LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE PROGRESSÕES ...
LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
FORMULÁRIO:
01)Numa P.A., cujo 20 termo é igual a 5 e o 60 termo é igual a 13 o 200 termo é igual a:
a) 13
b) 40
c) 41
d) 42
e) nda.
02) Qual é a soma dos números pares compreendidos entre 1 e 101?
a) 250
b) 2050
c) 2555
d) 2550
e) zero
03) Os números [pic] , [pic] e [pic] são os 3 primeiros termos de uma P.A., de termos positivos, sendo x(0. O décimo termo desta P.A. é igual a:
a) 50
b) 53
c) 54
d) 57
e) 55
04) Numa PG a1 + a2 = 3 e a4 + a5 = 24, a razão da PG é :
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
05) A soma de três números em PG é 26 e o produto é 216. Então, o termo médio é igual a:
a) 2
b) 6
c) 18
d) 5
e) nda.
06) Calcule x, sendo: [pic]
a) 45
b) 50
c) 10
d) 9
e) 4
07) A soma dos 9 primeiros termos da seqüência(1,2,4,8,...) é igual a:
a) 63
b) 127
c) 128
d) 255
e) 511
08) A soma dos infinitos termos da P.G. [pic] é igual a:
a) 2
b) 1/3
c) 2/3
d) 1/6
e) 1
09) Calcule o valor da seguinte soma:
( 2 + 3 + 4 + ....+ 99 + 100 + 101)
a) 5050
b) 5051
c) 5049
d) 5055
e) nda
10) O produto dos 25 primeiros termos da PG : ( 2, 4, 8, 16, 32, ...) é melhor representado pela alternativa:
a) 2325
b) 225
c) 250
d) 2105
e) nda
11(FGV-2000).Numa progressão aritmética [pic], sabe-se que:
[pic]
[pic]
[pic]
Obtenha a razão desta progressão.
12(FUVEST-2000).Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A(-a,0), B(0, b) e C(c, 0), é igual a b, então o valor de b é:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1
13 – Os ângulos internos de um triângulos estão em progressão aritmética e o menor deles é a metade do maior. O maior ângulo do triângulo mede:
a) 60o b) 75o c) 80o d) 90o e) 120o
14. (VUNESP-2000) – Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará a produção da fábrica A a partir de :
a) março. b) maio. c) julho.
d) setembro. e) novembro.
15 – Os números que ex primem o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em P.A., nessa ordem. O lado do quadrado mede:
a) [pic] b) [pic] c) [pic]
d) 4 e) [pic]
16.(UFSC) – Numa P.A. de n termos, a soma do primeiro com o de ordem n é 120. A soma do sexto termo com o de ordem n-5 é :
a) 120 b) 60n c) 90 d)[120(n+1)]/n e) 120n
17. A soma dos 11 primeiros termos da progressão aritmética [pic] é 176. Se [pic] então, para qualquer n ( [pic] temos:
a) [pic] b) [pic]
c) [pic] d) [pic]
e) [pic]
18 – A soma dos termos de uma P.A. é dada por [pic], n = 1, 2, 3, ...
Então o 10o termo da P.A. vale:
a) 18 b) 90 c) 8 d) 100 e) 9
19 – A sequência ( 1, a, ...) é uma progressão geométrica. O nono termo desta progressão é 256. Encontre um possível valor para a.
20.(FUVEST) – Numa progressão geométrica de 4 termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão.
21.(MACKENZIE-2000) – A seqüência de números reais e positivos dada por [pic] é uma progressão geométrica cujo sétimo termo vale:
a) 96 b) 192 c) 484 d) 252 e) 384
22 – Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a [pic]. Se o produto dos termos dessa progressão é 239, então o número de termos é igual a:
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
23 – Obtenha a fração geratriz da dízima periódica 0,13232323232....
24.(MACK) – Se f(n), n ( [pic]é uma seqüência definida por:
[pic] , então f(200) é:
a) 597 b) 600 c) 601 d) 604 e) 607
25.(FUVEST) – Na figura, A1B1 = 3, B1A2 = 2 e os triângulos formados são retângulos. Calcule a soma dos infinitos segmentos:
A1B1 + B1A2 + A2B2 + B2A3 + ....
LISTA DE SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS - PA – 2012 - GABARITO
1. Qual o primeiro termo negativo da PA: (102, 94, 86,...)?
Solução. A progressão aritmética é decrescente. A razão é r = 94 – 102 = 86 – 94 = – 8. O termo pedido deve ser negativo. Escrevendo a expressão do termo geral e resolvendo, temos:
[pic].
Como n é um número natural, n = 14. Substituindo na fórmula do termo geral, temos:
[pic].
2. Qual é o primeiro termo negativo da PA: (60, 53, 46,...)?
Solução. A progressão aritmética é decrescente. A razão é r = 53 – 60 = 46 – 53 = – 7. O termo pedido deve ser negativo. Escrevendo a expressão do termo geral e resolvendo, temos:
[pic].
Como n é um número natural, n = 10. Substituindo na fórmula do termo geral, temos:
[pic].
3. Dois ciclistas estão em fases distintas de preparação. O técnico desses atletas elabora um planejamento de treinamento para ambos, estabelecendo o seguinte esquema:
• ciclista 1: iniciar o treinamento com 4 km de percurso e aumentar, a cada dia, 3 km a mais para serem percorridos;
• ciclista 2: iniciar o treinamento com 25 km de percurso e aumentar, a cada dia, 2 km a mais para serem percorridos. Sabendo-se que esses ciclistas iniciam o treinamento no mesmo dia e que o término desse treinamento se dá quando os atletas percorrem a mesma distância em um mesmo dia, pode-se afirmar que ao final do treinamento o ciclista 1 percorre uma distância total, em km, de:
a) 781 b) 714 c) 848 d) 915
Solução. Escrevendo a expressão de cada termo geral para os ciclistas e igualando, será encontrado o número de dias decorridos até que a distância diária de cada um seja a mesma.
[pic].
4. Dada a progressão aritmética, (13, 20, ...). Então a soma desde o 30° até o 42° termo é:
a) 3096 b) 4012 c) 3354 d) 3543 e) 4102
Solução. Como é informado que a sequência é aritmética, com os dois elementos é possível calcular a razão: r = 20 – 13 = 7. Escrevendo os temos em função do primeiro termo e da razão, temos:
[pic].
5. “Números triangulares” são números que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos equiláteros. E conveniente definir 1 como o primeiro numero triangular. Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares. Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 = 1, T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, e assim por diante. O valor de T100 é igual a:
a) 5.050 b) 4.950 c) 2.187
d) 1.458 e) 729
Solução. Esta progressão aritmética é chamada de 2ª ordem. Os termos 1, 3, 6, 10,... não forma uma progressão aritmética, mas a diferença entre os termos forma uma progressão aritmética.
[pic].
De forma geral, podemos escrever essa situação da seguinte forma:
i) a1, a2, a3, a4, ...., an: PA de 2ª ordem. ii) b1, b2, ...,bn-1: PA de 1ª ordem.
a2 – a1 = b1
a3 – a2 = b2
a4 – a3 = b3
................
an – an -1 = bn-1
Adicionando os dois membros entre si, observamos que os termos simétricos do 1º membro se anulam sobrando (an – a1) e no 2º membro forma-se uma soma de PA. Escrevendo essa expressão, temos: [pic].
No caso do exercício, temos:
[pic].
6. A soma de todos os inteiros entre 50 e 350 que possuem o algarismo das unidades igual a 1 é:
a) 4566 b) 4877 c) 5208 d) 5539 e) 5880
Solução. Os termos são: 51, 61, 71,..., 341. Formam uma progressão aritmética de razão 10. Encontrando o número de termos e a soma, temos:
[pic].
7. Se (a, b, c) é uma PA de razão r, a sequência (a2, b2 + r2, c2) é:
a) Uma PA de razão r2 b) Uma PA de razão b·r c) Uma PA de razão 2·b·r
d) Uma PG de razão r2 e) Uma PG de razão b·r2
Solução. Verificando a propriedade da progressão aritmética em relação á razão, temos:
[pic].
8. Uma competição esportiva e realizada de n em n anos (n inteiro e maior que 1). Sabe-se que houve competição nos anos de 1931, 1959 e 1994. Assinale a alternativa que apresenta a próxima data dessa competição a partir deste ano.
a) 2010 b) 2012 c) 2011 d) 2008 e) 2009
Solução. Como o intervalo entre 1931 e 1959 é de 28 anos e entre 1994 e 1994 é 35 anos. O próximo ano deve ser um número divisor comum de 28 e 35. Os divisores de 28 são: 1, 2, 4, 7, 14 e 28. Os divisores de 35 são: 1, 5, 7 e 35. O divisor comum maior que 1 é o 7. Logo as competições ocorrem de 7 em 7 anos. Após 1994 teríamos competições em: 2001, 2008, 2015,.... Das opções a indicada seria 2008.
9. Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioria dos mamíferos. Considere uma colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote por an o número de casais adultos desta colônia ao final de n meses. Se a1 = 1, a2 = 1 e, para n ≥ 2, an+1 = an + an - 1, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês será:
a) 13 b) 8 c) 6 d) 5 e) 4
Solução. A sequência é a famosa de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5,.... Logo a5 = a4 +a3 = 3 + 2 = 5.
10. Em uma progressão aritmética (a1, a2,..., an), a soma dos n primeiros termos é dada por Sn = bn² + n, sendo b um número real. Sabendo-se que a3 = 7, determine:
a) o valor de b e a razão da progressão aritmética.
Solução. Por definição S1 = a1 = b(1)² + (1) = b + 1.
A soma de dois dos termos será: S2 = b(2)² + 2 = 4b + 2. Com esse valor podemos encontrar a2 e expressão para a razão.
[pic].
b) o 200 termo da progressão.
Solução. Utilizando a expressão do termo geral, temos:
[pic].
c) a soma dos 20 primeiros termos da progressão.
Solução. Aplicando a fórmula da soma da progressão aritmética, temos:
[pic].
11. Num programa de condicionamento físico um atleta corre sempre 300 metros a mais do que correu no dia anterior. Sabe-se que no segundo dia ele correu um quilômetro. Então, no décimo dia, ele correrá:
a) 3.700 metros b) 3.100 metros c) 3.400 metros d) 4.000 metros e) 2.800 metros
Solução. Se no segundo dia ele correu 1km = 1000m, então no primeiro dia ele correu 700m. Conhecendo a razão r = 300 e o primeiro termo, aplicamos a fórmula do termo geral.
[pic].
Exercícios
1) Uma empresa deve instalar telefones de emergência a cada 42 quilômetros, ao longo da rodovia de 2.184 km, que liga Maceió ao Rio de Janeiro. Considere que o primeiro desses telefones é instalado no quilômetro 42 e o último, no quilômetro 2.142. Assim, a quantidade de telefones instalados é igual a:
a) 50 b) 51 c) 52 d) 53
Alternativa B
2) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo termo central é:
a) 45 b) 52 c) 54 d) 55 e) 57
Alternativa C
3) Inserindo-se 5 números entre 18 e 96, de modo que a seqüência (18, a2, a3, a4,a5,a6, 96) seja uma progressão aritmética, tem-se a3 igual a:
a) 43 b) 44 c) 45 d) 46 e) 47
Alternativa B
4) Se a seqüência (-8,a,22,b,52) é uma progressão aritmética, então o produto a.b é igual a:
a) 273 b) 259 c) 124 d) 42 e) 15
Alternativa B
5) Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na caderneta de poupança de sua filha. Pretende começar com R$ 5,00 e aumentar R$ 5,00 por mês, ou seja, depositar R$ 10,00 no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, a quantia total depositada por ele será de:
a) R$ 150,00 b) R$ 250,00 c) R$ 400,00 d) R$ 520,00 e) R$ 600,00
Alternativa E
6) Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27, ..... se a sua soma é 3280, então ela apresenta:
a) 9 termos b) 8 termos c) 7 termos d) 6 termos e) 5 termos
Alternativa B
7)Numa P.A. tem-se que a1=-3 e a19=1. Calcule a razão.
Resp:r=2/9
8) Num programa de condicionamento físico uma pessoa começa correndo 300 metros num dia, 400 metros no dia seguinte, 500metros no próximo dia e assim sucessivamente até o décimo dia.Pergunta-se:
a)Quantos metros correu no décimo dia?
Resp: 1200m
b)Qual o total de metros percorridos por essa pessoas nos 10 dias?
Resp: 7500m
9) Calcule o valor de x para que os números (2x; 1-7x; 3x-11) nesta ordem, formem uma P.A.
X=13/19
10)Para que valor de x a sequência (x-4; 2x; x+2) é uma P.A?
X=-1
11) Calcule a soma dos 25 primeiros termos da P.A(1;3;5;...)
Resp: S25=625
12) Calcule a soma dos 7 primeiros termos da P.G(8;4;2;1;1/2;...)
Resp: S7=15875
13) Calcular o limite da soma dos termos da P.G(1; 1/2; 1/4; 1/8;...)
Lim=2
14) Se o preço de um carro novo é R$ 20.000,00 e esse valor diminui R$ 1200,00 a cada ano de uso, qual será o preço deste carro após 5 anos de uso?
Resp: R$14.000,00
15) Interpole 6 meios aritméticos entre 100 e 184.
Resp: ( 100, 112, 124, 136, 148, 160, 172, 184)
16) Determine a soma da P.G infinita (1/3 +2/9 +2/27 + ...)
Resp: 1
17) Calcule o 10° termo da P.G (9,27...)
Resp: a10=311
18) Calcule o 1° termo da P.G em que a4=64 e q=2.
Resp: a1=8
19) Qual é a razão de uma P.G em que a1= 4 e a4= 4000?
Resp: q=10
20) Numa P.G, temos a5=32 e a8=256.Calcule o primeiro termo e a razão dessa P.G.
Resp: a1=2 e q=2.
Lista I de Exercícios de Progressão Aritmética
01. Assinale as seqüências que representam progressões aritméticas:
|a) [pic] |d) [pic] |
|b) [pic] |e) [pic] |
|c) [pic] |f) [pic] |
02. Determine a razão de cada uma das seguintes progressões aritméticas e, em seguida, classifique-as em crescente, decrescente ou constante:
|a) [pic] |d) [pic] |
|b) [pic] |e) [pic] |
|c) [pic] |f) [pic] |
03. Qual é o 15º termo da P.A. [pic]?
04. Qual é o 100º número natural ímpar?
05. Qual é o 72º múltiplo positivo de 3?
06. O 8º termo de uma P.A. é 15 e o 1º termo é igual a 1. Qual a razão dessa P.A.?
07. Numa P.A. de razão -3, o 15º termo é igual a7. Qual o 1º termo?
08. Dada a P.A. [pic], determine:
a) Seu termo geral.
b) O 10º termo.
09. Dada a P.A. [pic], determine:
a) Sua razão.
b) O valor de x tal que [pic].
10. Numa P.A. temos [pic] e [pic]. Qual a razão da P.A.?
11. Numa P.A. sabe-se que [pic] e [pic]. Determine seu 1º termo e sua razão.
12. Dada a seqüência [pic]:
a) Verifique se ela representa uma P.A. e calcule sua razão.
b) Determine x a fim de que seu oitavo termo valha 32.
13. A seqüência [pic] é uma P.A. de razão 3. Qual o 20º termo da P.A. [pic]?
14. Num programa de condicionamento físico, um atleta corre sempre 200m a mais do que correu no dia anterior. Sabe-se que no 3º dia ele correu 1300m. Quanto correrá no 9º dia?
15. Quantos termos tem a P.A. [pic]?
16. Interpole dez meios aritméticos entre 5 e 49.
17. Quantos números pares existem entre 43 e 535?
18. Quantos números x, tais que [pic], não são múltiplos de 3?
19. Determine três números em P.A., sabendo que o elemento central é 4 e o produto entre eles é 28.
20. A soma dos quadrados de três números em P.A. crescente é igual a 116 e o produto dos termos extremos é 32. Qual é a P.A.?
21. Num triângulo, a medida do maior ângulo interno é 105°. Determine as medidas dos ângulos internos desse triângulo, sabendo que elas estão em P.A.
22. As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em P.A. de razão 3. Qual a hipotenusa do triângulo?
Respostas dos exercícios da lista de P.A.:
01. a, c, d, f
02. a) 11, crescente. B) -4, decrescente. C) [pic], crescente. D) 0, constante. E) -9, decrescente. F) b, crescente.
03. 43 04. 199 05. 216 06. 2 07. 49 08. a) [pic]. b) 29.
0.9 a) 1. b) 43. 10. [pic] 11. [pic] e r = 7. 12.a) [pic]. b) x = 2. 13. -64
14. 2500m 15. 21 16. (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49)
17. 246 18. 67 19. (1, 4, 7) ou (7, 4, 1) 20. (4, 6, 8) ou (-8, -6, -4)
21. 15°, 60° e 105° 22. 15
-----------------------
Progressão Aritmética
Termo Geral:
[pic]
ou ainda:
[pic]
Soma dos Termos:
[pic]
Progressão Geométrica
Termo Geral:
[pic]ou ainda: [pic]
Soma Finita dos Termos:
[pic]ou ainda: [pic]
Soma Infinita: Produto dos Termos:
[pic] [pic]
A1
A2
A3
B3
B2
B1
................
................
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