ARITMÉTICA - UEL



M A T E M Á T I C A ARITMÉTICA M A T E M ÁT I C A

“Na Matemática, para saborear com prazer o fruto é preciso conhecer bem as suas raízes”.

1 ___I___ ESTUDO DOS NÚMEROS RACIONAIS

O todo sem a parte não é todo,

A parte sem o todo não é parte,

Mas se a parte o faz todo, sendo parte,

Não se diga, que é parte, sendo todo.

Gregório de Matos (Poeta Barroco, Séc. XVII).

CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q (vem de Quociente)

Todo número que pode ser escrito na forma de quociente: $\frac{a}{b}$ (com b \ne 0) é chamada racional.

Assim Q=^\{x=\frac{a}{b}: a\in\Z e b\in\Z∗\}. Este conjunto é considerado DENSO, devido a existir sempre um número entre dois números quaisquer. Mas não é contínuo, pois existem outros números que não estão neste conjunto, como por exemplo, os números irracionais – os quais não podem ser escritos na forma de fração, tais como: $\pi$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, etc.

1) Fração

A representação de um número racional é, normalmente, chamada fração. Esta pode ver analisada ou interpretada em três aspectos distintos:

1) Uma fração pode significar a representação da “parte(s) de um inteiro ou do todo”;

2) Uma fração pode significar a representação de uma “razão” de comparação;

3) Uma fração pode significar a representação de uma “divisão”;

Exemplos do 1: Parte(s) de um inteiro ou do todo.

a) Consideremos o retângulo abaixo como um inteiro ou uma unidade

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1

Vamos dividi-lo em três partes.

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1/3 2/3 3/3 = 1

Neste caso, o denominador representa o divisor do inteiro, ou seja, a quantidade de partes em que o inteiro foi dividido.

O numerador representa a quantidade retirada do inteiro.

Para uma fração representar um inteiro, é necessário que o numerador seja igual ao denominador.

Assim, somando-se 1/3+2/3=1

b) Consideremos o retângulo abaixo como um inteiro ou uma unidade

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1

Vamos dividi-lo em seis partes

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1

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Que fração representa esta divisão?

Consideremos vinte e quatro oitavos para ser dividido por dois.

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Que fração representa esta divisão?

2) Elementos da fração

Numerador: representa o número de partes iguais que se deseja de um ou mais inteiros.

Denominador: representa o número de partes iguais que formam um inteiro.

3) Classificação das Frações:

← Fração Própria: Quando o numerador é menor que o denominador.

← Fração Imprópria: Quando o numerador é maior ou igual ao denominador.

← Fração Aparente: Quando o numerador é múltiplo do denominador.

4) Frações Especiais

a) 0/3 = 0 ⇒

b) 3/0 é Impossível

c) 0/0 = (indeterminada, pois possui vários resultados).

5) Frações Equivalentes

Duas ou mais frações são equivalentes quando representam a mesma parte de um inteiro ou uma mesma quantidade.

Exemplos:

a) 1/2=2/4=3/6=4/8=5/{10}.

b) 1/3=2/6=3/9 =4/{12}=5/{15}.

6) Simplificação de Fração

Simplificar uma fração significa torná-la irredutível. Para isso, divide-se o numerador e o denominador pelo mesmo número.

Exemplos:

a) 2/4 =

b) 3/6 =

c) 9/6 =

d) 5/{10} =

e) {15}/{18} =

f) {24}/{30} =

g) {12/{24} =

h) {21}{63} =

7) Comparação entre Frações

Usam-se os sinais de: $$ (maior) ou $=$ (igual), para comparar duas frações.

1) Quando as frações possuem o mesmo denominador: basta comparar os numeradores – a maior fração será a que possuir o maior numerador.

Exemplos:

a) 4/5 e 2/5 ⇒

b) 7/6 e 3/6 ⇒

c) 5/{10} e 9/{10} ⇒

d) 5/8 e 7/8 ⇒

2) Quando as frações possuem denominadores diferentes: neste caso, reduzimos as frações ao mesmo denominador através do mmc., e em seguida, procedemos como no caso anterior.

Exemplos:

a) 1/2 e 1/3 ⇒

b) 3/4 e 2/5 ⇒

c) 6/{12} e 3/4 ⇒

d) 3/8 e 3/4 ⇒

8) Transformação de “Número Misto” em “Fração Imprópria”

Multiplicamos o número inteiro pelo denominador e somamos com o numerador para formar o novo numerador e o denominador permanece.

Exemplos:

a) 3+1/2 =

b) 4+1/3 =

c) 3+1/5 =

d) 5+3/4 =

9) Operações com Frações

9.1) Adição e Subtração

Só devemos adicionar ou subtrair coisas semelhantes. No caso das frações, a essa semelhança é entendida como a equivalência entre as partes, ou seja, as partes devem ter o mesmo tamanho.

1º) Frações com denominadores iguais (ou frações homogêneas): Significa que todas as partes possuem o mesmo tamanho, ou seja, são equivalentes.

Regra: Adicionamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador comum.

Observação: Devemos simplificar o resultado sempre que for possível, até chegar a uma fração irredutível.

Exemplos:

a) 3/5+1/5 =

b) 4/9+8/9 =

c) 7/6-3/6 =

d) 2/7-2/7 =

di)

2) Frações com denominadores diferentes (ou frações heterogêneas): Significa que todas as partes possuem tamanhos diferentes, e portanto, precisamos transformá-las em partes iguais ou equivalentes.

Regra: Reduzimos as frações ao mesmo denominador através do MMC., e em seguida, procedemos como no caso anterior.

Observação: Devemos simplificar o resultado sempre que for possível, até chegar a uma fração irredutível.

Exemplos:

a) 1/3+1/2=

b) 1/3+2/4 =

c) 1/5+3/4+1/2+3/{10} =

d) 7/{10}-2/5 =

e) 1/4-5/6 =

f) 2/3-1/6+5/2 =

9.2) Multiplicação

Significa a transformação de partes equivalentes e, portanto, não precisamos do MMC.

Regra: Multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si. Antes de efetuarmos a multiplicação, devemos simplificar as frações (caso seja possível) para facilitar a operação.

Exemplos:

1) Duplicar uma metade ou duplicar um meio, significa: 2 \times 1/2=

2) A metade de uma metade ou um meio de um meio, significa:1/2 \times 1/2 =

3) A quarta parte de um meio, significa:1/4 \times 1/2 =

4) Efetue os produtos abaixo:

a) 2 \times 2/5 =

b) 2/3 \times {12}/{10} \times 5/2 =

c) 3 \times 5/3 =

d) \3/4 \times 1/2 =

e) 4/3 \times 2/6 =

f) \1/4 \times 5/6=

g) \1/2 times 4/5 \times 3/4 \times 5/3 =

9.3) Divisão

Significa a transformação de partes equivalentes e, portanto, não precisamos do MMC.

Regra: Para efetuar a divisão entre duas frações, mantemos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda fração – quando não for possível dividir diretamente.

Exemplos:

1) Dividir uma metade para dois indivíduos, significa repartir essa metade em duas partes iguais, ou seja:1/2 \div 2 =

2) Pensemos agora em distribuir duas unidades para cada metade ou “dois por um meio”, significa colocar duas unidades em cada parte ou em cada lado, e portanto, precisamos de quatro unidades, ou seja: 2 \div 1/2 =

3) Distribuir nove unidades para cada terça parte, significa colocar nove unidades em cada terça parte e, portanto, precisamos de 27, ou seja:

9 \div 1/3 =

4) Se um quarto de um produto custo R$ 5,00, quanto custa a unidade do produto?

5) Efetue as seguintes divisões:

a)3+6/7 =

b) 1/3 \div 2 =

c) 1/4 \div ½ =

d) 2/3 \div 4/5 =

e) 5/4 \div 5/2 =

f)7/3 \div 2/9 =

9.4) Potência de uma fração

Na potência de uma fração, elevamos o numerador e o denominador ao mesmo expoente.

Exemplos:

a) (2/3)^2 =

b)(7/10)^1 =

c) (1/2)^4 =

d) (5/10)^0 =

9.5) Raiz de uma fração

Para obtermos a raiz de uma fração, extraímos as raízes do numerador e do denominador.

Exemplos:

a)\sqrt{1/4}=\sqrt{1}/\sqrt{4} =

d)\sqrt{4/9} =

b)\sqrt{16/25} =

e)\sqrt{25/36} =

c) \sqrt[3]{8/27} =

f)\sqrt[5]{1/32} =

10) Expressões Numéricas com Frações

As expressões numéricas são resolvidas obedecendo a seguinte ordem de resolução das operações envolvidas:

1) Potências e raízes;

2) Multiplicação e Divisão;

3) Adição e subtração.

Quanto aos sinais associativos, parênteses, colchetes e chaves:

1) Eliminam-se os parênteses;

2) Eliminam-se os colchetes;

3) Eliminam-se as chaves.

Exemplos:

a) 2/3 \times ¾ + 1/8 =

b) b)5/6 + 2/5 \times 10/3 =

c)1/2 \times 4/3 + 3/2 \times 2/3 =

d) (2+1/2) - (3+1/5) =

e) 2 \times (¾ +1)=

f) f) 5/3 – (1/5 \times 5/6) =

g) (2/3+5/6) \times 6/9=

h) 8/7 \times (½ - 3/8) =

i) 5/3 \div 4/3 + 7/2 \times 4/3 =

j) (1/2)^2 \times (2/3)^2+(4/3)^2 \div 8 =

l) 5/3 \div (1/3)^3 – 3/7 \times (7/3)^2 = m) (1/3)^2 \div \sqrt{1/9} - (9/5)^0 =

2 __II__ Números Racionais Decimais Exatos e Periódicos

1) Definição

São números que possuem uma parte inteira e outra fracionária, ambas separadas por vírgula.

Exemplos:

a) R$ 5,25

b) R$ 10,20

c) R$ 1,57

d) R$ 0,65

e) R$ 0,28883 p/kWh

2) Conversão de números decimais em frações decimais

As frações decimais têm no denominador uma potência de dez (10, 100, 1000, ...).

Exemplos:

a) 0,5 =

b) 0,012 =

c) 5,37 =

d) 0,0001 =

e) 345,2 =

3) conversão de frações decimais em números decimais

Os números decimais têm a mesma quantidade de casas decimais que os zeros do denominador da fração decimal.

Exemplos:

a) 3/10 =

b) 7/100 =

c) 1/1000 =

d) 312/1000 =

e) 312/100 =

4) Conversão de número decimal não-exato (dízima periódica) em fração geratriz.

4.1. Dízima Periódica Simples: Todos os números decimais fazem parte dos períodos.

Regra Operacional: o período é o numerador e o denominador é formado por “noves” (9), tanto quanto for a quantidade de números do período.

Exemplos:

a) 0,(3)33 ... =

b) d) 0,(121)121121 ... =

c) 0,(34)3434 ...=

d) e) 2,(5)55 ... =

e) 0,(21)2121 ... =

f) f) 12,(7)77 ... =

4.2. Dízima Periódica Composta: Possui números decimais fora dos períodos.

Regra Operacional: o numerador é formado pela concatenação do “número” que vem antes do 1º período com o 1º período, menos esse “número”, e o denominador é formado por “noves” (9), tanto quanto for a quantidade de números do período, mais “zeros”, tanto quanto for a quantidade de casas decimais antes do primeiro período.

Exemplos:

a) 0,2(3)33... =

b) 0,5(241)241241... =

c) 1,2(7)77... =

d) 4,59(2)22... =

e) 0,43(18)1818... =

f) 17,34(43)4343... =

5) Operações com números decimais

5.1. Adição e Subtração: “Coloca-se vírgula abaixo de vírgula, na organização das parcelas”.

Exemplos:

a) 2,125 + 123,4 + 0,234 =

b) 12,8 + 103,0034 + 0,18 =

c) 15,4318 – 5,13 =

d) 25,5 – 5,115 =

e) 4,004 + 3 + 0,4 + 12 =

5.2. Multiplicação: “Coloca-se vírgula no resultado do produto, conforme a quantidade de casas decimais dos fatores”.

Exemplos:

a) 2,125 \times 4 =

b) 4,1234 \times 1,2 =

c) 0,025 \times 0,004 =

5.3. Divisão: Segue-se o seguinte algoritmo:

▪ Dividendo e divisor devem ter o mesmo número de casas decimais;

▪ Caso não tenham, completamos um deles com zeros na parte decimal;

▪ Em seguida, cancelamos as vírgulas e efetuamos a divisão normalmente, como nos inteiros.

Exemplos:

a) 0,32 \div 0,16 =

b) 3,002 \div 0,5 =

c) 5,6 \div 0,7 =

d) 30,02 \div 5 =

e) 3,2 \div 0,16 =

f) 22,003 \div 10 =

g) 3,025 \div 0,5 =

h) 25,125 \div 5 =

i) 0,16 \div 40 =

j) 18 \div 0,09 =

3 __III__ ESTUDO DA POTENCIAÇÃO

1) Definição

A potência enésima de um número a, indicado por an, sendo n um número inteiro maior que 1, é o produto de n fatores iguais a a.

Assim,

a \times a \times a \times a \times a = a5

a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a = a10

a \times a \times a \times ... \times a = an

(n fatores)

Notação: an = b, onde

a é a base, n é o expoente, b é a potência e a operação é denominada potenciação.

Exemplos:

a) 2^3 =

b) 5^2 =

c) 5^3 =

d) 3^4 =

2) Bases especiais

▪ Base unitária: 1^n = 1 (∀n \in\R)

▪ Exemplo: 1^5 =1

▪ Base nula: 0^n = 0 (∀n\in\[pic])

▪ Exemplo: 0^{10} =

▪ Base negativa:

▪ Com expoente par: Potência positiva

Exemplo: (-2)^4 =

▪ Com expoente ímpar: Potência negativa

Exemplo: (-2)^3 =

Observação: Esta definição de base negativa e expoente par, só vale quando a base está entre parênteses. Caso contrário, a potência é negativa.

3) Expoentes especiais

▪ Expoente unitária: a^1 = a (∀a\in\R*)

▪ Exemplo: 2^1 =

▪ Expoente nulo: a^0 = 1 (∀a\in\R*)

▪ Exemplo: 5^0 =

▪ Expoente negativo: a^{-n} = (1/a)^n=1/a^n (∀a\in\R*)

Exemplos:

a) 2^{-4} =

c) (2/3)^3=

d) (1/2)^3=

▪ Expoente racional: a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}

▪ para a\in[0,\infty), m,n \in Z e n \ne 1.

Exemplos:

a) 8^{1/3} =

b) 9^{1/2} =

c) 32^{1/5} =

4) Propriedades da potenciação

▪ Multiplicação de potências de mesma base: Conserva-se a base e somam-se os expoentes.

a^m \times a^n = a^{m+n} (para a\in\R* e m,n\in\Z)

Exemplos:

a) 2^3 \times 2^2 \times 2^4 =

b) (-2)^4 \times (-2)^{-4}=]

▪ Divisão de potências de mesma base: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

a^m \div a^n = a^{m-n} (para a\in\R* e m,n\in\Z)

Exemplos:

a) 2^5 \div 2^3 =

b) (-5)^6 \div (-5)^4 =

▪ Potência de potência:

▪ Com sinais associativos: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

(a^m)^n = a^{m.n} (para a\in\[pic] e m,n\in\Z)

Exemplos: Contra-Exemplos:

a) (3^2)^{-3}= a) (-2)^2)^3

b) [(10^3)^2]^5 = b) (-2^3)^2

c) {[(5^2)^4]^3}^5 =

▪ Sem sinais associativos: Conserva-se a base e resolve-se cada par de expoentes (de cima para baixo), como sendo uma potência.

a^{m}^{n}=a^(m)^n (para a\in\R* e m,n\in\N)

Exemplos:

a) [pic] =

b) [pic]=

c) [pic]=

▪ Potência de um produto: Eleva-se cada fator a esse expoente.

(a \times b)^n = a^n \times b^n

(para a,b\in\R* e n\in\Z)

Exemplos:

a) (2 \times 3)^2 =

b) (3xy)2 =

▪ Potência de uma divisão: Eleva-se o dividendo e o divisor a esse expoente.

(a \div b)^n = a^n \div b^n

(para a,b\in\R* e n\in\Z)

Exemplos:

a) (2 \div 3)^2 =

b) (x/2)^3 =

c) (x/5)^{-2} =

d) (-3/a)^{-3} =

4 __IV__ ESTUDO DA RADICIAÇÃO

1) Definição

A raiz enésima de um número a, indicado por \sqrt[n]{a}, sendo n um número inteiro maior que 1, é um número real b, tal que b^n=a.

Notação: \sqrt[n]{a}=b sse b^n=a,

\surd é o sinal da raiz, \sqrt[n]{a}, n é o índice , a é o radicando e b é a raiz. A operação é denomibada radiciação.

Exemplos:

\sqrt{4}

\sqrt{9}

\sqrt[3]{8}

\sqrt[5]{32}

\sqrt{-4}

\sqrt{-9}

\sqrt[3]{-8}

\sqrt{4]{-8}

2) Conversão de um radical em potência de expoente fracionário

Um radical pode ser representado na forma de potência com expoente fracionário.

\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n} (∀a\in\R*, m,n\in\Z e

n \ne 1)

Exemplos:

a) \sqrt{2}

b) \sqrt[3]{5} =

c)\sqrt[3]{3^2}

d) \sqrt{7^5} =

e)(\sqrt[3]{5})^2=

f)\sqrt[5]{2^2} =

3) Conversão de uma potência com expoente fracionário em radical

Uma potência de expoente fracionário pode ser transformada num radical.

a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m} (∀a\in\R*, m,n\in\Z e n \ne 1)

Caso o expoente seja negativo, temos duas maneiras de escrever a radiciação.

1) Se a ................
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