Quantum Mechanics: Fundamental Principles and Applications

[Pages:435]Quantum Mechanics: Fundamental Principles and

Applications

John F. Dawson Department of Physics, University of New Hampshire, Durham, NH 03824

October 14, 2009, 9:08am EST

c 2007 John F. Dawson, all rights reserved.

c 2009 John F. Dawson, all rights reserved.

ii

Contents

Preface

xv

I Fundamental Principles

1

1 Linear algebra

3

1.1 Linear vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Linear independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Inner product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 The dual space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Non-orthogonal basis sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Eigenvalues and eigenvectors: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2 Non-orthogonal basis vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.3 Projection operators: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.4 Spectral representations: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.5 Basis transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.6 Commuting operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.7 Maximal sets of commuting operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 Infinite dimensional spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.1 Translation of the coordinate system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.1 The uncertainty relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7 Time in non-relativistic quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Canonical quantization

29

2.1 Classical mechanics review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Symmetries of the action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.2 Galilean transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Canonical quantization postulates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 The Heisenberg picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 The Schr?odinger picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Canonical transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Schwinger's transformation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Path integrals

43

3.1 Space-time paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Some path integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Matrix elements of coordinate operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4 Generating functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

iii

CONTENTS

CONTENTS

3.5 Closed time path integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.6 Initial value conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.7 Connected Green functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.8 Classical expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.9 Some useful integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 In and Out states

55

4.1 The interaction representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 The time development operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Forced oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Density matrix formalism

63

5.1 Classical theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.1 Classical time development operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.2 Classical averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.3 Classical correlation and Green functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.4 Classical generating functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 Quantum theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Thermal densities

71

6.1 The canonical ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Ensemble averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.3 Imaginary time formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.4 Thermal Green functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.5 Path integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.6 Thermovariable methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7 Green functions

77

8 Identical particles

79

8.1 Coordinate representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.2 Occupation number representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.3 Particle fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.3.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9 Symmetries

83

9.1 Galilean transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

9.1.1 The Galilean group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.1.2 Group structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.2 Galilean transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.2.1 Phase factors for the Galilean group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.2.2 Unitary transformations of the generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.2.3 Commutation relations of the generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.2.4 Center of mass operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.2.5 Casimir invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.2.6 Extension of the Galilean group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.2.7 Finite dimensional representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.2.8 The massless case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.3 Time translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.4 Space translations and boosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.5 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.5.1 The rotation operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

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CONTENTS

CONTENTS

9.5.2 Rotations of the basis sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 9.6 General Galilean transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.7 Improper transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.7.1 Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.7.2 Time reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.7.3 Charge conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.8 Scale and conformal transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.8.1 Scale transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.8.2 Conformal transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 9.9 The Schr?odinger group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

10 Wave equations

115

10.1 Scalars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10.2 Spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

10.2.1 Spinor particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

10.2.2 Spinor antiparticles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

10.3 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

10.4 Massless wave equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

10.4.1 Massless scalers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

10.4.2 Massless vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

11 Supersymmetry

123

11.1 Grassmann variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

11.2 Superspace and the 1D-N supersymmetry group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

11.3 1D-N supersymmetry transformations in quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

11.4 Supersymmetric generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

11.5 R-symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

11.6 Extension of the supersymmetry group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

11.7 Differential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

II Applications

135

12 Finite quantum systems

137

12.1 Diatomic molecules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

12.2 Periodic chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

12.3 Linear chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

12.4 Impurities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

12.4.1 Bound state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

12.4.2 Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

13 One and two dimensional wave mechanics

147

13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

13.2 Schr?odinger's equation in one dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

13.2.1 Transmission of a barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

13.2.2 Wave packet propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

13.2.3 Time delays for reflection by a potential step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

13.3 Schr?odinger's equation in two dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

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CONTENTS

CONTENTS

14 The WKB approximation

159

14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

14.2 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

14.3 Connection formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

14.3.1 Positive slope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

14.3.2 Negative slope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

14.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

14.4.1 Bound states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

14.4.2 Tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

15 Spin systems

169

15.1 Magnetic moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

15.2 Pauli matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

15.2.1 The eigenvalue problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

15.3 Spin precession in a magnetic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

15.4 Driven spin system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

15.5 Spin decay: T1 and T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 15.6 The Ising model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

15.7 Heisenberg models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

16 The harmonic oscillator

177

16.1 The Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

16.2 Energy eigenvalue and eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

16.3 Other forms of the Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

16.4 Coherent states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

16.4.1 Completeness relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

16.4.2 Generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

16.5 Squeezed states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

16.6 The forced oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

16.7 The three-dimensional oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

16.8 The Fermi oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

16.8.1 Action for a Fermi oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

17 Electrons and phonons

199

17.1 Electron-phonon action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

17.2 Equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

17.2.1 Numerical classical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

17.3 Electron modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

17.4 Vibrational modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

17.5 Electron-phonon interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

17.6 The action revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

17.7 Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

17.8 Block wave functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

17.8.1 A one-dimensional periodic potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

17.8.2 A lattice of delta-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

17.8.3 Numerical methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

18 Schr?odinger perturbation theory

223

18.1 Time-independent perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

18.2 Time-dependent perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

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CONTENTS

CONTENTS

19 Variational methods

227

19.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

19.2 Time dependent variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

19.3 The initial value problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

19.4 The eigenvalue problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

19.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

19.5.1 The harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

19.5.2 The anharmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

19.5.3 Time-dependent Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

20 Exactly solvable potential problems

237

20.1 Supersymmetric quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

20.2 The hierarchy of Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

20.3 Shape invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

21 Angular momentum

239

21.1 Eigenvectors of angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

21.1.1 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

21.1.2 Orbital angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

21.1.3 Kinetic energy operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

21.1.4 Parity and Time reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

21.2 Rotation of coordinate frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

21.2.1 Rotation matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

21.2.2 Axis and angle parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

21.2.3 Euler angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

21.2.4 Cayley-Klein parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

21.3 Rotations in quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

21.3.1 Rotations using Euler angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

21.3.2 Properties of D-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

21.3.3 Rotation of orbital angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

21.3.4 Sequential rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

21.4 Addition of angular momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

21.4.1 Coupling of two angular momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

21.4.2 Coupling of three and four angular momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

21.4.3 Rotation of coupled vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

21.5 Tensor operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

21.5.1 Tensor operators and the Wigner-Eckart theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

21.5.2 Reduced matrix elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

21.5.3 Angular momentum matrix elements of tensor operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

21.6 Selected problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

21.6.1 Spin-orbit force in hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

21.6.2 Transition rates for photon emission in Hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

21.6.3 Hyperfine splitting in Hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

21.6.4 The Zeeman effect in hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

21.6.5 The Stark effect in hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

21.6.6 Matrix elements of two-body nucleon-nucleon potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

21.6.7 Density matrix for the Deuteron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

c 2009 John F. Dawson, all rights reserved.

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CONTENTS

CONTENTS

22 Electrodynamics

297

22.1 The Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

22.1.1 Probability conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

22.1.2 Gauge transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

22.2 Constant electric field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

22.3 Hydrogen atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

22.3.1 Eigenvalues and eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

22.3.2 Matrix elements of the Runge-Lenz vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

22.3.3 Symmetry group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

22.3.4 Operator factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

22.3.5 Operators for the principle quantum number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

22.3.6 SO(4, 2) algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

22.3.7 The fine structure of hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

22.3.8 The hyperfine structure of hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

22.3.9 The Zeeman effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

22.3.10 The Stark effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

22.4 Atomic radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

22.4.1 Atomic transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

22.4.2 The photoelectric effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

22.4.3 Resonance fluorescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

22.5 Flux quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

22.5.1 Quantized flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

22.5.2 The Aharonov-Bohm effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

22.6 Magnetic monopoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

23 Scattering theory

333

23.1 Propagator theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

23.1.1 Free particle Green function in one dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

23.2 S-matrix theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

23.3 Scattering from a fixed potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

23.4 Two particle scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

23.4.1 Resonance and time delays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

23.5 Proton-Neutron scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

III Appendices

343

A Table of physical constants

345

B Operator Relations

347

B.1 Commutator identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

B.2 Operator functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

B.3 Operator theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

C Binomial coefficients

351

D Fourier transforms

353

D.1 Finite Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

D.2 Finite sine and cosine transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

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