II - VGTU
II. APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS
1. Individualios užduotys:
- trumpa teorijos apžvalga,
- pavyzdžiai,
- užduotys savarankiškam darbui.
Apibrėžtinių integralų skaičiavimas............................2 psl.
Netiesioginiai integralai...............................................12 psl.
Apibrėžtinių integralų taikymas geometrijoje..........20 psl.
2. Išspręstosios užduotys
Apibrėžtinių integralų skaičiavimas ..........................27 psl.
Netiesioginiai integralai................................................35 psl.
Apibrėžtinių integralų taikymas geometrijoje...........38 psl.
1. Individualios užduotys
Apibrėžtinių integralų skaičiavimas
Jei funkcijos f(x) pirmykštė yra F(x), tai apibrėžtiniam integralui teisinga Niutono ir Leibnico formulė:
[pic].
Apibrėžtiniame integrale [pic] pakeitus integravimo kintamąjį pagal lygybę [pic] arba t=u(x), reikia apskaičiuoti ir naujus integravimo rėžius: t1 = u(a), t2 = u(b).
Tuomet
[pic] = [pic].
Integravimo dalimis formulė apibrėžtiniam integralui yra tokia:
[pic].
Apibrėžtinis integralas [pic] pasižymi adityvumo savybe:
[pic] = [pic] + [pic]
Pavyzdžiai
1) [pic]
2) [pic] = [pic] – [pic] = [pic] = [pic].
Keičiame integravimo kintamąjį pagal lygybę: t = 1 + x2. Kintamojo t rėžiai: t1 = 1, t2 = 2.
Tuomet gauname:
[pic] = [pic] = [pic].
2 uždavinys. Apskaičiuokite apibrėžtinius integralus
1) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
2) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
3) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
4) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
5) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
6) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
7) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
8) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
9)[pic], [pic],
[pic], [pic], [pic]
10) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
11) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
12) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
13) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
14) [pic], [pic],
[pic], [pic], [pic]
15) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
16) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
17) [pic], [pic],
[pic], [pic], [pic]
18) [pic], , [pic],
[pic], [pic]
19) [pic], [pic], [pic],
20)
21) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
22) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
23) [pic],
[pic], [pic], [pic]
[pic] [pic]
24) [pic], [pic],
[pic], [pic], [pic]
25) [pic],[pic],
[pic], [pic], [pic]
26) [pic], [pic],
[pic], [pic], [pic]
27) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
28) [pic], [pic],
[pic], [pic], [pic]
29) [pic], [pic], [pic],
[pic], [pic]
30) [pic], [pic],
[pic], [pic], [pic]
Netiesioginiai integralai
Netiesioginiais vadinami integralai su begaliniais rėžiais arba neaprėžtosios funkcijos integralai. Jų apibrėžimai:
[pic], [pic],
[pic];
jei a yra pointegralinės funkcijos f(x) begalinio trūkio taškas [pic], tai
[pic];
jei b yra f(x) begalinio trūkio taškas, tai
[pic];
jei c yra funkcijos f(x) begalinio trūkio taškas (a < c < b), tai
[pic] + [pic].
Kai užrašytosios ribos yra skaičiai, netiesioginiai integralai vadinami konverguojančiaisiais, o kai ribos yra begalinės arba neegzistuoja, netiesioginiai integralai vadinami diverguojančiaisiais.
Netiesioginis integralas geometriškai reiškia begalinės srities plotą.
Pavyzdžiai
1) Apskaičiuosime netiesioginį integralą [pic].
Pagal apibrėžimą: [pic] [pic] = [pic] =
= [pic]= 1.
2) Apskaičiuosime netiesioginį integralą [pic].
Kadangi pointegralinė funkcija yra lyginė, tai:
[pic] = [pic] = [pic] =
= [pic] = [pic] = [pic].
3) Apskaičiuosime netiesioginį integralą [pic].
Pointegralinė funkcija taške x = 0 yra neaprėžtoji. Todėl:
[pic] = [pic] = [pic] = [pic].
Taigi šis integralas diverguoja.
4 uždavinys. Apskaičiuokite netiesioginius integralus:
1) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
2) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
3) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
4) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
5) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
6) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
7) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
8) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
9) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
10) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
11) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
12) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
13) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
14) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
15) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
16) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
17) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
18) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
19) [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
20) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
21) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
22) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
23) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
24) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
25) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
26) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
27) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
28) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
29) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
30) [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic]
Apibrėžtinių integralų taikymas geometrijoje
7 uždavinys. Kreivinę trapeciją riboja kreivė, Ox ašies atkarpa ir nė vienos, viena arba dvi vertikaliosios tiesės. Pavaizduokite sukinį apie Ox ašį ir 0,001 tikslumu apskaičiuokite jo tūrį Vx.
|Nr. |a variantas |
|1 |[pic], [pic] |
|2 |[pic], [pic] |
|3 |[pic], [pic] |
|4 |[pic], [pic] |
|5 |[pic], [pic] |
|6 |[pic], [pic] |
|7 |[pic], [pic] |
|8 |[pic], [pic] |
|9 |[pic], [pic] |
|10 |[pic], [pic] |
|11 |[pic] |
|12 |[pic] |
|13 |[pic] |
|Nr. |a variantas |
|14 |[pic] |
|15 |[pic] |
|16 |[pic] |
|17 |[pic] |
|18 |[pic] |
|19 |[pic] |
|20 |[pic] |
|21 |[pic] |
|22 |[pic] |
|23 |[pic] |
|24 |[pic] |
|25 |[pic] |
|26 |[pic] |
|27 |[pic] |
|28 |[pic] |
|29 |[pic] |
|30 |[pic] |
|Nr. |b variantas |
|1 |[pic] |
|2 |[pic] |
|3 |[pic] |
|4 |[pic] |
|5 |[pic] |
|6 |[pic] |
|7 |[pic] |
|8 |[pic] |
|9 |[pic] |
|10 |[pic] |
|11 |[pic] |
|12 |[pic] |
|13 |[pic] |
|Nr. |b variantas |
|14 |[pic] |
|15 |[pic] |
|16 |[pic] |
|17 |[pic] |
|18 |[pic] |
|19 |[pic] |
|20 |[pic] |
|21 |[pic] |
|22 |[pic] |
|23 |[pic] |
|24 |[pic] |
|25 |[pic] |
|26 |[pic] |
|27 |[pic] |
|28 |[pic] |
|29 |[pic] |
|30 |[pic] |
8 uždavinys. Kreivės lankas sukamas apie Ox ašį. Pavaizduokite sukimosi paviršių ir 0,001 tikslumu apskaičiuokite jo plotą Sx.
1) [pic] 2) [pic]
3) [pic] 4) [pic]
5) [pic] 6) [pic]
7) [pic] 8) [pic]
9) [pic] 10) [pic]
11) [pic] 12) [pic]
13) [pic] 14) [pic]
15) [pic]
16) [pic]
17) [pic]
18) [pic]
19) [pic]
20) [pic]
21) [pic]
22) [pic]
23) [pic]
24) [pic]
25) [pic]
26) [pic]
27) [pic]
28) [pic]
29) [pic]
30) [pic]
2. Išspręstosios užduotys
Apskaičiuokite apibrėžtinius integralus
Keičiame integravimo kintamąjį pagal lygybę t=sinx.
Tada kintamojo t rėžiai: [pic]
Tuomet [pic]
Tuomet
Iš tapatybės (–A+C)t3+(–A+B-C+D)t2+(A+2B–C–2D)t+A+B+C+D(1 rasime neapibrėžtus koeficientus A, B, C ir D, sulyginę koeficientus prie vienodų t laipsniu:
Iš šios sistemos gauname [pic]
Tuomet
Tuomet
Iš tapatybės (A+C)x3+(2A+B-2C+D)x2+(–4A+4B–4C–4D)-8A+4B+8C+4D(1 rasime neapibrėžtus koeficientus A, B, C ir D, sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsniu:
Iš šios sistemos gauname
Tuomet
Įvesime naują kintamąjį [pic]
Tuomet [pic]
Ir tuomet
Tuomet
Iš tapatybės [pic]
rasime neapibrėžtus koeficientus A, B, C ir D, sulyginę koeficientus prie vienodų t laipsniu:
Iš šios sistemos gauname [pic]
Tuomet
Įvedame naują kintamąjį [pic]
[pic]
Tuomet
Netiesioginiai integralai
Apskaičiuoti netiesioginius integralus:
1) [pic][pic]
=[pic][pic]
=[pic][pic][pic]=
=[pic]=[pic]=
= [pic]1 –[pic]= –[pic]= [pic] .
(Integralas konverguoja).
2) [pic] [pic] [pic] =[pic] [pic]
=[pic]=[pic]=
=[pic]= +[pic] .
(Integralas diverguoja).
3) [pic]
=[pic] (Integralas konverguoja).
4)
[pic]
[pic]
(Integralas konverguoja).
Apibrėžtinio integralo taikymas geometrijoje
Apskaičiuoti plotą srities, ribojamos kreivių:
1) [pic] .
Tiesės [pic] ir parabolės [pic] susikirtimo taškus rasime iš lygties
[pic]
Pagal Vietos teoremą: [pic] .
Tuomet
[pic] [pic].
2) [pic]
[pic] , tuomet [pic] .
[pic] – neegzistuoja.
[pic] [pic] .
[pic]
3) [pic]
Iš sąlygų išplaukia, kad [pic][pic].
Turime [pic], arba [pic] , iš kur išplaukia, kad
[pic] .
Tuomet [pic] .
Įveskime naują kintamąjį [pic] Tuomet [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Apskaičiuokite kreivės lanko ilgį:
1) [pic] [pic] .
[pic]
2)
[pic] 0[pic]. Iš sąlygų išplaukia, kad
[pic] .[pic]
[pic].
3)
[pic][pic]
[pic]
Apskaičiuokite tūrį sukinio, gaunamo sukant kreivę y=f(x) apie ašį Ox:
[pic]
[pic]
Apskaičiuokite sukimosi paviršių, gaunamą sukant kreivę y=f(x) apie Ox ašį:
[pic]
[pic]
=[pic]
[pic][pic]
-----------------------
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.
Related searches
- fidelity equity income ii fund
- global ii regents dbq
- aquaforno ii collapsible stove
- aquaforno ii amazon
- type ii demand ischemia
- level ii teaching certification pa
- virtual ba ii plus calculator
- ba ii plus calculator online
- english ii persuasive essay prompts
- texas instruments ba ii plus calculator
- ba ii plus user manual
- blackrock funds ii annual report