Neapibrėžtinis integralas - Technomatematika



Neapibrėžtinis integralas

Funkcijos f(x) neapibrėžtiniu integralu [pic] vadinama tokia funkcijų klasė F(x)+c jei išvestinė F´(x)= f(x).

1. Taikant paketą MAPLE funkcijų integralai apskaičiuojami sekančiu būdu:

> int(f(x),x);

Pvz. : Apskaičiuoti integralą [pic]

> int(ln(x),x);

[pic]

Norėdami tai vaizdžiau išreikšti naudojama forma Int(f(x),x) – čia didžioji raidė "I" nurodo, kad integralas nebus apskaičiuotas, o liks tik integralo išraiška:

> Int(ln(x),x)=int(ln(x),x);

[pic]

Pabrėšime, kad MAPLE nerašo laisvosios konstantos c.

2. Norėdami vėliau naudotis apskaičiuotu integralu jį galima pažymėti:

> q:=int(ln(x),x);

[pic]

arba išreikšti integalą kaip x funkciją:

> F:=unapply(int(ln(x),x),x);

[pic]

Dabar diferencijuojant integralą galima atlikti patikrininimą – integralo išvestinė turi būti lygi integruojamai funkcijai:

> diff(q,x);

[pic]

arba

> Diff(Int(ln(x),x),x)=diff(F(x),x);

[pic]

be to, įvairiais būdais apskaičiuoti integralo reikšmę, pvz. , kai x=2

> subs(x=2,q); F(2); F(2.); evalf(F(2),20);

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

3. Funkcijas galima integruoti keletą kartų. Pvz. , reikia rasti visas funkcijas y(x) kurių antrosios eilės išvestinė y″=ln(x).

> y:=int(int(ln(x),x),x); Patikrinimas:=`y"`=diff(y,x,x);

[pic]

[pic]

4. Būtina žinoti, kad elementariosios funkcijos integralas gali ir nebūti elementariąją funkcija:

> Int(sin(x)/x,x)=int(sin(x)/x,x);

[pic]

> Patikrinimas:= Diff(Int(sin(x)/x,x),x)=diff(Si(x),x);

[pic]

Su tokiomis funkcijomis kaip gauta Si(x) galima atlikti įvairius veiksmus: brėžti grafikus, diferencijuoti ir t. t.

5. Tačiau yra funkcijų kurių integralų MAPLE nesugeba apskaičiuoti:

> h:=int(1/sqrt(1+x+x^5),x);

[pic]

Apibrėžtinis integralas

Funkcijos f(x) apibrėžtinis integralas apskaičiuojamas taikant Niutono-Leibnico formulę:

[pic].

1. Taikant paketą MAPLE funkcijų apibrėžtiniai integralai apskaičiuojami sekančiu būdu:

> int(f(x),x=a..b);

[pic]

Pvz. : Apskaičiuoti integralus [pic] , [pic]

> Int(ln(x),x=a..b)=int(ln(x),x=a..b);

[pic]

> Int(ln(x),x=0..5)=int(ln(x),x=0..5);

[pic]

2. Apytikslis integralų apskaičiavimas.

Kai pirmykštės funkcijos F(x) MAPLE negali rasti arba kai norima apskaičiuoti integralą su n teisingų skaitmenų , tai taikomas operatorius evalf(int(f(x),x=a..b),n+1) . Pavyzdžiui:

> for n from 0 to 4 do evalf(int(ln(x),x=0..5),n+1);od;

[pic] (n=0, nei vieno teisingo skaitmens)

[pic] (n=1, 1 teisingas skaitmuo)

[pic] (n=2, 2 teisingi skaitmenys)

[pic] (n=3, 3 teisingi skaitmenys)

[pic] (n=4, 4 teisingi skaitmenys)

3. Netiesioginiai integralai.

a) Kai integravimo intervale taške (taškuose) integruojama funkcija neaprėžta ir integralas konverguoja, MAPLE betarpiškai apskaičiuoja integralo reikšmę (žr. ankstesnįjį pavyzdį: int(ln(x),x=0..5);čia ln 0 = –∞),

b) Kai vienas ar abu integravimo rėžiai begaliniai ir integralas konverguoja, tai naudojamas simbolis "infinity":

> Int(exp(-x^2),x=-infinity..infinity)=int(exp(-x^2),x=-infinity..infinity);

[pic]

c) Kai integralas diverguoja, tai galima apskaičiuoti jo pagrindinę reikšmę – 'CauchyPrincipalValue'.Pvz. :

Pvz. : Apskaičiuoti integralą [pic]

Čia integruojama funkcija taškų x=1 ir x=2 aplinkoje neaprėžta ir integralas neegzistuoja. Todėl MAPLE jo neapskaičiuoja:

> int(1/(x-1)/(x-2), x=0..3);

[pic]

Tačiau pagrindinė jo reikšmė egzistuoja:

> Int(1/(x-1)/(x-2), x=0..3)=int(1/(x-1)/(x-2), x=0..3,'CauchyPrincipalValue');

[pic]

Srities plotas. Masių centro koordinatės

Kai sritis ribojama kreivėmis y=[pic], y= [pic] ir [pic], o [pic], tai šios srities plotas S lygus integralui

[pic]

Homogeninės plokštelės ribojamos kreivėmis y=[pic], y= [pic], ir [pic], o [pic], masių centro C(xC, yC) koordinatės:

[pic]

Pvz. : Apskaičiuoti plotą srities, ribojamos kreivėmis : [pic]

1. Randame kreivių susikirtimo taškus:

> solve({y^2=x-1,x-y=3},{x,y});

[pic]

2. Brėžiame grafiką:

> with(plots):

implicitplot({y^2=x-1,x-y=3},

x=0..5.1,y=-2.3..2.3,thickness=3);

Iš brėžinio matome , kad sritį reikia suskirstyti į 2 dalis: [pic].

Pirmoji, [pic], ribojama parabolės [pic] šakomis [pic].

Antroji, [pic] , ribojama tiese [pic] arba [pic] ir parabolės [pic] viršutine šaka [pic]

3. Dabar apskaičiuojame plotą: S = [pic]

> S:=Int(sqrt(x-1)-(-sqrt(x-1)),x=1..2)+Int(sqrt(x-1)-(x-3),x=2..5)=

> int(sqrt(x-1)-(-sqrt(x-1)),x=1..2)+int(sqrt(x-1)-(x-3),x=2..5);

[pic]

4. Tačiau šį plotą galima apskaičiuoti ir kitu būdu – išreiškus iš kreivių lygčių x-us kaip y funkcijas: [pic]

> S:=Int(3+y-(1+y^2),y=-1..2)=int(3+y-(1+y^2),y=-1..2);

[pic]

5. Antruoju būdu apskaičiuosime masių centro koordinates. Apskaičiavimo formulės tampa tokiomis (x ir y sukeičiame vietomis) :

[pic]

> s:=rhs(S): #raidei "s" priskiriama dešinioji S pusė t. y. plotas

> xc:=Int((3+y)^2-(1+y^2)^2,y=-1..2)/2/s=int((3+y)^2-(1+y^2)^2,y=-1..2)/2/s;

> yc:=Int(y*((3+y)-(1+y^2)),y=-1..2)/s=int(y*((3+y)-(1+y^2)),y=-1..2)/s;

[pic]

[pic]

Sukinio paviršiaus plotas ir tūris

Kreivė y=y(x) ,[pic], sukama apie ašį y=(. Tada gaunamo paviršiaus plotas

[pic],

o kūno, ribojamo gautu paviršiumi ir plokštumomis x=a ir x=b, tūris

[pic]

Kreivė x=x(y) ,[pic], sukama apie ašį x=(. Tada gaunamo paviršiaus plotas

[pic]

o kūno, ribojamo gautu paviršiumi ir plokštumomis y=c ir y=d, tūris

[pic]

Pvz. Kreivė [pic] sukama apie ašį x=5.5. Apskaičiuoti gauto sukinio plotą ir tūrį.

1. Brėžinyje atvaizduojame kreivę [pic] ir jos simetrinį, atžvilgiu tiesės x=5.5, vaizdą [pic].

> Br1:=implicitplot({y-5=-(x-8)^2,y-5=-(x-3)^2},

x=0..10,y=1..4,view=[0..10,0..4.5]);

Br2:=implicitplot(x=5.5,x=5..6,y=0..4.2,

style=point,symbol=point):

tx1:=textplot([9.3,4,"1"]):

tx2:=textplot([6.8,4,"2"]):

tx3:=textplot ([4.4,4,"1'"]):

tx4:=textplot([1.7,4,"2'"]):

tx5:=textplot([5.5,4.4,"x=5.5"]):

display(brez,brez1,tx1,tx2,tx3,tx4,tx5);

2. Rasime parabolės [pic] šakų 1 ir 2 lygtis:

> X:=[solve(y-5=-(x-8)^2,x)]; `X[1]`=X[1];`X[2]`=X[2];

[pic]

[pic]

[pic]

3. Apskaičiuojame tūrį ir plotą:

> V1:=Pi*int((X[1]-5.5)^2,y=1..4.);

> V2:=Pi*int((X[2]-5.5)^2,y=1..4.);

> V:=`V1-V2`=evalf(V1-V2,6);

[pic]

[pic]

[pic]

> S1:=2*Pi*int((X[1]-5.5)*sqrt(1+diff(X[1],y)^2),y=1..4.);

> S2:=2*Pi*int((X[2]-5.5)*sqrt(1+diff(X[2],y)^2),y=1..4.);

> S:=S1+S2=evalf(S1+S2,6);

[pic]

[pic]

[pic]

Užduotys:

I. Rasti srities ribojamos kreivėmis plotą ir masių centrą. Atlikti brėžinį

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic]

4. [pic]

5. [pic]

6. [pic]

7. [pic]

8. [pic]

9. [pic]

10. [pic]

II. Plotas, ribojamas kreivėmis, sukamas apie ašį. Apskaičiuoti sukinio tūrį ir paviršiaus plotą. Atlikti brėžinį.

| |Plotas, ribojamas kreivėmis: |Sukimosi ašis: |

| | | |

|1. |[pic] |[pic] |

|2. |[pic] |[pic] |

| |[pic] | |

|3. | |[pic] |

|4. |[pic] |[pic] |

|5. |[pic] |[pic] |

|6. |[pic] |[pic] |

|7. |[pic] |[pic] |

|8. |[pic] |[pic] |

|9. |[pic] |[pic] |

|10. |[pic] |[pic] |

-----------------------

y

x

y=y2(x)

y=y1(x)

yC

b

a

xC

r(x)=y(x)–(

y=y(x)

(

y

a

x

b

x

d

c

(

x=x(y)

r(y)=x(y)–(

x

y

y

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download