II - VGTU



II. APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS

1. Individualios užduotys:

- trumpa teorijos apžvalga,

- pavyzdžiai,

- užduotys savarankiškam darbui.

Apibrėžtinių integralų skaičiavimas............................2 psl.

Netiesioginiai integralai...............................................12 psl.

Apibrėžtinių integralų taikymas geometrijoje..........20 psl.

2. Išspręstosios užduotys

Apibrėžtinių integralų skaičiavimas ..........................27 psl.

Netiesioginiai integralai................................................35 psl.

Apibrėžtinių integralų taikymas geometrijoje...........38 psl.

1. Individualios užduotys

Apibrėžtinių integralų skaičiavimas

Jei funkcijos f(x) pirmykštė yra F(x), tai apibrėžtiniam integralui teisinga Niutono ir Leibnico formulė:

[pic].

Apibrėžtiniame integrale [pic] pakeitus integravimo kintamąjį pagal lygybę [pic] arba t=u(x), reikia apskaičiuoti ir naujus integravimo rėžius: t1 = u(a), t2 = u(b).

Tuomet

[pic] = [pic].

Integravimo dalimis formulė apibrėžtiniam integralui yra tokia:

[pic].

Apibrėžtinis integralas [pic] pasižymi adityvumo savybe:

[pic] = [pic] + [pic]

Pavyzdžiai

1) [pic]

2) [pic] = [pic] – [pic] = [pic] = [pic].

Keičiame integravimo kintamąjį pagal lygybę: t = 1 + x2. Kintamojo t rėžiai: t1 = 1, t2 = 2.

Tuomet gauname:

[pic] = [pic] = [pic].

2 uždavinys. Apskaičiuokite apibrėžtinius integralus

1) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

2) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

3) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

4) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

5) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

6) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

7) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

8) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

9)[pic], [pic],

[pic], [pic], [pic]

10) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

11) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

12) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

13) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

14) [pic], [pic],

[pic], [pic], [pic]

15) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

16) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

17) [pic], [pic],

[pic], [pic], [pic]

18) [pic], , [pic],

[pic], [pic]

19) [pic], [pic], [pic],

20)

21) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

22) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

23) [pic],

[pic], [pic], [pic]

[pic] [pic]

24) [pic], [pic],

[pic], [pic], [pic]

25) [pic],[pic],

[pic], [pic], [pic]

26) [pic], [pic],

[pic], [pic], [pic]

27) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

28) [pic], [pic],

[pic], [pic], [pic]

29) [pic], [pic], [pic],

[pic], [pic]

30) [pic], [pic],

[pic], [pic], [pic]

Netiesioginiai integralai

Netiesioginiais vadinami integralai su begaliniais rėžiais arba neaprėžtosios funkcijos integralai. Jų apibrėžimai:

[pic], [pic],

[pic];

jei a yra pointegralinės funkcijos f(x) begalinio trūkio taškas [pic], tai

[pic];

jei b yra f(x) begalinio trūkio taškas, tai

[pic];

jei c yra funkcijos f(x) begalinio trūkio taškas (a < c < b), tai

[pic] + [pic].

Kai užrašytosios ribos yra skaičiai, netiesioginiai integralai vadinami konverguojančiaisiais, o kai ribos yra begalinės arba neegzistuoja, netiesioginiai integralai vadinami diverguojančiaisiais.

Netiesioginis integralas geometriškai reiškia begalinės srities plotą.

Pavyzdžiai

1) Apskaičiuosime netiesioginį integralą [pic].

Pagal apibrėžimą: [pic] [pic] = [pic] =

= [pic]= 1.

2) Apskaičiuosime netiesioginį integralą [pic].

Kadangi pointegralinė funkcija yra lyginė, tai:

[pic] = [pic] = [pic] =

= [pic] = [pic] = [pic].

3) Apskaičiuosime netiesioginį integralą [pic].

Pointegralinė funkcija taške x = 0 yra neaprėžtoji. Todėl:

[pic] = [pic] = [pic] = [pic].

Taigi šis integralas diverguoja.

4 uždavinys. Apskaičiuokite netiesioginius integralus:

1) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

2) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

3) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

4) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

5) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

6) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

7) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

8) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

9) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

10) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

11) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

12) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

13) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

14) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

15) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

16) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

17) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

18) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

19) [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

20) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

21) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

22) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

23) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

24) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

25) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

26) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

27) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

28) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

29) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

30) [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic]

Apibrėžtinių integralų taikymas geometrijoje

7 uždavinys. Kreivinę trapeciją riboja kreivė, Ox ašies atkarpa ir nė vienos, viena arba dvi vertikaliosios tiesės. Pavaizduokite sukinį apie Ox ašį ir 0,001 tikslumu apskaičiuokite jo tūrį Vx.

|Nr. |a variantas |

|1 |[pic], [pic] |

|2 |[pic], [pic] |

|3 |[pic], [pic] |

|4 |[pic], [pic] |

|5 |[pic], [pic] |

|6 |[pic], [pic] |

|7 |[pic], [pic] |

|8 |[pic], [pic] |

|9 |[pic], [pic] |

|10 |[pic], [pic] |

|11 |[pic] |

|12 |[pic] |

|13 |[pic] |

|Nr. |a variantas |

|14 |[pic] |

|15 |[pic] |

|16 |[pic] |

|17 |[pic] |

|18 |[pic] |

|19 |[pic] |

|20 |[pic] |

|21 |[pic] |

|22 |[pic] |

|23 |[pic] |

|24 |[pic] |

|25 |[pic] |

|26 |[pic] |

|27 |[pic] |

|28 |[pic] |

|29 |[pic] |

|30 |[pic] |

|Nr. |b variantas |

|1 |[pic] |

|2 |[pic] |

|3 |[pic] |

|4 |[pic] |

|5 |[pic] |

|6 |[pic] |

|7 |[pic] |

|8 |[pic] |

|9 |[pic] |

|10 |[pic] |

|11 |[pic] |

|12 |[pic] |

|13 |[pic] |

|Nr. |b variantas |

|14 |[pic] |

|15 |[pic] |

|16 |[pic] |

|17 |[pic] |

|18 |[pic] |

|19 |[pic] |

|20 |[pic] |

|21 |[pic] |

|22 |[pic] |

|23 |[pic] |

|24 |[pic] |

|25 |[pic] |

|26 |[pic] |

|27 |[pic] |

|28 |[pic] |

|29 |[pic] |

|30 |[pic] |

8 uždavinys. Kreivės lankas sukamas apie Ox ašį. Pavaizduokite sukimosi paviršių ir 0,001 tikslumu apskaičiuokite jo plotą Sx.

1) [pic] 2) [pic]

3) [pic] 4) [pic]

5) [pic] 6) [pic]

7) [pic] 8) [pic]

9) [pic] 10) [pic]

11) [pic] 12) [pic]

13) [pic] 14) [pic]

15) [pic]

16) [pic]

17) [pic]

18) [pic]

19) [pic]

20) [pic]

21) [pic]

22) [pic]

23) [pic]

24) [pic]

25) [pic]

26) [pic]

27) [pic]

28) [pic]

29) [pic]

30) [pic]

2. Išspręstosios užduotys

Apskaičiuokite apibrėžtinius integralus

Keičiame integravimo kintamąjį pagal lygybę t=sinx.

Tada kintamojo t rėžiai: [pic]

Tuomet [pic]

Tuomet

Iš tapatybės (–A+C)t3+(–A+B-C+D)t2+(A+2B–C–2D)t+A+B+C+D(1 rasime neapibrėžtus koeficientus A, B, C ir D, sulyginę koeficientus prie vienodų t laipsniu:

Iš šios sistemos gauname [pic]

Tuomet

Tuomet

Iš tapatybės (A+C)x3+(2A+B-2C+D)x2+(–4A+4B–4C–4D)-8A+4B+8C+4D(1 rasime neapibrėžtus koeficientus A, B, C ir D, sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsniu:

Iš šios sistemos gauname

Tuomet

Įvesime naują kintamąjį [pic]

Tuomet [pic]

Ir tuomet

Tuomet

Iš tapatybės [pic]

rasime neapibrėžtus koeficientus A, B, C ir D, sulyginę koeficientus prie vienodų t laipsniu:

Iš šios sistemos gauname [pic]

Tuomet

Įvedame naują kintamąjį [pic]

[pic]

Tuomet

Netiesioginiai integralai

Apskaičiuoti netiesioginius integralus:

1) [pic][pic]

=[pic][pic]

=[pic][pic][pic]=

=[pic]=[pic]=

= [pic]1 –[pic]= –[pic]= [pic] .

(Integralas konverguoja).

2) [pic] [pic] [pic] =[pic] [pic]

=[pic]=[pic]=

=[pic]= +[pic] .

(Integralas diverguoja).

3) [pic]

=[pic] (Integralas konverguoja).

4)

[pic]

[pic]

(Integralas konverguoja).

Apibrėžtinio integralo taikymas geometrijoje

Apskaičiuoti plotą srities, ribojamos kreivių:

1) [pic] .

Tiesės [pic] ir parabolės [pic] susikirtimo taškus rasime iš lygties

[pic]

Pagal Vietos teoremą: [pic] .

Tuomet

[pic] [pic].

2) [pic]

[pic] , tuomet [pic] .

[pic] – neegzistuoja.

[pic] [pic] .

[pic]

3) [pic]

Iš sąlygų išplaukia, kad [pic][pic].

Turime [pic], arba [pic] , iš kur išplaukia, kad

[pic] .

Tuomet [pic] .

Įveskime naują kintamąjį [pic] Tuomet [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Apskaičiuokite kreivės lanko ilgį:

1) [pic] [pic] .

[pic]

2)

[pic] 0[pic]. Iš sąlygų išplaukia, kad

[pic] .[pic]

[pic].

3)

[pic][pic]

[pic]

Apskaičiuokite tūrį sukinio, gaunamo sukant kreivę y=f(x) apie ašį Ox:

[pic]

[pic]

Apskaičiuokite sukimosi paviršių, gaunamą sukant kreivę y=f(x) apie Ox ašį:

[pic]

[pic]

=[pic]

[pic][pic]

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download