Math 55a Lecture Notes - Evan Chen

Math 55a Lecture Notes

Evan Chen Fall 2014

This is Harvard College's famous Math 55a, instructed by Dennis Gaitsgory. The formal name for this class is "Honors Abstract and Linear Algebra" but it generally goes by simply "Math 55a".

The permanent URL is . html, along with all my other course notes.

Contents

1 September 2, 2014

5

1.1 Boring stuff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 September 4, 2014

7

2.1 Review of equivalence relations go here . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Universal property of a quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 September 9, 2014

9

3.1 Direct products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Commutative diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Sub-things . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4 Let's play Guess the BS! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.5 Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.6 Normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.7 Examples of normal groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 September 11, 2014

13

4.1 Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Ring homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3 Modules, and examples of modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.4 Abelian groups are Z-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.5 Homomorphisms of R-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.6 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.7 Sub-modules and Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 September 16, 2015

17

5.1 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2 Direct Sums of Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.3 Direct Products of Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1

Evan Chen (Fall 2014)

Contents

5.4 Sub-Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.5 Free Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.6 Return to the Finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 September 18, 2014

23

6.1 Linearly independent, basis, span . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.2 Dimensions and bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.3 Corollary Party . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.4 Proof of Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7 September 23, 2014

28

7.1 Midterm Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.2 Endomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.3 Given a map we can split into invertible and nilpotent parts . . . . . . . . 29

7.4 Eigen-blah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.5 Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8 September 25, 2014

33

8.1 Eigenspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8.2 Generalized eigenspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8.3 Spectral Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8.4 Lemmata in building our proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

8.5 Proof of spectral theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

8.6 Recap of Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

9 September 30, 2014

38

9.1 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9.2 Taking polynomials of an endomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9.3 Minimal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

9.4 Spectral Projector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

9.5 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

10 October 2, 2014

42

10.1 Jordan Canonical Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

10.2 A big proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

10.3 Young Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10.4 Proof of Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

11 October 7, 2014

46

11.1 Order of a Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

11.2 Groups of prime powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

11.3 Abelian groups and vector spaces are similar . . . . . . . . . . . . . . . . 47

11.4 Chinese Remainder Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

11.5 Not algebraically closed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

12 October 9, 2014

50

12.1 Group Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

12.2 How do G-sets talk to each other? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

12.3 Common group actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

12.4 More group actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

12.5 Transitive actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2

Evan Chen (Fall 2014)

Contents

12.6 Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 12.7 Corollaries of Sylow's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 12.8 Proof of (b) of Sylow's Theorem assuming (a) . . . . . . . . . . . . . . . . 55

13 October 14, 2014

56

13.1 Proof of the first part of Sylow's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

13.2 Abelian group structure on set of modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

13.3 Dual Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

13.4 Double dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

13.5 Real and Complex Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

13.6 Obvious Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

13.7 Inner form induces a map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

14 October 16, 2014

60

14.1 Artificial Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

14.2 Orthogonal Subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

14.3 Orthogonal Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

14.4 Adjoint operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

14.5 Spectral theory returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

14.6 Things not mentioned in class that any sensible person should know . . . 64

14.7 Useful definitions from the homework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

15 October 21, 2014

66

15.1 Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

15.2 Basic Properties of Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

15.3 Computing tensor products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

15.4 Complexification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

16 October 23, 2014

69

16.1 Tensor products gain module structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

16.2 Universal Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

16.3 Tensor products of vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

16.4 More tensor stuff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

16.5 Q & A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

17 October 28, 2014

73

17.1 Midterm Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

17.1.1 Problem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

17.1.2 Problem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

17.1.3 Problem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

17.2 The space nsub(V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 17.3 The space nquot(V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 17.4 The Wedge Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

17.5 Constructing the Isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

17.6 Why do we care? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

18 October 30, 2014

81

18.1 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

18.2 Completing the proof that nsub(V ) = nquot(V ) . . . . . . . . . . . . . . . 82 18.3 Wedging Wedges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3

Evan Chen (Fall 2014)

Contents

19 November 4, 2014

85

19.1 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

19.2 Group Actions, and Sub-Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

19.3 Invariant Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

19.4 Covariant subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

19.5 Quotient spaces and their representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

19.6 Tensor product of representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

20 November 6, 2014

89

20.1 Representations become modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

20.2 Subrepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

20.3 Schur's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

20.4 Splittings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

20.5 Table of Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

20.6 Induced and Restricted Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

21 November 11, 2014

94

21.1 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

21.2 Homework Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

21.3 A Theorem on Characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

21.4 The Sum of the Characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

21.5 Re-Writing the Sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

21.6 Some things we were asked to read about . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

22 November 13, 2014

100

22.1 Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

22.2 Products of irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

22.3 Regular representation decomposes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

22.4 Function invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

22.5 A Concrete Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

23 November 18, 2014

104

23.1 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

23.2 The symmetric group on five elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

23.3 Representations of S5/(S3 ? S2) ? finding the irreducible . . . . . . . . . 106

23.4 Secret of the Young Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

23.5 The General Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

24 November 20, 2014

109

24.1 Reducing to some Theorem with Hom's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

24.2 Reducing to a Combinatorial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

24.3 Doing Combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

25 December 2, 2014

113

26 December 4, 2014

114

26.1 Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

26.2 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

26.3 Natural Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4

Evan Chen (Fall 2014)

1 September 2, 2014

?1 September 2, 2014

?1.1 Boring stuff

Sets include R, Z, et cetera. A subset Y X is exactly what you think it is. Q, {0}, {1}, , R R. Yay.

X1 X2, X1 X2. . . . Gaitsgory what are you doing For a fixed universe X, we write Y , X \ Y , X - Y for {x X | x / Y }.

Lemma 1.1 For Y X,

Y = Y.

Proof. Trivial. darn this is being written out? x Y x / Y x Y.

Hence Y = Y .

Lemma 1.2 (X1 X2) = X1 X2.

Proof. Compute x X1 X2 x / X1X2 x / X1x / X2 x X1x X2 x X1X2.

Lemma 1.3 X1 X2 = X1 X2.

Proof. HW. But this is trivial and follows either from calculation or from applying the previous two lemmas.

Given a set X we can consider its power set P(X). It has 2n elements.

?1.2 Functions

Given two sets X and Y a map (or function) X -f Y is an assignment x X to an element f x Y .

Examples: X = {55 students}, Y = Z. Then f (x) = $ in cents (which can be negative).

Definition 1.4. A function f is injective (or a monomorphism) if x = y = f x = f y.

Definition 1.5. A function f is surjective (or an epimorphism) if y Y x X : f x = y.

Composition;

X -f Y -g Z.

5

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