PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN - Weebly

[Pages:68]PHNG TR?NH LNG GI?C C BN

I. C?CH GII C?C PHNG TR?NH LNG GI?C C BN

1. Phng tr?nh sin x = a

A. C?ch gii:

iu kin phng tr?nh c? nghim: -1 a 1

C?ch gii:

+ t a = sin

+

sin

x

sin

x x

k2 (k

k2

Z)

Ch?

?:

sin

x

sin

x x

k.360 (k

180 k.360

Z)

Mt s trng hp c bit:

+ sin x 1 x k2 2

+ sin x 1 x k2 2

+ sin x 0 x k

B. B?i tp v? d: V? d: Gii c?c phng tr?nh

a) sin x 1 2

b) sin 2x 3 2

Gii:

a)

sin x

1

sin x

sin

x

6

k2

2

6

x

5 6

k2

b) sin 2x

3

sin 2x

sin

2x

3

k2

x

6

k2

(k

Z)

2

3

2x

2 3

k2

x

3

k2

2. Phng tr?nh cos x = a: A. C?ch gii:

iu kin phng tr?nh c? nghim l?: 1 a 1 C?ch gii:

+ t a = cos

cosa

cos

x x

k2 (k

k2

Z)

Ch?

?:

cos

x

cos

x x

k.360 k.360

Mt s trng hp c bit:

+ cos x 1 x k2 + cos x 1 x k2

1

+ cos x 0 x k 2

B. B?i tp v? d: V? d: Gii c?c phng tr?nh

a) cos x 2 2

Gii:

b) cos(x 60) 2 2

c) cos x 1 3

a) cos x cos 2 cos x cos 3 3x 3 k2 x k 2

2

4

4

43

b)

cos(x 60)

2 2

cos(x

60)

cos 45

x x

15 k360 105 k360

c) cos x 1 x arccos 1 k2

3

3

3. Phng tr?nh tan x = a:

A. C?ch gii:

- iu kin: x k(k Z) 2

- C?ch gii:

+ t a tan

+ tan x tan x k(k Z)

Vi phng tr?nh tan x tan th? x k.180(k Z)

B. B?i tp v? d: a / tan 2x 1

3

2x arctan( 1) k 3

x 1 arctan( 1) k (k Z)

2

32

b / tan(x 15) 3 3

tan(x 15) tan 30

x 15 30 k.180

x 15 k.180(k Z)

4. Phng tr?nh cot x = a: A. C?ch gii: - iu kin: x k(k Z)

- C?ch gii: + t a cot cotx cot x k Vi phng tr?nh cot x cot th? x k.180(k Z)

B. B?i tp v? d:

2

a / cot3x 2

3x arc cot(2) k

x 1 arc cot(2) k (k Z)

3

3

b / cot(4x 2) 3

cot(4x 2) cot( ) 6

4x 2 k 6

x 1 k (k Z) 42 4

II. Mt s b?i tp tham kho: 1. Gii phng tr?nh: a / cos(2 1) 1 vi x

2

b / sin(2x 15) 2 vi 120 x 90 2

2. Gii phng tr?nh: a / sin(2x 1) sin( x 3) b / sin 3x cos2x c / sin 4x cos5x 0 d / 2sin x 2 sin 2x 0

Mt s phng tr?nh lng gi?c thng gp

I. Phng tr?nh bc nht i vi mt h?m s lng gi?c 1. Kh?i nim:

L? phng tr?nh c? dng asinx + b = 0 (a 0) hoc acosx + b = 0 (a 0) hoc atanx + b = 0 (a 0) hoc acotx + b = 0 (a 0) Vi c?c dng tr?n ta bin i c? lp h?m lng gi?c mt v, v c?n li l? hng s, tc l? a v dng c bn VD: asinx + b = 0 asinx = -b sinx =

Phng tr?nh bc nht i vi sinax v? cosax Phng tr?nh bc nht i vi sinax v? cosax c? dng:

3

Asinax + Bcosax = C a l? c?c s thc 0 ; A v? B kh?ng ng thi bng 0 Phng tr?nh tr?n c? th c gii bng 2 c?ch C?ch 1: Ta c? Asinax + Bcosax = Rsin(ax + a), ? R =

> 0, l? s thc tho m?n:

cos = , sin =

Do ?, phng tr?nh tr?n s tng ng vi phng tr?nh dng c bn

sin(ax + ) =

C?ch 2: t t = tan . Ta c? th chng minh c sinax = phng tr?nh u ti?n ta c?:

, cosax =

2At + B - B = C + C (C + B) - 2At + C ? B = 0 (1)

Nu 0

+

phng tr?nh (1) c? hai nghim t1, t2

Khi ? vic gii phng tr?nh quy v vic gii c?c phng tr?nh c bn

B?I TP:

tan = t1, tan = t2

BT1: Gii phng tr?nh 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x (1)

. Thay v?o

BT2: Gii phng tr?nh BT3: Gii phng tr?nh

cos2x ? cosx = 2sin2 sin4x + 3sin2x = tanx (K: cosx 0)

II.Phng tr?nh bc hai i vi mt h?m s lng gi?c

Phng ph?p chung t h?m s lng gi?c l?m n ph v? t iu kin cho n ph nu c? (th? d vi t = sinx hoc t = cosx, iu kin | t | 1), ri gii phng tr?nh theo n ph n?y v? t ? suy ngc li nghim x.

4

B?i tp t lun

1. Cho phng tr?nh: cos2 x ? (2m + 1)cosx + m +1 = 0

a.

Gii phng tr?nh vi m = 3

2

b.

T?m m phng tr?nh c? nghim thuc [ , 3 ]

22

2. Cho phng tr?nh: 5 ? 4 sin2 x - 8 cos2 x = 3m 2

a.

Gii phng tr?nh vi m = - 4

3

b.

T?m m nguy?n dng phng tr?nh c? nghim.

3. Cho phng tr?nh: cos2x + 5sinx + m = 0

a.

Gii phng tr?nh vi m = 2

b.

T?m m phng tr?nh c? nghim

4. Cho phng tr?nh: 4 cos2 x ? (2m ? 1)cosx ? m = 0

a.

Gii phng tr?nh vi m = 3

b.

T?m m phng tr?nh c? nghim

5. X?c nh m phng tr?nh: mcos2x ? 4(m ? 2)cosx + 3(m ? 2) = 0

c? ?ng 2 nghim thuc (- , ) 22

6. Gii v? bin lun theo m phng tr?nh: (m ? 1) sin2 x - 2(m + 1)cosx + 2m ? 1 = 0

III.Phng tr?nh bc nht i vi sin x v? cos x

Phng ph?p chung

Phng tr?nh bc nht i vi sinx v? cosx c? dng:

asinx + bcosx = c.

(1)

gii phng tr?nh (1) ta c? th la chn mt trong c?c c?ch sau:

C?ch 1: Thc hin theo c?c bc:

Bc 1. Kim tra:

1. Nu a + b < c phng tr?nh v? nghim.

2. Nu a + b c , khi ? t?m nghim ca phng tr?nh (1) ta thc hin tip bc 2.

Bc 2. Chia hai v phng tr?nh (1) cho a2 b2 , ta c:

a sinx + b cosx = c

a2 b2

a2 b2

a2 b2

V? ( a )2 + ( b )2 = 1 n?n tn ti g?c sao cho

a2 b2

a2 b2

a = cos , b = sin

a2 b2

a2 b2

Khi ?, phng tr?nh (1) c? dng:

sinx.cos + sin .cosx = c sin(x + ) = c

a2 b2

a2 b2

?y l? phng tr?nh c bn v? c? h?m s sin.

5

C?ch 2: Thc hin theo c?c bc:

Bc 1. Vi cos x = 0 x = + 2k , k Z, kim tra v?o phng tr?nh 2

Bc 2. Vi cos x 0 x + 2k , t t = tg x , suy ra

2

2

2t sinx = 1 t2

1 - t2 v? cosx =

1 t2

Khi ?, phng tr?nh (1) c? dng:

a.

1

2t t

2

+

b.

1 1

t2 t2

= c

(c + b) t2

- 2at + c ? b = 0

(2)

Bc 3. Gii phng tr?nh (2) theo t.

C?ch 3: Vi nhng y?u cu bin lun t?nh cht nghim ca phng tr?nh trong ( , ), ta c? th la chn phng ph?p iu kin cn v? .

Nhn x?t quan trng: 1. C?ch 1 thng c s dng bi c?c b?i to?n y?u cu gii phng tr?nh v? t?m iu kin ca tham s phng tr?nh c? nghim, v? nghim hoc gii v? bin lun phng tr?nh theo tham s. 2. C?ch 2 thng c s dng vi c?c b?i to?n y?u cu gii phng tr?nh v? t?m iu kin ca tham s phng tr?nh c? nghim thuc tp D vi D [0, 2 ] 3. C?ch 3 thng c s dng vi c?c b?i to?n y?u cu bin lun theo tham s phng tr?nh k c? nghim thuc tp D vi D [0, 2 ] 4. T c?ch gii 1 ta c? c kt qu sau:

- a2 b2 asinx + bcosx a2 b2 kt qu ? gi ? cho b?i to?n v gi? tr ln nht v? nh nht ca c?c h?m s dng y = a.sinx + b.cosx, y = a.sinx + b.cosx v? phng ph?p ?nh gi? cho mt s phng tr?nh

c.sinx + d.cosx lng gi?c.

Dng c bit:

sinx + cosx = 0 x = - + k , k Z

4

sinx ? cosx = 0 x = + k , k Z

4

B?i tp t lun

7. Gii c?c phng tr?nh sau:

a.

3sinx ? 3 cos3x = 4 sin3 x ? 1

b.

3 sin4x ? cos4x = sinx ? 3 cosx

c.

2sinx(cosx ? 1) = 3 cos2x

d.

2sin3x ? sin2x + 3 cos2x = 0

8. Gii c?c phng tr?nh sau:

a.

3 sin(x - ) + sin (x + ) ? 2sin1972x = 0

3

6

b.

sinx = 1 (3 - 3 cosx)

3

6

9. Gii c?c phng tr?nh sau:

a.

(1 + 3 )sinx + (1 - 3 )cosx = 2

b.

sin2x + ( 3 - 2)cos2x = 1

10. Gii c?c phng tr?nh sau:

a.

3cosx ? sin2x = 3 (cos2x + sinx)

b.

2 cos( x - ) - 6 sin( x - ) = 2sin( x + 2 ) ? 2cos( x + )

5 12

5 12

5 3

5 6

11. Cho phng tr?nh: (m - 1)sinx ? cosx = 1

a.

Gii phng tr?nh vi m = 1

b.

T?m m phng tr?nh c? nghim thuc [ - , ]

22

12. Cho phng tr?nh: 3 sinx + cosx = m

a.

Gii phng tr?nh vi m = -1

b.

Bin lun theo m s nghim thuc (- , 2 ] ca phng tr?nh.

6

IV.Phng tr?nh thun nht bc hai i vi sin x v? cos x

Phng ph?p chung

Phng tr?nh thun nht bc hai i vi sinx v? cosx c? dng:

a sin2 x + bsinx.cosx + c. cos2 x = d

(1)

gii phng tr?nh (1) ta c? th la chn mt trong c?c c?ch sau:

C?ch 1: Thc hin theo c?c bc:

Bc 1: Vi cosx = 0 x = + k , k Z 2

Khi ? phng tr?nh (1) c? dng a = d

-

Nu a = d, th? (1) nhn x = + k l?m nghim

2

-

Nu a d, th? (1) kh?ng nhn x = + k l?m nghim

2

Bc 2: Vi cosx 0 x + k , k Z 2

Chia hai v ca phng tr?nh (1) cho cos2 x 0, ta c

a tg2 x + btgx + c = d(1 + tg2 x)

t t = tgx, phng tr?nh c? dng:

(a ? d) t2 + bt + c ? d = 0

(2)

Bc 3: Gii phng tr?nh (2) theo t

C?ch 2: S dng c?c c?ng thc:

sin2 x = 1 cos2x , cos2 x = 1 cos2x v? sinx.cosx = 1 sin2x

2

2

2

ta c:

b.sin2x + (c - a)cos2x = d ? c ? a

(3)

?y l? phng tr?nh bc nht ca sin v? cos.

Nhn x?t quan trng:

7

1) C?ch 1 thng c s dng vi c?c b?i to?n y?u cu gii phng tr?nh v? t?m iu kin ca tham s phng tr?nh c? nghim thuc tp D. 2) C?ch 2 thng c s dng vi c?c b?i to?n y?u cu gii phng tr?nh v? t?m iu kin ca tham s phng tr?nh c? nghim, v? nghim hoc gii v? bin lun phng tr?nh theo tham s.

B?i tp t lun

13. Gii phng tr?nh: 4 sin2 x + 3 3 sin2x ? 2 cos2 x = 4

14. Cho phng tr?nh: 3 sin2 x + m.sin2x - 4 cos2 x = 0

a.

Gii phng tr?nh khi m = 4

b.

X?c nh m phng tr?nh c? nghim

15. Cho phng tr?nh: (m + 1) sin2 x ? 2sinx.cosx + cos2x = 0

a.

Gii phng tr?nh khi m = 0

b.

X?c nh m phng tr?nh c? ?ng hai nghim thuc (0, )

2

16. Cho phng tr?nh: m. sin2 x ? 3sinx.cosx ? m ? 1 = 0

a.

Gii phng tr?nh vi m = 1

b.

T?m m phng tr?nh c? ?ng 3 nghim thuc (0, 3 )

2

17. Cho phng tr?nh: m.sinx + cosx = 1 , vi m 0 cosx

a.

Gii phng tr?nh khi m = 3

b.

X?c nh m phng tr?nh c? nghim

c.

Gi s m l? gi? tr l?m cho phng tr?nh c? nghim x1, x2 tho m?n

x1 + x2

2

+ k . T?nh cos2(x1 + x2) theo m

V.Phng tr?nh i xng i vi sin x v? cos x

Phng ph?p chung

Phng tr?nh i xng i vi sinx v? cosx c? dng:

a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0

(1)

hoc a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0

(2)

gii phng tr?nh (1) ta thc hin theo c?c bc sau:

Bc 1: t sinx + cosx = t, iu kin | t | Khi ?, phng tr?nh c? dng:

2 sinx.cosx = t2 1 2

at + b t2 1 + c = 0 b t2 + 2at + 2c - b = 0

(*)

2

Bc 2: Gii (*) theo t v? chn nghim t0 tha m?n iu kin | t | 2

Vi t = t0, ta c:

sinx + cosx = t0

2 sin(x +

4 ) = t0

sin(x +

)= 4

t0 2

?y l? phng tr?nh c bn ca h?m s sin.

8

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download