PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC



PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình [pic]

• [pic]: vô nghiệm

• [pic]: đặt [pic], phương trình có nghiệm [pic]

2. Phương trình [pic]

• [pic]: vô nghiệm

• [pic]: đặt [pic], phương trình có nghiệm [pic]

3. Phương trình [pic]

• Đặt [pic], phương trình có nghiệm [pic]

4. Phương trình [pic]

• Đặt [pic], phương trình có nghiệm [pic]

II. Phương trình lượng giác một ẩn:

Phương pháp chung: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đại số

Ví dụ 1: Cho phương trình [pic]

a. Giải phương trình với [pic]

b. Tìm m để phương trình có nghiệm [pic]

Đáp án:

a. [pic]

b. [pic]

Ví dụ 2: Tìm a để 2 phương trình sau tương đương

[pic]

[pic]

Đáp án: [pic] hoặc [pic] hoặc [pic] hoặc [pic]

Ví dụ 3: Giải phương trình: [pic]

Bài làm:

[pic]

Ví dụ 4: Cho phương trình: [pic]. Tìm m để phương trình có đúng 7 nghiệm trong [pic]

Bài làm:

[pic]

Xét [pic] thoả mãn (phương trình có hai nghiệm: [pic])

Xét [pic]: được phương trình [pic]

Cô lập tham số, xét hàm, thu được [pic]

Bài tập tương tự:

Bài 1: Giải phương trình: [pic]

Bài 2: Tìm m để phương trình trên tương đương với phương trình:

[pic]

III. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Là phương trình có dạng [pic]

Cách 1: Chia cả 2 vế của phương trình cho [pic] , đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Cách 2: Giả thiết [pic], phương trình [pic]sin x+[pic]cosx=[pic] Đặt [pic], đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Chú ý: phương trình (1) có nghiệm [pic]

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a. [pic]

b. [pic]

c. [pic]

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: [pic]

Ví dụ 3: Cho phương trình: [pic] (1)

a. Giải phương trình với [pic]

b. Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của phương trình [pic]

Đáp án: [pic] hoặc [pic]

Ví dụ 4: Giải phương trình: [pic]

Bài làm:

[pic]

Vô nghiệm.

Ví dụ 5: Giải phương trình: [pic]

Bài làm:

[pic]

Ví dụ 6: Giải và biện luận phương trình: [pic]

Đáp án: +)[pic]

+)[pic]

+)[pic] vô nghiệm

Bài tập tương tự:

Bài 1: Tìm m để các pt sau có nghiệm :

a. [pic]

b. [pic]

Bài 2: Cho phương trình [pic]

a. Tìm m để phương trình có nghiệm

b. Tìm các nghiệm của phương trình theo góc [pic]

Bài 3: Cho 2 phương trình: [pic] và [pic]. Tìm m để 2 phương trình có ít nhất 1 nghiệm chung

Bài 4: Tìm max, min của biểu thức [pic]

IV. Phương trình đẳng cấp đối với [pic]

• Kiểm tra [pic]có là nghiệm của phương trình

• Với [pic], chia cả 2 vế của pt cho [pic], đưa về phương trình đại số

Ví dụ 1: Giải các phương trình

a. [pic]

b. [pic]

c. [pic]

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình:

[pic]

Ví dụ 3: Cho phương trình:

[pic]

a. Giải phương trình khi [pic]

b. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất trên đoạn [pic]

Đáp án: [pic]

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình [pic] có nghiệm trong [pic]

Bài làm: Xét trên [pic]có [pic], biến đổi được phương trình [pic]

Biện luận, thu được [pic]

Ví dụ 5: Giải phương trình [pic]

Bài làm:

Xét [pic], được phương trình [pic]

Nghiệm: [pic]

Ví dụ 6: Giải phương trình [pic]

Bài làm:

Nhân vào 2 vế [pic] thu được phương trình [pic]

Nghiệm [pic]

V. Phương trình đối xứng đối với [pic]

• Đặt [pic], đưa về phương trình đại số

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a. (1+[pic])(sinx + cosx)- sin2x - (1 +[pic])=0 b. 2sinx.cosx - (sin x + cosx) + 1 = 0 c. [pic]= 1 d. sin3x + cos3x=1 – [pic] sin2x

e. sin4x + cos4x= ¾ g. sin3x + cos3x = [pic]

Ví dụ 2: Cho phương trình [pic]= m

a. Giải phương trình khi [pic]. (vô nghiệm)

b. Tìm m để phương trình có nghiệm. ([pic])

VI. Phương trình đưa về dạng tích:

• Một số phương trình cho dưới dạng tổng có thể dùng công thức biến đổi tổng thành tích để đưa về phương trình dạng u(x).v(x).w(x) = 0

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a. sin5x - sin3x + sinx = 0

b. cos2x – cos6x = sin3x + sin5x

c. sin x + sin2x + sin3x = 4 cos[pic]cosx. cos[pic]

Đáp án:

a. x = ± [pic]+k [pic] hoặc x = [pic] b. [pic] c. [pic]

VII. Dùng công thức hạ bậc:

• Đối với phương trình lượng giác bậc cao (bậc chẵn) có thể dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình đã biết cách giải

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a. sin4x+cos4x=[pic]

b. sin6x + cos6x= sin4x+cos4x

c. sin24x +sin23x=sin22x+ sin2x

Đáp án:

a. x = [pic] b. x= k[pic]/2 c. [pic]

VIII. Dùng công thức nhân đôi, nhân ba

• Chọn cung chung, đưa về phương trình chứa một hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải các phương trình:

a. cos [pic] = cos2x x = k[pic] hoặc [pic]

b. 2 + sin12x - 2cos8x=0 x= [pic] hoặc [pic] hoặc [pic]

c. [pic] x = k5[pic] hoặc x=[pic]

IX. Đánh giá 2 vế,đưa về hpt lg:

VD: giải các pt sau:

a. sin4x( cosx – 2 sn4x) + cos4x(1+sin x-2 cos4x)=0

b. sin2x+ [pic]sin23x= sin x. sin23x

c. sin x+[pic]+ sin x.[pic]=3

d. [pic]+ cos3x=2( 1+sin2x)

e. cos4x+ (cos2x –sin x)2=5

f . (cos2x –cos4x)2=6+2sin3x

Đề luyện tập: Giải các pt sau

PT dạng đối xứng:

1. [pic] 5. cos3x+sin3x=cos2x

2. sin3x+cos3x+sin3x cotg x+cos3x tgx=[pic] 6. sin x cosx+2sin x+2 cosx=2

3. sin8x+cos8x=2(sin10x+cos10x)+[pic] cos2x 7. cos3x+sin3x=sin2x+sin x+cosx

4 . [pic] 8. cotg x- tg+4sin2x=[pic]

9. sin3x- cos3x=sin x+cosx

PT giải bằng các dùng các công thức biến đổi

1. sinx .cos4x-sin22x=4sin2([pic])-[pic] 5. [pic]

2. [pic] 6. cosx cos7x=cos3x cos5x

3. 1+sin x+cos3x=cosx+sin2x+cos2x 7. [pic]

4. [pic]

Giải pt bằng cách phân tích thành nhân tử

1. (2 sin x+1)(3 cos4x+2 sinx -4)+4 cos2x=3 5. 3-tgx(tgx+2sin x)+6 cosx=0

2. sin2x(cotg x+tg2x)=4 cos2x 6. [pic]

3 .sin3x+sin2x=5sin x 7. (2 cosx-1)(2 sin x+cosx)=sin2x-sin x

4. [pic]

Đưa về pt một ẩn

1. 2 cos2x-8 cosx+7=[pic]

2. a. gpt: sin3x+cos2x=1+2sin x cos2x

b. Tìm m để pt (1) tương đương với pt: sin3x-m sinx=(4-2|m|)sin2x

3. 2 cos22x+cos2x=4sin22x cos2x

4. [pic]

5 . Cho pt cos2x=m cos2x.[pic]

a. Gpt với m=1

b. Tìm m để pt có nghiệm [pic] [0;[pic]]

6 . cos2x+cosx(2tg2x-1)=2

7. 3 cos4x-8 cos6x+2 cos2x+3=0

8. 5sin x-2=3(1-sin x)tg2x

9. cos3x+2 cos2x=1-2sin x sin2x

10. 3 cos2x+4 cos3x-cos3x=0

11. 2sin2(x-[pic])=2sin2x-tgx

12. 4 cos2x-2 cos22x=1+cos4x

13. 1+3tgx=2sin2x

14. 2[pic](sin x+cosx) cosx=3+ cos2x

15. sin4x=tgx

Các pt lg khác

1. 2sin x+cotg x=2sin2x+1

2. 4 cos 3x+3[pic]sin2x=8 cosx

3.Tìm các nghiệm nguyên của pt: [pic]

4. [pic]

5. [pic]

6. Tìm các nghiệm nguyên của pt : [pic]

7. [pic]

8. cotg x=tgx+[pic]

9. sin([pic] cosx)=1

10. 3 cosx(1-[pic])-cos2x=2[pic]sin2-1

11. cos3xsin2x-cos4x sin x=[pic] sin3x+[pic]

12. [pic]cos4x+sin4x-2 cos3x=0

Bài tập về nhà

1. cos2 x.sin4x+cos2x=2 cosx(sin x+cosx)-1

2. sin4xsin2x+sin9xsin3x=cos2x

3. 2 cosx+[pic]sin10x=3[pic]+2 cos28x sin x

4. sin2x+2 cos2x=1+sin x-4 cosx

5. 3sin4x+5 cos4x=3

6. [pic]

7. tgx+2cotg2x=sin2x

8. 3cotg2+2[pic]sin2x=(2+3[pic])cosx

ĐỀ TUYỂN SINH 2000-2001:

1.Đại học quốc gia Hà Nội Khối D Giải pt: 1+3tgx=2sin2x (1)

Đk: cosx [pic] 0 [pic] x [pic] [pic]/2+k [pic]

Đặt t=tgx [pic] [pic]

Pt (1) [pic] 1+t2+3t(1+t2)=4t [pic] 3t3+t2-t+1=0

[pic] (t+1)(3t2-2t+1)=0 [pic] t=-1 [pic] x=-[pic]/4+k [pic](k [pic] Z)

2. Đại học Bách Khoa Khối A : Gpt:[pic]

Giải: Đk : sin2x [pic] 0

Pt [pic] [pic] sinx cosx=0 (không tm đk)

Vậy pt đã cho vô nghiệm .

3.Đại học Sư Phạm Hà Nội

Tìm các nghiệm của pt : [pic] (1) tm đk |x-1| ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download