Differenciálási szabályok



Integrálási szabályok

Azonosságok:

|I. |[pic] |

|II. |[pic] |

|III. |[pic] |

A differenciálási szabályokból visszakövetkeztetett határozatlan integrálok:

|1. |[pic] [pic] |speciálisan [pic] és [pic] |

|2. |[pic] | |

|3. |[pic] |speciálisan [pic] |

|4. |[pic] |[pic] |

|5. |[pic] |[pic] |

|6. |[pic] |[pic] |

Integrálformulák (a helyettesítés módszerével levezethetők):

|A. |[pic] [pic] |

|B. |[pic] [pic] |

|C. |[pic] |

A határozott integrál tulajdonságai:

|[pic]. |[pic] |

|[pic]. |[pic] |

|[pic]. |[pic] |

Primitív függvény, határozatlan integrál: [pic] primitív függvénye (antideriváltja) valamely[pic], ha [pic]. A primitív függvények csak konstansban különböznek egymástól. Határozatlan integrál: [pic], vagyis [pic] határozatlan integrálja az összes olyan függvény halmaza, amelynek deriváltja [pic]. C értéke tetszőleges valós konstans lehet. Az integráljel mögött álló [pic] függvényt integrandusnak nevezzük. A határozatlan integrálra vonatkozó feladatokat a végeredmény deriválásával ellenőrizhetjük.

Határozott integrál: az [pic] függvény határozott integrálját [pic]-tól [pic]-ig a következőképp jelöljük: [pic]. Jelentése: az [pic] görbéje alatti terület az [pic] intervallumon, vagyis a görbe, az [pic] és [pic] egyenesek ill. az [pic] tengely által bezárt terület (az [pic] tengely fölött pozitív, alatta negatív előjellel számítva). Az [pic] és [pic] számokat az integrál alsó és felső határának nevezzük. A határozott integrál értéke egy konkrét valós szám, tetszőleges konstans nélkül! Értékét a következő képlet alapján számíthatjuk ki:

Newton-Leibniz-formula:

[pic], ahol [pic]

Integrálási módszerek:

−visszakövetkeztetés: felismerjük, hogy az integrandus mely függvénynek a deriváltja (az elemi függvények deriválási szabályait alkalmazzuk visszafelé)

−parciális integrálás: a szorzat deriválási szabályát alkalmazzuk visszafelé a III. azonosságnak megfelelően

−helyettesítés: az összetett függvény deriválási szabályát alkalmazzuk visszafelé

−algebrai átalakítások: úgy alakítjuk át az integrandust, hogy olyan függvény(eke)t kapjunk, amelyeket már tudunk integrálni (pl. parciális törtekre bontással)

Integrálás helyettesítéssel: az integrandus valamely részét a [pic] új változóval szeretnénk helyettesíteni: [pic]. Ezt szögletes zárójelbe írjuk, és alá új sorban a [pic]-t tartalmazó oldalát [pic] szerint deriváljuk és [pic]-vel szorozzuk, az [pic]-et tartalmazót pedig [pic] szerint deriváljuk és [pic]-szel szorozzuk: [pic]. Ennek megfelelően átírjuk az integrandust, hogy [pic] ne szerepeljen benne, csak az új [pic] változó. Ha megoldottuk az integrált, a [pic] helyére visszahelyettesítjük az [pic]-et tartalmazó kifejezést.

Improprius integrál: a határozott integrál olyan változata, amikor

−az integrálnak legalább az egyik határa ([pic] vagy [pic]) [pic]

−vagy az integrandus nincs értelmezve legalább az egyik határon ([pic]-ban vagy [pic]-ben)

Ilyenkor a Newton-Leibniz-formulában a helyettesítési érték helyett a [pic] primitív függvény határértékét vesszük: [pic]. Ha a határérték nem létezik ([pic] vagy nem egyértelmű), akkor azt mondjuk, hogy az improprius integrál divergens.

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download