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2.1 S?rie Temporal

Uma s?rie temporal ? um conjunto de observa??es de uma dada vari?vel, ordenada pelo par?metro tempo. Estas observa??es s?o, em geral, feitas em intervalos de tempo equidistantes. Tome-se, por exemplo, Xt a representa??o de uma vari?vel aleat?ria X no instante de tempo t, denotar-se-? ent?o a s?rie temporal por X1, X2, ..., XN, onde N ? o n?mero de observa??es registradas pela s?rie, comumente referido tamb?m como o tamanho da s?rie.

As s?ries temporais podem ser classificadas em : discretas, cont?nuas, determin?sticas, estoc?sticas, multivariadas e multidimensionais. Em geral, a periodicidade de registro das s?ries discretas ? feita em dias, semanas, meses e anos (Souza & Camargo, 1996).

Para se denominar um conjunto de dados coletados ao longo do tempo da s?rie temporal ? preciso observar a presen?a de uma depend?ncia serial entre os dados, isto ?, faz-se necess?rio que os dados sejam dependentes do tempo. Apesar disso, nem todo evento registrado no decorrer do tempo consiste em uma s?rie temporal.

Observe-se por exemplo, o caso da mega-sena: saber os n?meros sorteados hoje e tamb?m os sorteados no passado n?o nos permite ajustar um modelo estat?stico para prever o resultado do(s) pr?ximo(s) sorteio(s).

2.1.1 Processo Estoc?stico

Um processo estoc?stico ? uma fam?lia de vari?veis aleat?rias indexadas por elementos "t" pertencentes a determinado intervalo temporal. Intuitivamente, se uma vari?vel aleat?ria ? um n?mero real que varia aleatoriamente, um processo estoc?stico ? uma fun??o temporal que varia aleatoriamente.

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De forma simplificada, pode-se afirmar que processos estoc?sticos s?o processos aleat?rios que dependem do tempo.

De forma mais gen?rica, qualquer tipo de evolu??o temporal, determin?stica ou essencialmente probabil?stica, que seja analis?vel em termos de probabilidade, pode ser chamada de processo estoc?stico.

Segundo esta defini??o, uma s?rie temporal pode ser interpretada como uma parte da trajet?ria ou de uma realiza??o parcial de um processo estoc?stico, ou seja, uma amostra finita de observa??es em uma linha de tempo.

Um processo estoc?stico est? estatisticamente determinado quando se conhece suas fun??es de distribui??o at? a en?sima ordem (Souza & Camargo, 1996).

Na pr?tica, ocorrem situa??es problem?ticas pelo fato de n?o se conhecer todas as fun??es de distribui??o at? a en?sima ordem e por possuir somente uma realiza??o do processo estoc?stico, a partir da qual deseja-se inferir caracter?sticas do mecanismo gerador da s?rie. Para superar essas dificuldades assumem-se duas restri??es: Estacionariedade e Ergocidade.

Por estacionariedade entende-se que o processo gerador da s?rie de observa??es ? invariante ao longo do tempo. Embora teoricamente seja extremamente conveniente a ado??o da hip?tese de estacionariedade, no mundo real, nem todas as s?ries podem ser classificadas como estacion?rias. Logo, a estacionariedade ? uma condi??o bastante restritiva quando imposta a uma s?rie temporal. O conceito de processo n?o estacion?rio homog?neo surge quando se consegue um processo estacion?rio atrav?s de diferen?as sucessivas de um determinado processo n?o estacion?rio.

Segundo Papoulis (1965), um processo estacion?rio pode ser classificado em:

A. Estritamente estacion?rio: quando suas estat?sticas n?o s?o afetadas por varia??es devido ? escolha da origem dos tempos, ou seja, quando as s?ries Xt e Xt+k est?o distribu?das de forma id?ntica, independente de "k".

B. Estritamente estacion?rio de ordem finita: um processo ? estritamente estacion?rio de ordem "i" se a estacionariedade do item anterior n?o

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for v?lida para todo tj com j pertencente ao conjunto dos n?meros naturais, mas somente para j i.

C. Estacion?rio de segunda ordem: um processo ser? denominado estacion?rio de segunda ordem quando sua fun??o valor m?dio for constante e sua fun??o de covari?ncia depender somente da diferen?a, em valor absoluto, ts - tj.

Um processo estoc?stico ? denominado erg?dico se apenas uma realiza??o ? suficiente para obter todas as suas estat?sticas. Logo, todo processo erg?dico ? obrigatoriamente estacion?rio, posto que apenas uma realiza??o de um processo que n?o seja estacion?rio n?o poder? conter todas as informa??es necess?rias para a especifica??o do processo, como, por exemplo, a m?dia.

De forma geral, o objetivo do estudo de uma s?rie temporal consiste em, dada uma realidade, ou seja, dado um processo estoc?stico, retirar-se uma amostra finita de observa??es equidistantes no tempo e atrav?s do estudo desta amostra identificar um modelo cujo objetivo ? inferir sobre o comportamento da realidade. Em outras palavras, a partir de uma s?rie temporal, faz-se sua an?lise estat?stica para construir um modelo estoc?stico.

2.1.2 Componente C?clico, Sazonal e de Tend?ncia

A an?lise de s?ries temporais baseadas em tend?ncia tem como pressuposto o fato de uma s?rie temporal ser entendida como a composi??o de comportamento de tend?ncia, fator c?clico, varia??o sazonal e fator aleat?rio.

Tend?ncia em uma s?rie temporal ? a mudan?a gradual observada por meio da varia??o dos valores da s?rie ao longo do tempo, mantida ap?s a remo??o dos componentes de ciclos, sazonalidades e fatores aleat?rios.

Ciclos e sazonalidades s?o comportamentos estoc?sticos que acontecem de maneira recorrente ao longo de um per?odo definido.

Morettin e Toloi (2006) conceituam comportamentos sazonais como flutua??es ocasionadas na s?rie devido ? influ?ncia de algum fator externo de sazonalidade.

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Os componentes de ciclo apresentam um comportamento similar aos comportamentos sazonais, sendo diferenciados, no entanto, por apresentarem um comprimento maior e n?o terem dura??o uniforme.

Com a remo??o dos componentes de tend?ncia, ciclo e sazonalidade, da s?rie temporal o que sobra ? denominado componente residual, o qual representa fatores aleat?rios caracterizados como um processo estoc?stico do tipo "ru?do branco", que ser? detalhado adiante.

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2.1.3 Tempo x Frequ?ncia

Uma s?rie temporal pode ser analisada tanto em rela??o ao dom?nio do tempo, quanto em rela??o ao dom?nio da frequ?ncia. Analisar a s?rie sob o dom?nio do tempo ? observar a evolu??o temporal do processo.

O objetivo desta an?lise ? mensurar a magnitude do evento que ocorre em determinado instante de tempo. Esta an?lise ? baseada em um modelo param?trico que utiliza as fun??es de auto covari?ncia e autocorrela??o.

A auto covari?ncia ? a covari?ncia entre Xt e seu valor Xt+k separado por k intervalos de tempo. Esta covari?ncia ? definida por:

onde:

k = cov[Xt, Xt+k] = E{[Xt - ][Xt+k ? ]}

= m?dia do processo

A fun??o de autocorrela??o (FAC) ? a auto covari?ncia padronizada (redefinida no intervalo entre -1 e +1) que serve para medir o comprimento e a mem?ria de um processo, ou seja, mede a intensidade da qual o valor tomado no tempo t depende daquele tomado no tempo t-k.

A autocorrela??o de defasagem k ? definida como:

,

onde: Var(Xt) = Var(Xt+k) = 0 = vari?ncia do processo

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0 = 1 k = -k (fun??o de autocorrela??o ? sim?trica em rela??o ? origem k=0)

A partir da constru??o das fun??es de autocorrela??o, constr?i-se uma importante ferramenta para auxiliar na estima??o do modelo, o correlograma, que nada mais ? do que o gr?fico dos coeficientes de autocorrela??o k plotado para cada k.

A ideia de autocorrela??o pode ser estendida se for medida a correla??o entre duas observa??es seriais Xt e Xt+k e n?o se considerar os termos intermedi?rios Xt+1,Xt+2,...,Xt+k-1. Procedendo desta forma, teremos o que se denomina de fun??o de autocorrela??o parcial (FACP). A autocorrela??o parcial (kk) ? representada por Corr(Xt, Xt+k | Xt+1, ..., Xt+k-1).

Diante destes conceitos ? importante destacar um tipo de processo estoc?stico peculiar muito importante denominado "ru?do branco".

Neste processo, as vari?veis aleat?rias componentes s?o independentes e identicamente distribu?das (i.i.d.), ou seja, n?o apresentam depend?ncia serial.

Em termos de autocorrela??o t?m-se que em uma s?rie do tipo ru?do branco teremos:

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1;

0

0;

0

Ao abordar esta an?lise sob o ponto de vista do dom?nio da frequ?ncia, deve ater-se ? frequ?ncia em que determinados eventos ocorrem. Esta representa??o ? ?til quando os componentes harm?nicos da s?rie t?m um significado f?sico ou os efeitos pr?ticos do processo s?o analisados por suas componentes de frequ?ncia. A fun??o associada a esta caracter?stica ? a chamada densidade espectral.

A an?lise espectral tem por finalidade estabelecer as propriedades de um processo estat?stico em termos de frequ?ncia. Logo, a pesquisa de periodicidades que porventura venham a existir em uma s?rie temporal poder? ser realizada atrav?s da an?lise espectral.

Se Xt = {(Xt, t = 0, ?1, ?2, ...)} ? um processo estacion?rio com fun??o de auto covari?ncia finita, define-se o espectro Xt como:

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