Testede Hipóteses - SWEET

[Pages:13]Aula 6. Testes de Hip?teses Param?tricos (I)

M?todos Estad?sticos 2008

Universidade de Averio

Prof? Gladys Castillo Jord?n

Teste de Hip?teses

Procedimento estat?stico que averigua se os dados sustentam uma hip?tese ( conjectura sobre uma caracter?stica da popula??o)

Existem duas hip?teses:

Hip?tese Nula -- H0

vs

A hip?tese nula H0 deve ser sempre simples (com sinal de =)

Hip?tese Alternativa -- H1

Podem ser realizado dois tipos de testes:

unilaterais: H1 apenas contempla possibilidades ? direita ou ? esquerda de H0

ou

H0 : ? = 1 vs H1 : ? > 1 (unilateral ? direita) H0 : ? = 1 vs H1 : ? < 1 (unilateral ? esquerda)

bilaterais: H1 contempla possibilidades ? direita ou ? esquerda de H0 H0 : ? = 1 vs H1 : ? 1 (bilateral)

Existem dos tipos de decis?o: Rejeitar a hip?tese nula H0

ou

N?o rejeitar a hip?tese nula H0

2

1

Defini??es b?sicas

Estat?stica de teste T: estat?stica calculada a partir da amostra e usada para tomar a decis?o Regi?o de rejei??o ou regi?o cr?tica RC: conjunto de valores da estat?stica de teste que nos levam a rejeitar H0 N?vel de signific?ncia ou tamanho do teste :

= P(Erro de tipo I) = P(rejeitar H0|H0 verdadeiro) normalmente =0.1, =0.05 ou =0.01 Pot?ncia do teste 1 - : 1 - = 1 - P(Erro de tipo II) = P(n?o rejeitar H0|H1 verdadeiro) p-value: a probabilidade de observar um valor da estat?stica de teste tanto ou mais afastado que o valor observado na amostra, assumindo que H0 ? verdadeira

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Exemplo de TH para a m?dia ?

Popula??o Normal

M?quina de encher pacotes de a??car. O peso de cada pacote deve ser 8g (isto ?, ? = 8). Ser? que a m?quina est? a funcionar correctamente?

X ? v.a. que representa o peso de um pacote de a??car

X ~ N(8, 2 )

Observa-se uma a.a. com n observa??es decidir em base ? media amostral X

Como decidir entre teste unilateral ou bilateral?

I. Ponto de vista do fabricante: H0 : ? = 8

rejeitar H0 se X > 8+ c

RC:

vs. H1: ? > 8

Se rejeitar H0 parar a produ??o para afinar a m?quina,

pois a m?quina est? a encher demais

II. Ponto de vista do consumidor:

X < 8 - c rejeitar H0

RC:

H0 : ? = 8

vs. H1: ? < 8

Se rejeitar H0 n?o aceitar a encomenda, pois a m?quina est? a

encher de menos

III. Compromisso entre fabricante e consumidor

X < 8 - c rejeitar H0 X > 8 + c

RC:

H0 : ? = 8 vs. H1: ? 8

4

2

Procedimentos

Existem 3 procedimentos para realizar um teste de hip?tese ao n?vel de signific?ncia :

1. Com base na regi?o cr?tica RC Rejeitar H0 se o valor tobs encontra-se na RC (tobs - o valor da estat?stica do teste para os dados observados)

2. Atrav?s do p-value Rejeitar H0 se p-value

3. Atrav?s de intervalos de confian?a (v?lido apenas para testes bilaterais) Rejeitar H0 se o valor do par?metro especificado em H0 n?o pertencer ao intervalo de confian?a

5

Procedimento usando RC

1. Identificar o par?metro de interesse e especificar H0 e H1 2. Escolher uma estat?stica de teste, T, com distribui??o

conhecida (admitindo que H0 ? verdadeira) 3. Identificar a regi?o de rejei??o RC 4. Calcular tobs - o valor que T assume para os dados observados 5. Tomar decis?o: rejeitar H0 se o valor tobs encontra-se na RC 6. Concluir

6

3

TH para ? com vari?ncia conhecida

Popula??o Normal

? desconhecido, mas 2 conhecido

Teste de Hip?teses com n?vel de signific?ncia (tamanho)

H0 : ? = ?0 vs. H1: ? ?0 H0 : ? = ?0 vs. H1: ? < ?0 H0 : ? = ?0 vs. H1: ? > ?0

teste bilateral teste unilateral (inferior) teste unilateral (superior)

Estat?stica do Teste:

~ T

=

X

- ?0

sob H0

N (0,1)

n

RC para teste bilateral

fT(x)|H0

Regi?o de Rejei??o (Regi?o Cr?tica (RC) :

H1: ? ?0 RC = { t : | t | > z1-/2 }

RC

1-

RC

H1: ? < ?0 RC = { t : t < z }

2

2

H1: ? > ?0 RC = { t : t > z1-} -

z /2 0

z1 - /2

+

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IC e TH para ? com vari?ncia conhecida

Popula??o Normal

exerc?cio 1.1, cap?tulo 4

Uma refinaria de petr?leo possui um parque de enchimento que lhe permite encher, por dia, uma m?dia de 30 tanques com um desvio padr?o de 6 tanques. Modificando o processo de enchimento observou-se o parque durante 36 dias e registou-se uma m?dia amostral de 34 tanques. Admite-se que os valores obtidos pelo novo processo de enchimento s?o bem modelados pela distribui??o Normal sem altera??o no desvio padr?o

1. Determine um IC a 95% para o valor m?dio do novo processo de enchimento

IC(1- ) (?)

=

X

-

z1-

2

n

,

X

+

z1-

2

n

Para grau de confian?a 95%: (1-) x 100% = 95% (1-) =0.95 =0.05 1-/2=0.975

z0.975 = 1.96 IDF.Normal(0.975, 0, 1) em SPSS

IC95% (? )

=

X

-

z0,975

n

,

X

+

z0,975

n

Substituindo por X = 34, = 6, n = 36

IC95%

(?

)

=

34

-

1,96

6 , 34 +1,96 36

6 36

IC95% (?) = (34 -1.96, 34 +1.96)

IC95% (?) = (32.04, 35.96)

8

4

IC e TH para ? com vari?ncia conhecida

Popula??o Normal

exerc?cio 1.2, cap?tulo 4

1.2. Para =0.05, conclua se ? razo?vel admitir uma altera??o do valor m?dio, efectuando um teste de hip?teses com base na regi?o cr?tica

1. Identificar o par?metro de interesse e especificar as hip?teses H0 e H1 Par?metro de interesse - ?, n?vel de signific?ncia - = 0.05

H0 : ? = 30 vs. H1: ? 30

teste bilateral

2. Escolher uma estat?stica do teste T com distribui??o conhecida admitindo que H0 ? verdadeira

~ T

=

X

- ?0

sob H0

N (0,1)

n

Substituindo por ?0 = 30, = 6, n = 36

~ T

=

X

- 30

6

sob H 0

N (0,1)

36

9

IC e TH para ? com vari?ncia conhecida

Popula??o Normal

exerc?cio 1.2, cap?tulo 4 (cont...)

3. Identificar a regi?o de rejei??o (regi?o cr?tica RC)

se H1: ? 30 RC = { t : | t | > z1-/2 }

se =0.05 1-/2=0.975

RC = { t : | t | > z0.975 }

RC = { t : | t | > 1,96}

z0.975 =1.96

4. Calcular tobs (valor de T para os dados observados)

Substituindo por X = 34

tobs

=

X

- 30 6

=

34 - 30 1

=

4

RC bilateral

fT(x)|H0

36

5 e 6. Tomar decis?o e Concluir

Como tobs=4 > 1.96 (encontra-se na regi?o cr?tica) rejeita-se H0 a favor de H1. Logo, ao n?vel de

signific?ncia =0.05 rejeita-se a hip?tese de a m?dia ser 30 e conclui-se que: houve altera??o ao valor m?dio

/2

t < -1.96

RC

/2

t > 1.96

RC

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5

Procedimento usando o p-value

1. Identificar o par?metro de interesse e especificar H0 e H1

2. Escolher uma estat?stica de teste, T, com distribui??o conhecida

e calcular tobs para os dados observados

3. Determinar o p-value do teste

? se teste unilateral ? direita:

p-value = P(T > tobs|H0)

? se teste unilateral ? esquerda: p-value = P(T < tobs|H0)

? se teste bilateral:

p-value = 2P(T < tobs|H0) se tobs for reduzido 2P(T > tobs|H0) se tobs for elevado

tobs ? reduzido (elevado) se a estimativa que se obt?m para o par?metro a testar ? inferior (superior) ao valor especificado em H0

4. Tomar decis?o: rejeitar H0 se p-value (n?vel de signific?ncia)

5. Concluir

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IC e TH para ? com vari?ncia conhecida

Popula??o Normal

exerc?cio 1.3, cap?tulo 4

1.3. Determine o p-value do teste efectuado e confirme as conclus?es a que chegou

1. Calcular o p-value: 1. Teste bilateral RC ? bilateral com igual probabilidade para os dois lados

2. tobs ? elevado

X =34> ? =30

p-value = 2 P(T > tobs|H0)= 2 P(T > 4|H0) = 2 (1 ? P(T ?0

teste unilateral (superior)

Estat?stica do Teste:

~ T

=

X

- ?0 Sc

tn-1

sob H 0

n

Regi?o de Rejei??o (Regi?o Cr?tica (RC) :

se H1: ? ?0 RC = { t : | t | > t1-/2, n-1 } se H1: ? < ?0 RC = { t : t < t, n-1 } se H1: ? > ?0 RC = { t : t > t1-, n-1}

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TH para ? com vari?ncia desconhecida

Popula??o Normal

exerc?cio 10, cap?tulo 4

Determinada empresa de seguran?a foi contactada para uma eventual presta??o de servi?os no Euro 2004 e o Gerente tratou de assegurar ao potencial cliente que na sua empresa os seus seguran?as est?o muito preparados fisicamente mas conseguem passar despercebidos pois o peso m?dio deles inferior a 68 kg. Seleccionou ao acaso 50 guardas e registou-se os seus pesos. A amostra est? dispon?vel no ficheiro PesosSeg.sav

1. Poder? considerar que o peso de um guarda escolhido ao acaso tem distribui??o Normal?

Por forma a averiguar se a distribui??o dos pesos ? Normal construi-se um um QQ-plot (com o SPSS)

2. Teste ao n?vel de signific?ncia de 5% se a afirma??o do gerente foi imprudente

Por forma a averiguar se a afirma??o do gerente foi imprudente realiza-se um teste param?trico para ? com popula??o Normal e vari?ncia desconhecia Par?metro de interesse - ?, n?vel de signific?ncia - = 0.05

H0 : ? = 68 kg vs. H1: ? > 68 kg teste unilateral superior

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8

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