ANÁLISE COMBINATÓRIA
“A persistência é o menor caminho do êxito.”
Charles Chaplin
Aula 4
PROBABILIDADE
Probabilidade é à parte da matemática que estuda problemas aleatórios.
2 – ESPAÇO AMOSTRAL
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Exemplos:
a) Lançar um dado e observar a face voltada para cima.
S = {1,2 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
b) Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.
A face que ficará para cima poderá ser cara ou coroa.
n(S) = 2
c) lançar um dado e uma moeda e observar a face voltada para cima.
|D/M |1 |2 |3 |4 |5 |6 |
|C |C,1 |C,2 |C,3 |C,4 |C,5 |C,6 |
|k |K,1 |K,2 |K,3 |K,4 |K,5 |K,6 |
n(S) = 2.6 = 12
d) O espaço amostral no lançamento de dois dados é dado por:
| D2 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |
|D1 | | | | | | |
|1 |(1,1) |(1,2) |(1,3) |(1,4) |(1,5) |(1,6) |
|2 |(2,1) |(2,2) |(2,3) |(2,4) |(2,5) |(2,6) |
|3 |(3,1) |(3,2) |(3,3) |(3,4) |(3,5) |(3,6) |
|4 |(4,1) |(4,2) |(4,3) |(4,4) |(4,5) |(4,6) |
|5 |(5,1) |(5,2) |(5,3) |(5,4) |(5,5) |(5,6) |
|6 |(6,1) |(6,2) |(6,3) |(6,4) |(6,5) |(6,6) |
Logo: n (S) = 36= 6.6
e)Determinar o espaço amostral, retirar duas bolas sem reposição de uma urna que contém 10.
n(S) = C10,2 = 45
RESUMO DOS PRINCIPAIS CASOS:
|CASO |ESPAÇOSAMOSTRAL(S) |N (S) |
|Lançamento de uma |(cara, coroa) – (c, k) |2 |
|moeda | | |
|Lançamento de duas |[(c,c)], (c,k), (k,c), (k,k)] |2 . 2 = 4 |
|moedas | | |
|Lançamento de n moedas |2n |
|Lançamento de um |(1, 2, 3, 4, 5, 6) |6 |
|dado | | |
|Lançamento de n dados |6n |
|Lançamento de n dados e m moedas |2n . 6m |
|Concepção de um |(homem, mulher) – (h,m) |2 |
|embrião | | |
|Concepção de n embriões |2n |
3 – EVENTOS (E):
São todos os casos favoráveis a um experimento aleatório.
Exemplos:
1) No lançamento de dois dados determine o evento sair números iguais nas faces voltadas para cima.
E = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
n(E) = 6
2) No lançamento de um dado, determine o evento sair número:
a) sair número maior que 4.
b) sair número maior que e menor que 5.
d) Sair número par o ímpar
e) Sair número par e ímpar
Eventos mutuamente exclusivos
São eventos que se completam, não possuindo elemento em comum.
Ex: números pares e números ímpares
4 – DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
Probabilidade = n° de casos favoráveis
n° de casos possíveis
P = [pic]
Onde:
n(S) = número de elementos do espaço do amostral. espaço evento.
A probabilidade de um evento pode vir expressa em:
- Fração 1/4
- número decimal 0,25
- porcentagem 25%
-
A probabilidade é um valor que está compreendido entre:
0 e 1, inclusive, ou entre 0% e 100%, inclusive.
Exercícios
3) No lançamento de um dado qual é a chance de obtermos na face voltada para cima um n° par?
4) No lançamento de 2 dados qual é a probabilidade que as faces voltadas para cima apresentem o mesmo número?
05 – PROBABILIDADE DA SOMA(ou)
Dados dois eventos, a probabilidade de que ocorram A ou B é igual a:
P(A(B) = P(A) + P(B) - P(A[pic]B)
Se os eventos são mutuamente exclusivos, então teremos:
P(A(B) = P(A) + P(B)
5) No lançamento de um dado qual é a probabilidade de obtermos:
a) um número ímpar e menor do que 4.
b)Um número par ou maior do que 4.
c)Um número par ou ímpar.
d)Um número par e ímpar.
e)Um número maior que 6.
06 – PROBABILIDADE DA MULTIPLICAÇÃO
Dados dois eventos, a probabilidade de que ocorram A e B é igual a:
P(A[pic]B) = P(A) . P(B/A)
Eventos independentes
Dois eventos, A e B, são independentes quando ocorrência de um deles não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
Quando A e B são eventos independentes, a probabilidade de que ocorram A e B fica igual a:
P(A[pic]B) = P(A) . P(B)
Exemplo:
6) Uma urna possui 10 B.V e 8 BA. Jurubira pretende retirar duas bolas dessa urna, então responda:
a) Qual é a probabilidade de que as bolas retiradas sem reposição sejam verdes.
b) Qual é a probabilidade de que as bolas retiradas com reposição sejam verdes.
7 – PROBABILIDADE DE EVENTOS COMPLEMENTARES
Se os eventos são mutuamente exclusivos, então teremos:
P(A) + P(B) = 100%
Exemplo:
7) Pardoca tem 20% de chance de não estar vivo daqui a 40 anos. Qual é a probabilidade de que ele esteja vivo.
8) A chance de Vitória ser convidada por Pedro para uma festa é de 30% e a chance dela ser convidada por Carlos é de 20%. Qual é a chance de que ela não seja convidada por nenhum dos dois?
8 – DISTRIBUÍ ÇÃO BINOMINAL
Se a probabilidade dos eventos A e B forem, respectivamente, P(A) = a e P(B) = b, então a probabilidade de ocorrer o evento A exatamente p vezes em n tentativas será dada por:
P(A) = Cn,p. (a)p.(b)n - p
Exemplo:
9 -Lance uma moeda 7 vezes, qual é a probabilidade de saírem, exatamente 4 coroas?
Resolução:
Usando a regra:
9 – PROBABILIDADE CONDICIONAL
Está relacionado a eventos que para ocorrerem, estão condicionados a ocorrência de um outro evento.
P(B/A) = [pic]
(probabilidade de ocorrer B tendo ocorrido A)
Exemplo:
10-Uma escola tem 1000 alunos. 400 alunos gostam de matemática; 800 gostam de português; 300 das duas. Ao escolhermos um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de que ele:
a) goste apenas de matemática.
Resolução:
c) goste de matemática sabendo que ele gosta de português.
MAIS QUESTÕES COM PROBABILIDADE
11 – (CESGRANRIO) Beraldo espera ansiosamente o convite de um de seus três amigos, Adalton, Cauan e Délius, para participarem de um jogo de futebol. A probabilidade de que Adalton convide Beraldo para participar do jogo é de 25%, a de que Cauan o convide é de 40% e a de que Délius o faça é de 50%. Sabendo que os convites são feitos de forma totalmente independente entre si, a probabilidade de que Beraldo não seja convidado por nenhum dos três amigos para o jogo de futebol é:
a) 12,5%
b) 15,5%
c) 22,5%
d) 25,5%
e) 30%
12-(ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é [pic]. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é [pic]. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:
a)[pic] b)[pic] c)[pic] d)[pic] e) [pic]
13-(CESGRANRIO) São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas?
a) 25% b) 37,5% c) 42% d) 44,5% e) 50%
14-( ESAF) Um dado de seis faces numeradas de 1 a 6 é viciado de modo que, quando lançado, a probabilidade de ocorrer uma face par qualquer é 300% maior do que a probabilidade de ocorrer uma face ímpar qualquer. Em dois lançamentos desse dado, a probabilidade de que ocorram exatamente uma face par e uma face impar (não necessariamente nesta ordem) é igual a:
15 – (ESAF) – Em um grupo de cinco crianças, duas delas não podem comer doces. Duas caixas de doces serão sorteadas para duas diferentes crianças desse grupo ( uma caixa para uma das duas crianças). A probabilidade de que duas caixas de doces sejam sorteadas exatamente para duas crianças que podem comer doces é:
a) 0,10 b)0,20 c)0,25 d)0,30 e)0,60
Resolução:
16-Uma caixa contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando-se uma delas, qual é a chance de que ela tenha um numero múltiplo de 5?
a)1/5 b)1/3 c)1/2 d)1/7 e)1/20
17- Um dado é jogado e a face de cima é observada. Qual é a probabilidade de que ocorra um numero maior que 4?
a) ½ b)1/3 c)20% d)30% e) 2
18- Um globo contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Sorteando-se uma delas, qual é a probabilidade de que ela tenha um número que seja múltiplo de 2 ou 3?
a)2/3 b)3/4 c)7/25 d)7/10 e)1/10
18– Uma escola tem 500 estudantes. 80 estudam Matemática, 150 estudam Geografia e 10 estudam as duas disciplinas. Um aluno é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de que ele estude Geografia, mas não estude matemática?
a)5/3 b)3/4 c)4/5 d)7/10 e)1/10
19 - Uma escola tem 500 estudantes . 80 estudam matemática, 150 estudam direito e 10 estudam as duas disciplinas. Um aluno é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de que estude direito, sabendo-se que ele estuda matemática?
a)5/3 b) ¼ c)3 d)1/8 e)1
20 – Um globo contém 5 bolas verdes e 3 bolas azuis. Duas bolas são retiradas ao acaso e sem reposição. Qual é a probabilidade de que as duas bolas sejam azuis?
a) 1/7 b)1/14 c)2/5 d)2/21 e)3/28
21 - Seis moças, entre elas Maria e Paula, são dispostas em fila ao acaso. Qual a probabilidade de Maria e Paula ficarem uma ao lado da outra?
a)1/3 b)2/5 c)1/2 d)3/4 e)5/7
22- Uma moeda é jogada 6 vezes. Qual é a probabilidade de que ocorram exatamente 3 coroas?
a)5/11 b)1/16 c)3/8 d)3/5 e)5/16
23 – Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é:
a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic] e) [pic]
24-(CESGRANRIO) Em uma sala de aula estão 10 crianças sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das crianças são sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de as três crianças sorteadas serem do mesmo sexo é:
a) 15%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 35%
25 -(FCC) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a:
a) [pic]
b) [pic]
c)[pic]
d)[pic]
e)[pic]
26 - (ESAF) em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez pessoas dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7das pessoas selecionadas possuem carro importado é:
a) (0,1)7 (0,9)3
b) (0,1)3 (0,9)7
c) 120 (0,1)7 (0,9)3
d) 120 (0,1) (0,9)7
e) 120 (0,1)7 (0,9)[pic]
27 – (CESGRANRIO)Num sorteio concorrem 50 bilhetes com números de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado é múltiplo de 5. A probabilidade de o número sorteado ser 25 é:
a) 15%
b) 5%
c) 10%
d) 30%
e) 20%
28-(FUNIVERSA – 2009) Dados do DETRAN/DF, mostram que , em 2008, das 1.063 vítima de acidentes envolvendo ônibus, 1.013 tiveram apenas ferimentos e 50 perderam a vida, sendo 45 homens e 5 mulheres.
De acordo com os dados apresentados, escolhendo-se uma vítima fatal, qual é a probabilidade de que ela seja mulher é de:
a)1/9
b) 1/10
c) 9/10
d) 1/1.013
e) 1/ 1.063
29- (CESEPE – TCU)
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30 –( IADES -2010) Na Copa do Mundo de 2010 da FIFA, o Brasil ficou no grupo G junto com as seleções da Corea do Norte, Costa do Marfim e Portugal. Analisando o resultado de jogos anteriores entre Brasil e Portugal, um torcedor concluiu que a chance do Brasil ganhar é três vezes maior do que a chance do perder e que a chance de empatar é metade da chance do Brasil perder. Para aquele torcedor a probabilidade de o Brasil perder um jogo jogando com Portugal é:
a)1/9 b)2/9 c)3/9 d)4/9
31-(CESGRANRIO-CAIXA – 2008)
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32- (CESGRANRIO-BNDES-2010)
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33- (CESGRANRIO-BNDES-2009)
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34- CESGRANRIO – EPE – 2009)
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(35-REFAP – 2007-CESGRANRIO)
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