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LOGARITMOS

DEFINICIÓN:

El logaritmo de una cantidad, referido a una cierta base, es el exponente al que debe elevarse esa base, para obtener dicha cantidad.

Es decir: log b a = n [pic] b n = a;

Y se lee “logaritmo de a en base b es n ”; (significa que la base b debe elevarse a n para obtener a).

Ejemplo: Log 2 16 = 4;

se lee “logaritmo de 16 en base 2, es 4” (porque la base 2 debe ser elevada a 4 para obtener 16 ).

24 = 16

NOTA:

En todo logaritmo se distinguen la base, el número al cual se calcula el logaritmo llamado argumento y el valor del logaritmo:

Log b a = n logaritmo

base argumento

Por lo tanto, se puede concluir por definición, que en:

Log b a = n se cumple que b n = a.

Ejemplos diversos:

log 3 27 = 3, ya que: 33 = 27.

log 10000 = 4, ya que: 104 = 10000.

log2 32 = 5, ya que: 25 = 32.

log 15 225 = 2, ya que: ........ = ........

log5 25 = 2 , ya que: ........ = ........

NOTAS: La base b debe ser un elemento de [pic]+, distinto de 1: no puede ser negativa porque algunos números no tendrían logaritmo; la ecuación (-2)x = 8, por ejemplo no tiene solución, puesto que no existe un x real tal que (-2) x = 8.

El conjunto de todos los logaritmos referidos a una misma base se llama “sistema de logaritmos”.

La invención de los logaritmos se debe al matemático escocés John Napier ( o Neper), que vivió entre mediados del siglo XVI y comienzos del siglo XVII, de allí que los primeros logaritmos se llamaron “logaritmos neperianos”, se llaman –también- “logaritmos naturales”; tienen base “ e ” (su valor aproximado es 2,72).

El logaritmo de un número x en base e , se denota Ln x

En el siglo XVII, el inglés Henry Briggs creó los logaritmos en base 10, con esto, facilitaba la operatoria con log; estos log se llamaron, también, “log de Briggs”.

El sistema de logaritmos en base 10 se llama “sistema de logaritmos decimales” o “sistema de logaritmos vulgares”, la base 10 no se escribe.

En la actualidad, rara vez se aplican logaritmos que no sean logaritmos neperianos o logaritmos de Briggs.

EJERCICIOS

1) Escribir los siguientes logaritmos en 2) Escribir las siguientes potencias en forma

forma de potencia: de logaritmo:

log2 4 = 2 a) 52 = 25

a) log 7 243 = 3 b) 34 = 81

b) log 100 = 2 c) a3 = b

c) log0,2 0,04 = 2 d) 43 = 64

d) log[pic] 25 = 4 e) 5x = 6

e) log 5 [pic] = -3 f) (2-b) x = c

3) ¿En que base el log de:

a) 49 es 2? b) 125 es 3? c) 32 es 5?

d) 100 es 2? e) 64 es 6? f) 0,00001 es –5

4) Escribir como logaritmo de base 3, los siguientes logaritmos: 1, 2, 3, 4.

5) Calcular los siguientes logaritmos:

a) log 1 b) log 100 c) log 1.000 d) log [pic]

e) log[pic] f) log 0,01 g) log 0,0001 h) log[pic]

6) Calcular el valor de los siguientes logaritmos:

a) log 2 1 =

b) log 2 2 =

c) log 2 [pic] =

d) log 2 [pic]=

e) log5 125 =

f) log7343 =

g) log ½ 4 =

h) log ¼ 2=

i) log 50 1 =

j) log 8 32 =

k) log 4 [pic]=

l) log 27 1/3 =

m) log 0,3 0,0081 = n) log 2[pic]=

7) Calcular el valor de la incógnita en los siguientes logaritmos. Recuerda trabajar con la ecuación exponencial, cuando sea necesario.

a) log5 625 = x

b) log3 x = 6

c) log x 256 =4

d)

e) log x 8 = [pic]

f) log 32 [pic]= x

g) log x 4 = [pic]

h) log x[pic] = [pic]

i) log0,008 x = [pic]

j) log 0,001 = x

k)

l) log x [pic] = 2

m) log 2 [pic]= x

n) log 3 [pic] = x

8) Desarrollar aplicando propiedades de los logaritmos:

a) log ab=

b) log bcd =

c) log [pic]=

d) log [pic][pic]

e) log a2 b2 =

f) log [pic]

g) log (b2 c )3 =

i) log b2 c3 =

h) log [pic]

j) log [pic]

9) Escribir en un solo logaritmo:

a) log a + log b = b) log a – log b =

c) 2log a + 3log b = d) [pic]log a + 2 log b – 5 log c =

e)[pic] f) [pic]

g)[pic] h) log (a + b) – 2 log ( a – b ) =

10) Aplicando las propiedades de los logaritmos y sabiendo que log 2 = 0,301 y

log 3 = 0,477, calcular:

a) log 6 b) log 18 c) log 15 log 1,5 log [pic]

11) Calcular:

a) log 1000 – log3 92 =

b) 4 log 0,1 – log 0,01 =

c) log 1/4 1 + log 2/3 [pic] + log 3 [pic] =

d) log 4 64 – log 0,1 + 2 log 103 + 3 log 4 2 =

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Objetivos: Conocer el concepto de logaritmo y relacionarlo con el exponente de una potencia.

Determinar el valor de logaritmo de distintas bases.

Obtener el valor de la incógnita presente en un logaritmo dado.

Reconocer y aplicar las propiedades de los logaritmos

Calcular el valor de expresiones logarítmicas.

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