ANÁLISE COMBINATÓRIA



“A persistência é o menor caminho do êxito.”

Charles Chaplin

Aula 4

PROBABILIDADE

Probabilidade é à parte da matemática que estuda problemas aleatórios.

2 – ESPAÇO AMOSTRAL

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Exemplos:

a) Lançar um dado e observar a face voltada para cima.

S = {1,2 3, 4, 5, 6}

n(S) = 6

b) Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.

A face que ficará para cima poderá ser cara ou coroa.

n(S) = 2

c) lançar um dado e uma moeda e observar a face voltada para cima.

|D/M |1 |2 |3 |4 |5 |6 |

|C |C,1 |C,2 |C,3 |C,4 |C,5 |C,6 |

|k |K,1 |K,2 |K,3 |K,4 |K,5 |K,6 |

n(S) = 2.6 = 12

d) O espaço amostral no lançamento de dois dados é dado por:

| D2 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |

|D1 | | | | | | |

|1 |(1,1) |(1,2) |(1,3) |(1,4) |(1,5) |(1,6) |

|2 |(2,1) |(2,2) |(2,3) |(2,4) |(2,5) |(2,6) |

|3 |(3,1) |(3,2) |(3,3) |(3,4) |(3,5) |(3,6) |

|4 |(4,1) |(4,2) |(4,3) |(4,4) |(4,5) |(4,6) |

|5 |(5,1) |(5,2) |(5,3) |(5,4) |(5,5) |(5,6) |

|6 |(6,1) |(6,2) |(6,3) |(6,4) |(6,5) |(6,6) |

Logo: n (S) = 36= 6.6

e)Determinar o espaço amostral, retirar duas bolas sem reposição de uma urna que contém 10.

n(S) = C10,2 = 45

RESUMO DOS PRINCIPAIS CASOS:

|CASO |ESPAÇOSAMOSTRAL(S) |N (S) |

|Lançamento de uma |(cara, coroa) – (c, k) |2 |

|moeda | | |

|Lançamento de duas |[(c,c)], (c,k), (k,c), (k,k)] |2 . 2 = 4 |

|moedas | | |

|Lançamento de n moedas |2n |

|Lançamento de um |(1, 2, 3, 4, 5, 6) |6 |

|dado | | |

|Lançamento de n dados |6n |

|Lançamento de n dados e m moedas |2n . 6m |

|Concepção de um |(homem, mulher) – (h,m) |2 |

|embrião | | |

|Concepção de n embriões |2n |

3 – EVENTOS (E):

São todos os casos favoráveis a um experimento aleatório.

Exemplos:

1) No lançamento de dois dados determine o evento sair números iguais nas faces voltadas para cima.

E = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}

n(E) = 6

2) No lançamento de um dado, determine o evento sair número:

a) sair número maior que 4.

b) sair número maior que e menor que 5.

d) Sair número par o ímpar

e) Sair número par e ímpar

Eventos mutuamente exclusivos

São eventos que se completam, não possuindo elemento em comum.

Ex: números pares e números ímpares

4 – DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE

Probabilidade = n° de casos favoráveis

n° de casos possíveis

P = [pic]

Onde:

n(S) = número de elementos do espaço do amostral. espaço evento.

A probabilidade de um evento pode vir expressa em:

- Fração 1/4

- número decimal 0,25

- porcentagem 25%

-

A probabilidade é um valor que está compreendido entre:

0 e 1, inclusive, ou entre 0% e 100%, inclusive.

Exercícios

3) No lançamento de um dado qual é a chance de obtermos na face voltada para cima um n° par?

4) No lançamento de 2 dados qual é a probabilidade que as faces voltadas para cima apresentem o mesmo número?

05 – PROBABILIDADE DA SOMA(ou)

Dados dois eventos, a probabilidade de que ocorram A ou B é igual a:

P(A(B) = P(A) + P(B) - P(A[pic]B)

Se os eventos são mutuamente exclusivos, então teremos:

P(A(B) = P(A) + P(B)

5) No lançamento de um dado qual é a probabilidade de obtermos:

a) um número ímpar e menor do que 4.

b)Um número par ou maior do que 4.

c)Um número par ou ímpar.

d)Um número par e ímpar.

e)Um número maior que 6.

06 – PROBABILIDADE DA MULTIPLICAÇÃO

Dados dois eventos, a probabilidade de que ocorram A e B é igual a:

P(A[pic]B) = P(A) . P(B/A)

Eventos independentes

Dois eventos, A e B, são independentes quando ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.

Quando A e B são eventos independentes, a probabilidade de que ocorram A e B fica igual a:

P(A[pic]B) = P(A) . P(B)

Exemplo:

6) Uma urna possui 10 B.V e 8 BA. Jurubira pretende retirar duas bolas dessa urna, então responda:

a) Qual é a probabilidade de que as bolas retiradas sem reposição sejam verdes.

b) Qual é a probabilidade de que as bolas retiradas com reposição sejam verdes.

7 – PROBABILIDADE DE EVENTOS COMPLEMENTARES

Se os eventos são mutuamente exclusivos, então teremos:

P(A) + P(B) = 100%

Exemplo:

7) Pardoca tem 20% de chance de não estar vivo daqui a 40 anos. Qual é a probabilidade de que ele esteja vivo.

8) A chance de Vitória ser convidada por Pedro para uma festa é de 30% e a chance dela ser convidada por Carlos é de 20%. Qual é a chance de que ela não seja convidada por nenhum dos dois?

8 – DISTRIBUÍ ÇÃO BINOMINAL

Se a probabilidade dos eventos A e B forem, respectivamente, P(A) = a e P(B) = b, então a probabilidade de ocorrer o evento A exatamente p vezes em n tentativas será dada por:

P(A) = Cn,p. (a)p.(b)n - p

Exemplo:

9 -Lance uma moeda 7 vezes, qual é a probabilidade de saírem, exatamente 4 coroas?

Resolução:

Usando a regra:

9 – PROBABILIDADE CONDICIONAL

Está relacionado a eventos que para ocorrerem, estão condicionados a ocorrência de um outro evento.

P(B/A) = [pic]

(probabilidade de ocorrer B tendo ocorrido A)

Exemplo:

10-Uma escola tem 1000 alunos. 400 alunos gostam de matemática; 800 gostam de português; 300 das duas. Ao escolhermos um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de que ele:

a) goste apenas de matemática.

Resolução:

c) goste de matemática sabendo que ele gosta de português.

MAIS QUESTÕES COM PROBABILIDADE

11 – (CESGRANRIO) Beraldo espera ansiosamente o convite de um de seus três amigos, Adalton, Cauan e Délius, para participarem de um jogo de futebol. A probabilidade de que Adalton convide Beraldo para participar do jogo é de 25%, a de que Cauan o convide é de 40% e a de que Délius o faça é de 50%. Sabendo que os convites são feitos de forma totalmente independente entre si, a probabilidade de que Beraldo não seja convidado por nenhum dos três amigos para o jogo de futebol é:

a) 12,5%

b) 15,5%

c) 22,5%

d) 25,5%

e) 30%

12-(ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é [pic]. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é [pic]. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:

a)[pic] b)[pic] c)[pic] d)[pic] e) [pic]

13-(CESGRANRIO) São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas?

a) 25% b) 37,5% c) 42% d) 44,5% e) 50%

14-( ESAF) Um dado de seis faces numeradas de 1 a 6 é viciado de modo que, quando lançado, a probabilidade de ocorrer uma face par qualquer é 300% maior do que a probabilidade de ocorrer uma face ímpar qualquer. Em dois lançamentos desse dado, a probabilidade de que ocorram exatamente uma face par e uma face impar (não necessariamente nesta ordem) é igual a:

15 – (ESAF) – Em um grupo de cinco crianças, duas delas não podem comer doces. Duas caixas de doces serão sorteadas para duas diferentes crianças desse grupo ( uma caixa para uma das duas crianças). A probabilidade de que duas caixas de doces sejam sorteadas exatamente para duas crianças que podem comer doces é:

a) 0,10 b)0,20 c)0,25 d)0,30 e)0,60

Resolução:

16-Uma caixa contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando-se uma delas, qual é a chance de que ela tenha um numero múltiplo de 5?

a)1/5 b)1/3 c)1/2 d)1/7 e)1/20

17- Um dado é jogado e a face de cima é observada. Qual é a probabilidade de que ocorra um numero maior que 4?

a) ½ b)1/3 c)20% d)30% e) 2

18- Um globo contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Sorteando-se uma delas, qual é a probabilidade de que ela tenha um número que seja múltiplo de 2 ou 3?

a)2/3 b)3/4 c)7/25 d)7/10 e)1/10

18– Uma escola tem 500 estudantes. 80 estudam Matemática, 150 estudam Geografia e 10 estudam as duas disciplinas. Um aluno é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de que ele estude Geografia, mas não estude matemática?

a)5/3 b)3/4 c)4/5 d)7/10 e)1/10

19 - Uma escola tem 500 estudantes . 80 estudam matemática, 150 estudam direito e 10 estudam as duas disciplinas. Um aluno é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de que estude direito, sabendo-se que ele estuda matemática?

a)5/3 b) ¼ c)3 d)1/8 e)1

20 – Um globo contém 5 bolas verdes e 3 bolas azuis. Duas bolas são retiradas ao acaso e sem reposição. Qual é a probabilidade de que as duas bolas sejam azuis?

a) 1/7 b)1/14 c)2/5 d)2/21 e)3/28

21 - Seis moças, entre elas Maria e Paula, são dispostas em fila ao acaso. Qual a probabilidade de Maria e Paula ficarem uma ao lado da outra?

a)1/3 b)2/5 c)1/2 d)3/4 e)5/7

22- Uma moeda é jogada 6 vezes. Qual é a probabilidade de que ocorram exatamente 3 coroas?

a)5/11 b)1/16 c)3/8 d)3/5 e)5/16

23 – Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é:

a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic] e) [pic]

24-(CESGRANRIO) Em uma sala de aula estão 10 crianças sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das crianças são sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de as três crianças sorteadas serem do mesmo sexo é:

a) 15%

b) 20%

c) 25%

d) 30%

e) 35%

25 -(FCC) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a:

a) [pic]

b) [pic]

c)[pic]

d)[pic]

e)[pic]

26 - (ESAF) em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez pessoas dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7das pessoas selecionadas possuem carro importado é:

a) (0,1)7 (0,9)3

b) (0,1)3 (0,9)7

c) 120 (0,1)7 (0,9)3

d) 120 (0,1) (0,9)7

e) 120 (0,1)7 (0,9)[pic]

27 – (CESGRANRIO)Num sorteio concorrem 50 bilhetes com números de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado é múltiplo de 5. A probabilidade de o número sorteado ser 25 é:

a) 15%

b) 5%

c) 10%

d) 30%

e) 20%

28-(FUNIVERSA – 2009) Dados do DETRAN/DF, mostram que , em 2008, das 1.063 vítima de acidentes envolvendo ônibus, 1.013 tiveram apenas ferimentos e 50 perderam a vida, sendo 45 homens e 5 mulheres.

De acordo com os dados apresentados, escolhendo-se uma vítima fatal, qual é a probabilidade de que ela seja mulher é de:

a)1/9

b) 1/10

c) 9/10

d) 1/1.013

e) 1/ 1.063

29- (CESEPE – TCU)

[pic]

30 –( IADES -2010) Na Copa do Mundo de 2010 da FIFA, o Brasil ficou no grupo G junto com as seleções da Corea do Norte, Costa do Marfim e Portugal. Analisando o resultado de jogos anteriores entre Brasil e Portugal, um torcedor concluiu que a chance do Brasil ganhar é três vezes maior do que a chance do perder e que a chance de empatar é metade da chance do Brasil perder. Para aquele torcedor a probabilidade de o Brasil perder um jogo jogando com Portugal é:

a)1/9 b)2/9 c)3/9 d)4/9

31-(CESGRANRIO-CAIXA – 2008)

[pic]

32- (CESGRANRIO-BNDES-2010)

[pic]

33- (CESGRANRIO-BNDES-2009)

[pic]

34- CESGRANRIO – EPE – 2009)

[pic]

(35-REFAP – 2007-CESGRANRIO)

[pic]

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download