PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO



TEORIA DOS JOGOS

Segunda Lista de Exercícios – 2º semestre de 2008

Professor: Antônio Marcos Hoelz Ambrózio

Monitor: Christiam Gonzales

TODOS OS EXERCÍCIOS DEVEM SER FEITOS

EXERCÍCIOS QUE DEVEM SER ENTREGUES: 1, 3, 4, 7, 8, 10, 11.

Entregar ate 10/09.

2º Lista de exercícios

1) Defina o espaço estratégico de cada jogador para cada jogo abaixo.

2) Uma mãe deve repartir um pedaço de bolo entre suas duas filhas. Prevendo que sofreria com as incansáveis queixas de que o pedaço da outra é maior, ela resolveu dividir este bolo da seguinte maneira: uma das filhas reparte o bolo em dois pedaços e a outra escolhe qual pedaço ficará com ela e qual ficará com sua irmã.

a) Defina o espaço estratégico deste jogo entre as filhas desta pobre senhora.

b) Resolva por indução retroativa dizendo o que ocorre em cada nó deste jogo.

Este modo de repartir o bolo é eficiente para a mãe no sentido de que ela poderá dormir sem ficar escutando nenhuma reclamação?

3) Dois profissionais estão interessados em participar da reurbanização de um bairro, que está sendo feito pela “Melhor-Vida”. Para tal, eles criam uma firma “Inova Consultores”. A empresa que está contratando os consultores exige que, por falta de reconhecida experiência, eles apresentem um pré-projeto bastante detalhado daquilo que eles se proporiam a fazer. O desenvolvimento deste pré-projeto implica em uma despesa para a “Inova Consultores”. Estima-se que, no mínimo, os profissionais precisem incorrer num gasto de $ I (custo da mão-de-obra, custo do material a ser utilizado, xerox, etc...), para o desenvolvimento de um pré-projeto de excelente qualidade que garantirá a contratação da “Inova Consultores”. Caso contratada, cada sócio receberá $ R.

Suponha que os sócios da “Inova Consultores” participam do seguinte jogo a fim de determinar suas contribuições (não-negativas): em um primeiro momento, o profissional 1 escolhe sua contribuição I1. Caso seja I1 ( I o pré-projeto fica excelente, a “Inova Consultores” é contratada e cada jogador recebe $ R. Caso a contribuição de 1 não seja suficiente, em um segundo instante o jogador 2, após observar a escolha de 1, deve decidir qual será sua contribuição I2.

Se for (I1 + I2) ( I, o pré-projeto fica excelente e cada jogador recebe $R. No caso de

(I1 + I2) < I, o pré-projeto não é suficiente bom para a contratação da “Inova Consultores”. Em cada caso, o profissional tem o custo de sua contribuição (por exemplo, se o projeto não chega a ser concluído e o jogador 1 investiu I1 seu ganho final será - I1).

Suponha ainda que seja importante para os profissionais acumularem experiências na execução de projetos. Assim o ganho líquido zero com a conclusão do projeto é preferível a não participação.

a) Descreva o conjunto de estratégias de cada jogador.

b) Encontre o(s) Equilíbrio(s) de Nash Perfeito em Subjogos nos seguintes casos:

1) R > I

2) R = (3/4).I

OBS: Descreva as estratégias de equilíbrio.

c) É possível encontrar algum Equilíbrio de Nash em algum dos casos (b1) ou (b2) acima no qual o jogador 1 invista 90% do custo do projeto (isto é, I1 = (0,9).I)? Justifique sua resposta (se não for possível, explique porque, e se for construa um equilíbrio desse tipo).

4) Considere uma situação onde um Comprador e um Vendedor potenciais desejam negociar. Antes da transação ser realizada, o Comprador pode fazer um investimento que aumenta o valor que ele Comprador atribui ao objeto, mas não o valor que o Vendedor atribui ao objeto (que por hipótese é zero). O valor inicial que o Comprador atribui ao objeto é dado por V > 0, um investimento de I aumenta o valor do objeto para (V + I), mas isso custa ao comprador I2, onde supomos que I pertence ao intervalo [0,1]. A sequência do jogo é a seguinte: o Comprador escolhe o nível de investimento a ser realizado (e incorre no custo associado a este). O Vendedor, após observar o investimento I escolhido, determina o preço de venda P. Finalmente, o Comprador observa o preço cobrado e decide se paga aquele preço ou não: se pagar, o negócio é realizado tendo o Comprador um pay-off de V+I-P- I2 e o Vendedor um pay-off de P; caso o Comprador não aceite o preço não há negócio tendo então o Comprador um pay-off de (- I2 ) e o Vendedor um pay-off de 0 (suponha que se o Comprador fica indiferente entre pagar o preço ou não, ele paga e realiza o negócio). Supondo jogadores racionais e a estrutura do jogo de conhecimento comum, responda:

a) Descreva o conjunto de estratégias de ambos os jogadores.

b) Encontre o(s) Equilíbrio(s) de Nash Perfeito(s) em Subjogos (solução por indução retroativa) do jogo.

c) Considere uma modificação do jogo acima supondo que o investimento realizado pelo Comprador gere externalidades positivas para o Vendedor. Mais especificamente, suponha que quando o Comprador investe um montante I o Vendedor tem um ganho (independente do preço negociado ou mesmo quando não há transação) de I/2. Como isso modificaria a estratégia de equilíbrio do Vendedor encontrada no item anterior? Justifique sua resposta.

d) Suponha que nas condições do item (c) (externalidade) o Vendedor tenha a opção de assinar ex-ante um contrato (que deve ser obrigatoriamente cumprido) onde ele se comprometa a cobrar um preço igual a V. Seria racional assinar este contrato? Justifique.

5) Duas firmas [pic] e [pic] estão em um mercado. As firmas podem operar sozinhas, num monopólio, ou em competição, num duopólio. No início do período, cada firma decide continuar ou não no mercado. Uma vez fora do mercado a firma recebe lucro zero. Se decidir permanecer, seu lucro irá depender da escolha da oponente de sair ou não.

| |Firma A | |Firma B |

| |Monopólio |Duopólio | |Monopólio |Duopólio |

| |510 |-105 | |51 |-10 |

Os lucros de cada firma em cada possibilidade são dados pela tabela acima.

Considerando três casos possíveis: (a) decidem simultaneamente ( b) A decide antes (c) B decide antes , responda as seguintes questões:

1. Descreva a situação acima como um jogo na forma extensiva

2. Descreva o conjunto de estratégias de cada firma.

3. Encontre o(s) equilíbrio(s) de Nash do jogo em estratégias puras.

4. Encontre o(s) equilíbrio(s) de Nash perfeito(s) em subjogos em estratégias puras

6) Considere um jogo de dois períodos. No primeiro período, os empresários formam uma expectativa de inflação, (e. No segundo período, a autoridade monetária conhece (e e decide a taxa inflação, (, que será observada. Os empresários se importam somente se acertam ou não suas expectativas de inflação e o payoff deles é V((e, () = – ((e - ()2.

Por sua vez, a autoridade monetária se defronta, com um trade-off entre manter a inflação próxima de zero e o produto próximo do produto potencial y. O payoff da autoridade monetária é dado por W((, y) = – c*(2 – (y – y)2, com c > 0. O nível de produto se relaciona com as expectativas de inflação e a inflação observada da seguinte forma: y =(1/2)y + 2(( - (e).

a) Determine o espaço estratégico de cada agente (trate o conjunto de empresários como um único agente).

b) Reescreva o payoff da autoridade monetária em função de ( e (e.

c) Suponha que a autoridade monetária convença os empresários que a inflação futura será nula, ou seja, (e = 0. Qual seria a melhor resposta da autoridade monetária? Esta é uma situação de equilíbrio em subjogos?

d) Encontre o equilíbrio perfeito em subjogos (( e (e). Esta é uma situação Pareto-eficiente?

e) Suponha que haja uma maior independência da autoridade monetária, de modo que esta possa se preocupar menos com o nível de emprego e mais com a manutenção do nível de preços (em letras, c aumenta). O que ocorre com a taxa de inflação de equilíbrio? Comente sobre a importância da independência da autoridade monetária.

7) Sejam 3 firmas operando em um mercado com demanda inversa dada por P(Q) = a – Q, onde Q = q1 + q2 + q3 e qi é a quantidade ofertada pela firma i. O custo marginal de cada firma é C, não havendo custo fixo. As firmas escolhem suas quantidades da seguinte forma: (1) a firma 1 escolhe q1 > 0; (2) as firmas 2 e 3 observam q1 e escolhem suas quantidades simultaneamente.

a) Defina o espaço estratégico de cada firma.

b) Qual o equilíbrio perfeito em subjogos? E o resultado deste jogo?

c) Suponha que a firma 3 esteja subornando um trabalhador da firma 2 e que, com isso, tem a informação de q2 antes de escolher q3. O espaço estratégico seria o mesmo do item a? justifique. Caso não seja, defina o novo espaço estratégico. (toda esta situação é common knoledge)

d) Calcule o equilíbrio de Nash perfeito em subjogos e o resultado deste jogo. Além de imoral, o que se pode dizer sobre esta atitude da firma 3?

8) Considere duas firmas (1 e 2) que operam em um certo mercado produzindo um bem homogêneo. A curva de demanda inversa nesse mercado é dada por: P(Q)=27-Q, onde Q=q1+q2. A estrutura de custos das firmas é tal que ambas têm um custo marginal c=3 e não há custos fixos. As firmas devem decidir a quantidade a ser produzida visando maximizar o lucro.

a) Suponha que as firmas devem escolher o quanto produzir de forma independente e simultânea. Responda:

a.i) Descreva o conjunto de estratégias dos jogadores.

a.ii) Encontre o Equilíbrio de Nash do jogo.

b) Considerando a mesma curva de demanda inversa e a estrutura de custos do enunciado, suponha agora que a firma 1 é líder: ela faz sua escolha, e após, a firma 2, observando a escolha da 1, toma sua decisão. Responda:

b.i) Descreva o conjunto de estratégias dos jogadores.

b.ii) Encontre o Equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos do jogo.

c) Suponha que antes das firmas fazerem suas escolhas há um pré-jogo onde é leiloada uma opção que dá o direito ao seu detentor de escolher se o jogo terá decisões simultâneas (caso a) ou seqüenciais – onde a firma 1 joga primeiro (caso b). O leilão será de primeiro preço: quem der o maior lance ganha a opção e paga o lance que deu (em caso de empate a opção é entregue a quem mais valoriza ela). Suponha ainda que os lances devem ser números inteiros e que ganhar a opção no leilão com ganho zero é preferível a perder.

c.i) Qual a valorização que cada firma faz dessa opção? (ou seja, quanto cada firma estaria disposta a pagar para obtê-la?)

c.ii) Suponha que as firmas dão os lances de forma seqüencial, onde a firma que tem a maior valorização pela opção dá o primeiro lance, a firma que tem a menor valorização observa e depois dá seu lance. Derive a correspondência de melhor resposta da firma que dá o segundo lance e encontre o(s) lance(s) ótimo(s) da firma que dá o lance primeiro em equilíbrio de Nash Perfeito em Subjogos nesse pré-jogo.

9) Considere o seguinte jogo na forma extensiva:

a) Descreva o espaço de estratégias de cada jogador.

b) Encontre todos os equilíbrios de Nash perfeitos em subjogos, apenas em estratégias puras.

10) Considere uma economia com um grande número de firmas idênticas. Suponha que haja uma inovação nessa economia que dá origem a um novo mercado (um novo produto é criado). A curva de demanda inversa nesse mercado é linear e dada por P(Q) = 25 – Q, onde Q é a quantidade agregada produzida. Cada firma que decide produzir nesse novo mercado deve incorrer em um custo fixo de entrada dado por K=16. Após a entrada, o custo marginal de produção é de c=9 (e não existem outros custos fixos).

a) Em equilíbrio, quantas firmas devem entrar nesse mercado se antecipam que uma vez no mercado haverá competição a partir da escolha independente e simultânea de preços – modelo de Bertrand (a firma que colocar o menor preço captura todo o mercado e em caso de preços iguais a demanda é dividida igualmente entre as firmas que colocaram o menor preço). Justifique.

b) Suponha que o governo decide intervir nesse mercado e estabelece que o preço deve ser exatamente igual a P=15. O que acontece com o número de firmas que decide entrar no mercado? Justifique sua resposta.

c) Comente: “A intervenção governamental no mercado, quando torna o mecanismo de preços menos flexível, induz a um menor grau de competição e conseqüentemente menor produção agregada.”

11) Considere uma firma monopolista (M) instalada em um certo mercado que possui dois segmentos ou nichos: o de alta qualidade (A) e o de baixa qualidade (B). Considere ainda uma entrante potencial (E) que no período 0 deve decidir se entra ou não. Só pode haver entrada no período 0, assim se a firma E decide não entrar ela recebe zero enquanto a firma M tem payoff de 10 a cada rodada em que o mercado existir. Caso E decida entrar, então a cada rodada em que existir o mercado as firmas M e E se defrontam com o seguinte jogo: a firma E joga primeiro, escolhendo em qual nicho de mercado quer atuar. A firma M, após observar a escolha de E, decide então em qual nicho quer atuar (note que cada firma só pode atuar em um único nicho). Se ambas atuam no nicho B, ambas tem payoff de –1. Se ambas atuam no nicho A, ambas tem payoff de –2 (por exemplo, a competição não permite que as firmas recuperem seus custos fixos, que são maiores no segmento A). Caso atuem em segmentos distintos, a que atua no segmento B tem payoff de 3 e a que atua no segmento A tem payoff de 10.

a) Suponha que em caso de entrada o mercado dure uma única rodada (a interação entre as firmas se dá uma única vez). Represente graficamente esse jogo.

b) Encontre o ENPS do jogo acima.

c) Existe algum EN onde a firma E não entre? Justifique.

d) Comente: “o agente melhora quando recebe mais informação”

e) Suponha que o mercado dure três rodadas (ou seja, se E não entra ele recebe 0 e M ganha 30 enquanto que se E entra a interação estratégica de escolha de nichos entre as firmas é repetida três vezes). Qual deve ser o ENPS desse jogo repetido? Justifique.

f) Suponha a mesma estrutura do item anterior, mas suponha agora que a firma E tenha uma restrição financeira: quando seu prejuízo acumulado for maior ou igual a dois, ela é obrigada a sair do mercado (e então M fica sozinha na próxima rodada, recebendo 10 dali até o final). Qual deve ser o ENPS do jogo repetido nesse caso?

(suponha que não haja taxa de desconto intertemporal).

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1,1 0,0 0,0 4,4 1,1 2,3 2,0 1,2 1,-1

a

b

b

a

I

p

i

p

i

P

A

B

N

M

2

2

1

1

1

................
................

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