C



lBAB II

TEKNIK INTEGRAL

Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan bermacam-macam fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral tersebut adalah:

1) teknik substitusi,

2) integral fungsi trigonometri,

3) subtitusi fungsi trigonometri,

4) INTEGRAL PARSIAL (INTEGRAL BAGIAN)

5) integral fungsi rasional, dan

6) integral rasional yang memuat fungsi trigonometri.

1. Metode Substitusi (Pemisalan)

Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;

a. [pic]dx = [pic] + C, asalkan n [pic] -1 atau

b. [pic] = [pic]+ C, asalkan n [pic] -1

Karena rumus di atas adalah pedoman umumnya, maka integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu tersebut di atas. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

1. [pic] dx

Misal u = [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Substitusi bentuk terakhir ke [pic] dx, diperoleh

[pic]= -2[pic]

Dengan rumus dasar di dapat

[pic] dx = -2[pic]

= -2[pic]

= -[pic]

2. [pic]

Misal A = 3x + 12

d(A) = d(3x+12)

dA = 3 dx

dx = [pic]

Sehingga [pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

3. [pic] dx

Misal A = 2x

d(A) = d(2x)

dA = 2 dx

dx = [pic]

[pic] dx = [pic]

= [pic] [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic][pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

4. [pic] (4x+2) dx

Jawab

Misal A = [pic]

A[pic] = 4x[pic] 4x

2A dA = (8x+4) dx

2A dA = 2(4x+2) dx

A dA = (4x+2) dx

Sehingga

[pic] (4x+2) dx = [pic].A dA

= [pic]

= [pic]

= [pic] + C

5. [pic]

Jawab

Misal P = [pic]

P[pic]= 3t + 4 [pic]t = [pic]

d(P[pic]) = d(3t+4)

2P dp = 3 dt [pic]dt = [pic], sehingga

[pic] = [pic]

= [pic]

6. [pic]

Jawab

Misal U = [pic]

U[pic] = 16 - x[pic][pic]x[pic]= 16 - U[pic]

d(U[pic]) = d(16 - x[pic])

2U du = (-2x)dx

dx = [pic]

[pic]= [pic]du

= [pic]

= -[pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:

1. [pic]

Jawab

Misal M = (t+2)[pic]

M[pic] = (t+2)[pic]

2M dM = 3(t+2)[pic]dt

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic] + C

= [pic] + C

= [pic]

2. [pic]

3. [pic]

4. [pic]

5. [pic]

6. [pic]

Jawab :

Substitusi U = [pic] atau U[pic]= x[pic]

Didapat 2U du = 2x dx

7. [pic]

8. [pic]

9. [pic]

10. [pic]

11. [pic]

12. [pic]

13. [pic]

14. [pic]

15. [pic]

16. [pic]

17. [pic]

18. [pic][pic][pic]

19. [pic]

20. [pic]

2. Integral Fungsi Trigonometri

Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:

1. [pic] dx = -cos x + C

2. [pic] dx = sin x + C

3. [pic]x dx = ln [pic]

= -ln [pic]

4. [pic] x dx = - ln [pic]

= ln [pic]

5. [pic] dx = ln [pic]

6. [pic]x dx = ln [pic]

Dengan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

A. [pic] dan [pic] dengan m bilangan ganjil atau genap positip

Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas [pic] atau sin[pic] = 1 - cos[pic] atau cos[pic] = 1 - sin[pic].

Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.

Contoh:

1. [pic]

Jawab

[pic] = [pic]

= [pic] dx

= [pic]

= [pic]

= -cos x + [pic]

2. [pic]

Jawab

[pic] = [pic]dx

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= sin x - [pic] [pic]

3. [pic]

Jawab:

Misal u = 2x, du = 2dx atau dx = [pic]

Sehingga [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

Bentuk [pic], [pic], jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut

sin[pic] = [pic] dan cos [pic]

Contoh:

1.[pic]

Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

2. [pic]

Jawab

[pic] = [pic]dx

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]+ [pic]

= [pic]

= [pic] [pic]

3. [pic]

[pic][pic]Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = [pic], sehingga

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

Karena u = 2x, maka

[pic]= [pic]

B. [pic]

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas [pic] dengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil. Misal m ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1. Jika m dan n genap digunakan kesamaan setengah sudut sin[pic] = [pic] dan cos [pic] sehingga diperoleh hasil pengintegralannya.

Contoh

1. [pic]

Jawab

Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas

[pic] = [pic]

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= cos[pic][pic]

2. [pic]

Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

3. [pic]

Jawab [pic]

Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah menjadi genap

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

Atau

[pic]= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

4. [pic]

Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

4. [pic]

Jawab

Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan kesamaan setengah sudut sin[pic] = [pic] dan cos [pic].

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic][pic]

C. [pic] dan [pic]

Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 + [pic] dan 1+cot[pic]. Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 + [pic] dan 1+cot[pic].

Perhatikan contoh berikut:

1. [pic]

Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 +[pic]

Sehingga diperoleh

[pic] = [pic]tanx dx

= [pic]tan x dx

= [pic]tan x dx - [pic]tan x dx

= [pic]tan x sec[pic]dx – ln [pic]+ C

= [pic] d(tan x) – ln [pic] + C

= [pic][pic][pic][pic]

2. [pic]

Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 1+cot[pic], sehingga didapat

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

D. [pic], dan [pic]

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan[pic] atau

1 + cot[pic]= csc[pic].

Contoh

1. [pic][pic]

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan[pic], sehingga diperoleh

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]d(tgnx)

= [pic]

2. [pic]

Jawab

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan substitusi kesamaan identitas 1 + tan[pic] atau 1 + cot[pic]= csc[pic].

Contoh:

1. [pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

2. [pic]= [pic]tan x sec[pic] sec x dx

= [pic]-1)sec[pic]d(sec x)

= [pic]sec[pic]d(secx)

= [pic] + C

E. [pic], [pic][pic]

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

sin mx cos nx = [pic][pic]

sin mx sin nx = [pic][pic]

cos mx cos nx = [pic]

Contoh

1. [pic]3x cos 4x dx = [pic]dx

= [pic] + sin (-x) dx

= [pic]- [pic]x + C

2. [pic]dx = [pic]dx

= [pic](cos 5x – cos x) dx

= [pic]5x + [pic]x + C

3. [pic] y cos 4y dy = [pic]+cos(1-4)y] dy

= [pic]dy

= [pic]

Soal-soal

Tentukan hasil integral berikut ini.

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic]

4. [pic]

5. [pic]

6. [pic]

7. [pic]

8. [pic]

9. [pic]

10. [pic]

11. [pic]

12. [pic]

13. [pic]

14. [pic]

15. [pic]

16. [pic]

17. [pic]

18. [pic]

19. [pic]

20. [pic]

2.3 Substitusi Fungsi Trigonometri

Metode substitusi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral fungsi jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

a. [pic], a [pic] Real

b. [pic]= [pic] , a [pic] Real

c. [pic] , a [pic] Real

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

[pic]= [pic]

[pic]= [pic]

[pic]= [pic]atau [pic] yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Bentuk integral yang integrannya memuat [pic]atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sin t, -[pic] [pic] sehingga, [pic][pic][pic]

[pic] = [pic]

= [pic]

= a cos t

dx = a cos t dt.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1. [pic][pic]dx

Jawab

Misal x = 2 sin t [pic] sin t = [pic]

dx = 2 cos t dt

[pic] = [pic]

Sehingga

[pic][pic]dx = [pic]

= [pic]

= 4 [pic]

= 4 ([pic] - [pic])

= 2 sint cost – 2t + C

= 2([pic][pic] - 2 arc sin[pic]+ C

= [pic]

2. [pic]

Jawab

[pic] = [pic]

Misal (x-2) = 2 sin t, dx = 2 cos t dt

[pic], sehingga

[pic] = [pic]

= [pic]

= t + C

= arc sin [pic]

3. [pic]

Jawab

[pic]= [pic]

Misal (x-3) = 5 sin t, dx = 5 cos t dt

[pic]= 5 cos t, sehingga

[pic]= [pic]

= [pic]

= t + C

= arc sin [pic] + C

Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic][pic]

4. [pic][pic]dx

Jawab

Substitusi x = [pic]

dx = [pic]

[pic]

= [pic], sehingga

[pic][pic]dx = [pic]

= 9 [pic]

= 9 [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]+ C[pic]

= [pic]

5. [pic][pic]

Bentuk integral yang integrannya memuat bentuk [pic]atau bentuk yang sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a tgn t, -[pic] [pic] sehingga, [pic][pic][pic]

[pic]= a sec t dan dx = a sec[pic].

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.

1. [pic]

Jawab

Misal x = 3 tan t , dx = 3 sec[pic] dt

[pic] 3 sec t, sehingga

[pic]= [pic]

= [pic]

= ln [pic]

= ln [pic] + C

= ln [pic]

2. [pic]

Jawab

[pic] = [pic]

= [pic]

Misal (x+2) = tan t , dx = sec[pic]t dan x = tan t - 2

[pic] = sec t, sehingga

[pic]

= [pic]

= [pic] - [pic]dt

= 2 sec t – 5 ln [pic]

= 2 [pic]

Kerjakan soal berikut sebagai latihan [pic]

1. [pic][pic]dx

2. [pic][pic]

3. [pic][pic]dx

4. [pic][pic]

5. [pic][pic]

6. [pic]

Bentuk integral yang integrannya memuat [pic]atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t, -[pic] [pic] sehingga, [pic][pic][pic]

[pic]= a tan t dan dx = a sec t tan t dt.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1. [pic][pic]

Jawab

Misal x = 3 sec t, dx = 3 sec t tan t dt

[pic] = 3 tan t, sehingga

[pic][pic] = [pic]

= 3 [pic]

= 3 [pic]

= 3 tan t – 3 t + C

= 3 [pic]

2. [pic]

Jawab

[pic] = [pic]

Misal (x-1) = 3 sec t, dx = 3 sec t tgn t dt

[pic] = 3 tgn t, sehingga

[pic]= [pic]

= [pic]

= ln [pic]

= ln [pic]

Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.

1. [pic][pic] dx

2. [pic][pic]

3. [pic][pic]

4. [pic][pic]

5. [pic]

6. [pic]

2.4 Integral Parsial

Integral parsial biasanya digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integran yang merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).

Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh

dy = d(uv)

d(uv) = u dv + v du

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

[pic]

[pic][pic]

[pic][pic]

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan [pic] tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Tentukan integral persial berikut ini

1. [pic]

Jawab

Bentuk [pic] diubah menjadi [pic]udv,

Misal u = x , dv = 1 dx

dv = cos x dx , v = [pic]dx = sin x

Akibatnya [pic] = [pic]x d(sin x).

Dengan rumus integral parsial

[pic], diperoleh

[pic]x d(sin x) = x sin x - [pic] d(x)

= x sin x - [pic] dx

= x sin x + cos x + C

Akhirnya diperoleh [pic] = x sin x + cos x + C

2. [pic] dx

Pilih u = x , du = dx

dv = [pic], v = [pic]dx = [pic]

Sehingga [pic] dx = [pic]

Berdasarkan rumus integral parsial

[pic], diperoleh

[pic] dx = [pic]

= [pic] - [pic]

= [pic] - [pic]

= [pic]- [pic]

= [pic]- [pic]

3. [pic] e[pic]dx

Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx

dv = [pic], v = [pic] = [pic], sehingga:

[pic] e[pic]dx = [pic]sin x d([pic]

= [pic]

= [pic]

Diperoleh bentuk [pic] yang juga diselesaikan dengan metode parsial

Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx

dv [pic]= [pic], v = [pic] = [pic], sehingga:

[pic] e[pic]dx = [pic]cos x d([pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

Akhirnya diperoleh

[pic] e[pic]dx = [pic]

= [pic][pic]

[pic] e[pic]dx = [pic][pic][pic][pic]

Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic]tan x dx

4. [pic]tan x dx

5. [pic]ln x dx

6. [pic]dx

7. [pic]cos 2x dx

8. [pic]e[pic]dx

9. [pic]dx

10. [pic]dx

11. [pic]

12. [pic]

13. [pic]dx

14. [pic]

15. [pic][pic]dx

16. [pic] dx

17. [pic][pic] dx

18. [pic] dx [pic]

19. [pic] dx

20. [pic]dx

2.5 Integral Fungsi Rasional.

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) = [pic], dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x) [pic]0.

Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan

f(x) = a[pic]+ a[pic]x + a[pic]x[pic] + a[pic]x[pic]+ … + a[pic]x[pic], n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk [pic] yang pembilang dan penyebutnya polinom.

Contoh

1. f(x) = [pic](Fungsi Rasional Sejati)

2. f(x) = [pic](Fungsi Rasional Tidak Sejati)

3. f(x) = [pic](Fungsi Rasional Tidak Sejati)

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.

Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

f(x) = [pic]

= x[pic] + [pic]

F(x) = [pic], g(x) [pic]0.

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = [pic] sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:

- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.

- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)[pic]

= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)

- fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax[pic]+bx + c)

- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax[pic]px[pic] + qx + c)

- fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax[pic][pic][pic]dan seterusnya.

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal : [pic] [pic] (Penyebut kombinasi liner berbeda)

[pic](kombinasi lenear berulang)

[pic] (kombinasi kuadrat berbeda)

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A[pic], A[pic], …A[pic] dan B[pic], B[pic], …B[pic].

Contoh

1. Tentukan [pic][pic]

Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

[pic] dx = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:

[pic]dx = [pic]

= [pic] - [pic]

= ln [pic]

= ln [pic]

2. [pic] integran fungsi rasional tidak sejati, maka:

[pic]

= [pic]

= x + ln (x-1)[pic] + C

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan beririkut:

1. [pic]

Jawab

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

Diperoleh A + B + C = 0

A + 3B – 2C = 1

-6A = 1

Atau A = - [pic], B = [pic], C = [pic]

Sehingga [pic] = [pic]

= [pic]

2. [pic][pic]

3. [pic]

4. [pic]

5. [pic]

6. [pic]

Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)

1. [pic], karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]dx

Sehingga diperoleh

A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga

[pic]= [pic] dx

= [pic]

= ln [pic]

2. [pic]

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:

[pic] = [pic]

= [pic]

Selanjuntnya [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:

[pic]dx

= 5 ln [pic]

3. [pic]

Integran fungsi rasional sejati, sehingga:

[pic] = [pic][pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

Diperoleh

A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga

[pic] = [pic]

= [pic] [pic][pic][pic]

= ½ ln [pic]

4. [pic]dx ( integran bukan fungsi rasional sejati)

Jawab :

[pic]dx = [pic]

= [pic]+ [pic]

= [pic]+ [pic]

Selanjutnya dicari [pic] = [pic]

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4, atau A = -1, B = [pic], C = [pic]

Hasil akhir pengintegralan

[pic] - [pic]

Soal-soal

Tentukan hasil dari:

1. [pic]

3. [pic]

4. [pic]

5. [pic]

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat.

Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial

[pic], berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.

Contoh

1. [pic]

Karena integran fungsi rasional sejati maka

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

Diperoleh

A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

[pic] = [pic]

= [pic][pic]

= [pic]

2. [pic]

Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

Diperoleh

A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:

[pic]= [pic]

= [pic]

= arctg x + [pic]

3. [pic]

Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat (x[pic], sehingg:

[pic]= [pic]

= [pic]

= [pic]

Maka diperoleh

A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau

A = 2, B = -1, C = 0, D = -1

[pic] = [pic]

= 2 ln(x+3) – ln(x-2) – arctan x + C

= ln(x+3)[pic]- ln(x-2) – arctan x + C

= ln[pic]arctan x + C

Jadi [pic] = ln[pic]arctan x + C

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1. [pic]

Jawab

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1

[pic]= [pic]

= [pic]

= ln [pic]+ ½ arc tan [pic]

2. [pic]

Jawab:

[pic] = [pic]

= [pic]

= ½ x2 - 5[pic]

= [pic]x2 – 5.[pic] [pic]

= ½ x2 - [pic]

= ½ x2 – ln (x2+1)5/2 + C

= ½ x2 – ln [pic]+ C

3. [pic]

4. [pic] (fungsi rasional sejati)

Jawab

[pic] = [pic]

= [pic]dx

= [pic]

= [pic]

Didapat

p + r = 1, q + s = 1, 2p + r = 1, dan 2q + s = 2 atau p = 0, q = 1, r = 1, s = 0

sehingga [pic]dx = [pic]

= arc tan x + ½ ln (x[pic] + C

= arc tan x + ln [pic] + C

5. [pic]

Jawab

[pic] = [pic]dx

= [pic]

= [pic]

Diperoleh

p = 1, q = 0, p+r = 1, dan q+s = -1 atau p = 1, q = 0, r = 0, dan s = -1

sehingga

[pic] = [pic]

= ln [pic]

6. [pic]

Jawab

[pic] = [pic]

= [pic]

Catatan : diteruskan sendiri

6. Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri

Fungsi F(x) = [pic] dan g(x) mememuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan metode substitusi.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.

1. F(x) = [pic]

2. F(x) = [pic]

3. F(x) = [pic]

4. F(x) = [pic]

5. F(x) = [pic]

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic]

4. [pic][pic] dx

5. [pic][pic] dx

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi

x = 2 arc tan z sehingga dx = [pic].

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z.

Karena x = 2 arc tan z maka:

[pic]

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

1 + tan[pic] = sec[pic]

[pic] 1 + z[pic]

[pic]

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

sin[pic]

[pic], sehingga didapat

sin[pic]

= [pic]

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:

cos 2x = cos[pic]sin[pic]x

[pic]

[pic]

= [pic]

Dengan rumus jumlah sinus didapat:

sin 2x = 2 sin x cos x

[pic]sin x = 2 sin [pic] cos [pic]

= 2 [pic]

= [pic]

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

x = 2 arc tan z, sin x = [pic], cos x = [pic]

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Tentukan selesaian dari

1. [pic]

Jawab

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= ln [pic] + C

= ln [pic]

2. [pic]

Jawab [pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic] arc tan [pic]+ C

= [pic] arc tan [pic]z + C

= [pic]arc tan [pic](tan x/2) + C

3.[pic] =

Jawab

[pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

= 3 ln[pic]

= 3 ln[pic]

Soal-soal

Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!

1. [pic] = [pic] + C

2. [pic][pic]= [pic]+ C

3. [pic] = [pic][pic]+ C

4. [pic][pic] = ln [pic]+ C

5. [pic]

6. [pic]

7. [pic][pic]

8. [pic]

9. [pic][pic]

10. [pic] = ln [pic]

11. [pic]dx = -ln[pic]

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download