DAFTAR PUSTAKA - Dwipurnomoikipbu's Blog
KALKULUS INTEGRAL
[pic]
O l e h
Drs. Dwi Purnomo, M.Pd.
NIP : 196412041990031003
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA
FAKULTAS PENDIDIKAN ILMU EKSAKTA DAN KEOLAHRAGAAN
IKIP BUDI UTOMO MALANG
MEI 2010
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur senantiasa penulis panjatkan kehadlirat Allah swt. atas limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga ditengah-tengah kesibukan dan rutinitas penulis serta dengan segala kekurangannya, dapat disusun modul sederhana yang diharapkan dapat membantu mahasiswa dalam mempelajari Kalkulus Integral.
Modul ini dimaksudkan untuk memberikan bekal kepada mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengeahuan Alam Fakultas Pendidikan Ilmu Eksakta dan Keolahragaan IKIP Budi Utomo Malang yang sedang mengikuti perkuliahan Kalkulus. Kekurangan dan belum sempurnanya modul ini menjadi ‘tuntutan” penulis sehingga yang seharusnya mahasiswa menerima banyak pengetahuan tentang Kalkulus Integral dari modul ini belum dapat terwujud seluruhnya.
Terselesaikannya penulisan modul ini tentu tidak terlepas dari bantuan rekan-rekan seprofesi di IKIP Budi Utomo Malang, lebih-lebih mahasiswa yang menjadi motivasi penulis untuk segera menyelesaikan modul sederhana ini. Terima kasih juga untuk anak-anakku Pandu, Prisma, Caesar dan juga mama anak-anak yang juga telah memberikan dorongan dan inspirasi panjang selama pembuatan modul ini.
Semoga bahan ajar yang telah dituangkan dalam modul ini, akan sangat berguna bagi mahasiswa. Kekurangan dan kekhilafan disana sini Insyaallah diperbaiki dikemudian hari.
Malang, 3 Mei 2010
Penulis
Dwi Purnomo
DAFTAR ISI
Halaman
| |Halaman Sampul ........................................................ |1 |
| |Kata Pengantar .......................................................... |2 |
| |Daftar Isi .................................................................... |3 |
| | | |
|Bab I |PENDAHULUAN | |
| |1.1 Turunan ..... ......................................................... |4 |
| |1.2 Antiturunan .......................................................... |9 |
| |1.3 Integral Tertentu ................................................. |17 |
| | | |
|Bab II |TEKNIK INTEGRAL | |
| |2.1 Teknik Substitusi ................................................. |28 |
| |2.2 Integral Fungsi Trigonometri ............................... |34 |
| |2.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri ................ |45 |
| |2.4 Integral Parsial .................................................... |57 |
| |2.5 Integral Fungsi Rasional ...................................... | 61 |
| |2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri |73 |
| |............................................................ | |
| | | |
|Bab III |INTEGRAL TIDAK WAJAR | |
| |3.1 Pengertian .......................................................... |79 |
| |3.2 Integral Tidak Wajar dengan Batas Diskontinu ... |81 |
| |3.3 Integral Tidak Wajar dengan Batas Tak Hingga .. |85 |
| | | |
|Bab IV |RUMUS-RUMUS INTEGRAL ........................................ |91 |
| | | |
|Bab V |TRANSFORMASI LAPLACE | |
| |5.1 Definisi Transformsi Laplace ............................... |101 |
| |5.2 Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada .............. | 106 |
| |5.3 Metode Transformasi Laplace ............................. | 106 |
| |5.4 Sifat-sifat Transformasi Laplace .......................... |108 |
| | | |
| |DAFTAR PUSTAKA .................................................... |122 |
BAB I
ANTITURUNAN
1. Turunan
Pembahasan tentang turunan tidak dapat dipisahkan dari pengertian tentang fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam bentuk y = f(x), sedangkan fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam bentuk f(x,y) = 0.
Perhatikan beberapa contoh fungsi di bawah ini.
1. y = 2 - [pic]
2. y = 3[pic]
3. y = [pic]
4. x[pic] + y[pic] – 25 = 0
5. xy[pic] + x[pic]y – 2 = 0
6. x[pic] – 2x + y[pic] + 4y – 5 = 0
Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi eksplisit, sedangkan contoh 4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit. Semua fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit dapat diubah penulisannya dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit dapat diubah dalam bentuk eksplisit. Perhatikan contoh 5 di atas. Selanjutnya dari fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan turunannya.
Definisi
Turunan fungsi y = f(x) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan f’(x) dan didefinisikan oleh
f’(x) = [pic], asalkan limitnya ada.
Misal (x+[pic]= t , maka [pic] = t – x
Karena [pic]maka [pic]
Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain
f’(x) = [pic], asalkan limitnya ada.
Notasi lain untuk turunan y = f(x) dinyatakan dengan [pic], [pic].
Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk implisit, maka turunannya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah differensial yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fugsi tersebut. Berikut ini diberikan beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit dan implisit.
Contoh
Tentukan [pic] fungsi-fungsi berikut.
1. y = [pic] + C
Berdasarkan definisi di atas diperoleh
[pic]
= [pic]
= [pic]. [pic][pic]
= [pic][pic]
= [pic]
[pic] = [pic]
= [pic]
2. y = [pic]
Berdasarkan definisi di atas diperoleh
[pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh di atas disebut fungsi yang differensiable (dapat diturunkan).
Dengan cara yang sama, jika y = xn maka turunannya ditentukan oleh:
[pic]
= [pic]
=[pic]
= [pic]
= [pic]
= nx[pic]
3. x[pic]
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, diperoleh:
d(x[pic] + d(y[pic] - d(25) = d(0)
[pic]
[pic]x + y [pic]= 0
[pic][pic]
4. Tentukan [pic] dari x2y + xy2 – 2 = 0
[pic]d(x2y) + d(xy2 ) – d(2) = d(0)
[pic](x2dy + 2xydx) + (2xydy + y2dx) = 0
[pic](2xy + y2) dx + (2xy +x2) dy = 0
[pic][pic]= - [pic]
Secara umum, misal u = u(x), v = v(x), dan w = w(x) adalah fungsi yang masing-masing dapat diturunkan dan c sebarang bilangan real, maka dengan menggunakan definisi turunan dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan fungsi sebagai berikut.
1. [pic](c) = 0
2. [pic](x) = 1
3. [pic](xn) = nxn-1
4. [pic](un) = nun-1 [pic](u)
5. [pic]( u + v) = [pic](u) + [pic](v)
6. [pic](u - v) = [pic](u) - [pic](v)
7. [pic]( u [pic]v [pic] w [pic] ... ) = [pic](u) [pic] [pic](v) [pic][pic](w) [pic] ...
8. [pic](cu) = c [pic](u)
9. [pic](uv) = u[pic](v) + v [pic](u)
10. [pic](uvw) = uv[pic](w) + uw[pic](v) + vw [pic](u)
11. [pic]([pic]) = [pic]
Bukti sifat-sifat di atas diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Selanjutnya, dengan menggunakan definisi turunan
[pic] = [pic], dapat ditunjukkan beberapa turunan fungsi geometri di bawah ini.
y = cos x, maka
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= -sin x.
Analog, diperoleh turunan fungsi trigonometri yang lain:
1. [pic](sinx) = cos x
2. [pic](cos x) = -sin x
3. [pic](tan x) = sec2x
4. [pic](cot x) = -csc2x
5. [pic](sec x) = sec x tan x
6. [pic](csc x) = -csc x cot x
1.2 Antiturunan
Antiturunan merupakan balikan dari turunan, sehingga untuk mempelajarinya harus dikaitkan dengan turunan fungsi.
Menurut definisi turunan, jika y = [pic] maka [pic].
Dengan cara yang sama, diperoleh
1. Jika y = [pic]+3 maka [pic].
2. Jika y = [pic] - 3 maka [pic].
3. Jika y = [pic] - 100 maka [pic]
4. Jika y = [pic] + [pic] maka [pic], dan seterusnya.
Dengan kata lain, untuk y = [pic] + C, C [pic] maka [pic].
Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka penulisan bentuk di atas dapat disederhanakan dengan A[pic][pic] = [pic].
Hal ini berarti bahwa fungsi y = [pic], dengan C [pic]mempunyai turunan [pic].
atau antiturunan dari f(x) = [pic] adalah F(x) = [pic] + C, C [pic].
Fungsi-fungsi yang dapat ditentukan antiturunannya disebut integrable (terintegralkan).
Dalam hal yang lebih umum, bentuk A[pic][pic] = [pic]. dinyatakan dengan [pic][pic]dx = [pic].
Jadi, misal y = f(x) dan antiturunannya adalah F(x) + C, maka
[pic]f(x) dx = F(x) + C, C [pic] Real.
Bentuk [pic]f(x) dx = F(x) + C , f(x) disebut integran dan F(x) + C disebut anti turunan.
Teorema 1.
Jika r sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka:
[pic].
Akibatnya jika r = -1 maka [pic]
= [pic][pic] = ln [pic]
Bukti
Untuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk
[pic]f(x) dx = F(x) + C, C [pic] Real.
Kita cukup menunjukkan bahwa
[pic]
Dalam kasus di atas
[pic]
Teorema 2
Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang integrable dan C sebarang konstanta maka:
1. [pic] = C [pic],
2. [pic],
3. [pic],
Bukti
Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas kanan dan amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.
1. D[pic]{ C [pic]} = C D[pic]{ [pic]}
= Cf(x)
2. D[pic]{[pic]} = D[pic][pic]
= f(x) + g(x)
3. D[pic]{[pic]} = D[pic][pic]
= f(x) - g(x)
Contoh
Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral di atas.
1. [pic]
Jawab
[pic]= [pic]
= [pic]
= [pic]
2. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
3. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]dx
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Teorema 3
[pic]sin x dx = - cos x + C, C [pic] Real
[pic]cos x dx = sin x + C, c [pic] Real
Bukti
Untuk membuktikan teorema di atas cukup dengan menunjukkan bahwa
D[pic] dan [pic]
Teorema 4
Andaikan f(x) fungsi yang differensiable dan n bilangan Rasional yang bukan -1, maka:
[pic] C[pic] Real.
Contoh
1. [pic]
Jawab
Karena [pic] = 6x dx, sehingga berdasarkan teorema di atas
[pic] = [pic] d(6x)
= [pic]
= [pic]+ C.
2. [pic]
Jawab
Karena D[pic](2y[pic] = 4y dy, maka
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
3. [pic]
Jawab
Misal U = 6x + 2 [pic] dU = 6 dx atau 3 dx = [pic], sehingga
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
4. [pic][pic]
Jawab
Misal A = [pic] [pic] A[pic]
2A dA = (-sin x) dx, sehingga:
[pic][pic] = [pic]
= -2 [pic]
= [pic]
= [pic]
Beberapa rumus dasar integral tak tentu.
1. [pic]dx = x + C, C [pic] Real
2. [pic]f(x) dx = F(x) + C, C [pic] Real
1. [pic]xr dx = [pic]xr+1 + C, C [pic] Real, r [pic]-1
2. [pic](u+v) dx = [pic]u dx + [pic]v dx
3. [pic]a u du = a[pic]u du
4. [pic][pic] dx = ln | x | + C = [pic]log │x│+ C, C [pic] Real
5. [pic]au du = [pic] + C, C [pic] Real
6. [pic]eu du = eu + C, C [pic] Real
7. [pic]tan x dx = ln | sec x | + C, C [pic] Real
8. [pic]sec x dx = ln | sec x + tan x | + C, C [pic] Real
9. [pic]cot x dx = ln | sin x | + C, C [pic] Real
10. [pic]css x dx = ln | csc x – cot x | + C, C [pic] Real
11. [pic]sec2x dx = tan x + C, C [pic] Real
12. [pic]csc2x dx = - cot x + C, C [pic] Real
13. [pic]sec x tan x dx = sec x + C, C [pic] Real
14. [pic]csc x cot x dx = -csc x + C, C [pic] Real
15. [pic]cosm x dx = [pic][pic]cos m-2 x dx
16. [pic]sinm x dx = [pic][pic]sin m-2 x dx
17. [pic]u dv = uv - [pic]v du
18. [pic][pic] = [pic] ln [pic] + C, C [pic] Real
19. [pic][pic] = [pic] ln [pic] + C, C [pic] Real
20. [pic][pic] = arc sin [pic] + C
21. [pic][pic]= [pic] arc tgn [pic] + C[pic]
22. [pic][pic] = [pic] arc sec [pic] + C
23. [pic][pic]dx = [pic]u[pic] + [pic]a2 Ln ( u + [pic]) + C
24. [pic][pic]dx = [pic]u[pic] - [pic]a2 Ln ( u + [pic]) + C
25. [pic][pic]dx = [pic]u[pic] + [pic]a2 Ln ( u + [pic]) + C
30. [pic]= arc sinh [pic]+ C
31. [pic]= arc cosh [pic]+ C
32. [pic]du = [pic]du
Soal-soal
Tentukan integral berikut.
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. Andaikan u = sin{(x[pic]}
11. Tentukan [pic]
12. [pic]
13. [pic]
14. [pic]
3. INTEGRAL TERTENTU
Definisi :
Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada [a,b], selanjutnya f(x) dikatakan terintegralkan (integrable) pada [a,b]
jika [pic] ada.
Selanjutnya [pic] disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f(x) dari a ke b, dan didefinisikan
[pic] = [pic].
[pic]
[pic] menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva
y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], jika [pic]bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x.
Definisi :
1. [pic] = 0
2. [pic] = - [pic], a > b
Teorema Dasar Kalkulus
Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut :
Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan f(x), maka [pic] = F(b) – F(a)
Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = [pic]
Contoh :
1. Perlihatkan bahwa jika r ( Q dan r ( -1, maka
[pic]
Jawab :
Karena F(x) = [pic] suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut teorema dasar Kalkulus [pic]
Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat :
Misal f(x) dan g(x) terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka:
1. [pic] k [pic]
2. [pic] = [pic] + [pic]
Contoh :
Hitung [pic]
Jawab :
[pic] = 4[pic]
= 4[pic] = ( 12
Sifat-Sifat Integral Tentu
1. Sifat Penambahan Selang
Teorema :
Jika f(x) terintegralkan pada suatu selang yang memuat tiga titik a, b dan c, maka
[pic] = [pic] + [pic] bagaimanapun urutan a, b dan c.
Contoh :
1. [pic] 2. [pic][pic]
3. [pic]
2. Sifat Simetri
Jika f(x) fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat
f(-x) = f(x) , maka:
[pic] = 2 [pic] dan
Jika f(x) fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat
f(-x) = - f(x), maka
[pic] = 0.
Contoh :
1. [pic] [pic]
2. [pic] = 0
Secara lebih umum, sifat-sifat integral tertentu adalah:
Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k [pic]Real dan f(x), g(x)
terintegralkan pada interval tersebut, maka:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic], jika b < a
6. [pic][pic], c [pic]
7. [pic] jika f(-x) = -f(x) [pic][pic]
8. [pic] = 2 [pic], jika f(-x) = f(x)
9. Jika F(u) = [pic], maka [pic]
10. [pic]= (b-a)[pic] untuk paling sedikit x = x[pic] antara a dan b.
11. [pic] jika dan hanya jika f(x) [pic] g(x) untuk setiap x [pic][a,b].
12. [pic]
Contoh
Tentukan hasil integral
1. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]
= [pic]
= (4+2) – (0+0) = 6
2. [pic]
Jawab
Misalnya u = (x[pic])
du = 3x[pic]dx
[pic]
Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
3. [pic]
Jawab
Misal p = [pic] [pic]p[pic] = u
[pic]2p dp = du
Untuk u = 1 maka p = 1
Untuk u = 4 maka p = 2, sehingga:
4. [pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
5. [pic]
Jawab
Misal A = [pic][pic]A[pic] x[pic]
[pic]2A dA = 2x dx
Untuk x = 4 maka A = 1
Untuk x = 8 maka A = 7, sehingga
[pic] = [pic]
= [pic]
= [A] [pic]
= 7 – 1
= 6
6. [pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
7. Tentukan [pic]
dengan f(x) = [pic]
Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat
[pic][pic], c [pic]
sehingga:
[pic][pic]
= [pic]
= (1-0) +(4-2) + [pic]
= [pic]
8. [pic] dx
Menurut definisi fungsi harga mutlak, bentuk di atas dapat dinyatakan dengan
[pic] dx = [pic] dx + [pic] dx.
= [pic]
= (8/3 – 0) – (0 – 8/3)
= [pic]
Berdasarkan contoh di atas, tentukan hasil pengintegralan fungsi-fungsi berikut ini:
1. [pic]
2. [pic]
= [pic]
= [pic], dengan sifat integral diperoleh
= [pic] - [pic] dx + [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Latihan di rumah
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
3. [pic]
= 2 [pic] dx
Misal [pic] = u
4-x[pic]= u[pic] atau x[pic] = 4 - u[pic]
-2x dx = 2 u du atau dx = [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
11. [pic]
12. [pic]dx
13. [pic]
14. [pic]
15. [pic]
16. [pic]
17. [pic]
18. [pic]
19. [pic]
20. [pic]
21. [pic]
22. [pic]
23. [pic]
24. [pic]
25. [pic]
26. Hitunglah [pic], jika:
a. f(x) = [pic]
b. f(x) = [pic]
c. f(x) = [pic]
d. f(x) = [pic] untuk -[pic]
e. f(x) = [pic], untuk -1[pic]
f. f(x) = (x-[pic] )[pic]
g. f(x) = x[pic], untuk -[pic]
BAB II
TEKNIK INTEGRAL
Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral tersebut adalah: Teknik Substitusi, Integral Fungsi Trigonometri, Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri, Integral Parsial, Integral Fungsi Rasional, dan Integral Fungsi Rasional yang memuat fungsi Trigonomteri.
Berikut ini penjelasan teknik-teknik dalam pengintegralan.
1. Teknik Substitusi
Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. Teknik substitusi pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;
a. [pic]dx = [pic] + C, asalkan n [pic] -1 atau
b. [pic] = [pic]+ C, asalkan n [pic] -1
Karena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
1. [pic] dx
Misal u = [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Substitusi bentuk terakhir ke [pic] dx, diperoleh
[pic]= -2[pic]
Dengan rumus dasar di dapat
[pic] dx = -2[pic]
= -2[pic]
= -[pic]
2. [pic]
Misal A = 3x + 12
d(A) = d(3x+12)
dA = 3 dx
dx = [pic]
Sehingga [pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
3. [pic] dx
Misal A = 2x
d(A) = d(2x)
dA = 2 dx
dx = [pic]
[pic] dx = [pic]
= [pic] [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic][pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
4. [pic] (4x+2) dx
Jawab
Misal A = [pic]
A[pic] = 4x[pic] 4x
2A dA = (8x+4) dx
2A dA = 2(4x+2) dx
A dA = (4x+2) dx
Sehingga
[pic] (4x+2) dx = [pic].A dA
= [pic]
= [pic]
= [pic] + C
5. [pic]
Jawab
Misal P = [pic]
P[pic]= 3t + 4 [pic]t = [pic]
d(P[pic]) = d(3t+4)
2P dp = 3 dt [pic]dt = [pic], sehingga
[pic] = [pic]
= [pic]
6. [pic]
Jawab
Misal U = [pic]
U[pic] = 16 - x[pic][pic]x[pic]= 16 - U[pic]
d(U[pic]) = d(16 - x[pic])
2U du = (-2x)dx
dx = [pic]
[pic]= [pic]du
= [pic]
= -[pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:
1. [pic]
Jawab
Misal M = (t+2)[pic]
M[pic] = (t+2)[pic]
2M dM = 3(t+2)[pic]dt
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic] + C
= [pic] + C
= [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
11. [pic]
12. [pic]
13. [pic]
14. [pic]
15. [pic]
16. [pic]
17. [pic]
18. [pic][pic][pic]
19. [pic]
20. [pic]
2. Integral Fungsi Trigonometri
Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:
1. [pic] dx = -cos x + C
2. [pic] dx = sin x + C
3. [pic]x dx = ln [pic]
= -ln [pic]
4. [pic] x dx = - ln [pic]
= ln [pic]
5. [pic] dx = ln [pic]
6. [pic]x dx = ln [pic]
Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:
A. [pic] dan [pic] dengan m bilangan ganjil atau genap positip
Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas [pic] atau sin[pic] = 1 - cos[pic] atau cos[pic] = 1 - sin[pic].
Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.
Contoh:
1. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]
= [pic] dx
= [pic]
= [pic]
= -cos x + [pic]
2. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]dx
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= sin x - [pic] [pic]
3. [pic]
Jawab:
Misal u = 2x, du = 2dx atau dx = [pic]
Sehingga [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Bentuk [pic], [pic], jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut
sin[pic] = [pic] dan cos [pic]
Contoh:
1.[pic]
Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
2. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]dx
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]+ [pic]
= [pic]
= [pic] [pic]
3. [pic]
[pic][pic]Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = [pic], sehingga
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Karena u = 2x, maka
[pic]= [pic]
B. [pic]
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas [pic] dengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil. Misal m ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1. Jika m dan n genap digunakan kesamaan setengah sudut sin[pic] = [pic] dan cos [pic] sehingga diperoleh hasil pengintegralannya.
Contoh
1. [pic]
Jawab
Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas
[pic] = [pic]
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= cos[pic][pic]
2. [pic]
Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
3. [pic]
Jawab [pic]
Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah menjadi genap
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Atau
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
4. [pic]
Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
4. [pic]
Jawab
Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan kesamaan setengah sudut sin[pic] = [pic] dan cos [pic], sehingga:
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
=[pic]
= [pic]
= [pic][pic]
C. [pic] dan [pic]
Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 + [pic] dan 1+cot[pic]. Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 + [pic] dan 1+cot[pic].
Perhatikan contoh berikut:
1. [pic]
Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 +[pic]
Sehingga diperoleh
[pic] = [pic]tanx dx
= [pic]tan x dx
= [pic]tan x dx - [pic]tan x dx
= [pic]tan x sec[pic]dx – ln [pic]+ C
= [pic] d(tan x) – ln [pic] + C
= [pic][pic][pic][pic]
2. [pic]
Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 1+cot[pic], sehingga didapat
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
D. [pic], dan [pic]
Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan[pic] atau
1 + cot[pic]= csc[pic].
Contoh
1. [pic][pic]
Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan[pic], sehingga diperoleh
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]d(tgnx)
= [pic]
2. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan substitusi kesamaan identitas
1 + tan[pic] atau 1 + cot[pic]= csc[pic].
Contoh:
1. [pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
2. [pic]= [pic]tan x sec[pic] sec x dx
= [pic]-1)sec[pic]d(sec x)
= [pic]sec[pic]d(secx)
= [pic] + C
E. [pic], [pic][pic]
Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:
sin mx cos nx = [pic][pic]
sin mx sin nx = [pic][pic]
cos mx cos nx = [pic]
Contoh y
1. [pic]3x cos 4x dx = [pic]dx
= [pic] + sin (-x) dx
= [pic]- [pic]x + C
2. [pic]dx = [pic]dx
= [pic](cos 5x – cos x) dx
= [pic]5x + [pic]x + C
3. [pic] y cos 4y dy = [pic]+cos(1-4)y] dy
= [pic]dy
= [pic]
Soal-soal
Tentukan hasil integral berikut ini.
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
11. [pic]
12. [pic]
13. [pic]
14. [pic]
15. [pic]
16. [pic]
17. [pic]
18. [pic]
19. [pic]
20. [pic]
2.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri
Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk:
a. [pic], a > 0, a [pic] Real
b. [pic]= [pic] , a > 0, a [pic] Real
c. [pic] , a > 0, a [pic] Real
atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya
[pic]= [pic]
[pic]= [pic]
[pic]= [pic]atau [pic] yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Integrannya memuat [pic]atau sejenisnya, Gunakan substitusi
x = a sin t atau sin t = [pic]
x = a sin t [pic]dx = a cos t dt
dengan -[pic] [pic] sehingga,
[pic] = [pic]
= [pic]
= a cos t
Catatan
Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t. Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. [pic][pic]dx
Jawab
Substitusi x = 2 sin t
[pic] sin t = [pic]
dx = 2 cos t dt
[pic] = [pic]
Sehingga
[pic][pic]dx = [pic]
= [pic]
= 4 [pic] = 4[pic]
= 2[pic] + 2 [pic]dt
= 2t + sin 2t + C
= 2t + 2 sin t cos t
= 2 arc sin[pic]+ C
Atau 4 [pic] = 4 ([pic] +[pic])
= 2 sint cost + 2t + C
= 2[pic][pic] + 2 arc sin[pic]+ C
= [pic]
2. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]
Substitusi (x-2) = 2 sin t,
dx = 2 cos t dt
[pic], sehingga
[pic] = [pic]
= [pic]
= t + C
= arc sin [pic] + C
3. [pic]
Jawab
[pic]= [pic]
Substitusi (x-3) = 5 sin t,
dx = 5 cos t dt
[pic]= 5 cos t, sehingga
[pic]= [pic]
= [pic]
= t + C
= arc sin [pic] + C
4. [pic][pic]dx
Jawab
Substitusi x = [pic]
dx = [pic]
[pic]
= [pic], sehingga
[pic][pic]dx = [pic]
= 9 [pic]
= 9 [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]+ C[pic]
= [pic]
5. [pic]
Jawab:
Substitusi x = 5 sin A atau sin A = [pic] dan dx = 5 cos A dA
[pic]
Sehingga
[pic] = [pic]
= 5[pic]
= 5[pic]
= 5 ln[pic]
= 5 ln [pic]
Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic][pic]
4. [pic][pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
Integral yang integrannya memuat bentuk [pic]atau bentuk yang sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi
x = a tan t, -[pic] [pic] sehingga,
Untuk membantu menyelesaikan bentuk di atas, perhatikan segitiga berikut ini:
[pic][pic][pic]
[pic] = [pic]
= [pic]
= a sec t
Karena x = a tan t maka dx = a sec[pic] dt.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.
1. [pic]
Jawab
Substitusi x = 3 tan t
dx = 3 sec[pic] dt
[pic] [pic]
= 3 sec t, sehingga
[pic] = [pic]
= [pic]
= ln [pic]
= ln [pic] + C
= ln [pic]
2. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]
= [pic]
Substitusi (x+2) = tan t
x = (tan t) - 2
dx = sec[pic]t dan
[pic] = sec t, sehingga
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic] - [pic]dt
= 2 sec t – 5 ln [pic]
= 2 [pic]
Kerjakan soal berikut sebagai latihan [pic]
1. [pic][pic]dx
2. [pic][pic]
3. [pic][pic]dx
4. [pic][pic]
5. [pic][pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
11. [pic]
12. [pic]
Integral yang integrannya memuat bentuk [pic]atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi
x = a sec t, -[pic] [pic] .
Karena x = a sec t maka dx = a sec t tan t dt, dan [pic][pic][pic]
[pic]= [pic]
= a tan t
Selanjutnya perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. [pic][pic]
Jawab
Substitusi x = 3 sec t
dx = 3 sec t tan t dt
[pic] = 3 tan t, sehingga
[pic][pic] = [pic]
= 3 [pic]
= 3 [pic]
= 3 tan t – 3 t + C
= 3 [pic]
2. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]
Substitusi (x-1) = 3 sec t,
dx = 3 sec t tgn t dt
[pic] = 3 tgn t, sehingga
[pic] = [pic]
= [pic]
= ln [pic]
= ln [pic]
Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.
1. [pic][pic] dx
2. [pic][pic]
3. [pic][pic]
4. [pic][pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
2.4 Integral Parsial
Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).
Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi
y = uv diperoleh
dy = d(uv)
d(uv) = u dv + v du
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
[pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan [pic] tersebut.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
Tentukan integral persial berikut ini
1. [pic]
Jawab
Bentuk [pic] diubah menjadi [pic]udv,
Misal u = x , dv = 1 dx
dv = cos x dx , v = [pic]dx = sin x
Akibatnya [pic] = [pic]x d(sin x).
Dengan rumus integral parsial
[pic], diperoleh
[pic]x d(sin x) = x sin x - [pic] d(x)
= x sin x - [pic] dx
= x sin x + cos x + C
Akhirnya diperoleh [pic] = x sin x + cos x + C
2. [pic] dx
Pilih u = x , du = dx
dv = [pic], v = [pic]dx = [pic]
Sehingga [pic] dx = [pic]
Berdasarkan rumus integral parsial
[pic], diperoleh
[pic] dx = [pic]
= [pic] - [pic]
= [pic] - [pic]
= [pic]- [pic]
3. [pic] e[pic]dx
Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx
dv = [pic], v = [pic] = [pic], sehingga:
[pic] e[pic]dx = [pic]sin x d([pic]
= [pic]
= [pic]
Diperoleh bentuk [pic] yang juga diselesaikan dengan metode parsial
Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx
dv [pic]= [pic], v = [pic] = [pic], sehingga:
[pic] e[pic]dx = [pic]cos x d([pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Akhirnya diperoleh
[pic] e[pic]dx = [pic]
= [pic][pic]
[pic] e[pic]dx = [pic][pic][pic][pic]
Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.
1. [pic]
2. [pic]
Jawab:
[pic]= [pic]
Pilih u = sin2 x du = d(sin2 x ) = 2sinx cos x
dv = sin x dx maka v = [pic] = - cos x
Sehingga
[pic] = [pic]
= -cos x sin2x - [pic]
= -cos x sin2x + [pic]
= -cos x sin2x + 2[pic]
[pic] = -cos x sin2x + 2[pic]
[pic]3[pic] = -cos x sin2x + 2[pic][pic]
[pic][pic] = [pic]
= [pic]
3. [pic]tan x dx
4. [pic]tan x dx
5. [pic]ln x dx
6. [pic]dx
7. [pic]cos 2x dx
8. [pic]e[pic]dx
9. [pic]dx
10. [pic]dx
11. [pic]
12. [pic]
13. [pic]dx
14. [pic]
15. [pic][pic]dx
16. [pic] dx
17. [pic][pic] dx
18. [pic] dx [pic]
19. [pic] dx
20. [pic]dx
2.5 Integral Fungsi Rasional.
Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) = [pic], dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x) [pic]0.
Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan
f(x) = a[pic]+ a[pic]x + a[pic]x[pic] + a[pic]x[pic]+ … + a[pic]x[pic], n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk [pic] yang pembilang dan penyebutnya polinom.
Contoh
1. F(x) = [pic](Fungsi Rasional Sejati)
2. F(x) = [pic](Fungsi Rasional Tidak Sejati)
3. F(x) = [pic](Fungsi Rasional Tidak Sejati)
Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.
Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:
F(x) = [pic]
= x[pic] + [pic]
F(x) = [pic], g(x) [pic]0.
Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:
1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = [pic] sampai tidak dapat difaktorkan lagi.
3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:
- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.
- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)[pic]
= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)
- fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax[pic]+bx + c)
- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax[pic]px[pic] + qx + c)
- fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax[pic][pic][pic]dan seterusnya.
4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,
Misal : [pic] [pic] (Penyebut kombinasi liner berbeda)
[pic](kombinasi lenear berulang)
[pic] (kombinasi kuadrat berbeda)
5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A[pic], A[pic], …A[pic] dan B[pic], B[pic], …B[pic].
Contoh
1. Tentukan [pic][pic]
Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:
[pic] dx = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:
[pic]dx = [pic]
= [pic] - [pic]
= ln [pic]
= ln [pic]
2. [pic] integran fungsi rasional tidak sejati, maka:
[pic]
= [pic]
= x + ln (x-1)[pic] + C
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut:
1. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Diperoleh A + B + C = 0
A + 3B – 2C = 1
-6A = 1
Atau A = - [pic], B = [pic], C = [pic]
Sehingga [pic] = [pic]
= [pic]
2. [pic][pic]
3. [pic]
4. [pic]
Jawab
[pic] = [pic], menurut teorema 2.2
= [pic]
= x + C[pic]+ [pic]
[pic] = [pic], menurut teorema 2.2
= [pic]
=[pic]
Diperoleh A+B = 5, 2A-4B= 4 atau A = 4, B = 1
Sehingga [pic] = [pic]
= 4 ln [pic]
= ln (x-4)[pic]
= ln[pic]
5. [pic]
6. [pic]
Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)
1. [pic], karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]dx
Sehingga diperoleh
A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga
[pic] = [pic] dx
= [pic]
= ln [pic]
2. [pic]
Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:
[pic] = [pic]
= [pic]
Selanjuntnya [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:
[pic]dx
= 5 ln [pic]
3. [pic]
Integran fungsi rasional sejati, sehingga:
[pic] = [pic][pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Diperoleh
A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga
[pic] = [pic]
= [pic] [pic][pic][pic]
= ½ ln [pic]
4. [pic]dx ( integran bukan fungsi rasional sejati)
Jawab :
[pic]dx = [pic]
= [pic]+ [pic]
= [pic]+ [pic]
Selanjutnya dicari [pic] = [pic]
[pic] = [pic]
=[pic]
= [pic]
Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4
atau A = -1, B = [pic], C = [pic]
Sehingga:
[pic] = [pic] - [pic]
Soal-soal
Tentukan hasil dari:
1. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat.
Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial
[pic], berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.
Contoh
1. [pic]
Karena integran fungsi rasional sejati maka
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
Diperoleh
A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:
[pic] = [pic]
= [pic][pic]
= [pic]
2. [pic]
Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Diperoleh
A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:
[pic] = [pic]
= [pic]
= arctg x + [pic]
3. [pic]
Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat (x[pic], sehingga
[pic]= [pic]
= [pic]
= [pic]
Maka diperoleh
A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau
A = 2, B = -1, C = 0, D = -1
[pic] = [pic]
= 2 ln(x+3) – ln(x-2) – arctan x + C
= ln(x+3)[pic]- ln(x-2) – arctan x + C
= ln[pic]arctan x + C
Jadi [pic] = ln[pic]arctan x + C
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1
[pic] = [pic]
= [pic]
= ln [pic]+ ½ arc tan [pic]
2. [pic]
Jawab:
[pic] = [pic]
= [pic]
= ½ x2 - 5[pic]
= [pic]x2 – 5.[pic] [pic]
= ½ x2 - [pic]
= ½ x2 – ln (x2+1)5/2 + C
= ½ x2 – ln [pic]+ C
3. [pic]
4. [pic] (fungsi rasional sejati)
Jawab
[pic] = [pic]
= [pic]dx
= [pic]
= [pic]
Didapat
p + r = 1, q + s = 1, 2p + r = 1, dan 2q + s = 2
atau p = 0, q = 1, r = 1, s = 0
sehingga [pic]dx = [pic]
= arc tan x + ½ ln (x[pic] + C
= arc tan x + ln [pic] + C
5. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]dx
= [pic]
= [pic]
Diperoleh
p = 1, q = 0, p+r = 1, dan q+s = -1
atau p = 1, q = 0, r = 0, dan s = -1
sehingga
[pic] = [pic]
= ln [pic]
6. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]
= [pic]
Catatan : diteruskan sendiri
6. Integral Fungsi Rasional yang Memuat Sin x dan Cos x
Fungsi F(x) = [pic] dan g(x) mememuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan
f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan metode substitusi.
Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.
1. F(x) = [pic]
2. F(x) = [pic]
3. F(x) = [pic]
4. F(x) = [pic]
5. F(x) = [pic]
Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic][pic] dx
5. [pic][pic] dx
Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi
x = 2 arc tan z sehingga dx = [pic].
Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z.
Karena x = 2 arc tan z maka:
[pic]
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri
1 + tan[pic] = sec[pic]
[pic] 1 + z[pic]
[pic]
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain
sin[pic]
[pic], sehingga didapat
sin[pic]
= [pic]
Dengan rumus jumlah cosinus didapat:
cos 2x = cos[pic]sin[pic]x
[pic]
[pic]
= [pic]
Dengan rumus jumlah sinus didapat:
sin 2x = 2 sin x cos x
[pic]sin x = 2 sin [pic] cos [pic]
= 2 [pic]
= [pic]
Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi
x = 2 arc tan z, sin x = [pic], cos x = [pic]
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Tentukan selesaian dari
1. [pic]
Jawab
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= ln [pic] + C
= ln [pic]
2. [pic]
Jawab [pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic] arc tan [pic]+ C
= [pic] arc tan [pic]z + C
= [pic]arc tan [pic](tan x/2) + C
3.[pic] =
Jawab
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= 3 ln[pic]
= 3 ln[pic]
Soal-soal
Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!
1. [pic] = [pic] + C
2. [pic][pic]= [pic]+ C
3. [pic] = [pic][pic]+ C
4. [pic][pic] = ln [pic]+ C
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic][pic]
8. [pic]
9. [pic][pic]
10. [pic] = ln [pic]
11. [pic]dx = -ln[pic]
BAB III
INTEGRAL TAK WAJAR
3.1 Pengertian
Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.
Teorema:
Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b], dan F(x) sebarang antiturunan pada I, maka
[pic] = [pic][pic]
Contoh
1. [pic]
= (4- ½ .16) – (2- ½ 4)
= -4 – 0
= -4
2. [pic]
= ln (1+2) – ln (1+1)
= ln 3 – ln 2
3. [pic], tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas karena integran
f(x) = [pic] tidak terdefinisi pada x = 1.
4. [pic], tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran f(x) = [pic] tidak terdefinisi di x = 0
Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.
Bentuk [pic] disebut Integral Tidak Wajar jika:
a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut.
Pada kasus ini teorema dasar kalkulus [pic] = F(b) – F(a) tidak berlaku lagi.
Contoh
1) [pic], f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)
2) [pic], f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]
3) [pic], f(x) tidak kontinu di x = 2 [pic][0,4] atau f(x) kontinu di [0,2) [pic](2,4]
b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga
1) [pic], integran f(x) memuat batas atas di x = [pic]
2) [pic], integran f(x) memuat batas bawah di x = -[pic]
3) [pic], integran f(x) memuat batas atas di x = [pic]dan batasa bawah di x = -[pic]
Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga ([pic]).
Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.
3.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinu
a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b
Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = b - [pic] ( [pic][pic]), sehingga
[pic] [pic]
Karena batas atas x = b - [pic] ( x [pic]b[pic]), maka
maka [pic] [pic]
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
1. [pic], f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga
= [pic]
= -2 [pic][pic]
= -2 ([pic])
= -2(0-2)
= 4
Cara lain
[pic]
= [pic]
= [pic]
= -2(0)+2(2)
= 4
2. [pic], f(x) = [pic]
Fungsi di atas tidak kontinu di x = 2 dan x = -2, sehingga:
maka [pic]2[pic]
= 2[pic]
= 2 [pic]
= 2 ( [pic]
= [pic]
3. [pic] [pic][pic], f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 sehingga diperoleh
[pic] [pic][pic]
= tidak berarti, karena mempunyai bentuk [pic]
b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a
Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a + [pic] ( [pic][pic]), sehingga
[pic] [pic]
Karena batas bawah x = a + [pic] ( x [pic]a[pic]) maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:
[pic] [pic]
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
1. [pic][pic]
= [pic]
= [pic]
= 6(1) – 6(0)
= 6[pic]
2. [pic] ,f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0 sehingga diperoleh:
[pic]
= [pic]
= 2 – 0
= 2
3. [pic], f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0
= [pic]
= (1.0-1) –(0-0)
= -1
c. f(x) kontinu di [a,c) [pic] (c,b] dan tidak kontinu di x = c
Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c + [pic] dan x = c - [pic] ( [pic][pic]), sehingga
[pic]
= [pic][pic] + [pic]
Dapat juga dinyatakan dengan
[pic] [pic] + [pic] [pic]
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
1. [pic], f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh
[pic], berdasarkan contoh sebelumnya didapat:
[pic]
= [pic]
= [pic][pic]
= [pic]
2. [pic] f(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh
[pic]
= [pic]
= [pic]
= -[pic]
[pic] = [pic]
3. [pic], f(x) diskontinu di x = 0, sehingga diperoleh:
[pic] = [pic]+ [pic]
= [pic]
= [pic]
= tidak berarti karena memuat bentuk [pic]
3. Integral tak wajar dengan batas tak hingga
Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.
a. Intergral tak wajar dengan batas atas x = [pic].
Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.
[pic]
Perhatikan contoh berikut ini
1. [pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
= ( ½ . [pic] - ½ .0)
= [pic]
2. [pic] = [pic][pic]
= [pic]
= [pic]
= 1
b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = -[pic]
Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:
[pic] [pic]
Perhatikan contoh berikut ini:
1. [pic] dx = [pic]
= [pic]
= ½ - 0
= ½
2. [pic]= [pic]
= [pic]
= 0 + [pic]
= ¼
c. Integral tak wajar batas atas x = [pic] dan batas bawah di x = -[pic]
Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak wajar dengan [pic], sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:
[pic]
= [pic][pic]
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini:
1. [pic]
= [pic]
= [pic] + [pic]
= [pic]
2. [pic] = [pic] + [pic]
= [pic][pic] + [pic][pic]
= [pic](arc tgn e[pic])[pic]+ [pic](arc tgn e[pic])[pic][pic]
= [pic][pic]
= [pic]
Soal-soal
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1. [pic]
Jawab
Karena integran diskontinu di x = 3, maka
[pic]= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic] (90[pic]
2. [pic] dx
3. [pic]
4. [pic]
Jawab
f(x) = x ln x diskontinu x = 0, sehingga
[pic] = [pic]
= [pic][pic]
= [pic]
= tidak terdefinisi karena memuat ln 0
5. [pic] = [pic]dx
= [pic]
= [pic]
= 0 + 1
= 1
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
11. [pic] = [pic]
= [pic], ATAU
= [pic]
= [pic]
= -2[pic]
= tidak terdefinisi (tidak terintegralkan)
BAB IV
RUMUS-RUMUS DASAR INTEGRAL
Misal u adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan C sebuah konstanta, dengan memperhatikan sifat-sifat operasi Aljabar fungsi (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian) dapat diperikan beberapa sifat Integral tak tentu fungsi yang terintegralkan. Sifat-sifat berikut berlaku untuk syarat yang diberikan.
1. [pic]du = [pic] + C, jika n [pic] -1
2. [pic], jika n [pic] -1
3. [pic] = ln [pic] + C atau [pic]
4. [pic]eu du = eu + C
5. [pic]au du = [pic]+ C
6. [pic]u dv = uv - [pic]v du
7. [pic]sin du = - cos u + C
8. [pic]cos u du = sin u + C
9. [pic]sec2 u du = tan u + C
10. [pic]csc2 u du = - cot u + C
11. [pic]sec u tan u du = sec u + C
12. [pic]csc u cot u du = - csc u + C
13. [pic]tan u du = ln [pic] + C
14. [pic]cot u du = ln [pic] + C
15. [pic]sec u du = ln [pic] + C
16. [pic]csc u du = ln [pic] + C
17. [pic][pic]= arc sin [pic] +C
18. [pic][pic] = [pic] arc tan [pic] + C
19. [pic][pic] [pic] ln [pic] + C
20. [pic][pic] [pic] ln [pic] + C
21. [pic]= ln (u + [pic]) + C
22. [pic]= ln (u + [pic]) + C
23. [pic][pic]du = ½ u [pic][pic]
24. [pic][pic][pic] = [pic] arc sec [pic]+ C
25. [pic]du = ½ u [pic][pic] + C
26. [pic]du = ½ u [pic][pic] + C
27. [pic]sin2 u du = [pic]u – [pic]sin 2u + C
28. [pic]cos2 u du = [pic]u + ¼ sin 2u + C
29. [pic]tan2 u du = -u + tan u + C
30. [pic]cot2 u du = - u – cot u + C
31. [pic] sin3 u du = - [pic]( 2 + sin2 u ) cos u + C
32. [pic] cos3 u du = [pic]( 2 + cos2 u ) sin u + C
33. [pic] tan3 u du = [pic] tgn2 u + ln [pic] + C
34. [pic] cot3 u du = -[pic] cot2 u - ln [pic] + C
35. [pic] sec3 u du = [pic] sec u tan u + [pic] ln [pic] + C
36. [pic] csc3 u du = -[pic] csc u cot u + [pic] ln [pic] + C
37. [pic]sin au sin bu du = [pic] - [pic] + C, jika a2 [pic] b2
38. [pic]cos au cos bu du = [pic] + [pic] + C, jika a2 [pic] b2
39. [pic]sin au cos bu du = - [pic] - [pic] + C, jika a2 [pic] b2
40. [pic]sinnu du = -[pic] + [pic] [pic]sin n-2 u du
41. [pic]cosn u du = [pic] + [pic] [pic]cos n-2 u du
42. [pic]tann u du = [pic] tan n-1 u - [pic]u du jika n [pic] 1[pic]
43. [pic]cot n u du = -[pic] cot n-1 u - [pic]u du jika n [pic] 1[pic]
44. [pic]sec n u du = [pic] sec n-2 u tgn u + [pic][pic]sec n-2 u du, jika n [pic] 1[pic]
45. [pic]csc n u du= - [pic] csc n-2 u cot u + [pic][pic]csc n-2 u du, n [pic] 1[pic]
46. [pic]sin n ucos m u du = - [pic] + [pic][pic]sin n-2 u cos m u du,
n[pic] -m
47. [pic]u sin u du = sin u – u cos u + C
48. [pic]u cos u du = cos u + u sin u + C
49. [pic]un sin u du = -un cos u + n [pic]u n-1 cos u du
50. [pic] un cos u du = un sin u + n [pic]u n-1 sin u du
51. [pic]sin u d(sin u) = [pic]sin [pic]u + C
52. [pic]cos u d(cos u) = [pic]cos[pic]u + C
53. [pic]tan u d(tan u) = [pic]tan [pic]u + C
54. [pic]cot u d(cot u) = ½ cot2 u + C
55. [pic]sec u d(sec u) = ½ sec2 u + C
56. [pic]csc u d(csc u) = ½ csc2 u + C
57. [pic][pic]du = [pic][pic] [pic] [pic] ln [pic] + C
58. [pic][pic] du = [pic] - a ln [pic] + C
59. [pic][pic] = ln [pic] + C
60. [pic][pic] du = [pic] - a [pic]arc sec [pic] + C
61. [pic]u2[pic]du = [pic](2a2 [pic]u2)[pic] - [pic]ln [pic] + C
62. [pic][pic]du = [pic][pic] [pic] [pic] ln [pic] + C
63. [pic][pic]= [pic] [pic] + C
64. [pic][pic] du = - [pic] - ln [pic] + C
65. [pic][pic] = [pic]+ C
66. [pic]= - [pic]+ C
67. [pic]([pic])3/2[pic]du = [pic] (2u2[pic]5a2) [pic] + [pic] ln [pic] + C
68. [pic][pic] du = [pic][pic] + [pic]arc sin -1 [pic] + C
69. [pic][pic][pic] du = -[pic][pic] + [pic]arc sin -1 [pic] + C
70. [pic][pic] du = [pic] - a ln [pic] + C
71. [pic]u2 [pic]du = [pic] (2u2- a2) [pic] + [pic] arc sin -1 [pic] + C
72. [pic][pic]= - [pic] + C
73. [pic][pic] du = - [pic] - arc sin -1 [pic] + C
74. [pic][pic]= - [pic] ln [pic][pic] + C
75. [pic] = ln [pic] + C
76. [pic]du = 2[pic] - 2 arc tan [pic] + Cl
77. [pic]= 2 ln (1+ [pic])
78. [pic][pic] = [pic]+ C
79. [pic]([pic])3/2[pic]du = [pic] (5a2- 2u2) [pic] + [pic] arc sin -1 [pic] + C
80. [pic]ueu du = (u-1)eu + C
81. [pic]un eu du = un eu – n [pic]un-1 eu du
82. [pic]ln u du = u ln u – u + C
83. [pic]un ln u du = [pic] ln u - [pic] + C
84. [pic]eau sin bu du = [pic] (a sin bu – b cos bu) + C
85. [pic]eau cos bu du = [pic] (a cos bu + b sin bu) + C
86. [pic]arc sin -1 u du = u arc sin -1 u + [pic]+ C
87. [pic]arc tan u du = u arc tan u - [pic]ln [pic] + C
88. [pic]arc sec u du = u arc sin u – ln [pic]+ C
89. [pic]u arc sin u du = ¼ (2u2 – 1) arc sin u + [pic] [pic] + C
90. [pic]u arc tan u du = ½ (u2 + 1) arc tan u - [pic] + C
91. [pic]u arc sec u du = [pic]arc sec u – ½ [pic] + C
92. [pic]u arc sin u du = [pic] arc sin u - [pic][pic]du + C, jika n [pic]-1
93. [pic]un arc tan u du = [pic] arc tan u - [pic][pic]du + C, jika n [pic]-1
94. [pic]un arc sec u du = [pic] arc sec u - [pic][pic]du + C, jika n [pic]-1
95. [pic]sinh u du = cosh u + C
96. [pic]cosh u du = sinh u + C
97. [pic]tanh u du = ln (cosh u ) + C
98. [pic]coth u du = ln [pic] + C
99. [pic]sech u du = arc tan [pic] + C
100. [pic]csch u du = ln [pic] + C
101. [pic]sinh[pic]u du = ¼ sinh u - [pic] + C
102. [pic]cosh [pic]u du = ¼ sinh u + [pic] + C
103. [pic]tanh[pic]u du = u - tanh u + C
104. [pic]coth[pic] u du = u – coth u + C
105. [pic]sech[pic]u du = tanh u + C
106. [pic]csch[pic]u du = -coth u + C
107. [pic]sech u tgnh u du = - sech u + C
108. [pic]csch u coth u du = - csch u + C
109. [pic]u(au+b)-1 du = [pic]ln [pic]+ C [pic]
110. [pic]u(au + b)-2 du = [pic]+ C
111. [pic] u(au+b)n du = [pic][pic]+ C, jika n [pic]-1, -2
112. [pic][pic] = [pic]+ C, n [pic]1
113. [pic]u [pic]du = [pic]
114. [pic] un [pic]du = [pic] + C
115. [pic][pic]= [pic] + C
116. [pic][pic] = [pic][pic]-nb[pic][pic][pic]
117. [pic][pic]= [pic] ln [pic] + C
118. [pic][pic] = - [pic] + C, jika n [pic]1
119. [pic][pic]= [pic] sin [pic] + C
120. [pic][pic] = arc sin [pic] + C[pic]
121. [pic]un[pic] = [pic][pic][pic][pic] du
122. [pic][pic][pic] = - [pic]+ [pic][pic] + C
123. [pic][pic] = [pic] a arc sin [pic] + C
124. [pic][pic] = [pic][pic]
125. [pic][pic] = [pic]
126. [pic]( [pic])2 = [pic]du [pic]
127. [pic][pic]= [pic] du
128. [pic] + C
129. [pic] + C
130. [pic]= [pic] ln [pic]+ C
131. [pic] cos u + ln (1-cos u) + C
132. [pic][pic] du = -[pic]cos [pic] + 2 sin [pic]+ C
133. [pic] = [pic] + C
134. [pic][pic]= [pic]+ C
135. [pic] = [pic]+ C
136. [pic] = [pic][pic]+ C
137. [pic][pic] = ln [pic]+ C
138. [pic] = [pic] + C
139. [pic]
140. [pic]
141. [pic][pic]
142. [pic]
143. [pic][pic]
144. [pic] 2(tan[pic]
145. [pic]
146. [pic]
147. [pic]arc sin(2 tan x) + C
148. [pic]
149. [pic] = x + [pic](cot ax-csc ax) + C
150. [pic]
BAB V
TRANSFORMASI LAPLACE
1. Transformasi Laplace
Definisi
Misalkan F(t) suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:
L {F(t)} = [pic] = f(s)
Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga ([pic]) maka
L{F(t)} = [pic]
= [pic]
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L{W(t)} = w(s), L{G(t)} = g(s), L{Y(t)} = y(s) dan seterusnya.
Teorema
Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0[pic]N dan eksponensial berorde [pic] untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s > [pic]
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.
|Nomor |F(t) |L{F(t)} = f(s) |
|1. |1 |[pic] s > 0 |
|2. |t |[pic] s > 0 |
|3. |t[pic] |[pic], s > 0 |
|4. |t[pic] |[pic], s > 0 |
| |n = 0,1,2,3,…. | |
|5. |e[pic] |[pic] s > 0 |
|6. |sin at |[pic] s > 0 |
|7. |cos at |[pic] s > 0 |
|8. |sinh at |[pic] s > [pic] |
|9. |cosh at |[pic]s > [pic] |
|10. |[pic] |….…. |
|11. |[pic] |….. |
Untuk memahamkan bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi.
Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:
1. F(t) = 1
L {F(t)} = L{1}
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= 0 + [pic]
= [pic]
= f (s)
F(t) = t
L{F(t)} = [pic][pic]t dt
= [pic]dt
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
2. F(t) = e[pic]
L{F(t)} = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
3. F(t) = sin at
L{F(t)} = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic][pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
4. F(t) = cos at
L{F(t)} = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic][pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
2. Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada
Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0[pic]dan eksponensial berorde[pic] untuk t > N, maka transformasi Laplacenya f(s) ada untuk semua s > [pic].
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
3. Metode Transformasi Laplace
Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:
a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.
Metode ini berkaitan langsung dengan definis
L{F(t)} = [pic]
= [pic]
Contoh
L{t} = [pic][pic]t dt
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
b. Metode Deret
Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh
F(t) = a[pic]
= [pic]
Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:
L{F(t)} = L{a[pic]
= [pic]
= [pic]
Syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s > [pic]
c. Metode Persamaan differensial
Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.
d. Menurunkan terhadap parameter
e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema yang ada.
f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan.
4. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya adalah
a) Sifat linear
Jika c[pic] dan c[pic]adalah sebarang konstanta, sedangkan F[pic] dan F[pic] adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing [pic] dan [pic], maka:
L{c[pic]+c[pic]} = c[pic] + c[pic]
Bukti:
L{c[pic]+c[pic]} = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Contoh
1. L{5t-3} = L{5t} – L{3}
= 5 L{t} – 3 L{1}
= 5 [pic]
= [pic]
2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t}
= 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t}
= 6 [pic]
= [pic]
L{(t[pic]} = L{t[pic]
= L{[pic]
= L{t[pic] + 2 L{[pic] + L{1}
= [pic]
= [pic]
3. L{4e[pic]
= L{4e[pic]
= 4L{e[pic]
= 4[pic]
= [pic]
Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut.
1. F(t) = 2t[pic]+ e[pic]
2. F(t) = 6sin 2t – cos 2t
3. F(t) = (sin t – cos t)[pic]
4. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t
5. F(t) = (2t + 2)[pic]
6. F(t) = (sin t – 3)[pic]
b) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{e[pic] = f(s-a)
Bukti
Karena L{F(t)} = [pic]= f(s), maka
L{e[pic] = [pic]
= [pic]
= f(s-a)
Contoh:
1. Tentukan L{ e-3tF(t)}, jika L{F(t)} = f(s)
Menurut sifat 2 di atas, L{e[pic] = f(s-a)
Maka L{e-3tF(t)} = f((s-(-3))
= f(s+3)
2. Tentukan L { e2tF(t)}, jika L{F(t)} = f(s/a)
Menurut sifat 2 di atas, L{e[pic] = f(s-a)
Maka L{e2tF(t)} = f(s-2/a)
= f([pic]
3. Tentukan L{e[pic].
Karena L{cos 2t} = [pic] = f(s), maka
L{e[pic] = f(s+1)
= [pic]
= [pic] = f(s)
4. Tentukan L{e[pic]
Menurut sifat linear,
L{e[pic] = L{e[pic]}
= 3L{e[pic]}
Karena L{cos 6t} = [pic]= f(s), dan L{sin 6t} = [pic] = f(s) maka menurut sifat translasi
3L{e[pic]
= 3 [pic], dan
5L{e[pic] = 5f(s+2)
= 5 [pic], sehingga
L{e[pic] = 3 [pic] - 5 [pic]
= [pic]
Soal
Tentukan transformasi Laplace fungsi
1) F(t) = e[pic]
2) F(t) = (1+te[pic]
3) F(t) = e[pic]
4) F(t) = (t+2)[pic]
5) F(t) = e[pic]
6) F(t) = e[pic]
c. Sifat translasi atau pergeseran kedua
Jika L{F(t)} = f(s) dan G(t) = [pic] maka
L{G(t)} = e[pic]
Bukti
L{G(t)} = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga [pic]
[pic] = [pic]
= e[pic]
= e[pic]
Contoh
Carilah L{F(t)} jika F(t) = [pic]
Menurut definisi transformasi Laplace
L{F(t)} = [pic]
= [pic]
= [pic]
= e[pic]
= [pic]
d. Sifat pengubahan skala
Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} = [pic]
Karena L{F(t)} = [pic] maka
L{F(at)} = [pic]
Misal u = at, du = a dt atau dt = [pic]
Sehinga L{F(at)} = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
Contoh:
1. Jika L{F(t)} = [pic] = f(s)
maka L{F(3t)} = [pic]
= [pic]
= [pic]
Soal:
1. Carilah L{F(t)}, jika F(t) = [pic]
2. Jika L{F(t)} = [pic], carilah L{F(2t)}
3. Jika L{F(t)} = [pic] carilah L{e[pic]
Jawab L{F(t)} = [pic] maka menurut sifat 4 diperoleh
L{F(3t)} = [pic]
Sehingga L{F(3t)} = [pic]
= [pic][pic]
= f(s)
Berdasarkan sifat Jika L{F(t)} = f(s) maka L{e[pic] = f(s-a) (sifat 2)
Maka L{e[pic] = f(s+1)
= [pic]
e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{F’(t)} = sf(s) – F(0)
Karena Karena L{F(t)} = [pic]= f(s), maka
L{F’(t)} = [pic]
= [pic]
= [pic][pic]
= -F(0) + s[pic]F(t)dt[pic]
= sf(s) – F(0)
Jika L{F’(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F’’(t)} = s[pic]
Bukti
L{F”(t)} = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= s[pic]
Dengan cara yang sama diperoleh
L{F’’’(t)} = [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= e[pic][pic]
= s[pic]
Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika
L{F(t)} = f(s)
maka
L{F[pic]= s[pic]
Contoh soal
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan bahwa
L{sin at} = [pic] = f(s)
Misal F(t) = sin at diperoleh F’(t) = a cos at, F’’(t) = -a[pic]
Sehingga L{sin at} = -[pic]L{F’’(t)}.
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh
L{sin at} = [pic]( s[pic])
= [pic]
= [pic]
= [pic]
= [pic]
f. Tansformasi Laplace dari integral-integral
Jika L{F(t)} = f(s) maka L[pic]
Bukti:
Misal G(t) = [pic] maka G’(t) = F(t) dan G(0) = 0
Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:
L{G’(t)} = L{F(t)}
[pic] s L{G(t)}-G{0} = f(s)
[pic] s L{G(t)} = f(s)
[pic] L{G(t)} = [pic]
Jadi diperoleh L{ [pic]} = [pic]
Contoh
1. Carilah L[pic]
Misal F(t) = [pic]
Maka L{F(t)} = arc tan [pic]
Sehingga menurut sifat transformasi di atas L[pic]= [pic] = [pic]
2. Buktikan L[pic] = [pic]
Bukti:
Misal F(t) = [pic]maka F(0) = 0
F’(t) = [pic] dan t F’(t) = sin t. Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian
L{tF’(t)} = L{sint} atau [pic] = [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Menurut teorema harga awal, [pic]
Sehingga diperoleh c = [pic].
Jadi sf(s) = [pic]
3. Buktikan L[pic]= [pic]
Bukti:
Misal F(t) = [pic] maka F’(t) = [pic] atau tF’(t) = - cos t
L[pic]L{-cos t}
(-1) [pic] = [pic] atau [pic]sf(s) = [pic]
sf(s) = [pic]
Menurut teorema harga akhir, [pic] sehingga c = 0.
Jadi sf(s) = [pic] atau f(s) = [pic]
g. Perkalian dengan t[pic]
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{t[pic] = (-1)[pic]= (-1)f[pic]
Bukti.
Karena f(s) = [pic]maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:
[pic]= f’(s) = [pic][pic]
= [pic]
= [pic]
= - [pic]
= -L{tF(t)}
Jadi L{tF(t)} = -[pic]
Contoh
1. Tentukan L{t sin at}
Jawab
L{sin at} = [pic], maka menurut sifat perkalian dari pangkat t[pic]diperoleh
L{t F(t)} = (-1)[pic][pic], sehingga
L{ t sin at} = (-1)[pic]
= [pic]
2. Tentukan L{t[pic]
Menurut sifat di atas, L{t[pic] = (-1)[pic][pic]
= [pic]
= [pic]
h. Sifat pembagian oleh t
Jika L{F(t)} = f(s) maka L [pic]
Bukti:
Misal G(t) = [pic] maka F(t) = t G(t).
Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)} atau f(s) = -[pic] atau f(s) = -[pic].
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh
[pic]f(s) = [pic]-[pic].
g(s) = - [pic]
= [pic]
Jadi L[pic][pic]
Soal-soal
1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan
a. F(t) = t cos 2t
b. F(t) = t sin 3t
c. F(t) = t(3sin 2t-2 cos 5t)
d. F(t) = t[pic]
e. F(t) = (t[pic]
f. F(t) = t[pic]
g. F(t) = (t[pic]
2) Jika F(t) = [pic]
Carilah L{F’’(t)}
3) Diketahui F(t) = [pic][pic]
a. carilah L{F(t)}
b. carilah L{F’(t)}
c. apakah L{F’(t)} = sf(s) – F(0) berlaku untuk kasus ini
4) Tunjukkan bahwa [pic]
5) Tunjukkan bahwa
L[pic]
6) Perlihatkan bahwa
a. L{[pic]} = ln [pic]
b. L [pic]
7) Tunjukkan bahwa:
a. L [pic]= [pic]
b. Jika L{F(t)} = f(s) maka L [pic] = [pic]
DAFTAR PUSTAKA
Edwin J. Purcell., Dale Varberg. 1989. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid 2 (terjemahan I Nyoman Susila dkk). Bab 18. Jakarta; Erlangga.
Wilfred Kaplan. 1961. Ordinary Differential Equations. Massachusetts: Addison Wesley Publishing Company, Inc.
Dale Varberg., Edwin J. Purcell. 2001. Kalkulus Jilid I (edisi 7). Alih Bahasa I Nyoman Susila. Batam: Interaksara.
Frank Ayres., J.C Ault. 1984. Kalkulus Diferensial dan Integral (Seri Buku Schaum). Alih Bahasa Lea Prasetyo. Jakarta: Erlangga.
Louis Leithold, 1986. Kalkulus dan Geometri Analitik. Alih Bahasa S. Nababan. Jakarta: Erlangga.
Howard Anton, 1981. Calculus with Analyitical Geometri. New York: John Willey and Sons.
Koko Martono, 1993. Kalkulus Integral I. Bandung: Alva Gracia
Tom M. Apostol, 1984. Calculus. New York: John Willey and Sons.
Achsanul In’am, 2000. Kalkulus I. Malang: UMM Press.
Murray R. Spiegel. Pantur Silaban, Hans Wospakrik. 1985. Transformasi Linear. Jakarta: Erlangga.
-----------------------
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.