Domovske stranky uzivatelu



Workshop Plzeň, duben 2014Motto: ?Má smysl u?it matematiku, kdy? máme po?íta?e?“1 ?vod Pohled na ?ísla m??e b?t pro mnoho lidí velice nudn?, podobně jako pro laika pohled na notov? zápis. Pot?ebu zaznamenávat po?et dn? nebo mno?ství ko?isti m??eme v?ak sledovat ji? v době kamenné.Věstonická vrubovka (kost se zá?ezy) tomto textu se pokusíme proniknout pod povrch abstraktního zápisu ?ísel a p?iblí?íme si jejich v?znam.2 Jedna, dvě, hodněPo?ítání také jistě souvisí s vzájemnou v?měnou zbo?í. P?esto ji? p?echod od jedni?ky ke dvojce byl pro lidskou mysl tě?k?. Na Nové Guineji existuje jazyk, kter? pou?ívá jiné vyjád?ení pro dvojici ?en, dvojici mu?? nebo dvojici smí?enou. Dal?í krok ke trojce u? byl velice obtí?n?, ta byla ?asto?ozna?ována stejn?m slovem jako mno?né ?íslo. Na zlomcích si m??eme dolo?it, ?e lidé nejd?íve po?ítali podle schématu jedna, dvě, hodně. Porovnejme dvě - polovina, t?i – t?etina, anglicky two - half, three – third a ma?arsky kett?-fel, három-harmad. Tedy jedna polovina se vyvinula daleko d?íve, ne? jedna t?etina a dal?í zlomky. V mnoha jazycích se po?ítání zastavilo na hodnotě ?ty?i. Asi proto, ?e zaznamenat jedním pohledem vět?í po?ty je pro ?lověka slo?ité. P?i po?ítání pomocí ?árek se pátou ?árkou (nap?. na pivním tácku) ?krtnou p?edchozí ?ty?i.Rozvoj obchodu a v?běr daní vedl k?pot?ebě je zaznamenat. Do hliněného d?bánu se nasypal po?et kaménk? (latinsky calculi) odpovídající vybran?m daním a d?bán se zape?etil. ?asem se po?et kaménku za?al zaznamenávat na d?bán. První takové znaky, vedoucí ke vzniku klínového písma, se objevily roku 3300 p?. n. l. v?Sumeru. Znaky se postupně měnily, v rozvinuté podobě je vidíme nap?. u ?ímsk?ch ?íslic. v??ímsk?ch ?íslicích jsou v?ak velice obtí?né. V?znamn?m pokrokem proto bylo zavedení desítkového pozi?ního zápisu ?ísel (písemn? doklad na desce z?roku 595 n. l. v Indii). V?Indii rovně? zavedli nulu, kterou rovnoprávně pou?ívali vedle ostatních symbol? pro ?íslice i na konci ?ísla. Babylóňané vyjad?ovali nulu te?kou a psali ji pouze mezi ?íslice. V?Evropě se nula objevila a? ve t?ináctém století. Vedle desítkového systému se vyvíjely i systémy se základem pět, dvacet nebo ?edesát. Dodnes dělíme hodinu na ?edesát minut.Doplňte své nápady - Jak vyu?ít po?íta? pro p?iblí?ení ?ísel student?m. (Dobr? sluha)3 p/q nebo smrtV?po?ty p?i dělení majetku vy?adovaly zlomky. Egyp?ané v?echny v?po?ty se zlomky p?eváděli na kanonické zlomky, které mají v??itateli jedni?ku. Egyp?ané také uměli spo?ítat plochy ?tverce, obdélníka, lichobě?níka a kruhu (jeho plochu vyjad?ovali jako osm devítin pr?měru, to celé na druhou). Babylón?tí kně?í r?sovali okolo kruhu ?esti a dvanáctiúhelníky. Pomocí nich se p?iblí?ili k?hodnotě π ~ 3+7/60+30/602 = 3,125. Babyloňané úlohy a v?po?ty popisovali slovy, ?e?ili kvadratické rovnice a znali Pythagorovu větu. Nikde v?ak ve star?ch spisech nenajdeme náznak d?kazu. V?e bylo popsáno slovy ?udělej to tak a tak“. S?d?kazem v?dne?ním slova smyslu se m??eme poprvé potkat u Pythagorejc? (6. stol. p?. n. l.) p?i doka-zování platnosti Pythagorovy věty. Pythagorejci p?ipisovali ?ísl?m velk? v?znam. ?íslo 1 pova?ovali za symbol bodu, ?íslo rozumu, tedy za zdroj ostatních rozměr? a ?ísel. ?íslo 2 bylo ?ensk?m ?íslem, bylo to ?íslo sváru a nespolehlivosti (?dvojí tvá?“ v?irán?tině a ?e?tině, ?dvojí jazyk“ v?něm?ině). Mu?sk?m ?íslem byla trojka, která byla základem po?ádku, základem utvá?ení vojensk?ch jednotek. Symbolem spravedlnosti a ?ádu byla ?ty?ka, ke které pat?ily nap?íklad ?ty?i světové strany. ?íslo 5 bylo pova?ováno za ?íslo lásky a man?elství (2+3). ?íslo 6 p?edstavovalo symbol stvo?ení. Matematika byla jist?m druhem nábo?enství. Proto bylo velice nep?íjemné, kdy? se neda?ilo vyjád?it úhlop?í?ku ve ?tverci o straně jedna pomocí zlomku. Pythagorejci dokázali, ?e to opravdu nejde (MLODINOW L. Eukleidovo okno). Jejich zdě?ení bylo tak veliké, ?e zakázali tuto skute?nost zve?ejnit. Tajemství v?ak prozradil Hippasus z?Metapontu a byl za to zabit. Dnes ?ísla, která se nedají vyjád?it jako zlomek, naz?váme iracionální. Odpor k?těmto ?ísl?m byl p?ekonán a? v?díle George Cantora v 19.století.Omocnina z?BabylónuPentagram ()Doplňte své nápady - Jak vyu?ít po?íta? (Dobr? sluha, i zl? pán), ?íslo pi na dvacet míst *%28N%5B1%2F3%2C2%5D%2B1.01%294 Imaginární ?íslaV?tomto odstavci budeme ?erpat z?knih STRUIK D. J. ?Dějiny matematiky“ a LIVIO M. ?Ne?e?itelná rovnice“ a p?iblí?íme si vznik komplexních ?ísel. Jak si uká?eme, komplexní ?ísla se poprvé objevila a? p?i ?e?ení kubick?ch rovnic. U kvadratick?ch rovnic matematici ?e?ení vy?adující odmocninu se záporného ?ísla prostě nebrali v?úvahu. Zde je vhodné podotknout, ?e sice ji? starověcí ?ekové pracovali s?v?razy, které zahrnovaly záporné hodnoty, nap?. - (- a) = a. Podobné operace v?ak pova?ovali za p?ípustné, pokud v?sledek byl kladn?. Ned?věra v?záporná ?ísla byla úplně p?ekonána a? v?18. století (DEVLIN K. Jazyk matematiky, s.138). První pokusy o ?e?ení rovnic t?etího stupně lze nalézt u Babylóňan?, kte?í sestavili tabulky pro ?e?ení konkrétních rovnic. Postupně matematici p?idávali dal?í ?e?ení. Obecn? p?edpis pro rovnice tvaru ax3 + bx = c, kde a, b, c jsou celá ?ísla byl v?ak nalezen a? v 15. století italsk?m matematikem Scipiono dal Ferro (1465-1526). Rukopis s??e?ením ale nezve?ejnil, p?edal ho svému studentovi Antonia Maria Fiore. Ten chtěl tuto znalost vyu?ít ke své slávě. V?té době bylo obvyklé, ?e se u?enci st?etávali ve ve?ejn?ch disputacích. Fiore vyzval v?roce 1535 k ve?ejnému ?e?ení kubick?ch rovnic benátského po?tá?e jménem Nicola Tartaglia. Tartaglia v?ak uměl ?e?it i rovnice ve tvaru ax + b = x3, x3 + a x2 = b a Fioreho porazil. Svou metodu dlouhou dobu dr?el v?tajnosti. Nakonec ji pod slibem ml?enlivosti prozradil Hieronymu Cardanovi (1501-1576), ten ji ale uve?ejnil v?roce 1545 v?knize Ars magna. Obecn? vzorec pro v?po?et ko?en? kubické rovnice x3 + p x = q tam lze nalézt ve tvarux = 3√(q/2 + √(p3/27+q2/4)) + 3√(q/2 - √(p3/27+q2/4)) .()Hlavním motivem pro intenzivní zkoumání komplexních ?ísel byl tzv. casus irreducibilis – tj. p?ípad, kdy má kubická rovnice t?i reálné ko?eny a kdy se v Cardanově vzorci vyskytují odmocniny ze záporného ?ísla. Nap?íklad pro rovnici x3 - x = 0 je x= 3√( + √-13/27) + 3√( - √(-1/27)) .( 2B%28-+sqrt%28-1%2F27%29%29%5E%281%2F3%29)G. Cardano si v?ak p?i studiu kubick?ch rovnic uvědomil, ?e ke komplexním ?ísl?m lze dospět ji? u rovnic kvadratick?ch; tato my?lenka se neobjevila po celá t?i tisíciletí, během nich? byly úlohy vedoucí na kvadratické rovnice ?e?eny. CardanusA? dal?í italsk? matematik Rafael Bombelli (1526 – 1572) dospěl ve své knize L’Algebra parte maggiore dell’Aritmetica z roku 1572 p?i po?ítání s komplexními ?ísly podstatně dále ne? G. Cardano. Usoudil, ?e odmocněním záporného ?ísla nem??eme dostat ani kladné, ani záporné ?íslo; napsal tedy p?ed odmocninu z absolutní hodnoty tohoto ?ísla pi`u di meno, kdy? ji p?i?ítal, resp. meno di meno, kdy? ji od?ítal – nejednalo se o nic jiného ne? o slovní ozna?ení pro pozděj?í symbol i, resp. ?i. Pro po?ítání s takov?mito ?ísly formuloval v první ?ásti své knihy osm pravidel pro práci s komplexní jednotkou: (+1)(+i)=+i, (-1)(+i)=-i, (+1)(-i)=-i, (-1)(-i)=+i,(+i)(+i)=-1, (+i)(-i)=+1, (-i)(+i)=+i, (-i)(-i)=-1.R. Bombelli zkoumal Cardan?v vzorec a pokou?el se po?ítat t?etí odmocniny komplexních ?ísel; ty toti? figurují v Cardanově vzorci, pokud nastává casus irreducibilis. Zjistil p?itom, ?e t?etí odmocniny komplexně sdru?en?ch ?ísel jsou opět komplexně sdru?ená ?ísla. Komplexní ?ísla v 17. a 18. století V 17. století pracovalo s komplexními ?ísly stále více matematik?. Jedním z nich byl Albert Girard (1595 – 1632, kter? jako jeden z prvních vyslovil tzv. základní větu algebry. Francouzsk? matematik a filozof René Descartes (1596 – 1650) sehrál v?znamnou roli i p?i roz?i?ování ?íseln?ch obor?. ?asto pracoval se záporn?mi ?ísly, i kdy? ani pro něho je?tě nebyla zcela rovnocenná ?ísl?m kladn?m, a s komplexními ?ísly, která naz?val imaginaire. Anglick? matematik a teolog John Wallis (1616 – 1703), profesor oxfordské univerzity, věnoval velkou pozornost otázkám ?íseln?ch interpretaci. J. Wallis uznával záporná ?ísla, kladná a záporná ?ísla interpretoval pomocí pohyb? na opa?né strany, o uspo?ádání ?íselné osy v?ak je?tě neměl zcela jasnou p?edstavu. Jako první nazna?il smysluplnou geometrickou interpretaci imaginárních ?ísel. Rozpaky vypl?vající z neujasněné podstaty komplexních ?ísel m??eme snadno dokumentovat nap?. názorem Gottfrieda Wilhelma Leibnize (1646 – 1716), kter? roku 1675 napsal Christiaanu Huygensovi (1629 – 1695), ?e tato ”podivná ?ísla“ jsou divem anal?zy, netvorem světa idejí a oboj?ivelníkem mezi bytím a nebytím. V 18. století pracoval s komplexními ?ísly zejména Leonhard Euler (1707 – 1783), kter? roku 1777 pou?il prvního písmene slova imaginaire pro ozna?ení komplexní jednotky, ve vyti?těné podobě se toto ozna?ení objevilo a? roku 1794. Zdá se témě? jisté, ?e ji? v padesát?ch letech 18. století chápal komplexní ?íslo x + yi jako bod roviny s kartézsk?mi sou?adnicemi x, y; nikde to v?ak v?slovně nenapsal. Komplexní ?ísla vyjad?oval i v goniometrickém tvaru. Ke geometrické interpretaci komplexních ?ísel dospěl jako první norsk? kartograf a geodet Caspar Wessel (1745 – 1818), kter? úspě?ně spolupracoval s Dánskou akademií věd. Ve sv?ch pracech rozpracoval základy vektorového po?tu v rovině a v prostoru jako analytick? aparát pro ?e?ení geodetick?ch úloh. Zavedl imaginární osu kolmou k ose reálné, vektory roviny reprezentoval komplexními ?ísly a operace s vektory prováděl pomocí operací s komplexními ?ísly. Pro komplexní jednotku u?íval symbol ε. Dospěl rovně? ke goniometrickému vyjád?ení komplexního ?ísla a k Moivreově větě.Komplexní ?ísla na po?átku 19. století V první ?tvrtině 19. století rozvíjelo geometrické p?edstavy o komplexních ?íslech několik matematik?. Jedním z nich byl francouzsk? matematik a fyzik Lazare Nicolas Marquerite Carnot (1753 – 1823), kter? na po?átku 19. století vydal knihy, v nich? diskutoval problematiku záporn?ch a komplexních ?ísel (pochází od něho termín komplexní ?íslo). Gaussova rovina - Ke geometrické interpretaci komplexních ?ísel jako bod? roviny dospěl na p?elomu 18. a 19. století Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). Geometrick?ch p?edstav o komplexních ?íslech vyu?il ji? ve své diserta?ní práci z roku 1799 p?i d?kazu základní věty algebry. Jejich geometrickou interpretaci podal později ve své práci Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda z roku 1831. Pod v?razn?m Gaussov?m vlivem postupně do?lo k v?eobecnému roz?í?ení p?edstavy o komplexních ?íslech jako bodech roviny; proto se později ujal termín Gaussova rovina. Komplexní ?ísla p?estala mít tajupln? charakter, jejich s?ítání a násobení získalo v?razn? geometrick? smysl (vektorov? rovnobě?ník, rotace).Doplňte své nápady - Jak vyu?ít po?íta? (Dobr? sluha, i zl? pán), Bankovní kostantaZajímav?m iracionálním ?íslem, jeho? p?ibli?né hodnoty se poprvé objevily v?roce 1618 v?práci Johna Napiera, je ?íslo e. Za objevitele tohoto ?ísla je v?ak pova?ován Jacob Bernoulli (1655-1705), kter? se p?i ?e?ení problému spojeného se slo?en?m?úro?ením, sna?il vypo?ítat limitu z?v?razu (1+1/n)n. Na tuto limitu narazíme poka?dé, kdy? se budeme sna?it popsat jakékoli rozmno?ování, nejen peněz, ale také zví?at nebo rostlin. Pokud jako základ v?exponenciální funkci zvolíme ?íslo e, pak platí, ?e její derivace v bodě x je rovna funk?ní hodnotě v tomto bodě. í e = limn->∞ (1+1/n)n zavedl Leonard Euler (1707-1783), kter? v roce 1748 dokázal rovnosteix= cos x + i sin x,která platí pro ka?dé reálné ?íslo x. dosadíme za x konstantu π, poda?í se nám propojit svět racionálních, iracionálních a komplexních ?ísel p?ekvapující rovnostíeiπ + 1 = 0.Tato rovnost podle mnoh?ch vědc? pat?í k?nejkrásněj?ím matematick?m pou?kám.Limity funkcí: Doplňte své nápady - Jak vyu?ít po?íta? (Dobr? sluha, i zl? pán), ZávěrJako závěr si dovolím pou?ít text, kter? napsal do svého projektu ?těpán Cais, v?době psaní projektu student prvního ro?níku FAV Z?U v?Plzni. Cituji: “Je?tě p?ed nedávnem jsem si myslel, ?e matematika je jako věda velice plochá a pro studenta je jenom nutné zlo se p?es ni prokousat. Od mali?ka jsou nám v?em do hlavy nalévány vzorce a pou?ky, které jsou vět?inou oznamovány bez ?ir?ích souvislostí. A právě tato – dle mého názoru chyba – zp?sobuje nechu? spoustě ?ák? a student? k?matematice. O co je v?ak hrní?ek matematiky chutněj?í a sytěj?í, kdy? do něj p?idáme lahvi?ku speciálního ko?ení s?názvem ?historie“, jemně zamícháme s?p?ísadou ??ir?ích souvislostí“ a ubereme hutného ?definování, vzore?kování a větování“. V?dy?, jak jednou pronesl David Hilbert: ?Matematika je hra hraná podle jist?ch jednoduch?ch pravidel s?nesmysln?mi znaky na papí?e“.Pou?itá literaturaDEVLIN, K. Jazyk matematiky - Jak zviditelnit neviditelné: Nakladatelství Argo a Doko?án, Praha 2002 343 s. ISBN 80-86569-09-8.MLODINOW, L. Eukleidovo okno, Slovart s.r.o. , Praha 2007, 259 s. ISBN 978-80-7209-900-9PICK, L. Zlat? ?ez a dal?í parádní ?ísla, sborník Letní ?kola matematiky a fyziky 2007, Univerzita J.E.Purkyně v??stí nad Labem. STRUIK D. J. Dějiny matematiky, Orbis, Praha 1963, 250 s.LIVIO, M. Ne?e?itelná rovnice, Nakladatelství Argo a Doko?án, Praha 2008, 317s. ISBN 978-80-7363-150-5Dobr? sluhaZl? pánZákladní operace (Elementary Mathematics) – funguje ?texovská“ syntaxe 2^3, \sqrt[3]{8}.a=2.24-1.92, problém s Intersection ((-1)^(1/3))^3, ((-1)^3)^(1/3) N[(-1)^{1/3}] a (-1)^(2/3), 3/2===1.5 False?, N[3/2]===1.5 True?e?ení rovnic (x-1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480)/(x-sqrt{2})=0, uberte desetinná místaCardanovy vzorce (sqrt(-1/27))^(1/3)+(- sqrt(-1/27))^(1/3) Taylorova ?ada taylor series e^xsum (x)^3/(1+2x^2)^n, n=1..infinity, nezapomenout na podmínkuFunkce inverse function of x^3Zaměň 16 za 6 Log[Abs[x - 5]]*Exp[x] + 100; x from 2 to 16\int sgn x dx =|x|, - zobecněná prim. funkce integrate(sgn x ) (v?dokumentaci je sign), y‘=sgn x ?e?í jinakLimity funkcí Workshop 2012Základní adresa pro v?po?ty - a nejen v?po?ty (zadejte Plzeň).První krok - ákladní operace (Elementary Mathematics) – funguje ?texovská“ syntaxe 2^3, \sqrt[3]{8}.Práce s??ísly (Numbers) – prvo?íseln? rozklad (factor), největ?í spole?n? dělitel gcd(36, 24), nejmen?í spole?n? násobek lcm(25,45), t?etí odmocnina cbrt(-1) dává komplexní ?íslo s?nejmen?ím argumentem, rozvoj π - pi to 1000 digits.Grafy (Plotting & Graphics) – jiné zna?ení funkcí : tg tan, ln log, grafy někdy obsahují asymptoty: tan x, nezobrazí “rychlé” změny: log(x-1)*e^x, x from -1 to 10, “neumí” t?etí odmocninu – lze obejít p?es: plot x^3-y=0 from -2 to 2, obory funkcí: domain (range) of f(x) = log(x^2-1), goniometrické funkce (trigonometric): tan(60 deg), funkce a inverzní funkce (demonstrace), .Algebra – ?e?ení soustav rovnic, práce s?polynomy, operace s?vektory a maticemi: VectorAngle({1/4, -1/2, 1}, {1/3, 1, -2/3}), inverse matrix {{4,1},{2,-1}}. Základy matematické anal?zy (Calculus & Analysis) – Posloupnosti a ?ady (Sequences, Sums), Limity (Limits) : limit (n+1)/n as n->infinity, lim 1/x as x->0, Derivace a integrály (Derivatives, Integrals): derivative of x^4/sin x, int sin(t^2) dt, t=-infinity to infinity.Analytická geometrie (Coordinate Geometry) – p?ímka, rovina, kvadriky (ConicSections), pr?běh funkce (StationaryPoints, maximize).Geometrie ( HYPERLINK "" Geometry) – zobrazení ploch a těles (tetrahedron).Kombinatorika (Combinatorics) – permutace (permutations), kombina?ní ?íslo ( HYPERLINK "" 30+choose+18) .Matematická logika a mno?iny (Logic & Set Theory) – tabulka pravdivostních hodnot (P && (Q || R)), Vennovy diagramy ((complement S) intersect (A union B))?lohy : 1. (batman equation) Nakreslete srdí?ko. 2. Najděte asymptoty a inflexní bod grafu funkce: x(1-x^2). 3. Vynásobte matici a vektor.4. Rozhodněte o pravdivosti v?rokové formule: (V1 V2) (V1 V2)5. Nakreslete parabolu procházející body (-1,0), (0,1), (1,0).6. Spo?ítejte vzdálenost bodu [1,1,1] od roviny x+y+z=2. ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download