Linear Equations in Three Variables - University of Utah

[Pages:7]LiLLLniieinnnaeeeraaarrrEEqEEuqqqauuutaaaiotttiniiooosnnnssisniiinnnTThTTrhhehrrereeeeeeVVVaVaVraraaiiraarribibiaaallbebeblslsleeesss

R2

is

the

space

of

2

dimensions.

There

is

an

-coordinate x

that

can

be

any

JJRRr22eRRiaiss2l2tinthshiuseetmthshsbeppeeaasrcspc,peeaaconocefefdo22otffdhd2ie2immrdedeeiminnimssseieiaononnsnysissoi-.nosTTso.h.hrTedeTrihreneheaeritisreseaiatsinsnhaaxaxnt-n-ccxcoxoa-oc-oncorrdodoboiriueurdadaitnitnunuayatIteIJrJeIeIHtHathIIlhanattucmcaanbnebrb.eeaannyy

rreeaarlrleeannaRluulmn3mnubiubsmeemrtbr,hb,eearar,nns,dapdananttdchhdeeetrtroheehfeeri3isrseedaiasismyya-a-eccynoyo-so-coicrordodonoiirnsnrd.adaitnTiteneahattettehhreaeatthtihascactaatncncababnxene,baybaen,enyaayannnryredeyaarzlreleancnaluoulnmomnurubdbmemienbrrb.a.eetrre.. Each RR3c3oRRiioss3r3tdithsihisenetathshstepepaascspcapeeanacoocebfef eo33ofafdd3ni3immyddeierminenmsaseielinoonnsnsiussoi.om.nnsTbTs.he.hrTeeT.rhreeheeriisreseaiasinsnaa.n.xxn,, xyyx,,,yaay,nn,dadannzdzdczcozocoocorrododoirinnrdadaintitenea.a.tteEeE..aaEccEhahacchh

ccooococroroddooiirnnrdadaitniteneaatccteaaencncababnenebabaenenyayanrnryeeyaarlrleeannaluulmnmnububmemerbr.b.eerr..

:2:2..

II

LLiinneeaarr eeqquuaattiioonnss iinn tthhrreeee vvaarriiaabblleess

LIIfifnaae,,abb,r, cceaaqnndudarrtaairoreenrreseaalilnnnuumtmhbbreerersse((avannaddriiffaaab, ,lbbe, ,saannddccaarreennoottaall leeqquuaal lttoo00))

LLiintntheheeIenaafnrraa,xexe+,qq+uubbyaaaynt+td+iioocncnzzass=r=eiinrrnreaistitlshhcncraruaelemleleeebddevarvasaal(ilrrniainiaenaeadbabrrlilefeeeqssqu,u..aat,itoiaonndinin tahthrrereeeenovvatarariaillabbelelqesus. .al((TtTohhe0e)

abc r

ab c

II"ff"ttahtah,h,errnebbe,e,eacvcxvaaaar+nrniaiddabbbyrlreles+aas"r"reecazarrrreeee=aatltlhhrneneuuixmsmx,,bcbtetahehrlersleseydy(,(aa,aannanddnldidniifftethaaahe,r,ebzebz,.,q).au)anandtdioccnaairrnee ntnhoortet eaallvlaeerqqiuauaballletstoo. 00()T) he

tthheenn"TtaTahhxxrhee+e+enbnbvuyuyam+mr+ibabeeebzezrlrse= s=sa"ar,r,aibisbrs,e,ccaaatanhnlldlededdcxca,aaatrllhrieineneececyaaaal,rrlelaeeednqdqdututahathtehtieiooecnncozoei.ine)n tctwcwieiooennvtvstaasrroiiaoafbfbtllethehses.e.ee(q(TqTuJuJaiirart''tioi""onttlnli.iv.v'T'~~Thhee

vvaarrniinaauubbmmlleebsbse"e"rrararrreeisistthchcaeeallxelxe,d,dttthhtheheeeyyc,c,oonaannsnstddtaanttnhthteeoofzzf.t.))thheeeeqquuaattioionn..

Examples. 3 + 4 7 = 2, 2 +

= 6, 17 = 4, 4 = 0, and

xyz

xyz

xz

y

EExxEaaExmxmx+apapmlymleep+sspl..lezes33s=..xx3+23+xx44a+ry+ye-- 4--4ayyl7l7lzzi7n=7=zez22a=,r=, e2-- -- 2q,,u22a2txx2ix+ox+n+yy+s-- -- yiynzzt=hz=zr-- -- =e=e66v,a6,x6xr,-- ,i-- xaxb1l1e7s711.7zz7z==z=44=,,4444,y,y4=4=yy00=,=,aa0n0n,,dadanndd

xx ++xxSyy++o++ylyuzz++t==izzo2=2n=aas2r2reeataraoarelellaelalilinlqnleeluilaaninarreeateeariqqroueuenqaaquttsiuioaoantntissoionininsnsittnihhnrrteetheherrevveeaearvriviaaaabrbrillaeieabssb.l.eless..

SSooSSllouuoAlttluiiuootntniiossonntstosotttooeeoaqqelueuiqnqaaeuutatiairoaotentniqiosusonantsison in three variables + + = is a specific

btpobtpohhyfoyfoeAeAitsbptitnhanpbpthapbpethayoa,hsteh,yqstAeooyeooeniAnoeeonauiicitiisitnpnnashlannanphil,tauwsauwafis,tteosn,tteotottnoJntoeicJiteisihtRiisilioinRilosorlnhwnsyuhnr3usypue3wntwnn-mette-teetomcesiRmcyRiesieiroqtiyisiououqytosrou-ornnu3ounu3-cncuole-ncottmclaechloemqasharsttiatroqlotdquioopliuhudsiusnooplutuopulfitcrilcarihinnlhrnildnlrahrlteahaRlretidaaaiie.daasileee.ipledpsnilt3sttaidtttdaneilrnlhelvai(hnrii(rsbwerra.TweaanTtbuaeb.ye.odteehotrhdeyhahtc(yeqfeiaqe(feTh(reaecowbwuTtrTbncuorco,tbnfrehheyaht,hfey,ahhfqlhaeehtewteeewtateeihautqcenraiaocsnahohnnr,enrheaup,r.dtpnreen)eeededetaaowaawopwnitnaipntaipoirnnaitohnhnathihnrderonhodotlhieetetlweeehtntiwhnietnehnannnitnhettainaenhnaaislhrtstrwyitleotitlyeonwxtshwtsixhhtimsesamsseh-hshe-aeoemaycetrciovumyiomsnvuyoshenxxoxasutelssatseflohtrue-fouhtrei-iliriecinnirrptictlvniirrplanedetaotinhtoetdfiialpibilhtiiefibhotfiiropeieernnpevlelnrelrneririnledailalenddealeeiydtnsiiyiseetrdbeteueitteuidinbepednaleblmmaampmyelpbyarlaybxyobysxrboboayrtbat+lmofyoeb+yedfnaeebmeanm,dbbtd,rsuyxbtaorbxhy,bsohuasuyaac,nf+ya,eatfecsntc+nnsyttha+ntxtasotybthdhyobpchrdsepchrsylesyeeleau+zeosuzoeo+saztarttohipzoltahziir-nepariup= onlbcec= -loecdo-eudtouycztnotoczaidntdiiontariosoizadonreis=+izsnieosdtoor-dondtdi-tdiscrtdndrscmtnidsoemdrcoosidrisioetadssezntsaiootuidimooundantsoasamgtrlmstgroal=tdoaptutatedopilteatueilipitoeulipotgnienaetanstnehlgcllhrgeoeclltapiiteaeiiieoepltieoefieflainteifpaitrtihfpiedtlnifcrednt,creschil,rheltheeiitaeirfiheedahaeearr,drcedre,r,

eeqquueeaqaqtutiuioaoantntioiioinnnntithnihnrretetheehrrevveeaaerrviivaaaabrbrilleaieasbsb.l.)e)less.).)

1

11 251592

ExamEplxeEa.mxETaxphmaleemp.plpeoT.ilhneTet. hxpTeoh=ipneot1pi,nxoyti=nx=t1=x2,, =y1a,=n1yd,2=yz, =a2=n, 2da--,n1zadni=szda=zs1=oils1utaii1sosnaioslstuaootlisutoohtnleiuootneifoqtnuhoaetttoiheoeqtnhueeaqtueiqoanutiaotnion

--Zx

+

5y

+

z

=

7

since

--2(1)

+

5(2)

2+ x

(2+--x215+x)y

= +5y5--z+y2=+z+7=z1=07

7--

1

=

7.

--T2xhe+spi5noysciine+nstcinezxce= =

--12 $ 7.

3, y = 7 since

--2, and z = 4 is a not a solution to the equation --2(21(2)3()+12)(+51+()52+5()--(+252)()(2+)++1( )(4(=1) )1==)2=--+26 1+-- 20 +110010+=147=1==7 --712, and

ThTe hpTeohipenotpinxotin=xt 3x=, =3y, =3y, =y 2=, 2a,n2da,nzadn=zd =4z i=4s ai4s niasotnaoant osaot lsuaotlisuootnliuootnifotnohtetoheetqhueeaqtueiqoanutiaotnion

Linear2xe2+qx2u5+xya+5+tyio5z+yn=+zs7=zas=7innsdc7ienscpinelcaenes.

The set of solutions in2(R32)2(+32t)(o53+()a+52(li5)n(e+2a)(2r+4))e+(q=4u)(a4=)ti6o=n61in60 1+tw014o+0=v+4a=r4ia1=b211r'2~12

1 1

-

dimTheensasinoednat anoaldfnlidsnoel.utions dimensional plane.

in

F

to

a

linear

e1q2u16=a2t1i7o=2n6=7in7 three

variables

is

a

2-

A soLluitLnioeiLnnaiternoaeearaqlreiunqeaeuaqtraiuoetanqiotusianotaisonnnsadinnadpnthldarpenlepaelvnsaaernisaebsles -- ax + by + cz = r -- is

wa((21ep--ddosiiemmineddeet tnniihmmiTTnssddaiihheeiiootmmTTRnnddeenn3ssiithhsseemmTThssiinneeooeetwhheewnntsshtrssnniieeeaaoaoooeeoossllrnntttrsfsiiftatoolpeehaahilorsonnttisnll)ee)oaffoaaeplsolnolill.sumsutlnffeohaootplte.oilenisnlisln.uoruooanoeeentlntnt.li.uhiusoseotstethn.nioiiieonsonslpunrnelitRsaisnRinon3ia2nienRnrRsoeo3cf2RfRtotota3otr2oaroetaltiaaolsnoailnpiellanieoialanneianrnleearildeanaierinaerrnqereqeaugeaeuqraeqrqanttquoenitaueqoaiatqoaunatitounitiaxooniaitonn+iitnoiinointibnnnhityntwrihtnei+tohrwnteewrtocevehvtozaewarvvrerv= oviaaeiaarrbriivbrrvaai.lailaabbeaerrbsllbsieeSialalessoiebibssslleeaaiisss

1ias2ias-

1a2a-

12-

ax + C I `C

SoSluoStlouioltuniotsinoosnfstsoytostysesymtsetsmeomsf solifonlfeinalirenaeeraqreuqaeutqiauotnaiotsinosns

SolutioAnsAsinsAttiosnhietnshpyterhespevtrieepovmrueisovsuciohsuoacsphftcaelhpirnat, epewrt,eearwrc, eawneceaqhncuaavhnaeathvaioeasvnayesssta.yesmtyesomtfemloifnoelifanrleianeqreaueraqtueiqoauntiaso,tniaosn,ndsa,nadnd

As inwethwceeawnpceratecnrvayitnortuyotsrtfiyocnthdfioanspfidotnelusdro,tlisuowonteliusotcntiaohsnnattshhaathvtreeaatcraeoamsrceyomsmctooemnmomtnoooftenloaincteehoaaceorhafcetohqhfueotafhetieqtohuneeaqst,ueiqoaauntniasodtniinosntinsheitnhethe

ask forsyasstcyeosmmtye.smmteo.mn.solution to each equation in the system.

If thereWiesWcaWeaslcleoalaucllatsilaoolnlusaottloisuoontlaiuottsnioyosntatoetmsaoysosatyfesmetyqesumotaef mtioeoqfnouesfaq,tuewiqoaeuntiascotanuiolsnlnitusqhnuauieqtnuisieqfoutlieuhfteitiorfhenetrhauereneriaeqrnueaoerneootnhooetrhoetrher

if theresoalusreotlsiuononotluiso.otnitoshn.esr. solutions.

9

256 193 2

EEExxxaaammmpppllelee... TTThhheeepppoooiniinntttxx===333,,,yy===000,,,aaannndddzz===111isiissaaassosoolulluuttitoiioonnnttooofttthhheeeffofoolllolloowwwiniinnggg sssyyysssttteeemmmooofffttthhhrrreeeeeelillniinneeeaaarrreeeqxqquuuaaatttioiioonnnysssiniinnttthhhrrreeeeeevvvzaaarrriaiiaabbblelleesss

333xxx+++222yyy 555zzz=== 111444

222xx 333yy+++444zz===111000 x yz

xxx+++

yy y

+++

zzz===444

TTThhhaaattt's''ssbbbeeecccaaauuussseeewwweeecccaaannnsssuuubbbssstttitiittuuuttteee333,,,000,,,aaannnddd111ffofoorrrxx,,,yy,,,aaannndddzz rrreeessspppeeeccctttiviivveeelyllyyiniinn

ttthhheeeeeeqqquuuaaatttioiioonnnsssaaabbbooovvveeeaaannndddccchhheeeccckkkttthhhaaattt

xy z

333(((333)))+++222(((000))) 555(((111)))=== 999 555=== 111444

222(((333))) 333(((000)))+++444(((111)))===666+++444===111000

(((333)))+++ (((000)))+++ (((111)))===333+++111===444

GGGeeeooommmeeetttrrryyyooofffsssooollluuutttiiiooonnnsss

SSSuuuppppppooossseeeyyyooouuuhhhaaavvveeeaaasssyyysssttteeemmmooofffttthhhrrreeeeelillniinneeeaaarrreeeqqquuuaaatttioiioonnnsssiniinnttthhhrrreeeee vvvaaarrriaiiaabbblelleesss... EEEaaaccchhhooofffttthhheeettthhhrrreeeeeeeeqqquuuaaatttioiioonnnssshhhaaasssaaassseeetttooofffsssooolulluutttioiioonnnsssttthhhaaattt's''ssaaappplallaannneeeiniinnRRR333... AAA sssooolulluutttioiioonnnttoofttthhheeesssyyysssttteeemmmooofffeeeqqquuuaaatttioiioonnnsssisiissaaapppoooiniinntttttthhhaaatttlilleiieesssooonnnaaallllttthhhrrreeeeeooofffttthhhooossseee ppplallaannneeesss... IIfIffttthhheeerrreeeisiissooonnnlyllyyooonnneeepppoooiniinntttttthhhaaatttlilleiieesssooonnnaaallllttthhhrrreeeeeppplallaannneeesss,,, ttthhheeennnttthhhaaattt sssooolulluutttioiioonnnisiissuuunnniqiiqquuueee...

IIfIffyyyooouuurrraaannndddooommmlyllyywwwrrritiitteeedddooowwwnnnttthhhrrreeeeedddiiieeerrreeennntttlillniinneeeaaarrreeeqqquuuaaatttioiioonnnsssiniinnttthhhrrreeeeevvvaaarrri-ii-aaabbblelleesss,,,ttthhheeeoooddddddsssaaarrreeettthhhaaatttttthhheeettthhhrrreeeeecccooorrrrreeessspppooonnndddiniinngggppplallaannneeessswwwiliillliniinnttteeerrrssseeeccctttiniinnooonnneee,,, aaannndddooonnnlyllyyooonnneee,,,pppoooiniinnttt...TTThhhaaatttmmmeeeaaannnsssttthhhaaatttffofoorrrmmmooossstttsssyyysssttteeemmmsssooofffttthhhrrreeeeelillniinneeeaaarrreeeqqquuuaaa--tttioiioonnnsssiniinnttthhhrrreeeeevvvaaarrriaiiaabbblelleesss,,,ttthhheeerrreeewwwiliilllbbbeeeaaauuunnniqiiqquuueeesssooolulluutttioiioonnn...

1923457

bcbcbcoebcoIobcmeeotIIemmopeIttmpmIpmtampmtmampamrmoammiraramoognriiaaolrgnginoahlilagnethhlglnltehltoeltlthtle.toolltetb.o.tlabobl.aeaT.lbabeleTTlaeThlltlteTllhhttthelththhthehhetantrhheahnanrheteranrteteatnrtettheetettephthteethphphtlehephaephleleteaalenthtleannhttathetrnthhhneetrshrheherr,srserrseee,,eersaee,eeeep,aaneepappennaldpppnalpllpnddaaaplllndhlaaaldnnnalahehnennaheneesnheenneeessesenneescsswenssfnccewwsrcowffeecwofrretooufreooohtmtruuoolthhummoetdullhmhemeddlntlesdednnhttys'snttshhyny''etsshytt'hteseys'tiestetstnesiiteyesnmsintteisnyymmesetsntymttseysemrtwseettsrrsewwtreemesswitreswlmemecieislmelilcctmeilllcno.tltlcnltnoo.f.otno.fnofToo.ttfoTTtftohttThhttTthhhhrteahhhehrrhheaeravreeaeerrrvveaeereveee'ereveeedea'e'eeed'qedaan'edaqqbedunnaqynbubqueaynybuybueaseatyeaosnsitetasotononilisotonoiuonllonoioulunoontspluoniuttnspspotosipwitspoiooniwwioonwionoiswlnniniti.nlsinsliltsnt.ill.lstl.lt.l

\`

4'

`S

VS

aaaraTrerarTeTenrThennTe'hhnet'nh'ehtert''etpreretprpeearpemapaermamraramirmaalgriialglagihellilghelheglltlhe.llthte..ltnl.Itnn.onIInIonnontIontttontbthtttbbhhetibhsbehieisesiaeiscaasccaapcaaacsppaopessapoosieesoneiiaoennitaaginattnggaattgtaagihttantiihhatannih,ihaantn,,attta,t,lhtttitllhheetiilhleehiesrieesserreesroee'sredoon''eodd'nno'dnbdanbbaaelbalbeellaelllntellnnlhottntnhohorthosehorrorsseerseoolseeouellpoeulutpplupiuttapllotiialantoiolaninonaennonnneesanesseaatseasttaeevtaetvveeaalvaelenvllae.llnlnel.ln.iln.f.iififtiffhttthhethheeepepplpapllalanlananenneseessess

1954 258 1954

tmuhtmuntmuuShanhinuSlqonauSiatilqmounilqontptmuoeimuieplnoepoeeteslenelinoetsemtsesiloeiompuomsleslpulotopuoseueiltio,lsotoutnsiuii,noii,ttntootnhni.tntitnotohte.h.nsontete.stoso.hb.tthBrbehbeBreBreeeeoeceeeenoaocpcnuanpalpaausulllnaeasaalslneelneltltseehhttsttswhehrhhrewewreireelrereil'ieelesell'pl'issnplmipiatnnlmlmenaotatrenereonosresrereerssesecseeattchctatattthatihtnonaiainnononnanconaeacnocow.eenenw.wa.eeyIsaanoyIsyIsntlonouhttltlhutuhathtihitthtaoasiiitniotosascn,nlaaalc,c,lotlsalalhweototsshe,whweesre,e,stesrfrh'otetesffheh'ro'osrseernremrronneemmtaooorrtaotaoaeerrrraeeaee

A

yoposorfoyoposoyoposVlourfooiourfotonVnluVrlhiiuuttinoutnstnsnrhiirrthuisoesottsoestsirpulsiraenouseeefotepollapn,leahnfietftilotlzo,lhninai,hhtiilenztilzninttaohaninahenesenttdotattoaaeassedsitcdroatraesaasoiceilroicreroeereutnoeolirelqehieuttnetceutnerqiuhaerotqthcntoteceriuiaaenoiuaentononnoritantriatntnnetninaathtatottdetireiaaithaaaenonhdaordrirrtieinsatneeanrnnerrinsdraeliasaenaielnendngila,ndlisliliengila,ngioa,nsltmsieelierolnholntmxtltemereahrrhihxatxtnneleareahirrclahiaenntfielenneltrclrscletfietneletfietvtyshsetnioletnalvptvyhryhfioraioeoeapltprtirfalrftneeoraeeloyelihnalitnaeelbtaneyayhrnpehnmeblebepserpelrpemlmea,lesapsoeeplselnea,enas,aoiospaownnenynroinpoilwptsnweinaeyryrll.tlstsntsialiachol.tl.stnselonclahaclohTosuneoeloataalaTlwTshtunstuniltltanwitwhtaathttioihianityanittaannaaoRoheihisytytnensrnnRemRe3s.deseshresrmm33.dee.adehahaianeavneaaraaainiaandeevnnvnrrnsandeedeeeitslasanltireiteilttlhynfinltirlttirhtthayfinhhyfithetthtaniahrnhorettetettirireoraorteatceeleeaayoeaecaclpslunyoyoylpsmpnusuvnansyylmlinmnivntvaaaqsnseiiientinntauqaqcnmneseeyneeenuuc,cmmssyyeeee,, *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ***

1926559

Exercises

1.) What are the coe cients of the equation 3 2 + 5 = 13 xyz

2.) What is the constant of the equation 3 2 + 5 = 13 xyz

3.) Is x = 4, y = 3, and z = 1 a solution of the equation 3 2 + 5 = 13 xyz

4.) Is x = 2, y = 0, and z = 4 a solution of the equation + 7 8 = 10

xyz

5.) Is = 5, = 7, and = 2 a solution of the equation

xy

z

3y 5z = 31

Questions #6-10 refer to the following system of three linear equations in three variables.

3 4 +2 = 9 x yz 4 + 4 +10 = 32 xyz

+2 7 = 7 xyz

6.) Is x = 1, y = 4, and z = 2 a solution of the system?

7.) Is = 1, = 1, and = 1 a solution of the system?

x

y

z

8.) Is x = 25, y = 23, and z = 4 a solution of the system?

9.) Does the system have a unique solution?

10.) Does the system have infinitely many solutions?

260

For #11-13, solve the logarithmic equations for . x

11.) log (2 3) = 4 ex

12.) log (5 + 1) = 3 x

2

13.) log ( 2 + ) log ( ) = log (2)

xx

x

e

e

e

261

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download