Matemātiskā Analīze I (definīcijas)



|Integrāļi. | |Definīcijas. |Teorēmas. |

| | |Kopu {{x},{x,y}} sauc par elementu x(X, y(Y sakārtotu|Robežu unitātes teo. Ja fjai ptā c eksistē robeža,|

| | |pāri un apzīmē (x,y). |tad tā ir viena vienīga. |

| | |Visu sakārtoto pāru (x,y), x(X,y(Y, kopu sauc par |Robežu summas, starpības, reizinājuma teo. |

| | |kopu X un Y Dekarta reizinājumu un apzīmē X x Y. |Robežpāreja nevienādībās (“divu miliču teo”). |

| | |Kopu trijnieku f=(X,Y,G), kur G(XxY, sauc par |Dotas fjas f,g,h. f(x)c)h(x)=A(R, tad |

| | |(izejas) kopu, Y – par f finiša (ieejas) kopu, bet G |lim(x->c)g(x)=A |

| | |– par f grafiku. |Teo par nepārtrauktas fjas extremālajām vērtībām |

| | |Fju f: X->Y sauc par visur definētu, ja (x(X (y(Y |slēgtā intervālā. Ja fja f(x) ir nepārtr. slēgtā |

| | |((x,y)(G). |int[a,b],tā tā šajā intervālāvismaz vienu reizi |

| | |Fju f: X->Y sauc par sirjekciju, ja Ran(f)=Y. |sasniedz savu lielāko un mazāko vērtību. |

| | |Fju f: X->Y sauc par injekciju, ja dažādiem |Teo nepārtrauktas fjas starpvērtībām. Nepārtraukta|

| | |elementiem x1,x2(X atbilst atšķirīgi elementi f(x1), |fja pieņem jebkuru starpvērtību starp jebkurām |

| | |f(x2) (Y, t.i. x1(x2 => f(x1)(f(x2). |divām savām vērtībām. Sekas: Ja slēgtā int. |

| | |Ja f: X->Y un g: W->Z, tad fju F: X->Z, kas definēta |galaptos ir dažādas vērtību zīmes, tad vismaz |

| | |ar nosacījumu: (x(X F(x)=g(f(x)), sauc par fju f un g|vienā int. ptā fjas vērtība ir 0. |

| | |kompozīciju un apzīmē g o f. Tātad tas ir trjnieks |Saistība staro nepārtrauktām un diferencējamām |

| | |(X,Z,F), kur F={(x,z)(y(Y(W(f:x->y&g:y->z)} |fjām. Ja fja f ir diferencējama, tad fja f ir |

| | |Saka, ka f(x) robeža ptā c ir skaitlis L, ja |nepārtraukta ptā c. Ne katra nepārtraukta fja ir |

| | |(((>0((>0(x(Domf:0c)f(x), vai |diferencējama šajā int.,f(a)=f(b), tad |

| | |(lim(x->c)f(x)(f(c). 1.veida - (abas vienpusējās |(c(]a,b[:f`(c)=0. |

| | |robežas, ja tās sakrīt – novēršams pārtr.pts, |Lagranža teo (vidējas vērtības teo). f ir nepārtr.|

| | |nesakrīt – nenovēršams. 2.veida – lim(x->c)f(x)=( |int[a,b] f ir diferencējama šajā int., tad |

| | |Par fjas f atvasinājumu ptā c sauc robežu |(c(]a,b[: f`(c)=(f(b)-f(a))/(b-a) |

| | |lim(h->0)(f(c+h)-f(c))/h, ja vien šī robeža (. |Fjas augašnas (dilšanas) pietiekamie nosacījumi. f|

| | |Ja fja y uzdota arvienādojumu, kas nav atvasināts |ir nepārtr. int[a,b] f ir diferencējama šajā int. |

| | |attiecībā pret y, tad šādu fju sauc par apslēptu. |Ja f`(x)>0, (x(]a,b[,tad f ir augoša šajā int. Ja |

| | |Ja divu mainīgo fja F(x,y) derinēta kādā plaknes RxR |f`(x)0,|

| | |un izpildās vienādība F(x,f(x))=0, tad tādu fju sauc |(x(]a,b[, tad f(x) ir ieliekta int]a,b[. Ja |

| | |par apslēptu un definē ar F(x,y)=0. |f``(x)0,(x(]a,c[, un f`(x) ,(x(]c,b[, tad f(c) ir |

| | |((fjas diferenciālis ir fjas lineārais pieaugums). |fjas f lok.max.vērtība. Tāpat min putam. Ja f`(x) |

| | |f(c) sauc par fjas lielāko(mazāko) vērtību kopā S, ja|ir ar vienu un to pašu zīmi abās pusēs ptam c, tad|

| | |f(c)>=f(x),(x(S (f(c)c)f(x)=lim(x->c)g(x)=0. Ja ( |

| | |Pti, kuros fja slēgtā intervālā [a,b] var sasniegt |lim(x->c)f(c)/g(c) tādā nozīmē, ka ( R vai (, tad |

| | |ekstremālās vērtības. 1)intervāla galapti; |lim(x->c)f(x)/g(x)=lim(x->c)f`(x)/g`(x). Teo B. |

| | |2)stacionārie pti-f`(x)=0; 3)singulārie pti-f`(x) |Dots: lim(x->c)|f(x)|=lim(x->c)|g(x)|=+(. Tālāk kā|

| | |neekststē. |A. gad. |

| | |Fja f ir diferencējama intervālā I. Fju f sauc par |Teo par primitīvo fju atšķirību. Ja |

| | |augošu(dilstošu) intervālā I, ja |F`(x)=G`(x),(x((a,b), tad ( tāda konst.C(R, ka |

| | |(x1,x2(I:x1f(x1)f(x2)) |F(x)=G(x)+C, (x((a,b). |

| | |Fju sauc par stingru monotonu, ja tā ir augoša vai |Teo par nenoteiktā intergrāļa linearitāti. |

| | |dilstoša. |(kf(x)dx=k(f(x)dx ; ((f(x)+g(x))dx=(f(x)dx+(g(x)dx|

| | |Diferencējamu fju f(x) un tās grafiku intervālā ]a,b[|Teo par integrējamām fjām. Ja fja f ir ierobežota |

| | |sauc par izliektu(ieliektu),ja grafiks atrodas zem |[a,b], ja tā ir nepārtr. [a,b], izņemot varbūt |

| | |(virs) jebkuras grafika pieskares dotajā intervālā. |galīgu skaitu ptu, tad f ir integrējama. Sekas: |

| | |Fjas grafika ptus, kas atdala grafika izliektu daļu |jebkura nepārtraukta fja int[a,b] ir integrējama. |

| | |no ieliektas, sauc par fjas grafika pārliekuma ptiem |Sakars starp noteikto integrāļi un nenoteikto |

| | |(infleksijas pti). |(Ņutona-Leibnica fla). f ir nepārtr. [a,b], F ir |

| | |Fja f if definēta kopā S un c(S. f(c) sauc par fjas f|f patvaļīga primitīva fja. Tad |

| | |lokālo minimālo(maksimālo) vērtību, ja ( tāds ]a,b[, |((a..b)f(x)dx=F(b)-F(a). |

| | |kurš satur ptu c, un f(c) ir min(max) vērtības kopā |Teo par noteiktā integrāļa linearitāti. f un g ir |

| | |S(]a,b[. (lokālie ekstrēmi). |integrējamas fjas int[a,b] un k ir konst. Tad kf |

| | |(lim(x->+()f(x)=L)((((>0((>0(x(Domf:x>(=>|f(x)-L|-()f(x)=L)((((>0((>0(x(Domf:x|f(x)-L|()f(x)=L)((((>0((>0(x(Domf(-(,+():x>|(|=>|f(x|[a,b]=[a,c]([c,b] un f ir integrējama, tad |

| | |)-L|c+)f(x)=+()((((>0((>0(x(Domf:0()|Noteikto integrāļu salīdzināšana. Ja f un g ir |

| | |f(x)(](,+([ ((]0,+([ |integrējamas fjas [a,b] un (x([a,b]:f(x)()(f(x)-(kx+b))=0, tad taisn kx+b sauc par |ir nepārtraukta int[a,b], tad ( c(]a,b[ : |

| | |fjas f(x) slīpu asimptotu. |((a..b)f(x)dx=f(c)(b-a). Skaitli |

| | |Par dotas fjas f(x) primitīvo fju sauc fju F(x), |f(c)=(((a..b)f(x)dx)/(b-a) sauc par fjas f(x) |

| | |kuras F`(x)=f(x) |vidējo vērtību intervālā [a,b]. |

| | |Fjas f(x) primitīvo fjas vispārīgo veidu F(x)+C, | |

| | |sauc par fjas f(x) nenoteikto integrāli. Apzīmē | |

| | |(f(x)dx=F(x)+C f(x)-zemintegrācijas fja, | |

| | |f(x)dx-zemintegrācijas izteisme,x-integrācijas | |

| | |mainīgais, (-integrācijas darbības simbols. | |

| | |Interv.[a,b] skaldījums Pn (sasmalcinājums) | |

| | |sadalījums. Rpn=((i=1..n)f(~xi)(xi-Rīmaņa summa. | |

| | |Fja f ir definēta int.[a,b].Ja ( lim(|p|->0)Rpn ( | |

| | |skaldījumam Pn, tad saka, ka fja f ir integrējama. | |

| | |lim(|p|->0)Rpn sauc par noteikto integrāli fjai f | |

| | |int[a,b](Rīmaņa integrāli) | |

| | |Fja f ir integrējama int[a,b].G(x)=((x..a)f(t)dt | |

| | |(definēta [a,b] ) sauc par noteikto integrāli ar | |

| | |mainīgu augšējo robežu. | |

|(xndx=xn+1/n+|(exdx=ex+C | | | |

|1+C |(dx/(1-x2=arcsin=-ar| | | |

|(dx/x=ln|x|+C|ccos+C | | | |

|(cosxdx=sinx+|(dx/1+x2=arctgx+C | | | |

|C |(dx/a2+x2=1/|a|*arct| | | |

|(sinxdx=-cosx|g x/|a|+C | | | |

|+C |(a=ax+C;a=skaitlis | | | |

|(dx/cos2x=tgx|(1dx=x+C | | | |

|+C |(xdx=x2/2+C | | | |

|(dx/sin2x=-ct|(e3x=1/3*e3x | | | |

|gx+C | | | | |

|(axdx=ax/lna+| | | | |

|C | | | | |

|nenot.( | | | |

|īpaš:((f(x)dx)’=f(x)#d((f(x)dx)=f(| | | |

|x)dx# | | | |

|(f’(x)dx=f(x)+C#(df(x)=f(x)+C# | | | |

|linearitātes īpaš: | | | |

|(kf(x)dx=k(f(x)dx#((f(x)(g(x))dx=(| | | |

|f(x)dx((g(x)dx# | | | |

|parciālā integr: (udv=uv-(vdu | | | |

|Funkcijas. | | | |

|1)Dom(f) – definīcijas apgabals. | | | |

|2)paritāte; ja f(-x)=f(x), tad | | | |

|pāra (simetrija pret y asi) | | | |

|ja f(-x) = -f(x), tad nepāra | | | |

|(simetrija pret 0 punktu) | | | |

|ja ne viens, ne otrs, tad ne pāra,| | | |

|ne nepāra. | | | |

|3)krustp.ar asīm;ar x asi (ja y=0)| | | |

|un ar y asi (ja x=0) | | | |

|4)f’(x); kritisk pts | | | |

|f’(x)=0;aug(+)/dilst(-),extremu | | | |

|pts (graf min&max pt to liek x | | | |

|vietā [f(2)] | | | |

|5) | | | |

|f”(x),ieliek(+(),izliek(-),pārliek| | | |

|uma pts | | | |

|6)asimptotas, 7)skice | | | |

|Atvasināšana. | | | |

|(k)’=0 |(kf(x))’=k(f(x))’;k(R | | | |

|(u+v)`=u`+v` |(f(x)(g(x))’=f’(x)(g’(x) | | | |

|(u-v)`=u`-v` |(f(x)*g(x))’=f’(x)*g(x)+ | | | |

|(x^n)’=nx(^n-|f(x)*g’(x) | | | |

|1) |(f(x)/g(x))’=(f’(x)*g(x)-f| | | |

|(sinx)’=cosx |(x)*g’(x))/g2(x) | | | |

|(cosx)’=-sinx|(lnx)’=1/x | | | |

|(tgx)’=1/cos2|(arcsin)’=1/(1-x2 | | | |

|x; |(arccos)’=1/(1-x2 | | | |

|(ctgx)’= |(arctgx)’=1/1+x2 | | | |

|1/sin2x |(arcctg)’=-1/1+x2 | | | |

|(ax)’=axlna |(x)’=1 | | | |

|(logax)’=1/xl|alnx=a/x | | | |

|na | | | | |

|(ex)’=ex | | | | |

| | | |

| | | |

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download