska to?ka, sredi??e o?rtane kro?nice in te?i??e trikotnika le?ijo na isti premici.Pri dokazovanju si bom pomagal s trilinearnim koordinatnim sistemom. Trilinearni koordinatni sistem opisuje lege to?k glede na dani trikotnik. Trilinearne koordinate opisujejo relativne razdalje do treh stranic trikotnika; zato niso enoli?no dolo?ene, saj ?e jih mno?imo s poljubnim neni?elnim realnim ?tevilom dobimo ponovno trilinearne koordinate dane to?ke.S trilinearnimi koordinatami to?k bom ugotovil ali so le-te res kolinearne, saj so poljubne tri to?ke A, B, C s trilinearnimi koordinatami a1:a2:a3 , b1:b2:b3, c1:c2:c3 kolinearne samo ?e je determinanta D=a1a2a3b1b2b3c1c2c3 enaka ni?.-59690222885KazaloProgramKazaloProgramCinderellaKarin Stan?i?, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL,karin.stancic@student.fmf.uni-j.siCinderella je program za ustvarjanje geometri?nih konstrukcij. Z njim lahko ri?emo preproste geometrijske like ali telesa, razne funkcije ipd. Ko program malo bolj obvladamo, smo prepu??eni svoji domi?ljiji in lahko ustvarimo kar nam srce po?eli, kot na primer zelo zahtevne konstrukcije v katere vklju?imo vse kar poznamo, od geometrijskih teles in likov, do funkcij. Je preprosta za uporabo in dostopna na spletni strani: oz. skripta za uporabo programa, ter programski jezik, tako imenovan CindyScript, sta dostopna na spletu; je zelo podoben GeoGebri, zato se ne bomo ustavljali pri predstavitvi osnov uporabe samega programa. Raje si bomo ogledali dolo?ene zanimive konstrukcije, ki jih lahko naredimo s pomo?jo Cinderelle. Med drugim si bomo ogledali konstrukcijo ?Watt the walking beam?, kjer bomo sledili navodilom iz posnetka Bukovec, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL,katja.bukovec@student.fmf.uni-lj.si Cymath je internetna stran, namenjena re?evanju matemati?nih problemov. Dosegljiva je na internetu in ne zahteva prijave. Pri ra?unanju nam izpi?e celoten postopek re?evanja. Ob vnosu si lahko izberemo metodo, s katero bomo re?ili svoj problem. Na voljo imamo:dopolnjevanje ena?be do popolnega kvadrata, ki nas od splo?ne pripelje do temenske oblike kvadratne funkcije; diferenciacijo;re?evanje ena?braz?irjanje ena?bfaktorizacijorisanje grafovintegriranjeraz?lenjevanje na prafaktorjepoenostavljanje ena?bStran je dostopna na naslovu: voljo je tudi kot mobilna aplikacija. Uporaba je podobna.Na predavanju si bomo ogledali nekaj primerov re?evanja matemati?nih problemov s Cymath. -24130267335KazaloProgramKazaloProgramGeometrija v MathematiciLara Jera?, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, lara.jerac@student.fmf.uni-lj.siMathematica je programska oprema, ki jo uporabljamo na razli?nih znanstvenih podro?jih - v matematiki, ra?unalni?tvu, ekonomiji, tehniki, fiziki, statistiki itd.Podrobneje si bomo pogledali kako v Mathematici re?ujemo geometrijske probleme. Mathematica ima ?e vgrajene funkcije, s pomo?jo katerih lahko ra?unamo povr?ino, obseg in volumen. Prav tako, lahko tudi ri?emo skice likov in teles. To naredimo tako, da pokli?emo funkcijo (ki je kar ime lika oz. telesa , ki ga ?elimo izrisati) in podamo podatke, s katerimi je na? lik/telo dolo?en. Sliki lahko spreminjamo barvo in zorni kot.V predstavitvi bomo izrisali paralelogram in si pogledali, kako ra?unamo obseg in plo??ino. Izra?unali bomo tudi kote.V 3D si bomo pogledali paralelepiped in kroglo. Narisali bomo nekaj razli?nih skic in ra?unali volumen.Spoznali bomo tudi ukaz, s pomo?jo katerega dolo?imo, na katerih vektorjih je paralelepiped podan.-12065262890KazaloProgramKazaloProgramUporaba knji?njice NumPy pri problemih iz Linearne AlgebreLarisa Carli, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, Larisa.Carli@student.fmf.uni-lj.si NumPy (Numeric Python) je prosto dostopen dodatek programskemu jeziku Python, ki dodaja podporo za enostavno in u?inkovito uporabo velikih, ve?-dimenzionalnih tabel oziroma matrik, na katerih lahko uporabljamo matemati?ne in druge funkcije. Uporaba knji?nice zahteva le malo kode, zaradi ?esar je koda lahko berljiva in pregledna.Na predstavitvi bomo povedali nekaj o kriptografiji in linearnih preslikavah, podali zglede, kje se podro?ji uporabljata v na?ih vsakdanjih ?ivljenjih in pokazali, kako lahko uporabimo knji?nico NumPy pri nekaj enostavnih primerov uporabe linearnih transformacij in kodiranja sporo?il, s pomo?jo matri?nega mno?enja. Pokazali bomo, kako na razli?ne na?ine s NumPy-jem preslikamo poljuben objekt in koordinate zapi?emo v sintaksi primerno za kopiranje v Mathematico, s katero si bomo pomagali za prikaz teh objektov. Pogledali bomo tudi, kako s matriko zakodiramo poljubno sporo?ilo in ga potem odkodiramo s pomo?jo njenega inverza.-59129132715KazaloProgramKazaloProgramDesmosLea Kos, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, lea.kos@student.fmf.uni-lj.siDesmos je aplikacija za risanje grafov , vna?anje tabel, drsnikov ter animacij grafov. Aplikacija je dostopna v app store in google play. Uporabljamo jo lahko na ra?unalnikih, tablicah ter telefonih, brezpla?no in brez interneta. V program preprosto vnesemo poljubno funkcijo od linearnih pa vse do kro?nih funkcij. Enostavno definiramo funkcijo in nam jo program nari?e. Za funkcije, ki so podane z razli?nimi parametri, nam program ponudi drsnike, te pa lahko omejimo na dolo?enem intervalu z dolo?enim korakom.Na predstavitvi bom predstavila kvadratno funkcijo(fx=ax2+bx+c), kjer bomo imeli parametre a,b in c. Ogledali pa si bomo tudi nekaj zanimivosti tega programa. -24130-635KazaloProgramKazaloProgramMicrosoft Mathematics Lea Temlin, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, lea.temlin@student.fmf.uni-lj.siSpoznali bomo uporabo programa Microsoft Mathematics. Program si lahko prenesemo brezpla?no: Mathematics je program za re?evanje matemati?nih problemov. Program je ?tudentom namenjen kot u?ni pripomo?ek. Ponuja nam velik nabor matemati?nih orodij, s katerimi si ?tudentje lahko hitro in enostavno pomagajo pri ra?unanju, vklju?no z osnovnim kalkulatorjem z vsemi funkcijami, ki je namenjen za delo tako kot ro?ni kalkulator. Program nam omogo?a re?evanje ena?b, ra?unanje odvodov, limit in integralov. Ri?emo lahko grafe v 2D in 3D obliki. Na voljo je tudi orodje pretvornik enot, s katerim lahko hitro in enostavno pretvarjamo merske enote. V predstavitvi si bomo ogledali uporabo osnovnega kalkulatorja in uporabo matemati?nih orodij. Na konkretnih primerih bomo spoznali osnovne ukaze za ra?unanje in risanje grafov. -48297275627KazaloProgramKazaloProgramSymbolabMarina Kova?, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, marina.kovac@student.fmf.uni-lj.siProgramov in orodij, s katerimi si lahko pomagamo pri re?evanju matemati?nih nalog in problemov, je veliko. Ve?ina pa je tak?nih, ki vrnejo samo kon?ni rezultat. Ker pa ve?ino napak pri re?evanju nalog naredimo nekje med samim postopkom ra?unanja, bi nam dostikrat prav pri?el program, ki nam za dolo?en problem vrne tudi postopek re?evanja.Symbolab je eno od tak?nih orodij. Za probleme (seveda ne vse) iz razli?nih zvrsti matematike nam vrne tako rezultat, kot tudi postopek re?evanja. Ker pa na ?alost nobeno orodje ni popolno, v?asih nastanejo tudi problemi. Tako na primer za kak?en primer vrne razli?en postopek re?evanja od tistega, po katerem smo ra?unali (vemo recimo, da lahko konvergenco vrste preverjamo z razli?nimi kriteriji). Tudi za vse probleme ne vrne postopka re?evanja, in ?al v tak?nih primerih, tudi kon?nega rezultata ne.V predstavitvi orodja si bomo najprej pogledali njegovo okolje. Spoznali se bomo z njegovimi prednostmi in slabostmi, re?ili pa bomo tudi kak?en primer iz vaj za predmeta Matematika 1 in Linearna algebra. -83185211455KazaloProgramKazaloProgramRotacije, translacije in skaliranje matemati?nih objektov s pomo?jo matrikMarko Dolenc, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, marko.dolenc@V predstavitvi si bomo ogledali kako z razli?nimi ra?unalni?kimi orodji izvajati transformacije na geometrijskih objektih. S pomo?jo teh transformacij lahko razli?ne like poljubno prestavljamo, jih pove?ujemo in zmanj?ujemo po poljubni osi in rotiramo.Transformacije opi?emo z matrikami razli?nih dimenzij (glede na potrebe). Ker so ogli??a geometrijskih objektov to?ke oziroma vektorji, te preslikave lahko zelo u?inkovito izvajamo na ra?unalniku. Z mno?enjem matrik razli?nih osnovnih transformacij lahko tudi enostavno veri?imo ve? preslikav v eno kompleksnej?o preslikavo oziroma pot.V prispevku si bomo ogledali, kako prestaviti, zavrteti ter pove?ati ali pomanj?ati poligon s pomo?jo GeoGebre. Poleg tega si bomo te operacije pogledali ?e v Mathematici in Matlabu. Za konec si bomo ogledali ?e, kako te transformacije izvesti s pomo?jo JavaScript in knji?nice Math.js.-59690149225KazaloProgramKazaloProgramUporaba GeoGebre in Mathematice pri re?evanju matemati?nih nalog zapletenih funkcijMatej Jerman?i?, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, matej.jermancic@student.fmf.uni-lj.siPri matematiki se pogosto sre?ujemo z risanjem in prou?evanjem funkcij. Iz osnovnih lahko sestavimo poljubno elementarno funkcijo. Dolo?ene so tako spremenjene, da si ?e te?ko predstavljamo potek grafa in njene lastnosti. Tukaj nam pridejo prav ra?unalni?ka orodja, s katerimi si lahko natan?no nari?emo graf katerekoli funkcije in ugotovimo njene zna?ilnosti kot so ni?le, poli, za?etna vrednost, poli, asimptote itd. Pogledali si bomo primer re?evanja matemati?ne naloge s pomo?jo GeoGebre in Mathematice. Primerjali bomo uporabnost orodij, enostavnost uporabe, na?in vnosa, interpretiranje vnesenih podatkov itd. Skratka lotili se bomo problema z zahtevnej?o elementarno funkcijo in primerjali katero orodje nam bolj olaj?a re?evanje in razumevanje problema.Slika 1 Primer re?evanja v GeoGebri-168959275492KazaloProgramKazaloProgramSlika 2 Primer re?evanja v MathematiciRacionalne funkcije v programu MaximaTina Zwittnig, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, tina.zwittnig@student.fmf.uni-lj.si V program Maxima lahko definiramo funkcije. S prva bom definirala dva polinoma, in nato ?e racionalno funkcijo, ki bo definirana kot prvi polinom ulomljeno z drugim polinomom.Izra?unali bomo limito, ko gre x proti neskon?nosti, da vidimo, kako se graf obna?a v neskon?nosti, izra?unali bomo odvod funkcije, izra?unali bomo nedolo?en in dolo?en integral, narisali graf racionalne funkcije, izra?unali bomo kak?no ima asimptoto.To bom ponovila z razli?nimi racionalnimi funkcijami ( ko je stopnja imenovalca ve?ja od stopnje ?tevca in obratno, ko je stopnja imenovalca enaka stopnji ?tevca, ko sta vodilna koeficienta enaka in ko sta razli?na.Na koncu bom re?ila eno nalogo iz racionalnih funkcij.03129915003036570344551000-1187454906010KazaloProgramKazaloProgramPreprosta linearna regresija po metodi najmanj?ih kvadratov z uporabo programa RTine Mla?, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, Tine.Mlac@student.fmf.uni-lj.siV predstavitvi si bomo ogledali odprtokodni program R, namenjen predvsem statisti?ni analizi in obdelavi podatkov. Za la?je delo z R-om si pomagamo z orodjem RStudio, ki nam omogo?a urejanje R-ove izvorne kode v enotnem okolju (IDE).Pogledali bomo kaj je to preprosta linearna regresija in kako jo re?ujemo z uporabo metode najmanj?ih kvadratov. Kot uporabo programskega jezika R-a bomo re?ili enostaven primer linearne regresije. Najprej s pomo?jo iskanja minimuma funkcije vsote najmanj?ih kvadratov nato pa bomo problem prevedli na linearni model, ga ponovno re?ili in primerjali re?itvi.-635284480000269875KazaloProgramKazaloProgramGeoGebraScriptToma? Grmek, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, tomaz.grmek@student.fmf.uni-lj.siGeoGebraScript oziroma GGBScript je skriptni jezik, ki je ob namestitvi ?e vgrajen v GeoGebro, lahko pa GGBScript uporabljamo tudi v spletni verziji GeoGebre. Omogo?a nam, da lahko ve? ukazov izvedemo enega za drugim. Do skript dostopamo tako, da z desnim klikom kliknemo na objekt, izberemo lastnosti in izberemo zavihek Skripte. Nato izberemo zavihek s katerim dolo?imo, ali se bodo ukazi izvedli, ko na objekt kliknemo, ali pa, ko se objekt posodobi. Uporabimo lahko ukaze, ki smo jih uporabljali v vnosni vrstici, je pa tudi nekaj ukazov, ki jih lahko uporabljamo le pri skriptiranju. Pri predstavitvi bom na ve? konstrukcijah prikazal osnove GGBScripta.-9525071120KazaloProgramKazaloProgramGEUP 7 - program za pomo? pri geometriji?an Jereb, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, zan.jereb@student.fmf.uni-lj.siGEUP 7 je interaktivno geometrijsko orodje. Omogo?a vizualno kreiranje geometrijskih elementov (vektro, liki, ...) in ra?unanje z njimi. To orodje se ne uporablja samo za geometrijo ampak z njim si lahko pomagamo tudi pri kemiji, strojni?tvu in pri industrijskem oblikovanju.GEUP 7 je ?e kar preprost program za uporabo, saj ne potrebujemo nobene kode, ampak klikamo na ikone in potem na prostor, ki je podan. Zanj ne potrebujemo predznanja drugih orodij. Orodje je zelo podobno GeoGebri, saj imata podobne funkcije in podoben namen za uporabo. V predstavitvi si bomo ogledali osnovne funkcije GEUP 7 in tudi nekaj re?enih primero, ki bodo tudi podani kot nere?eni.-2413073660KazaloProgramKazaloProgramBertrandov paradoks?iga Mrzljak, Fakulteta za matematiko in fiziko, UL, Ziga.Mrzljak1@student.fmf.uni-lj.siPredstavil bom problem, ki se pojavi v teoriji verjetnosti(verjetnostni ra?un) , ko metoda pri dolo?anju naklju?ne spremenljivke ni jasno dolo?ena. Bolj natan?no si bomo ogledali razli?ne primere dolo?anja verjetnosti nekega dogodka, kjer pa vsi dajo druga?en(pravilen) rezultat.Konkretno si bomo ogledali problem, ki ga je matematik Joseph Bertrand zastavil leta 1889: Imamo enakostrani?ni trikotnik, ki mu o?rtamo kro?nico. Nato v tem krogu nari?emo naklju?no izbrano tetivo. Kak?na je verjetnost, da je izbrana tetiva dalj?a od stranice v?rtanega trikotnika?Problem bom predstavil s pomo?jo programa Mathematica.-82880116840KazaloProgramKazaloProgramPROGRAM1. DAN PONEDELJEK, 15.2.20168.30-8.40Uradni nagovor8.40-9.50Desmos (Lea Kos)Geogebra Graphing Calculator (Gaja Rihar)MalMath (Erika ?avli)Calculator++ (Erika Medo?)9.50-10.30Re?evanje rekurzivnih ena?b (Jakob Vali?)Spletna enciklopedija celo?tevilskih zaporedij (Jan Tom?i? Pivk)Re?evanje diofanskih ena?b z ra?unalnikom (Samantha Sla?ek)10.30-10.50ODMOR10.50-11.30Cymath (Katja Bukovec)Epski krogi (Gregor Vavdi)GraphTea (Anej Jereb)11.30-12.10Dol?ina slovenske obale (Bla? Poljanec)Fermatova to?ka (Darko Petrovi?)Permutacije (Rastko Veri?)12.10-12.30ODMOR12.30-13.20Primerjava uporabe GeoGebre in Mathematice pri re?evanju matemati?nih nalog zapletenih funkcij (Matej Jerman?i?)Symbolab (Marina Kova?)Geometrija v Mathematici (Lara Jera?)Maxima (Borna Kav?i?)13.20-14.00Cinderella (Karin Stan?i?)Pascalov trikotnik (Nikoleta Krsti?)Geogebra, Matlab, Mathematica pri re?evanju izpita iz Algebre (Martin ?esnovar)DAN TOREK, 16.2.20168.30-9.20GEUP7 (?an Jereb)Delo z racionalnimi funkcijami v Maximi (Tina Zwittnig)Cyclogoni (Jaka Pivk)9.20-9.40ODMOR9.40-10.30Preprosta linearna regresija po metodi dveh kvadratov z uporabo programa R (Tine Mla?)GeoGebraScript (Toma? Grmek)Graph (Keni ?uligoj)Bertrandov paradoks v verjetnosti (?iga Mrzljak)10.30-11.30RoboCompass (Anja Trop)Teorija grafov (David Pan?i?)Microsoft Mathematics (Lea Temlin)Uporaba knji?nice NumPy pri problemih iz Linearne Algebre (Larisa Carli)11.30-11.50ODMOR11.50-12.50Metoda Monte Carlo (Marko Jereb)Razli?ni na?ini dokazovanja Pitagorovega izreka (Alenka Kej?ar)Rotacije, translacije, skaliranje matemati?nih objektov s pomo?jo matrik (Marko Dolenc)Dokazovanje Eulerjeve premice s pomo?jo podobnih trikotnikov in trilinearnega koordinatnega sistema (Jure Srabotnik) ................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.