Introduction to Quantitative Finance - UB

Introduction to Quantitative Finance

Jos?e Manuel Corcuera

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J.M. Corcuera

Contents

1 Financial Derivatives

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1.1 Discrete time models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Strategies of investment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Admissible strategies and arbitrage . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Martingales and opportunities of arbitrage . . . . . . . . . 9

1.1.4 Complete markets and option pricing . . . . . . . . . . . 13

1.1.5 American options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1.6 The optimal stopping problem . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1.7 Application to American options . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2 Continuous-time models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.2.1 Continuous-time Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.2.2 Stochastic Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.2.3 It^o's Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.2.4 The Girsanov theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.2.5 The Black-Scholes model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.2.6 Multidimensional Black-Scholes model with continuous div-

idends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.2.7 Currency options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.2.8 Stochastic volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.2.9 Fourier methods for pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2 Interest rates models

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2.1 Basic facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.1.1 The yield curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.1.2 Yield curve for a random future . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.1.3 Interest rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.1.4 Bonds with coupons, swaps, caps and floors . . . . . . . . 73

2.2 A general framework for short rates . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3 Options on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.4 Short rate models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.4.1 Inversion of the yield curve . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.4.2 Affine term structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.4.3 The Vasicek model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

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CONTENTS

2.4.4 The Ho-Lee model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4.5 The CIR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.4.6 The Hull-White model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.5 Forward rate models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.5.1 The Musiela equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.6 Change of numeraire. The forward measure . . . . . . . . . . . . 93 2.7 Market models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.7.1 A market model for Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.7.2 A LIBOR market model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.7.3 A market model for caps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.8 Miscelanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.8.1 Forwards and Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.8.2 Stock options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

CONTENTS

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