MATEMÁTICA A



MATEMÁTICA A

10ºANO

[pic]

Actividade

[pic]

[pic]

Actividade

[pic]

[pic]

11ºANO

Actividade

Actividade

Actividade

Acyividade

Actividade

Actividade

Actividade

[pic]

[pic]

Actividade

Actividade

Actividade

Actividade

12ºANO

Probabilidades e Combinatória

Actividade

Para representar Portugal num campeonato internacional de hóquei em patins foram seleccionados dez jogadores: dois guarda-redes, quatro defesas e quatro avançados.

a) Sabendo que o treinador da selecção nacional opta por que Portugal jogue sempre com um guarda-redes, dois defesas e dois avançados, quantas equipas diferentes pode ele constituir?

b) Um patrocinador da selecção nacional oferece uma viagem a cinco dos dez jogadores seleccionados, escolhidos ao acaso.

Qual é a probabilidade de os dois guarda-redes serem contemplados com essa viagem? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

Resolução

a) É preciso escolher um guarda-redes, de entre dois, dois defesas, de entre quatro, e dois avançados, de entre quatro.

O número pedido é, portanto, [pic]

b) Número de casos possíveis:

O número de casos possíveis é [pic](número de maneiras de escolher cinco jogadores, de entre dez).

Número de casos favoráveis:

Para que dois dos cinco jogadores contemplados com a viagem sejam os dois guarda-redes, é necessário escolher mais três jogadores, os quais têm de ser seleccionados de entre os oito restantes. Portanto, o número de casos favoráveis é o número de maneiras de escolher três jogadores, de entre oito, que é [pic].

Probabilidade pedida: [pic]

Actividade

O João e a irmã Alice querem telefonar a um amigo.

Ele lembra-se de que o número de telefone do amigo começa por 21 e tem mais sete algarismos: um 3, dois 5, dois 7, dois 8.

a) Quantos números existem nestas condições?

b) A Alice também se lembra de que o número de telefone do amigo termina em 857. Se eles digitarem ao acaso os restantes quatro algarismos, qual é a probabilidade de acertarem à primeira tentativa? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

Resolução

a) Existem 7 posições possíveis para o algarismo 3.

Para cada uma delas, existem [pic] posições possíveis para os dois algarismos 5 (das seis posições disponíveis, escolhemos duas).

Para cada uma das maneiras de os algarismos 3 e 5 ficarem posicionados, existem [pic] posições possíveis para os dois algarismos 7 (das quatro posições disponíveis, escolhemos duas).

Seleccionadas as posições dos algarismos 3, 5 e 7, existe apenas uma maneira de colocar os dois algarismos 8: eles vão ocupar as duas posições disponíveis.

Portanto, o número pedido é [pic]

b) Número de casos possíveis:

O número de telefone tem este aspecto: 2 1 _ _ _ _ 8 5 7

Dos quatro algarismos que faltam, sabe-se que são: um 3, um 5, um 7 e um 8, mas não se sabe a ordem correcta.

Portanto, o número de casos possíveis é o número de maneiras de ordenar os quatro algarismos, ou seja, 4! = 24.

Número de casos favoráveis:

Existe apenas um caso favorável, que corresponde à ordenação correcta dos quatro algarismos.

Probabilidade pedida: [pic]

Actividade

Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos (A e B são, portanto, subconjuntos de S).

Prove que

[pic]

( P designa probabilidade e [pic] e [pic] designam os acontecimentos contrários de A e de B)

Resolução

[pic]

Actividade

O AUTO-HEXÁGONO é um stand de venda de automóveis.

a) Efectuou-se um estudo sobre as vendas de automóveis neste stand, o qual revelou que:

- 15% dos clientes compram automóvel com alarme e com rádio;

- 20% dos clientes compram automóvel sem alarme e sem rádio;

- 45% dos clientes compram automóvel com alarme (com ou sem rádio).

Um cliente acaba de comprar um automóvel.

a1) A Marina, empregada do stand, que nada sabia das preferências desse cliente e não tomou conhecimento do equipamento do automóvel que ele tinha comprado, apostou que esse automóvel estava equipado com rádio, mas não tinha alarme.

Qual é a probabilidade de a Marina acertar? Apresente o resultado na forma de percentagem.

a2) Alguém informou depois a Marina que o referido automóvel vinhaequipado com alarme. Ela apostou, então, que o automóvel também tinha rádio.

Qual é a probabilidade de a Marina ganhar esta nova aposta? Apresnte o resultado na forma de fracção irredutível.

b) Este stand, de forma hexagonal, tem uma montra que se situa num dos lados do hexágono (ver figura).

Pretende-se arrumar seis automóveis diferentes (dois utilitários, dois desportivos e dois comerciais), de tal forma que cada automóvel fique voltado para um vértice do hexágono.

Supondo que se arrumam os seis automóveis ao acaso, qual é a probabilidade de os dois desportivos ficarem voltados para os vértices que se encontram nas extremidades da montra? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.

Resolução

a1) Designemos por A o acontecimento «comprar automóvel com alarme» e por R o acontecimento «comprar automóvel com rádio».

Os dados do problema estão apresentados na tabela seguinte:

| |A |[pic] |Total |

|R |15% | | |

|[pic] | |20% | |

|Total |45% | | |

Donde

| |A |[pic] |Total |

|R |15% |35% |50% |

|[pic] |30% |20% |50% |

|Total |45% |55% |100% |

Portanto [pic]

a2) A probabilidade pedida é [pic].

[pic]

c) Número de casos possíveis:

O número de casos possíveis é 6! (número de maneiras de arrumar os seis automóveis, nas condições do enunciado).

Número de casos favoráveis:

O número de casos favoráveis é [pic](2 é o número de maneiras de dispor os dois automóveis desportivos, pois um deles pode ficar voltado para o lado esquerdo da montra e o outro para o lado direito, ou ao contrário; para cada uma destas duas maneiras existem 4! maneiras de dispor os restantes quatro automóveis).

Probabilidade pedida: [pic]

Funções Racionais e Irracionais

Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta, com capacidade de dois litros. Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular.

a) Mostre que a área total da embalagem é dada por

(x é o comprimento da aresta da base, em dm)

b) Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostre que existe um valor de x para o qual a área total da embalagem é mínima e determine-o.

RESOLUÇÃO:

a) Área de uma das bases do prisma= [pic]

Área das duas bases do prisma = [pic] Altura do prisma = [pic]

(porque o volume do prisma é 2)

Área de uma face lateral = [pic] Área lateral = [pic]

[pic]

b) [pic]

[pic]

|x |0 | |[pic] |[pic] |

|A’(x) |n.d. |- |0 |+ |

|A(x) |n.d. | |Min. | |

n.d. – não definida

Conclusão: o valor de x para o qual a área total da embalagem é mínima é [pic].

Funções Exponenciais e Logarítmicas

Na figura estão representadas, em referencial o.n. xOy:

• uma curva C, gráfico da função f, de domínio IR, definida por [pic]

• uma recta r, gráfico da função g, de domínio IR definida por [pic]

a) Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as duas alíneas seguintes:

a1) Determine uma equação da recta paralela à recta r e tangente à curva C.

a2) Estude a função [pic] quanto à existência de assimptotas do seu gráfico.

b) Considere agora que se acrescentou à figura anterior uma recta s, paralela ao eixo Oy.

Sejam A e B os pontos de intersecção da recta s com a curva C e com a recta r, respectivamente.

Imagine que a recta s se desloca, mantendo-se sempre paralela ao eixo Oy. Os pontos A e B acompanham, naturalmente, o deslocamento da recta s.

Recorrendo à calculadora, determine x ( [0,2] tal que[pic]. Apresente o resultado aproximado às décimas. Explique como procedeu (na sua explicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que considerou para resolver esta questão).

RESOLUÇÃO:

a1) A recta cuja equação é pedida tem declive 1, pois é paralela à recta r.

Por isso, a abcissa x do ponto de tangência é tal que f’(x) =1.

Ora, [pic]

Como [pic], uma equação da recta pedida é [pic]

a2) [pic]

Uma vez que f+g é contínua em IR, o seu g´rafico não tem assimptotas verticais.

[pic]

Logo, não existe assimptota do gráfico de f+g quando [pic]

[pic]

[pic]

Então, a recta de equação [pic] é assimptota do gráfico de f+g quando [pic]

b) [pic] [pic]

Com recurso à calculadora, podemos obter:

• parte do gráfico da função definida por [pic]

• parte da recta de equação [pic]

• a abcissa do ponto de intersecção do gráfico da função com a recta

O valor de [pic] tal que [pic] é aproximadamente igual a 1,5.

Funções Trigonométricas

Considere a função [pic], de domínio [pic], definida por

[pic]

Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as duas alíneas seguintes:

a) Estude [pic] quanto à existência de assimptotas do seu gráfico.

b) Estude [pic]quanto à monotonia e existência de extremos relativos.

RESOLUÇÃO:

a) [pic]. Portanto a recta de equação [pic], é assimptota do gráfico de f.

Como a função é contínua em[pic], o seu gráfico não tem mais assimptotas verticais.

Uma vez que o domínio da função é limitado, o seu gráfico não tem assimptotas não verticais.

b)

b) [pic]

[pic].

Como [pic], tem-se [pic], donde [pic]

|x |0 | |[pic] | |[pic] |

|f’(x) | |+ |0 |- |n.d. |

|f(x) |Min. | |Max. | |n.d. |

n.d. – não definida

A função é crescente em [pic]e decrescente em [pic]

A função tem um máximo relativo para [pic]e um mínimo relativo para [pic]

Números Complexos

Actividade

Em C, conjunto dos números complexos, considere

w = 2 + i (i designa a unidade imaginária) .

a) Determine [pic] na forma algébrica.

b) Averigúe se o inverso de w é, ou não, [pic]

Resolução

a)

[pic]

b) O inverso de 2 + i é [pic]

Tem-se [pic]

Como [pic], o inverso de w não é [pic]

Actividade

Seja A o conjunto dos números complexos cuja imagem, no plano complexo, é o interior do círculo de centro na origem do referencial e raio 1.

a) Defina, por meio de uma condição em C, a parte de A contida no segundo quadrante (excluindo os eixos do referencial).

b) Sem recorrer à calculadora, mostre que o número complexo [pic] pertence ao conjunto A.

Resolução

a) Uma condição que define o conjunto A é | z | ................
................

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