DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SINIFLANDIRILMASI
BÖLÜM
DİFERANSİYEL DENKLEMLER VE ÇÖZÜMLERİ
1.1 Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması
Tanım 1.1.1: Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya diferansiyel denklem denir.
Tanım 1.1.2: Bir diferansiyel denklemde bağımsız değişken bir tane ise bu diferansiyel denkleme adi diferansiyel denklem denir.
Tanım 1.1.3: Bir veya daha çok bağımlı değişken, birden fazla bağımsız değişken ve bunların türevlerinden oluşan diferansiyel denkleme kısmi diferansiyel denklem denir
.
Tanım 1.1.4: Bir diferansiyel denklemin en yüksek mertebeden türevi o diferansiyel denklemin mertebesini belirtir.
Tanım 1.15: Bir diferansiyel denklemin mertebesinin kuvvetine o diferansiyel denklemin derecesi denir.
Tanım 1.1.6: Bir diferansiyel denklemde bağımlı değişken ve türevleri 1.dereceden ve denklemi bağımlı değişken ve onların türevleri parantezinde yazdığımızda katsayılar yalnızca bağımsız değişkenlere bağlı ise bu denkleme lineer diferansiyel denklem denir.
Örneğin, [pic] diferansiyel denklemini sınıflandırırsak; bu denklemde y bağımlı x bağımsız değişken, adi diferansiyel denklem, 1.mertebe, 1.derece ve lineer diferansiyel denklemdir.
Bir diferansiyel denklem, F [pic] =0 veya genel olarak F([pic]) şeklinde yazılır.
➢ [pic]
➢ [pic] gösterim şekilleri de doğrudur.
Bu denklemlerin birincisi 1.mertebeden, ikincisi de 2.mertebeden birer diferansiyel denklemdir.
Bağımlı değişkenin tek olması halinde genellikle bağımsız değişkeni x ile bağımlı değişkeni de y ile gösterilir.
Örneğin, 1) [pic] burada y bağımlı, x bağımsız değişkendir
2) [pic] burada y bağımlı x bağımsız değişkendir.
Adi diferansiyel denklemlerde y’nin x’e göre türevleri değişik şekillerde gösterilir.
Örneğin, y’nin x’e göre,
Birinci türevi ;
[pic]
İkinci türevi;
[pic]
Üçüncü türevi;
[pic] şeklinde yazılır.
Örneğin, adi diferansiyel denklemlere birkaç örnek verelim.
➢ [pic]
➢ [pic]
➢ [pic]
Örneğin, kısmi diferansiyel denklemlere birkaç örnek verelim.
➢ [pic] , u(x,y,z,)=0
➢ [pic] , y(x,t)=0
➢ [pic] , u(x,y)=0
1.2 Diferansiyel Denklemlerin Çözümü
n.mertebeden bir adi lineer diferansiyel denklem verilmiş olsun.Yani;
F([pic]) =0 (1) Herhangi bir y=f(x) fonksiyonunu göz önüne alalım.bu fonksiyon x’in bir [pic]aralığında tarif edilmiş bir reel fonksiyon olsun,ve bütün [pic]değerleri için bu fonksiyonun n.mertebeden ve daha düşük mertebeden türevleri (1)’de yerine yazılırsa;
[pic] (2)
ise y=f(x) fonksiyonuna (1) numaralı denklemin çözümü denir. Çözümlerin analitik, grafik ve nümerik çözümler olarak gruplandırılır.
Örnek 1: Bütün reel değerleri için tarif edilmiş olan y=f(x)[pic] fonksiyonu aşağıda verilen [pic] diferansiyel denklemin çözümüdür.
Açıklama: [pic] ve y [pic] ifadelerinden
[pic][pic] olur.
Bir diferansiyel denklemin çözümü ister y=f(x) şeklinde, ister g(x,y)=0 şeklinde bir kapalı fonksiyonla verilsin. Bu fonksiyonun grafiğine diferansiyel denklemin çözüm eğrisi denir.
Örnek 2: [pic] diferansiyel denklemin çözüm eğrisini(eğri ailesini) elde ediniz
Çözüm:[pic] [pic]
Örnek 3: [pic] diferansiyel denklemin çözümünün [pic] olduğu bilindiğine göre [pic] , y(0)=1, [pic] başlangıç değer problemini çözünüz.
Çözüm: [pic] (1)
[pic]
[pic] (2)
1) ve (2) denklemleri çözülecek olursa [pic] elde edilir. Bu değerler yerine yazılırsa [pic] olur
Örnek 4: [pic] denkleminin çözümü [pic] olduğuna göre [pic], y(0)=1, [pic] başlangıç değer problemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
veya
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
[pic] elde edilir. Burada [pic]’in herhangi bir sayı olabileceğini görüyoruz.
1.3 Keyfi Sabitlerin Elimine Edilmesi
Birinci mertebeden bir adi diferansiyel denklem [pic] ve çözümü [pic] olsun. Burada c sıfır dahil pozitif ve negatif bütün reel değerleri alabilir.
Çözümü verilen bir diferansiyel denklemi bulmak için; çözüm fonksiyonundaki keyfi sabitler elimine edilir.
NOT: Diferansiyel denklemler kurulurken fonksiyonun içerdiği keyfi sabit sayısı kadar türev alınarak keyfi sabitler elimine edilir.
Örnek 5: y=(c+sinx)2 fonksiyonunda c sabitini elimine ediniz ve bu fonksiyonu çözüm kabul eden diferansiyel denklemi bulunuz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic] olur. Bu denklem lineer değildir.
Örnek 6: [pic] diferansiyel denklemini bulunuz.
Çözüm: [pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3)
birinci denklemi 3 ile çarpıp taraf tarafa toplarsak
[pic] (4)
denklemini elde ederiz. Şimdi de 2. denklemi üç ile çarpıp 3.denklemle taraf tarafa toplarsak
[pic] (5)
denklemini elde ederiz. Görüldüğü gibi (4) ve (5) in sağ taraf ları birbirine eşittir dolayısıyla [pic] bulunur ve buradan da [pic] lineer denklemi elde edilir.
Örnek 7: [pic] diferansiyel denklemini elde ediniz.
Çözüm: [pic]
[pic] elde edilir. Bu c değerini verilen denklemde yerine yazarsak
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic] diferansiyel denklemi elde edilir
Örnek 8: [pic] fonksiyonunu kullanarak [pic]diferansiyel denklemini elde ediniz.
Çözüm: [pic] (1)
[pic] (2)
denklemleri taraf tarafa toplanacak olursa
[pic] diferansiyel denklemi elde edilir.
Örnek 8.1: [pic] fonksiyonunu kullanarak [pic]diferansiyel denklemini elde ediniz.
Çözüm: [pic] (1)
[pic] (2)
denklemleri taraf tarafa çarpılırsa
[pic] diferansiyel denklemi elde edilir.
Örnek 8.2: [pic] fonksiyonunu kullanarak [pic]diferansiyel denklemini elde ediniz.
Çözüm: [pic] elde edilir.
Örnek 9: [pic] fonksiyonunu kullanarak [pic]diferansiyel denklemini elde ediniz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic] denklemi elde edilir.
Örnek 10: [pic] fonksiyonunu kullanarak [pic]diferansiyel denklemini kurunuz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
Örnek 11: [pic] fonksiyonunu kullanarak [pic] diferansiyel denklemini elde ediniz.
Çözüm: [pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3)
(1) ve (3) denklemleri taraf tarafa toplanırsa[pic] denklemi elde edilir.
Örnek 12: [pic] fonksiyonunu kullanarak [pic] diferansiyel denklemini elde ediniz.
Çözüm: [pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3) denklemleri elde edilir.(1) ile (3) birlikte düşünülüp çözülürse [pic] diferansiyel denklemi elde edilir.
Örnek 13: [pic] eğri ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz.
Çözüm: [pic] ve [pic] elde edilir. Bundan sonra iki denklemi taraf tarafa çıkarırız.
[pic] denklemi elde edilir.
Örnek 14: [pic] eğri ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz.
Çözüm: [pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3) denklemleri elde edilir. (1) ve (3) üncü denklemler birlikte çözülürse [pic] denklemi elde edilir.
Örnek 15 (Ödev): [pic] eğri ailesinin diferansiyel denkleminin [pic] olduğunu gösteriniz.
Örnek 16: [pic] fonksiyonunu kullanarak [pic]diferansiyel denklemini bulunuz.
Çözüm: [pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3) denklemleri elde edilir. [pic] ifadesi (3) de yerine yazılırsa olursa [pic] denklemi elde edilir.
Örnek 17: [pic] fonksiyonunu kullanarak [pic]diferansiyel denklemini bulunuz.
Çözüm: [pic]
[pic][pic]
[pic][pic] diferansiyel denklemi elde edilir.
Örnek 18: [pic] fonksiyonunu kullanarak [pic]diferansiyel denklemini bulunuz.
Çözüm: [pic] bulunur. Bu c değeri verilen denklemde yerine yazılacak olursa
[pic] [pic][pic] olur.
Bu ifadede düzenlenirse[pic] denklemi elde edilir.
Örnek 19: [pic] fonksiyonunu kullanarak [pic]diferansiyel denklemini bulunuz.
Çözüm: [pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3) denklemleri elde edilir. (2) ve (3) den [pic] bulunur. Aynı mantıkla (1) ve (2) den [pic] elde edilir. Son elde edilen denklemlerde [pic] yerine yazılırsa [pic][pic][pic] denklemi elde edilir.
Örnek 20: [pic] fonksiyonunu kullanarak [pic]diferansiyel denklemini bulunuz.
Çözüm: [pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3)
denklemleri elde edilir. (1) ve (2) birlikte düşünülürse
[pic] (4)
denklemi elde edilir. Şimdi de (2) ve (3) birlikte düşünülürse
[pic] (5) elde edilir. Son olarakta (4) ve (5) birlikte düşünülürse
[pic] diferansiyel denklemi elde edilir.
I. BÖLÜM
BİRİNCİ MERTEBEDEN ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER
1. Tam Diferansiyel Denklemler
Birinci mertebeden bir adi lineer diferansiyel denklem [pic] veya [pic] veya
[pic] [pic]
şeklindedir.
[pic][pic][pic] ve [pic]elde edilir.
[pic]şartı sağlanırsa [pic] denklemi tam diferansiyel denklemdir denir.Ve bir genel çözümü vardır.
Örnek 21: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] elde edilir.
[pic] olduğundan tam diferansiyel denklemdir.
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic] bulunur.
Örnek 22: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyel denklemdir.
[pic]=[pic]
[pic]=[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic] olur.
Örnek 23: [pic] y(-1)=1 ,diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyel denklemdir. [pic][pic][pic]
[pic][pic]=[pic]
[pic][pic] [pic] y(-1)=1 olduğundan
[pic] elde edilir.
Örnek 24: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan verilen denklem tam diferansiyel denklemdir. [pic] dir.
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 25: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz
Çözüm:
[pic]
[pic]=[pic]
=[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic] [pic].
Örnek 26: [pic] eğri ailesinin diferansiyel denklemini kurunuz.
Çözüm:
[pic] [pic] ve [pic] denklemleri elde edilir.
[pic][pic]
[pic][pic] elde edilir.
Bu eşitliklerin sağ tarafları eşit olduğundan
[pic] bulunur
Örnek 27: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan denklem tam diferansiyel denklemdir.
[pic][pic]
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
Örnek 28: [pic] olan fonksiyonun 1. Mertebeden diferansiyel denklemini bulunuz.
Çözüm: [pic]
[pic]
Örnek 29: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyel denklemdir.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 30: [pic] olan fonksiyonun 1. Mertebeden diferansiyel denklemini bulunuz.
Çözüm: [pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic] bulunur.
Örnek 31: [pic] fonksiyonunu kullanarak [pic]diferansiyel denklemini bulunuz.
Çözüm: [pic], [pic], [pic] olur.
[pic] [pic], [pic]
[pic]
[pic] diferansiyel denklemi elde edilir.
Örnek 32: [pic] eğri ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz.
Çözüm:
[pic] elde edilir ve ikinci denklemi -4 ile çarpıp taraf tarafa toplarsak [pic] diferansiyel denklemi elde edilir.
Örnek 33: Merkezi x ekseni üzerinde değişen, r yarıçapı sabit olan çember ailesinin diferansiyel denklemini bulunuz.
Çözüm: Nokta (a,0) olur.
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic] diferansiyel denklemi elde edilir.
Örnek 34: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyeldir.
[pic]
=[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic][pic] , [pic] olur.
Örnek 35: [pic] diferansiyel denklemini y(0)=2 başlangıç koşulu altında çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyeldir.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic] değişken dönüşümleri yapılırsa [pic][pic]=[pic]
[pic]
[pic]
[pic] [pic] elde edilir.
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 36: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyeldir.
[pic][pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic] [pic] alınacak olursa;
[pic] bulunur.
Örnek 37: [pic] diferansiyel denkleminin tam diferansiyel olduğunu gösteriniz ve çözümünü bulunuz.
Çözüm: [pic][pic][pic]
[pic] olduğundan tam diferansiyeldir.
[pic]
[pic] [pic] dönüşümleri yapılırsa
[pic]=[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] elde edilir.
Örnek 38: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyeldir.
[pic]
=[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic][pic] , [pic] bulunur.
Örnek 39: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyeldir.
[pic]=[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] olur.
Örnek 40: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyeldir.
[pic]
=[pic]
[pic][pic]
[pic] [pic]
[pic][pic] , [pic] elde edilir.
Örnek 41: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyeldir.
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic][pic] , [pic] olur.
Örnek 42: [pic] A,B,C yi keyfi sabit kabul ederek eğri ailesinin diferansiyel denklemini kurunuz.
Çözüm:
[pic]
2.Yol: [pic], [pic]
[pic]
[pic] elde edilir.
Örnek 43: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic] haline dönüşür.
[pic] olduğundan tam diferansiyeldir.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] olur.
Örnek 44: [pic] ve y(0)=2, [pic] ise başlangıç değer problemini bulunuz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 45: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyeldir.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] olur.
Örnek 46: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyeldir
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] bulunur.
Örnek 47: [pic] diferansiyel denkleminin tam olduğunu gösteriniz.
Çözüm: [pic] olduğundan tam diferansiyeldir
2.2 İntegral Çarpanı Yardımıyla Diferansiyel Denklem Çözümü
[pic] Diferansiyel denklemi verilsin. [pic] ise denklem tam diferansiyel değildir. O zaman bir integral çarpanı bulup denklemi tam diferansiyele dönüştürmemiz gereklidir.
[pic] şeklinde [pic] integral çarpanı bulunur. [pic] şeklinde diferansiyel denklem çarpılır ve [pic] olduğunda tam diferansiyel denklem haline dönüşür .Buradan da[pic] ile işleme devam edilir.
Örnek 48: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyel değildir.
[pic]
[pic] integral çarpanı bulunur.
[pic]
[pic] olduğundan tam hale dönüşmüş oldu.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] değişken dönüşümleri yapılacak olursa
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] olur.
Örnek 49: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam değildir.
[pic] olur.
[pic] olarak integral çarpanı bulunur.
[pic] haline dönüşür.
[pic] olduğundan tam diferansiyel denklemdir.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] bulunur.
Örnek 50: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyel değildir.
[pic]
[pic] olarak integral çarpanı bulunur.
[pic] olur.
[pic] olduğundan tam diferansiyele dönüşmüş olur. [pic]
[pic] bulunur.
[pic]
[pic][pic] , [pic] dönüşümü yapılırsa
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] olur.
Örnek 51: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyel değildir.
[pic] ise [pic] olarak bulunur. Denklemi integral çarpanı ile çarpanı ile çarparsak
[pic] şekline dönüşür.
[pic] tam hale dönüşür.
[pic][pic]
[pic] olur.
[pic] [pic]
[pic]
[pic] , [pic].
Örnek 52: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam değildir.
[pic]
[pic] integral çarpanı bulunur.
[pic] haline dönüşür.
[pic] olduğundan tam hale dönüştü.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] bulunur.
Örnek 53: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyel değildir.
[pic] olur ve integral çarpanı;
[pic] olarak bulunur.
[pic]
[pic] olduğundan tam hale dönüşmüş oldu.
[pic] bulunur.
[pic]
[pic]
[pic][pic] , [pic] olur.
Örnek 54: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam diferansiyel değildir.
[pic] olur.
[pic] bulunur. Denklem integral çarpanı ile çarpılacak olursa
[pic] olur.
[pic] olur ve tam hale dönüşür.
[pic]
[pic] bulunur.
[pic]
[pic]
[pic] olur.
Örnek 55: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
[pic] olduğundan tam değildir
[pic] olur ve integral çarpanı
[pic] olarak bulunur.
[pic] [pic] tam hale dönüşür.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
2.3 Değişkenlerine Ayrılabilen Diferansiyel Denklemler
[pic] ([pic]) denklemi verilmiş olsun.
[pic],
[pic] şekline dönüşebiliyorsa ([pic]) denklemine değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem denir.
Örnek 56: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic] olur.
Örnek 57: [pic] diferansiyel denklemi çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 58: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic] ve burada da [pic][pic] değişken dönüşümü yapılırsa
[pic]
[pic][pic]
Örnek 59: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic].Burada da birinci integral için [pic] değişken dönüşümleri yapılırsa
[pic] şekline dönüşür.
[pic]
[pic] olur.
Örnek 60: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] birinci ve ikinci integraller için aşağıdaki dönüşümleri yaparsak;
[pic]
[pic] olur. Buradan da;
[pic]
[pic][pic] elde edilir.
2.4 Homojen Diferansiyel Denklemler
Birinci mertebeden bir lineer adi diferansiyel denklemin [pic] şeklinde verildiğini biliyoruz. Eğer [pic] veya [pic] ‘in bir g fonksiyonu bulunabilirse yani;
[pic] ise o zaman [pic] fonksiyonuna homojen fonksiyon, denkleme de homojen diferansiyel denklem denir. Çözüm için [pic] alınır.
Örnek 61: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: Bu diferansiyel denklem homojendir.
[pic][pic]
[pic] alınacak olursa [pic]
[pic] olur ve buradan da
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
Örnek 62: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: Bu diferansiyel denklem homojendir;
[pic]
[pic] , [pic] dönüşümü yapılırsa
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] dönüşümü yapılırsa
[pic][pic]
[pic]
[pic]
Örnek 63: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: Bu diferansiyel denklem homojendir;
[pic] , [pic] dönüşümü yapılırsa;
[pic]
[pic]
[pic] [pic] , [pic]
[pic]
[pic] , [pic] olduğunu düşünürsek
[pic]
Örnek 64: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] bu denklem homojen değildir.
[pic]
[pic] olduğundan tam diferansiyelde değildir.
[pic]
[pic] olarak integral çarpanı bulunur.
[pic]
[pic] olduğundan tam diferansiyele dönüştü.
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] olur.
Örnek 65: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: Bu denklem homojen değildir.
[pic] tam diferansiyel de değildir.
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic] olduğundan tam diferansiyel denklemdir.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] olur.
Örnek 66: [pic] diferansiyel denklemini [pic] başlangıç koşulu altında çözünüz.
Çözüm: [pic] , homojen olduğundan [pic] dönüşümleri yapılırsa ;
[pic]
[pic] , [pic] koşulunu düşünürsek
[pic]
[pic] olarak bulunur.
Örnek 67: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] olur.Bu diferansiyel denklem homojen değildir.Değişkenlerine ayrılabilirdir.
[pic] değişken dönüşümü yapılacak olursa;
[pic]
[pic] , [pic] olduğunu düşünürsek
[pic] olur.
Örnek 68: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olarak bulunur.
Örnek 69: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz
Çözüm: Diferansiyel denklem görüldüğü gibi homojendir.
[pic]
[pic] , [pic] dönüşümünü uygulayalım;
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olduğu için [pic] ifadesi elde edilir.
Örnek 70: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: Verilen diferansiyel denklem değişkenlerine ayrılabilen türdendir.
[pic] şeklinde yazdıktan sonra integraller için kısmi integrasyon uygularsak;
[pic] ve [pic] dönüşümlerini uygularsak;
[pic]
[pic]
[pic] olarak bulunur.
Örnek 71: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
Birinci integral için;
[pic] şeklinde bulunur
[pic]
[pic]
[pic] şeklinde elde edilir.
Örnek 72: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz
Çözüm: [pic] diferansiyel denklemi değişkenlerine ayrılabilen türdendir dolayısıyla;
[pic][pic]ise [pic] olur.
Birinci integral için [pic] dönüşümleri yapılınca;
[pic]
[pic]
[pic] olarak bulunur.
Örnek 73: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] şeklinde yazabiliriz ve bu diferansiyel denklem değişkenlerine ayrılabilen türdendir dolayısıyla;
[pic]
[pic]
[pic] olur.
Örnek 74: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: Bu diferansiyel denklem homojen diferansiyel denklemdir.
[pic] şekline dönüşür ve denklemde de [pic] dönüşümü uygulanırsa;
[pic]
[pic]
[pic] elde edilir.
Örnek 75: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: Bu diferansiyel denklem homojendir ve [pic] şeklinde yazıp [pic], [pic] dönüşümlerini uygularsak;
[pic]
[pic] [pic]
[pic] olur.
Örnek 76: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: Verilen diferansiyel denklem homojen diferansiyel denklemdir.
[pic] şeklinde yazıp [pic] dönüşümünü uygularsak;
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic] , [pic] dönüşümünü uygularsak;
[pic] şeklinde elde edilir.
Örnek 77: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] şeklinde yazarız ve [pic] değişken dönüşümünü uygularsak;
[pic]
[pic] , [pic]
[pic] olur ve [pic] dönüşümü tekrar kullanılırsa;
[pic] olarak elde edilir.
2.5 Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler
[pic] ve [pic] olmak üzere;
[pic][pic] [pic] denklemi elde edilir.
Eğer [pic][pic]
[pic] çözümüne [pic] denkleminin homojen kısmının çözümü denir.
Eğer [pic] denklemi;
[pic] [pic] olur.
[pic] [pic]
[pic] ve [pic] denklemleri karşılaştırılıp çözüm yolları izlenir.Tam diferansiyel denklem olup olmadığına bakılır ve ona göre yol izlenir. [pic] denkleminin genel çözümü;
[pic] veya [pic] olur.
Örnek 78: [pic] denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözüm: [pic] ve [pic]
[pic]
[pic]
[pic] [pic] dönüşümünü uygularsak;
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic] olarak bulunur.
Örnek 79: [pic] diferansiyel denklemini [pic] koşulu altında çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic][pic][pic]
[pic] olur.
Örnek 80: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic] , [pic] dönüşümlerini yapıp kısmi integrasyon uygularsak;
[pic]
[pic] olarak bulunur.
Örnek 81: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] dönüşümü yapılırsa;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olur.
Örnek 82: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic] dönüşümleri yapılırsa;
[pic]
[pic] , [pic]
[pic]
[pic] , [pic] dönüşümleri yapılırsa;
[pic]
[pic]
[pic] elde edilir.
Örnek 83: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic][pic] olur.
[pic] olur.
[pic]
[pic] , [pic] dönüşümü uygulanırsa;
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 84: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] dönüşümlerini uygularsak;
[pic]
[pic]
[pic] elde edilir.
Örnek 85: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] elde edilir.
Örnek 86: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic] olur ve buradan da;
[pic]
[pic]
Örnek 87(Ödev): [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
2.6 Bernoulli Denklemi
Birinci mertebeden bir adi diferansiyel denklem;
[pic] şeklinde ise bu diferansiyel denkleme Bernoulli denklemi denir.
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] ‘u’ bulunur.
[pic] ile de ‘y’ bulunur ki buda Bernoulli denkleminin çözümüdür.
Örnek 88: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] Bernoulli diferansiyel denklemidir.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 89: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] Bernoulli denklemidir.
[pic] , [pic] dönüşümü uygularsak;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] elde edilir.
Örnek 90: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 91: [pic] diferansiyel denklemini [pic] koşulu altında çözünüz.
Çözüm: [pic] , [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] elde edilir ve koşulu kullanırsak;
[pic]
[pic]
2.7 Riccati Denklemi
[pic] [pic] şeklindeki denkleme Riccati denklemi denir. Bu denklemi analitik olarak çözmek mümkün değildir. Eğer [pic] özel çözümü biliniyorsa o zaman [pic] dönüşümü yapılarak lineer hale getirilir.
[pic] , [pic] denkleminin özel çözümü ise denklemi sağlamalıdır. O halde;
[pic] [pic] elde edilir.
[pic] ve [pic] ile [pic] dan;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olarak bulunur.
Bu son denklem Bernoulli denklemidir, çözümü de vardır.
Örnek 92: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm:
Örnek: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] , Riccati denklemidir. [pic] özel çözümdür.
[pic] , [pic]
[pic]
[pic] Bernoulli’ye dönüşür;
[pic] , [pic]
[pic] lineer diferansiyel denkleme dönüştü;
[pic]
[pic] olur ve integrali almak için [pic] kısmi integrasyon uygulanırsa;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] di;
[pic] olur.
2.8 Clairaut Denklemi
[pic]……………… [pic]
[pic] alınırsa;
[pic]………………[pic] olur ki bu denkleme Clairaut denklemi denir.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] veya [pic] olur;
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 93: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] veya [pic] dır;
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 94: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic] veya [pic] olur;
[pic]
[pic] 2.dereceden diferansiyel denklem olur.
Örnek 95: [pic], (u=-2/x) diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] , Ricatti denklemidir;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] Bernoulli denklemine dönüşür;
[pic] , [pic] dönüşümü yapılırsa;
[pic] 1.mertebeden lineer diferansiyel denklem;
[pic]
[pic] integral için [pic] dönüşümleri altında kısmi integrasyon uygulanırsa;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic] olarak elde edilir.
Örnek 96: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] , [pic]
[pic] 1.mertebeden lineer diferansiyel denklem;
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 97: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] 1.mertebeden lineer diferansiyel denklem;
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 98: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] 1.mertebeden lineer diferansiyel denklem;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olarak elde edilir.
Örnek 93: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] 1.mertebeden lineer diferansiyel denklem;
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 100(Ödev): [pic] diferansiyel denklemini çözünüz. (C:[pic])
Örnek 101: [pic] diferansiyel denklemini [pic] koşulu altında çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 102: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek103: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] diferansiyel denklem Bernoulli denklemidir;
[pic] , [pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic] , [pic] dönüşümü ile kısmi integrasyon uygulanırsa;
[pic]
[pic]
[pic] olur.
Örnek 104: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] , [pic]
[pic]
[pic] , [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] dönüşümleri yapılırsa;
[pic]
[pic]
[pic][pic] olur.
Örnek 105: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] bu diferansiyel denklem Bernoulli denklemidir.
[pic] , [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olarak bulunur.
Örnek 106: [pic] (u=x) diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: Ricatti diferansiyel denklemidir ve [pic];
[pic] , [pic] yani [pic] olur;
[pic] , [pic] ve [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olur ve Bernoulli denklemine dönüşür;
[pic]
[pic] , [pic]
[pic] lineer diferansiyel denklem haline dönüştü,
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 107: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic] Ricatti denklemine dönüştü [pic];
[pic] , [pic]
[pic]
[pic]
[pic] olur ve Bernoulli denklemine dönüşür,
[pic] , [pic]
[pic] olur ve lineer diferansiyel denkleme dönüştü,
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] dönüşümü uygulanırsa;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 108: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] diferansiyel denklemi 1.mertebeden lineer denklemdir;
[pic]
[pic]
[pic] olarak bulunur.
Örnek 109: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz
Çözüm: [pic] denklemi 1. mertebeden lineer diferansiyel denklemdir;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] dönüşümü altında kısmi integrasyon uygulanırsa;
[pic]
[pic]
Örnek 110: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz
Çözüm: [pic] denklemi 1. mertebeden diferansiyel denklemdir;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 111: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] denklemi Bernoulli denklemidir;
[pic] , [pic] olarak alınırsa;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 112: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] denklemi Bernoulli denklemidir;
[pic] , [pic] dönüşümü altında;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek113: [pic]eğri ailesinin diferansiyel denklemini elde ediniz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic] olarak bulunur.
Örnek 114: [pic] (u=tanx) diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] Ricatti diferansiyel denklemidir, [pic] ve [pic] olmak üzere;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 115: [pic] eğri ailesinin diferansiyel denklemini elde ediniz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic] olarak elde edilir.
Örnek 116: [pic] eğri ailesinin diferansiyel denklemini elde ediniz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic] olarak elde edilir.
Örnek 117: [pic] eğri ailesinin diferansiyel denklemini elde ediniz
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olarak bulunur.
Örnek 118: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic] olduğundan tam diferansiyeldir;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olur.
Not: Bu soru değişkenlerine ayırma yöntemiyle de çözülebilir.
Örnek119: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic] olduğundan tam diferansiyeldir;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olarak bulunur.
Not: Bu soru değişkenlerine ayırma yöntemiyle de çözülebilir.
II. BÖLÜM
BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN UYGULAMALARI
3.1 Dik Yörüngeler
[pic] eğri ailesine dik olan eğri ailesi [pic] olsun. Burada c, m parametredir. İki eğrinin birbirine dik olması bu iki eğrinin kesişme noktalarında ki teğetlerinin birbirine dik olması olarak açıklanır. [pic] ve [pic] eğrilerinin teğetleri dik kesişsinler;
[pic] ‘ya ait diferansiyel denklem.
[pic] ‘ya ait diferansiyel denklem.
Örnek 120: [pic] , c>0 eğri ailesinin aynı 0 merkezli ve c yarıçaplı dairelerdir. Bu eğrilere dik olan eğri ailesini bulunuz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic] , [pic] yazalım;
[pic]
[pic]
[pic] olarak bulunur.
Fiziksel yorum:‘0’ noktasına pozitif yüklü bir elektriksel nokta-yük koyduğumuzu düşünelim. [pic] düzlemi üzerinde elektriksel potansiyel şiddeti aynı olan noktaların geometrik yeri c yarıçaplı bir dairedir. Öyleyse yukarda verilen eğri ailesi adı geçen elektriksel potansiyel eğrilerinin matematiksel ifadesidir.
Sonuçta [pic] denklemi ile ifade edilen doğrular elektrik alanının, 0 noktasından çıkan ve [pic]-düzlemi içinde uzanan kuvvet çizgilerini temsil etmektedir.
Örnek 121: Herbirinin tepe noktası 0 olan [pic] parabolüne dik olan eğri ailesini bulunuz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
olarak elde edilir.
3.2 Mekanik Problemler
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 122: Kütlesi m olan bir cisim yerden oldukça yükseklikte bulunan bir noktadan ilk hızsız olarak serbest düşmeye bırakılıyor. Cisme etki eden yerçekimi kuvveti sabit ve hava direncinin cismin hızı ile orantılı olduğu kabul edildiğine göre herhangi bir t anındaki cismin başlangıç noktasından hangi uzaklıkta olduğunu ve o anda hangi hızla hareket ettiğini bulunuz.
Çözüm: [pic][pic][pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic][pic] olarak bulunur.
Örnek 123: Kütlesi m olan bir cisim yerküresi üzerinden bir yerden yukarıya doğru bir [pic] hızıyla fırlatılıyor. Hava direnci ihmal edilerek bir daha yer küresine dönmemesi için [pic] ilk hızının ne olması gerektiğini bulunuz.
Çözüm: Cismin kütlesi m, yerçekimi ivmesi g, yerkürenin kütlesi M, yerkürenin yarıçapı R olsun;
Evrensel çekim konumu; [pic]
t anında cismin yer küresinden olan yüksekliği; [pic]
[pic]
[pic] , [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Denklem x’e bağlı olacak cismin yerden uzaklaşma hızı,cismin geri dönmemesi için her yerde v değerinin pozitif olması gerekeceğinden bu şartı sağlayan ilk hızı [pic] ile gösterebiliriz.
[pic] olmalıdır. Yada en azından [pic] olmalı. [pic]
[pic]
III. BÖLÜM
YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER
4.1 Homojen Lineer Diferansiyel Denklemler
n.mertebeden bir Homojen olmayan lineer diferansiyel denklem genel olarak;
[pic] [pic]
şeklindedir. Burada [pic],[pic],…,[pic] değişken katsayılardır. Ayrıca [pic]’dır. F(x) , [a,b] aralığında sürekli fonksiyondur. Eğer [pic] ise [pic] denkleminin n.mertebeden değişken katsayılı homojen lineer diferansiyel denklem denir.
Bazı sorularda ; [pic],[pic] kabul edilmektedir. Bu işlem soruyu daha da kısaltacaktır.
Örneğin;
1) [pic]
2) [pic] şeklinde yazımlar mümkündür.
Örnek 124: [pic]
[pic] , [pic] yazılırsa;
[pic] olur ve bu ikinci dereceden denklemin kökleri incelenirse
✓ [pic] ise [pic] olmak üzere birbirinden farklı iki kök vardır ve verilen denklemin [pic] şeklinde bir çözümü vardır.
✓ [pic] ise [pic] olacak şekilde çakışık iki kök vardır. Bu durumda denklemin [pic] şeklinde bir çözümü vardır.
✓ [pic] ise denklemin reel kökü yoktur. İki farklı kompleks kök vardır. Yani;
[pic] olmak üzere , [pic] olur. Denklemin çözümü ise [pic] olur.
Örnek 125-1: [pic] denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] olmak üzere [pic]
[pic]
[pic] , [pic]
[pic] , [pic] olarak bulunur ve
[pic] olarak bulunur.
Örnek 125-2: [pic] denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] olmak üzere;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olur.
Örnek 126: [pic] denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] olmak üzere;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olarak bulunur.
Örnek 127: [pic] denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] olmak üzere;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur ve
[pic] olur.
Örnek 128: [pic] denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] olmak üzere;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 129: [pic] denklemini [pic] ve [pic] koşulları altında çözünüz.
Çözüm: [pic] olmak üzere;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur ve yerlerine yazılırsa;
[pic] olur.
Örnek 130: [pic] denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
4.2 Sabit Katsayılı Homojen Olmayan Lineer Diferansiyel Denklemler
n.mertebeden sabit katsayılı ve homojen olmayan bir adi diferansiyel denklem; [pic] şeklinde verilir. Burada [pic] reel sabitlerdir.
Bu denklemin çözümü [pic] şeklindedir.
[pic] homojen kısmın genel çözümü
[pic] homojen olmayan kısmın genel çözümü
[pic]’nin çözümünü daha önce ele almıştık. Şimdi [pic]’nin çözümünü araştıralım. Bunun için üç metot vereceğiz.
1. Belirsiz katsayılar metodu
2. Parametrelerin değişimi metodu
3. Operatör metodu
4.2.1 Belirsiz Katsayılar Metodu
[pic] , UC fonksiyonu veya bu fonksiyonların bir lineer kombinasyonu ise belirsiz katsayılar metodu uygulanır.
UC fonksiyonu;
1. [pic] .burada n sıfır veya pozitif tamsayı
2. [pic] , [pic]
3. [pic] , [pic],[pic]
4. [pic] , [pic],[pic]
5. Bu fonksiyonlardan herhangi ikisinin veya daha fazlasının birbiri ile çarpımı şeklinde olabilir.
Örneğin, [pic] fonksiyonunun türevlerine ait UC fonksiyonlarını bulmak istersek;
[pic]
Örnek 131: [pic] fonksiyonunun türevlerine ait UC fonksiyonlarını bulunuz.
Çözüm:
[pic]
[pic] olur.
Örnek 132: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur. Dolayısıyla;
[pic] olur. Türevler alınır ve diferansiyel denklemde yerine yazılırsa; [pic] olarak bulunur. Diferansiyel denklemin genel çözümü ise; [pic]
[pic] olur.
Örnek 133: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur ve türevler alınarak diferansiyel denklemde yerine yazılırsa; [pic] olarak bulunur.
[pic], [pic] olduğu düşünülürse
[pic] olur.
Örnek 134: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic] olur.
[pic] [pic] ile aynı olduğundan x ile çarpmalıyız;
[pic] olur.
[pic] olmalıdır ve türevler alınıp diferansiyel denklemde yerine yazılırsa;
[pic] bulunur.
[pic]
[pic]
Örnek 135: [pic] diferansiyel denklemin genel çözümün bulunuz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic] olur.
[pic] x ile çarpacağız. Ama sadece [pic] çünkü [pic]’de [pic] yok
[pic] olacak.
[pic] olmalıdır ve türevler alınarak denklemde yerine yazılırsa;
[pic] [pic]
[pic] elde edilir.
Örnek 136: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olur. Türevler alınarak denklemde yazılırsa;
[pic] elde edilir.
[pic] bulunur.
Örnek 137: [pic] diferansiyel denkleminin [pic] koşulları altında genel çözümünü bulunuz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic] olur ve türevler alınıp denklemde yerine yazılırsa;
[pic] bulunur.
[pic] , [pic] olduğundan
[pic] elde edilir.
[pic] , [pic]
[pic]
[pic] , [pic] bulunur.
[pic] olur.
Örnek 138: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic] olur.
[pic] x ile çarpacağız. Çünkü [pic] ile ortak eleman var,
[pic] bir kez daha çarpacağız. Çünkü hala ortak eleman var,
[pic] olur.
[pic] türevleri alınıp diferansiyel denklemde yerine yazılırsa;
[pic] bulunur.
[pic]
[pic]
Örnek 139: [pic]
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olur ve bu türevler diferansiyel denklemde yerine yazılırsa;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] elde edilir.
Örnek 140: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: Homojen olduğundan [pic] , [pic] dönüşümlerini yaparsak;
[pic] ve [pic] olur
[pic] bulunur.
[pic]
[pic]
[pic] . [pic] dönüşümü yapılırsa;
[pic] , [pic]
[pic]
[pic]
bulunur.
Örnek140.1: [pic] fonksiyonunda c sabitini elimine ediniz ve bu fonksiyonu çözüm kabul eden diferansiyel denkleme dik olan diferansiyel denklemi bulunuz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] yazılırsa,
[pic]
[pic]
[pic] elde edilir.
Örnek 141: [pic] fonksiyonunda c sabitini elimine ediniz ve bu fonksiyonu çözüm kabul eden diferansiyel denkleme normal(dik) olan diferansiyel denklemi bulunuz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic] , [pic] yazılırsa,
[pic]
[pic]
[pic] olur.
Örnek 142: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: Homojen olduğundan [pic] ve [pic] dönüşümlerini yaparsak;
[pic]
[pic] olur ve bu denklemlerin çözümlerinden [pic] ve [pic] olarak bulunur.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olur ve sağdaki integral basit kesirlere ayrılarak alınır.
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 143: [pic] fonksiyonunda c sabitini elimine ediniz ve bu fonksiyonu çözüm kabul eden diferansiyel denkleme normal(dik) olan diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] yazılırsa;
[pic]
[pic] elde edilir.
Örnek144: [pic] fonksiyonunda c sabitini elimine ediniz ve bu fonksiyonu çözüm kabul eden diferansiyel denkleme dik olan diferansiyel denklemi bulunuz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic] , [pic] yazılırsa;
[pic]
[pic] elde edilir.
[pic]
[pic] olduğundan tam diferansiyel değildir.
[pic] ve [pic] olur;
[pic] elde edilir ve bu denklem tam diferansiyeldir;
[pic] , [pic]
[pic] bulunur.
Örnek 145: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic] olur ve
[pic]
[pic]
[pic] , [pic]
[pic] integrali kısmi integrasyonla alabiliriz.
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 146: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] ve [pic] dönüşümleri yapılırsa;
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
[pic]
[pic] elde edilir;
[pic] , [pic] dönüşümü yapılırsa;
[pic]
[pic]
[pic] olur.
Örnek 147: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic] bulunur.
[pic] şeklindedir ve türevler alınıp yerlerine yazılırsa [pic] bulunur.
[pic]
[pic] elde edilir.
4.2.2 Parametrelerin değişimi Metodu
Örnek 148: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] [pic] bulunur.
Hatırlatma: Cramer metodu
[pic] ve [pic] ise [pic]
[pic] , [pic] dir.
[pic]
[pic] olduklarını göz önüne alırsak;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 149: [pic] diferansiyel denkleminin çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , (*)
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] , (**)
[pic] ve [pic] olduğundan;
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
[pic][pic] [pic]
[pic]
[pic] olur.
Örnek 150: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]…….(*)
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]………(**)
[pic]
[pic]
[pic] dönüşümlerini yaparsak;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic] elde edilir.
Örnek 151(Ödev): [pic] diferansiyel denklemini çözünüz. [pic]
4.2.3 Operatör metodu
1.yol: [pic] , [pic] , [pic] , [pic]
[pic][pic]
[pic]
2.yol: [pic] , [pic][pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic] , [pic] , [pic][pic]
3.yol: [pic] , [pic]
[pic][pic][pic]
[pic]
[pic],F(x)=x, m1=0,
[pic], [pic]
Örnek 153: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
[pic]bulunur.
[pic] diferansiyel denklem çözülürse;
[pic]
[pic]
[pic]
2.yol: [pic]
[pic][pic]
[pic] , [pic], [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
3.yol: [pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic],[pic] bulunur.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 154: [pic] denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic][pic][pic] olur.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 155: [pic] denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic],
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
olur.
Örnek 156: [pic] denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic][pic][pic]
[pic]
[pic] olur.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 156.1(Ödev): [pic] çözünüz.
Cevap: [pic] , [pic]
Örnek 157(Ödev): [pic] çözünüz. Cevap:[pic]
Örnek 158(Ödev): [pic] çözünüz. Cevap:[pic]
Formül: [pic]
Örnek 159: [pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 160: [pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
Formül: [pic]
Örnek 161: [pic] çözünüz.
Çözüm: a=1,n=3
[pic][pic]
[pic]
Formül: [pic] , [pic] ise [pic]
[pic] , [pic] ise [pic]
[pic] , [pic] ise [pic]
[pic] , [pic] ise [pic]
Örnek 162: [pic] çözünüz.
Çözüm: [pic]olduğundan;
[pic]
Örnek 163: [pic] çözünüz.
Çözüm: [pic] olduğundan;
[pic]
IV. BÖLÜM
LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ
5.1 Giriş
Örnek 164:
[pic] lineer diferansiyel denklem sistemini çözünüz.
Çözüm: [pic] olmak üzere;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] olur.
Örnek 165: [pic]
[pic] denklem sistemini çözünüz.
Çözüm: [pic] olmak üzere;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
[pic]
[pic]
Örnek 166: [pic]
[pic] denklem sistemini çözünüz.
Çözüm: [pic] olmak üzere;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] elde edilir.
Örnek167: [pic]
[pic] denklem sistemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 168: [pic] diferansiyel denklemini [pic] koşulları altında çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic],
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 169(Ödev): [pic] diferansiyel denklemini [pic] koşulları altında çözünüz. Cevap: [pic]
Örnek 170(Ödev): [pic] diferansiyel denklemini y(0)=3 koşulunu altında çözünüz.Cevap: [pic]
5.2 Sabit Katsayılı Homojen Lineer Sistemler
5.2.1 Karakteristik kökler reel ve birbirinden farklı
Örnek 171:
[pic] denklem sistemini çözünüz.
Çözüm: [pic] olarak kabul edelim;
[pic]
[pic]
Bu durumda;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] için;
[pic]
[pic] için;
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 172: [pic]
[pic] denklem sistemini çözünüz
Çözüm: [pic] kabul edelim;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] için;
[pic]
[pic] için;
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 173: [pic]
[pic] sistemini çözünüz.
Çözüm: [pic]olmak üzere
[pic][pic]
[pic][pic]
Denklemlerimiz şu hale geldi;
[pic] ve [pic]
[pic] olduğunu kabul edelim,
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
[pic] için;
[pic]
[pic]
[pic] için;
[pic]
[pic] elde edilir.
[pic]
[pic]
[pic]
Benzer şekilde
[pic] olur.
5.2.2Karakteristik kökler reel ve birbirine eşit
Örnek 174: [pic]
[pic] çözünüz.
Çözüm: [pic] kabul edelim;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] için;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Denklemde yerine yazılır ve çözülürse
[pic]
[pic]
[pic] ve [pic] olmak üzere
[pic]
[pic]
5.2.3Karakteristik kökler eşlenik ve sanal
Örnek 175: [pic]
[pic] sistemini çözünüz.
Çözüm: [pic] ve [pic] olmak üzere;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
bulunur. Bu fonksiyon çifti, verilen denklem sisteminin kompleks çözümüdür. Bunların reel kısımları alınarak özel çözümler elde edilir.
[pic]
[pic]
ve
[pic]
[pic]
sistemin bir çözümüdür. Sistemin genel çözümü
[pic]
[pic]
olur.
V. BÖLÜM
GENEL DEĞERLENDİRME SORULARI
Örnek 176: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic] olduğundan tam diferansiyel değildir,
[pic]
[pic]
[pic] tam diferansiyel olduğundan,
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic],
[pic] bulunur.
Örnek 177: [pic] diferansiyel denkleminin çözünüz.
Çözüm: Bu denklem değişkenlerine ayrılabilir dif. denlemdir.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 178: [pic] denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 179: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: Denklem değişkenlerine ayrılabilir;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 180: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] bulunur.
Örnek 181: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: Bu diferansiyel denklem Bernoulli diferansiyel denklemidir;
[pic]
[pic] , [pic] dönüşümünü uygularsak;
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Örnek 182: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] …….. (*)
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] …… (**)
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] kısmi integrasyonla integralleri alıp yerlerine yazacağız.
Örnek183: [pic] diferansiyel denklemini çözünüz.
Çözüm: [pic]
[pic]
[pic]
[pic] olduğundan;
[pic] bulunur.
KAYNAKLAR
[1] Aydın, M., Gündüz, G., Kuryel B., Diferansiyel Denklemler ve Uygulamaları, İzmir, 1987.
[2] Özer, M.N., Eser, D., Diferansiyel denklemler (Teori ve Uygulamaları), Birlik Ofset Yayıncılık, Eşkişehir, 1996.
[3] Aybes, F.,(Tercüme: Pakdemirli, E.), Teori ve Problemlerle Diferansiyel Denklemler, Güven Kitabevi yayınları, 1978.
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.