Neapibrėžtinis integralas - Technomatematika
Neapibrėžtinis integralas
Funkcijos f(x) neapibrėžtiniu integralu [pic] vadinama tokia funkcijų klasė F(x)+c jei išvestinė F´(x)= f(x).
1. Taikant paketą MAPLE funkcijų integralai apskaičiuojami sekančiu būdu:
> int(f(x),x);
Pvz. : Apskaičiuoti integralą [pic]
> int(ln(x),x);
[pic]
Norėdami tai vaizdžiau išreikšti naudojama forma Int(f(x),x) – čia didžioji raidė "I" nurodo, kad integralas nebus apskaičiuotas, o liks tik integralo išraiška:
> Int(ln(x),x)=int(ln(x),x);
[pic]
Pabrėšime, kad MAPLE nerašo laisvosios konstantos c.
2. Norėdami vėliau naudotis apskaičiuotu integralu jį galima pažymėti:
> q:=int(ln(x),x);
[pic]
arba išreikšti integalą kaip x funkciją:
> F:=unapply(int(ln(x),x),x);
[pic]
Dabar diferencijuojant integralą galima atlikti patikrininimą – integralo išvestinė turi būti lygi integruojamai funkcijai:
> diff(q,x);
[pic]
arba
> Diff(Int(ln(x),x),x)=diff(F(x),x);
[pic]
be to, įvairiais būdais apskaičiuoti integralo reikšmę, pvz. , kai x=2
> subs(x=2,q); F(2); F(2.); evalf(F(2),20);
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
3. Funkcijas galima integruoti keletą kartų. Pvz. , reikia rasti visas funkcijas y(x) kurių antrosios eilės išvestinė y″=ln(x).
> y:=int(int(ln(x),x),x); Patikrinimas:=`y"`=diff(y,x,x);
[pic]
[pic]
4. Būtina žinoti, kad elementariosios funkcijos integralas gali ir nebūti elementariąją funkcija:
> Int(sin(x)/x,x)=int(sin(x)/x,x);
[pic]
> Patikrinimas:= Diff(Int(sin(x)/x,x),x)=diff(Si(x),x);
[pic]
Su tokiomis funkcijomis kaip gauta Si(x) galima atlikti įvairius veiksmus: brėžti grafikus, diferencijuoti ir t. t.
5. Tačiau yra funkcijų kurių integralų MAPLE nesugeba apskaičiuoti:
> h:=int(1/sqrt(1+x+x^5),x);
[pic]
Apibrėžtinis integralas
Funkcijos f(x) apibrėžtinis integralas apskaičiuojamas taikant Niutono-Leibnico formulę:
[pic].
1. Taikant paketą MAPLE funkcijų apibrėžtiniai integralai apskaičiuojami sekančiu būdu:
> int(f(x),x=a..b);
[pic]
Pvz. : Apskaičiuoti integralus [pic] , [pic]
> Int(ln(x),x=a..b)=int(ln(x),x=a..b);
[pic]
> Int(ln(x),x=0..5)=int(ln(x),x=0..5);
[pic]
2. Apytikslis integralų apskaičiavimas.
Kai pirmykštės funkcijos F(x) MAPLE negali rasti arba kai norima apskaičiuoti integralą su n teisingų skaitmenų , tai taikomas operatorius evalf(int(f(x),x=a..b),n+1) . Pavyzdžiui:
> for n from 0 to 4 do evalf(int(ln(x),x=0..5),n+1);od;
[pic] (n=0, nei vieno teisingo skaitmens)
[pic] (n=1, 1 teisingas skaitmuo)
[pic] (n=2, 2 teisingi skaitmenys)
[pic] (n=3, 3 teisingi skaitmenys)
[pic] (n=4, 4 teisingi skaitmenys)
3. Netiesioginiai integralai.
a) Kai integravimo intervale taške (taškuose) integruojama funkcija neaprėžta ir integralas konverguoja, MAPLE betarpiškai apskaičiuoja integralo reikšmę (žr. ankstesnįjį pavyzdį: int(ln(x),x=0..5);čia ln 0 = –∞),
b) Kai vienas ar abu integravimo rėžiai begaliniai ir integralas konverguoja, tai naudojamas simbolis "infinity":
> Int(exp(-x^2),x=-infinity..infinity)=int(exp(-x^2),x=-infinity..infinity);
[pic]
c) Kai integralas diverguoja, tai galima apskaičiuoti jo pagrindinę reikšmę – 'CauchyPrincipalValue'.Pvz. :
Pvz. : Apskaičiuoti integralą [pic]
Čia integruojama funkcija taškų x=1 ir x=2 aplinkoje neaprėžta ir integralas neegzistuoja. Todėl MAPLE jo neapskaičiuoja:
> int(1/(x-1)/(x-2), x=0..3);
[pic]
Tačiau pagrindinė jo reikšmė egzistuoja:
> Int(1/(x-1)/(x-2), x=0..3)=int(1/(x-1)/(x-2), x=0..3,'CauchyPrincipalValue');
[pic]
Srities plotas. Masių centro koordinatės
Kai sritis ribojama kreivėmis y=[pic], y= [pic] ir [pic], o [pic], tai šios srities plotas S lygus integralui
[pic]
Homogeninės plokštelės ribojamos kreivėmis y=[pic], y= [pic], ir [pic], o [pic], masių centro C(xC, yC) koordinatės:
[pic]
Pvz. : Apskaičiuoti plotą srities, ribojamos kreivėmis : [pic]
1. Randame kreivių susikirtimo taškus:
> solve({y^2=x-1,x-y=3},{x,y});
[pic]
2. Brėžiame grafiką:
> with(plots):
implicitplot({y^2=x-1,x-y=3},
x=0..5.1,y=-2.3..2.3,thickness=3);
Iš brėžinio matome , kad sritį reikia suskirstyti į 2 dalis: [pic].
Pirmoji, [pic], ribojama parabolės [pic] šakomis [pic].
Antroji, [pic] , ribojama tiese [pic] arba [pic] ir parabolės [pic] viršutine šaka [pic]
3. Dabar apskaičiuojame plotą: S = [pic]
> S:=Int(sqrt(x-1)-(-sqrt(x-1)),x=1..2)+Int(sqrt(x-1)-(x-3),x=2..5)=
> int(sqrt(x-1)-(-sqrt(x-1)),x=1..2)+int(sqrt(x-1)-(x-3),x=2..5);
[pic]
4. Tačiau šį plotą galima apskaičiuoti ir kitu būdu – išreiškus iš kreivių lygčių x-us kaip y funkcijas: [pic]
> S:=Int(3+y-(1+y^2),y=-1..2)=int(3+y-(1+y^2),y=-1..2);
[pic]
5. Antruoju būdu apskaičiuosime masių centro koordinates. Apskaičiavimo formulės tampa tokiomis (x ir y sukeičiame vietomis) :
[pic]
> s:=rhs(S): #raidei "s" priskiriama dešinioji S pusė t. y. plotas
> xc:=Int((3+y)^2-(1+y^2)^2,y=-1..2)/2/s=int((3+y)^2-(1+y^2)^2,y=-1..2)/2/s;
> yc:=Int(y*((3+y)-(1+y^2)),y=-1..2)/s=int(y*((3+y)-(1+y^2)),y=-1..2)/s;
[pic]
[pic]
Sukinio paviršiaus plotas ir tūris
Kreivė y=y(x) ,[pic], sukama apie ašį y=(. Tada gaunamo paviršiaus plotas
[pic],
o kūno, ribojamo gautu paviršiumi ir plokštumomis x=a ir x=b, tūris
[pic]
Kreivė x=x(y) ,[pic], sukama apie ašį x=(. Tada gaunamo paviršiaus plotas
[pic]
o kūno, ribojamo gautu paviršiumi ir plokštumomis y=c ir y=d, tūris
[pic]
Pvz. Kreivė [pic] sukama apie ašį x=5.5. Apskaičiuoti gauto sukinio plotą ir tūrį.
1. Brėžinyje atvaizduojame kreivę [pic] ir jos simetrinį, atžvilgiu tiesės x=5.5, vaizdą [pic].
> Br1:=implicitplot({y-5=-(x-8)^2,y-5=-(x-3)^2},
x=0..10,y=1..4,view=[0..10,0..4.5]);
Br2:=implicitplot(x=5.5,x=5..6,y=0..4.2,
style=point,symbol=point):
tx1:=textplot([9.3,4,"1"]):
tx2:=textplot([6.8,4,"2"]):
tx3:=textplot ([4.4,4,"1'"]):
tx4:=textplot([1.7,4,"2'"]):
tx5:=textplot([5.5,4.4,"x=5.5"]):
display(brez,brez1,tx1,tx2,tx3,tx4,tx5);
2. Rasime parabolės [pic] šakų 1 ir 2 lygtis:
> X:=[solve(y-5=-(x-8)^2,x)]; `X[1]`=X[1];`X[2]`=X[2];
[pic]
[pic]
[pic]
3. Apskaičiuojame tūrį ir plotą:
> V1:=Pi*int((X[1]-5.5)^2,y=1..4.);
> V2:=Pi*int((X[2]-5.5)^2,y=1..4.);
> V:=`V1-V2`=evalf(V1-V2,6);
[pic]
[pic]
[pic]
> S1:=2*Pi*int((X[1]-5.5)*sqrt(1+diff(X[1],y)^2),y=1..4.);
> S2:=2*Pi*int((X[2]-5.5)*sqrt(1+diff(X[2],y)^2),y=1..4.);
> S:=S1+S2=evalf(S1+S2,6);
[pic]
[pic]
[pic]
Užduotys:
I. Rasti srities ribojamos kreivėmis plotą ir masių centrą. Atlikti brėžinį
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
II. Plotas, ribojamas kreivėmis, sukamas apie ašį. Apskaičiuoti sukinio tūrį ir paviršiaus plotą. Atlikti brėžinį.
| |Plotas, ribojamas kreivėmis: |Sukimosi ašis: |
| | | |
|1. |[pic] |[pic] |
|2. |[pic] |[pic] |
| |[pic] | |
|3. | |[pic] |
|4. |[pic] |[pic] |
|5. |[pic] |[pic] |
|6. |[pic] |[pic] |
|7. |[pic] |[pic] |
|8. |[pic] |[pic] |
|9. |[pic] |[pic] |
|10. |[pic] |[pic] |
-----------------------
y
x
y=y2(x)
y=y1(x)
yC
b
a
xC
r(x)=y(x)–(
y=y(x)
(
y
a
x
b
x
d
c
(
x=x(y)
r(y)=x(y)–(
x
y
y
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.