Otomatik Kontrol



Soru 1:A?a??da verilen a??k ?evrim transfer fonksiyonlar?n?n bode diyagram?n? ?iziniz, 5 s + 10 ----------------------- s^4 + 2.129 s^3 + 4 s^2 s + 3 --------------------- s^4 + 1.357 s^3 + s^2 3 s + 3 ------------------- s^3 + 1.107 s^2 + s 4 s + 8 ----------------- s^2 + 1.418 s + 1 3 s + 3 ------------------- s^3 + 1.192 s^2 + sbirim geri bildirimli, sistemin kararl?l??? hakk?nda, kazan? ve faz marjlar?n? bularak bode diyagram? üzerinden yorum yap?n?z.Rezonans de?eri, rezonans frekans?, bant geni?li?i frekans?n? bulunuzBode diyagramlar?ndan da g?rülebilmektedir ki, tüm sistemler i?in faz-frekans grafikleri hi?bir zaman 180° ?izgisini kesmemektedir ya da sonsuzda kesmektedir. Dolay?s?yla sistemlerin kazan? marjlar? yoktur ya da sonsuzdur. Faz marjlar? ve bode diyagramlar?n ?izimleri ise a?a??daki python kodu ile olu?turulmu?tur:import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport scipyimport controltf1 = control.tf([5, 10],[1, 2.129, 4, 0, 0])tf2 = control.tf([1, 3],[1, 1.357, 1, 0, 0])tf3 = control.tf([3, 3],[1, 1.107, 1, 0])tf4 = control.tf([4, 8],[1, 1.418, 1])tf5 = control.tf([3, 3],[1, 1.192, 1])for i, tfx in enumerate([tf1, tf2, tf3, tf4, tf5]): plt.figure(figsize=(6,6)) mag, phase, w = control.bode(tfx, dB=True) mag = 20*np.log10(mag) phase = np.degrees(phase) bandwidth = max(w[mag >= -3]) gm, pm, wg, wp = control.margin(tfx) resonant_peak = max(mag) resonant_freq = scipy.interpolate.interp1d(mag, w)(resonant_peak) print(f'tf{i+1} faz marj?={pm:6.2f}°, kazan? marj?={gm:.2f}rad/s', ) print(f'rezonans = {resonant_peak:5.2f}dB, rezonans frekans? = {resonant_freq:5.2f}rad/s') print(f'bant geni?li?i = {bandwidth:.2f}rad/s', end='\n'+'-'*55+'\n') plt.subplot(2, 1, 1) plt.semilogx(w, mag) plt.ylabel('Büyüklük (dB)') plt.title('Bode Diyagram?') plt.grid(which='both') plt.subplot(2, 1, 2) plt.semilogx(w, phase) plt.ylabel('Faz (deg)') plt.xlabel('Frekans (rad/s)') plt.grid(which='both') plt.savefig(f'tf{i+1}.jpg')plt.show()bu kod ?al??t?r?ld???nda, yukar?daki bode diyagramlar?n? kaydedip, a?a??daki faz marjlar?n? konsol ekran?nda ??kt? olarak yazmaktad?r.tf1 faz marj?=-38.88°, kazan? marj?=infrad/srezonans = 47.98dB, rezonans frekans? = 0.10rad/sbant geni?li?i = 1.93rad/s-------------------------------------------------------tf2 faz marj?=-88.28°, kazan? marj?=infrad/srezonans = 49.55dB, rezonans frekans? = 0.10rad/sbant geni?li?i = 1.26rad/s-------------------------------------------------------tf3 faz marj?= 10.98°, kazan? marj?=infrad/srezonans = 29.62dB, rezonans frekans? = 0.10rad/sbant geni?li?i = 2.02rad/s-------------------------------------------------------tf4 faz marj?= 84.32°, kazan? marj?=infrad/srezonans = 18.12dB, rezonans frekans? = 0.36rad/sbant geni?li?i = 5.18rad/s-------------------------------------------------------tf5 faz marj?= 95.03°, kazan? marj?=infrad/srezonans = 11.53dB, rezonans frekans? = 0.79rad/sbant geni?li?i = 4.29rad/s-------------------------------------------------------Faz marj?, pozitif oldu?u durumlarda karars?zl?ktan ne kadar uzak oldu?unu g?sterir. Negatif oldu?unda ise sistemin karars?z oldu?unu ve kararl?l?ktan ne kadar uzak oldu?unun g?stergesidir. Sistem 1 ve 2 karars?z, 3,4 ve 5 kararl?d?r.Sistemlerin kal?c? durum hatalar?n? bode diyagram? üzerinden ad?m, rampa ve ivme giri? i?in belirleyiniz.Transfer Fonksiyonu 1’de, w=1’de -40dB/decade de?i?im oldu?u i?in tip numaras? 2’dir. Sistemin ad?m ve rampa giri? kal?c? durum hatas? yoktur. ?vme giri?teki kal?c? durum hatas?n? hesaplamak i?in ise ?nce Ka hesaplanmal?d?r.20logKa?8.4 dB?Ka=2.6ess=1Ka=0.38Bu i?lemleri otomatik olarak a?a??daki kod ile yapabiliriz.#kü?ük frekanslardaki davran???, w=1'e exterpolate etmek i?in daha ?nce#say?sal y?ntemlerde yazd???m?z interpolasyon#fonksiyonunu, s?n?rlar? umursamadan kullan?rsak eksterpolasyon yapabiliriz.#bu bize asimptotun w=1'i kesti?i noktan?n desibelini verir.logkx20 = lagrange_interpolation(0, np.log10(w[w<0.3]), mag[w<0.3],n=1, ignorerange=True)kx = 10**(logkx20/20)print(f'tf{i+1}', '20logkx=',logkx20,'kx =', kx)tf1 20logkx= 8.431181041477089 kx = 2.6397272280769917tf2 20logkx= 9.706527763046381 kx = 3.057217860855301tf3 20logkx= 11.386378284194052 kx = 3.7095302265067587tf4 20logkx= 18.19215800854758 kx = 8.120969893019081tf5 20logkx= 11.147108455139232 kx = 3.6087385817330175Transfer FonksiyonuTip Numaras?Kp,Kv, KaKal?c? durum hatas? essad?m, rampa, ivmeTf12∞, ∞, 2.640, 0, 0.38Tf22∞, ∞, 3.060, 0, 0.33Tf31∞, 3.71,00, 0.27, ∞Tf408.12, 0, 00.11, ∞, ∞Tf503.61, 0, 00.22, ∞, ∞Soru 2:A?a??da Ekte grafiklerin deneysel olarak elde edildi?ini varsayarakSistemlerin Tip numaras?n? belirleyinFigür 1 -20dB/decade dü?ü?e sahip oldu?undan tip numaras? 1.Figür 2 -20dB/decade dü?ü?e sahip oldu?undan tip numaras? 1.Figür 3 -20dB/decade dü?ü?e sahip oldu?undan tip numaras? 1.Figür 4 dü?ük frekanslarda dü?ü?e sahip olmad??? i?in tip 0.Figür 5 -20dB/decade dü?ü?e sahip oldu?undan tip numaras? 1.Olas? sistemi tahmin edin, ilgili frekanslar? ve kazan? de?erlerini bulunBuldu?unuz de?erlere g?re sistemlerin transfer fonksiyonunu bulunuz.?lk grafik i?in:Transfer fonksiyonu Gs=Ks1+sT12T1=1wc1=12Gs=Ks1+s22=Ks34+s2+s=4Ks3+4s2+4s=Ks3+4s2+4s20logKjw3+4jw2+4jww=0.1=10Kjw3+4jw2+4jww=0.1=3.16K0.401=3.16K=1.27Gs=1.27s3+4s2+4sPythonda ?izerek kontrol edildi?inde;?kinci grafik i?in:Transfer fonksiyonu Gs=Ks(1+sT1)T1=1wc1=12Gs=Ks1+s2=Ks22+s=2Ks2+2s=Ks2+2s20logKjw2+2jww=0.1=20Kjw2+2jww=0.1=10K0.2=10K=2Gs=2s2+2sPythonda ?izerek kontrol edildi?inde;??üncü grafik i?in: Transfer fonksiyonu Gs=Ks(1+sT1)T1=1wc1=12Gs=Ks1+s2=Ks22+s=2Ks2+2s=Ks2+2s20logKjw2+2jww=0.01=40Kjw2+2jww=0.01=100K0.02=100K=2Gs=2s2+2sPythonda ?izerek kontrol edildi?inde;D?rdüncü grafik i?in:Transfer fonksiyonu Gs=K(1+sT1)T1=1wc1=11Gs=K1+s20logK1+jww=0.01=22K1+jww=0.01=12.59K1=12.59K=12.59Gs=12.59s+1Pythonda ?izerek kontrol edildi?inde;Be?inci grafik i?in:Transfer fonksiyonu Gs=Ks(1+sT1)T1=1wc1=12Gs=Ks1+s2=Ks22+s=2Ks2+2s=Ks2+2s20logKjw2+2jww=0.01=50Kjw2+2jww=0.01=316.23K0.02=316.23K=6.32Gs=6.32s2+2sSoru 3:A?a??da verilen sistemlerin kararl?l???n? Nyquist diyagram?n? ?izerek, diyagram üzerinden nyquist kriterlerini kullanarak a??klay?n?z. Karar?n?z?n do?rulu?unu bildi?iniz di?er kararl?l?k analiz y?ntemlerinden birini kullanarak do?rulay?n?z.Z=N+PBurada Z?=?sa?-yar??s?düzleminde 1+G(s)H(s)?'in s?f?rlar?n?n say?s? N=–1+j0?noktas?n?n, saat y?nünde ?evrelenme say?s?P?=?sa?-yar? s düzleminde G(s)H(s)'in kutuplar?n?n say?s?Sistemlerin kararl? olduklar?n? s?yleyebilmek i?in Z’nin s?f?r olmas? gerekmektedir. 4 s - 12 ----------------- s^2 + 2.914 s + 4Sistemin a??k ?evrim transfer fonksiyonunun pozitif kutbu yoktur. Ancak -1+0j noktas?n? sarmalam??t?r. Birim geri bildirim durumunda sistem karars?z olacakt?r.Kan?tlamak istersek;Negatif birim geri bildirim yap?lm?? kapal? ?evrim transfer fonksiyonu:K?TF=4s-12s2+6.914s-8K?TF’nin paydas? hurwitz kural?na uymad??? i?in karars?z oldu?unu s?yleyebiliriz. 3 s - 9 ----------------- s^2 + 3.086 s + 4Sistemin a??k ?evrim transfer fonksiyonunun pozitif kutbu yoktur. Ancak -1+0j noktas?n? sarmalam??t?r. Birim geri bildirim durumunda sistem karars?z olacakt?r.Kan?tlamak istersek;Negatif birim geri bildirim yap?lm?? kapal? ?evrim transfer fonksiyonu:K?TF=3s-9s2+6.086s-5K?TF’nin paydas? hurwitz kural?na uymad??? i?in karars?z oldu?unu s?yleyebiliriz. 4 s + 8 ----------------- s^2 + 1.176 s + 1Sistemin a??k ?evrim transfer fonksiyonunun pozitif kutbu yoktur. Ayr?ca Nyquist e?risi -1+0j noktas?n? ?evrelememi?tir. Z=P+N ?artlar? sa?lanmaktad?r ve Z=0 oldu?undan sistem kararl?d?r.Kan?tlamak istersek;Negatif birim geri bildirim yap?lm?? kapal? ?evrim transfer fonksiyonu:K?TF=4s+8s2+5.176s+9K?TF’nin paydas? hurwitz kural?na uydu?u ve 2. dereceden bir polinom oldu?u i?in kesinlikle kararl? oldu?unu s?yleyebiliriz. 3 s - 9 ----------------- s^2 + 2.724 s + 4Sistemin a??k ?evrim transfer fonksiyonunun pozitif kutbu yoktur. Ancak -1+0j noktas?n? sarmalam??t?r. Birim geri bildirim durumunda sistem karars?z olacakt?r.Kan?tlamak istersek;Negatif birim geri bildirim yap?lm?? kapal? ?evrim transfer fonksiyonu:K?TF=3s-9s2+5.724s-5K?TF’nin paydas? hurwitz kural?na uymad??? i?in karars?z oldu?unu s?yleyebiliriz. 4 s + 4 ----------------------- s^4 + 2.346 s^3 + 4 s^2Sistemin a??k ?evrim transfer fonksiyonunun pozitif kutbu yoktur. Ancak -1+0j noktas?n? sarmalam??t?r. Birim geri bildirim durumunda sistem karars?z olacakt?r.Kan?tlamak istersek;Negatif birim geri bildirim yap?lm?? kapal? ?evrim transfer fonksiyonu:K?TF=4s+4s4+2.346s3+4s2+4s+4K?TF’nin paydas? hurwitz kural?na uymaktad?r ancak kararl? olup olmad???n? s?yleyebilmek i?in routh tablosunu olu?turmam?z gerekir.?lk sütunda 2 kez i?aret de?i?mi?tir. Dolay?s?yla sistemin 2 adet karars?z k?kü vard?r. Sistem karars?zd?r.Soru 4:A?a??daki grafiklerin Nyquist grafiklerini ?izerek kararl?lk i?in K’n?n kritik de?erini belirleyiniz.Bu transfer fonksiyonlar?n?n nyquist grafiklerini ?izmek i?in ?zel bir nyquist fonksiyonu pythonda yaz?lm??t?r.def nyquist(tf, w=None, plot=True, *args, **kwargs): """ Ex: tf = lambda s: (5*s+10)/(s**4+2.129*s**3+4*s**2+5*s+10) """ if w is None: w = np.logspace(-3, 3, 1000) gjw = np.array([tf(1j*wx, *args, **kwargs) for wx in w]) if plot: plt.axis('equal') plt.quiver(gjw.real[::30], gjw.imag[::30], gjw.real[1::30]-gjw.real[:-1:30], gjw.imag[1::30]-gjw.imag[:-1:30], scale=2) plt.plot(gjw.real, gjw.imag, 'b') plt.plot(gjw.real, -gjw.imag, 'r--') plt.scatter([-1], [0], marker='+') return gjw.real, gjw.imagK exp(-0.55 s)-------------- s - 3.0Sistemin sa? yar? düzlemde bir adet kutubu vard?r(P=1). Dolay?s?yla sistemin Z=N+P e?itli?ini sa?lamas? ve kararl? olmas? i?in (Z=0), nyquist e?risi -1+0j noktas?n?n etraf?n? 1 kez sarmalamal?d?r (N=-1).Gjw=Ke-0.55jwjw-3Gjw=Kcos0.55w-jsin0.55w-jw-332+w2=K9+w2 -3cos0.55w-wsin0.55w+j-wcos0.55w+3sin0.55wGjw'nin imajiner k?sm?n? s?f?ra e?itler isek;-wcos0.55w+3sin0.55w=0(1)Bu e?itli?in ??zümlerinden bir tanesi: w=0’d?r ve bu durumda nyquist e?risi K=3 i?in -1+0j do?rusunun üzerinden ge?er.(figür 4.1.a)Dolay?s?yla,K=3 kritik bir noktad?r.K=3’ten büyük de?erlerde nyquist e?risi -1+0j’yi sarmalar ve sistemi kararl? k?lar. Ancak belli bir K de?erinden sonra birden fazla kez sarmalamaya da ba?layacakt?r. Bu da sistemi karars?z k?lacakt?r. Bu K de?erinin hesaplanmas? i?in (1) e?itli?inin di?er k?klerini bulal?m.Bunu ‘Düzeltilmi? Sekant’ y?ntemi ile ??zmek i?in a?a??daki python scriptini ?al??t?ral?m.Düzeltilmi? sekant y?ntemini kullanmadan ?nce ba?lang?? noktas? se?mek i?in grafi?i ?izdirebiliriz.?ekil f(w)= -wcos(0.55w)+3 sin(0.55w)8 civar?nda bir k?k oldu?u g?rüldü?ünden 8 etraf?nda k?kü arayal?m.def corrected_secant(f, x0, d=0.001, e=0.1, max_iter=10, explain=False): # Düzeltilmi? Sekant fprime = lambda x0: (f(x0+d)-f(x0))/d for i in range(max_iter): x1 = x0 - f(x0)/fprime(x0) ey = abs((x1-x0)/x1)*100 # neden sonraki terim paydada? x0 = x1 if ey < e: break if i == max_iter-1: print('maximum iterations reached, maybe choose another x0 or increase max_iter') if explain: return f'{i+1} iterasyonda, εy=%{e}, k?k={x1}' return x1f = lambda w: -w*cos(0.55*w)+3*sin(0.55*w)print(corrected_secant(f, 8))7.908788147912582w=7.9 olarak bulunur.G(jw)=K9+w2 -3cos0.55w-wsin0.55w+j-wcos0.55w+3sin0.55wBurada w=7.9 yaz?p Gjw=-1+0j’ye e?itlersek, nyquist grafi?inin bu noktadan ge?mesi i?in gereken kritik K de?erini elde ederiz. w=7.9 i?in K'n?n reel bir ??zümü yoktur.w=13.89 i?in (bu da karma??k k?sm? s?f?rlayan bir di?er w de?eri)K=14.21 olarak bulunur.bu noktadan sonra nyquist e?risi, -1+0j noktas?n?n etraf?ndan iki kez ge?meye ba?lar ve Z=N+P e?itli?ini bozar. Sistemi karars?z yapar.Bu da g?sterir ki, 3<K<14.21 i?in sistem kararl?d?r.28232102602230Figür 4.1.b K=14.21Figür 4.1.b K=14.2128236422923500Figür 4.1.a K=3K exp(-0.57 s)-------------- s - 1.0sistemin reel pozitif kutbu vard?r. Nyquist e?risi -1+0j noktas?n? 1 kez sarmalamal?d?r.Yukar?daki ?rne?e benzer ?ekilde, w=0 i?in K=1’de kritik kazan? de?eri oldu?unu s?yleyebiliriz.K>1 i?in nyquist e?risi -1+0j noktas?n? sarmalar ve sistem kararl? olur.tf7 = lambda s, K=1: K*(np.exp(-0.57*s))/(s-1)nyquist(tf7, K=1)plt.show()Figür 4.2 K=1K exp(-0.67 s)-------------- 2.0 s + 3.0Gjw=K4w2+9[cos0.67w-jsin0.67w(3-2jw)Gjw=K4w2+9[3cos0.67w-2 wsin0.67w+j-3sin0.67w-2wcos0.67w]Karma??k k?sm?n grafi?ini ?izersek;Düzeltilmi? sekant y?ntemiyle>>> f = lambda w:-3*sin(0.67*w)-2*w*cos(0.67*w)>>> corrected_secant(f, 3)3.030468976227838w=3.03?K=6.76Kritik de?erdir.15017751587500K>6.76 i?in nyquist e?risi-1+0j noktas?n? sarmalar,sistem karars?zla??r.Ekler:Soru 2’nin grafikleri a?a??dad?r. ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download