Formula 2 Calculo Integral Tipo u^n
CALCULO INTEGRAL
[pic]
Otra presentacion es [pic]
Consideraciones:
1. Integrando [pic]
2. “u” puede ir acompañado de una constante “k” la cual se saca de la integral y se aplica hasta el final
3. [pic]
Ejemplo 1:
Calcule las integrales usando la formula F2
|Integrar |Operaciones |Explicaciones |
| |[pic] |Funcion del tipo “un” con exponente CERO. Toda funcion |
| | |elevada a exponte cero es igual a 1 |
|[pic] | | |
| | | |
|[pic] | | |
| |[pic] |La funcion u = f(x)=x |
| |[pic] |El exponente es CERO |
| |[pic] |La derivada de U respecto a X es la deriva de f(x) |
| | |respecto a X. La deriva de X respecto a X es UNO. |
| |[pic] |Igualando |
| |[pic] |Despejando “dx”. Este valor de “dx” se va sustituir en |
| | |la integral original. Todo debe quedar en funcion de |
| | |terminos de “u”. |
| |[pic] |Sustituyendo |
| |[pic] |Resolviedo aplicando la formula 2. Al final se agrega |
| | |una constante “C’ porque la integral es indefinida |
| |[pic] |Como u=x, se sustituye y se obtiene el resultado final.|
EJEMPLO 2
Si le agregamos una constante a la integral anterior, el proceso es el mismo. La constante se saca de la integral y se resuelve del mismo modo.
|Integrar |Operaciones |Explicaciones |
| |[pic] |Funcion del tipo “un” con exponente CERO. Toda funcion |
| | |elevada a exponte cero es igual a 1 |
|[pic] | | |
| | | |
|[pic] | | |
| | | |
|La constante “k” se saca de| | |
|la integral y se aplica al | | |
|resultado final | | |
| |[pic] |La funcion u = f(x)=x |
| |[pic] |El exponente es CERO |
| |[pic] |La derivada de U respecto a X es la deriva de f(x) |
| | |respecto a X. La deriva de X respecto a X es UNO. |
| |[pic] |Igualando |
| |[pic] |Despejando “dx”. Este valor de “dx” se va sustituir en |
| | |la integral original. Todo debe quedar en funcion de |
| | |terminos de “u”. |
| |[pic] |Sustituyendo |
| |[pic] |Resolviendo aplicando la formula 2. Al final se agrega |
| | |una constante “C’ porque la integral es indefinida |
| |[pic] |Como u=x, se sustituye y se obtiene el resultado |
| | |parcial. |
| |[pic] |Se aplica la constante inicial. Todo termino del |
| | |resultado que no contenga la variable “x”,. se |
| | |considera “constante C” |
EJEMPLO 3: APLICACIÓN DE LA FORMULA 2
|Integrar |Operaciones |Explicaciones |
| |[pic] |Funcion del tipo “un” con exponente diferente de CERO y|
| | |de “-1”. |
|[pic] | | |
| | | |
|[pic] | | |
| | | |
|La constante “k” se saca de| | |
|la integral y se aplica al | | |
|resultado final | | |
| |[pic] |La funcion u = f(x)=x |
| |[pic] |El exponente es UNO |
| |[pic] |La derivada de U respecto a X es la deriva de f(x) |
| | |respecto a X. La deriva de X respecto a X es UNO. |
| |[pic] |Igualando |
| |[pic] |Despejando “dx”. Este valor de “dx” se va sustituir en |
| | |la integral original. Todo debe quedar en funcion de |
| | |terminos de “u”. |
| |[pic] |Sustituyendo |
| |[pic] |Resolviendo aplicando la formula 2. Al final se agrega |
| | |una constante “C’ porque la integral es indefinida |
| |[pic] |Como u=x, se sustituye y se obtiene el resultado |
| | |parcial. |
| |[pic] |Se aplica la constante inicial. Todo termino del |
| | |resultado que no contenga la variable “x”,. se |
| | |considera “constante C” |
| | | |
| | |El valor de “k” es constante. |
|[pic] |[pic] |Un ejemplo mas donde k = 5 |
|[pic] |[pic] |Aplicando la formula |
| | |Sustituye el valor de k=1/4 |
| | |Aplica la Division de Fracciones “medios por medios, |
| | |extremos por extremos”. |
| | |[pic] |
EJEMPLO 4: APLICACIÓN DE LA FORMULA 2
¿Que pasa si [pic]? Por ejemplo:
|Integrar |Operaciones |Explicaciones |
| |[pic] |Funcion del tipo “un” con exponente diferente de|
| | |CERO y de “-1”. |
|[pic] | | |
| | | |
|[pic] | | |
| | | |
|La constante “k” se saca | | |
|de la integral y se aplica| | |
|al resultado final | | |
| |[pic] |La funcion u = f(x)=x |
| |[pic] |El exponente es UNO |
| |[pic] |La derivada de U respecto a X es la deriva de |
| | |f(x) respecto a X. La deriva de 7X respecto a X |
| | |es 7. La derivada de “-3” es CERO porque es una |
| | |constante |
| |[pic] |Igualando |
| |[pic] |Despejando “dx”. Este valor de “dx” se va |
| | |sustituir en la integral original. Todo debe |
| | |quedar en funcion de terminos de “u”. |
| |[pic] |Sustituyendo |
| |[pic] |Resolviendo aplicando la formula 2. Al final se |
| | |agrega una constante “C’ porque la integral es |
| | |indefinida |
| |[pic] |Como u=x, se sustituye y se obtiene el resultado|
| | |parcial. |
| |[pic] |Se aplica la constante inicial. Todo termino del|
| | |resultado que no contenga la variable “x”,. se |
| | |considera “constante C” |
| | | |
| | |El valor de “k” es constante. |
| |[pic] |Si se desarrolla el binomio al cuadrado |
| | |[pic] |
| | | |
| | |Y como[pic] |
El mismo resultado se obtiene si se separa el integrando en dos funciones
[pic]
Para la primera integral [pic] aplicamos la formula de la integral F2
[pic]
Para la segunda integral [pic] aplicamos la formula de la integral F2
[pic]
Sumando ambos resultados
[pic]
Que es el mismo resultado.
Hemos llegado a la introducción del Metodo de Integracion por Sustitucion.
Aplicando la formula 2, resuelva los siguiente ejercicios:
|No. |Integrar |Tip |Solucion: |
|1 |[pic] |[pic]k | |
|2 |[pic] |[pic] | |
|3 |[pic] |[pic] | |
|4 |[pic] |[pic] | |
|5 |[pic] |[pic] | |
|6 |[pic] | | |
|7 |[pic] | | |
|8 |[pic] |[pic] | |
|9 |[pic] | | |
|10 |[pic] | | |
|11 |[pic] | | |
|12 |[pic] | | |
|13 |[pic] |La constante sale de la | |
| | |integral | |
|14 |[pic] | | |
|15 |[pic] | | |
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