Professores de Matemática



Quest?esCombinatória da UERJUerj 2009 – 2?(M)Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, com a condi??o de que n?o fossem utilizados 4 sábados consecutivos.Para atender às condi??es de reposi??o das aulas, o número total de conjuntos distintos que podem ser formados contendo 4 sábados é de:A) 80B) 96C) 120 D) 126Uerj 2015 – 1?(F)Em um sistema de codifica??o, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma pessoa e CD os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de julho, por exemplo, corresponderia a:A = 3B = 0C = 0D = 7Admita uma pessoa cuja data de nascimento obede?a à seguinte condi??o:A + B + C + D = 20O mês de nascimento dessa pessoa é:A) agostoB) setembroC) outubroD) novembroUerj 2019 – 2? (M)Apenas com os algarismos 2, 4, 5, 6 ou 9, foram escritos todos os números possíveis com cinco algarismos. Cada um desses números foi registrado em um único cart?o, como está exemplificado a seguir.Alguns desses cart?es podem ser lidos de duas maneiras, como é o caso dos cart?es C, D e E. Observe:O total de cart?es que admitem duas leituras é:A) 32B) 64C) 81D) 120Uerj 2012 – 1?(M)Na ilustra??o, as 52 cartas de um baralho est?o agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor. Denomina-se quadra a reuni?o de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra:O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a:a) 624b) 676c) 715d) 720Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do Candidato do Vestibular Estadual 2007. Um desses grupos está apresentado a seguir.Considere que cada grupo de quatro figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente. Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a: a) 24b) 35c) 70d) 140Uerj 2009 – 1?(M)Considere como um único conjunto as 8 crian?as – 4 meninos e 4 meninas – personagens da tirinha. A partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, n?o vazios, que apresentam um número igual de Meninos e de meninas. O maior valor de n é equivalente a:a) 45b) 56c) 69d) 81Uerj 2011 – 2?(M)right24996800A tabela apresenta os critérios adotados por dois países para a forma??o de placas de automóveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto romano. Considere o número máximo de placas distintas que podem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y igual a p. A raz?o n/p corresponde a:a) 1b) 2c) 3d) 6right36899400Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em código. Cada módulo possui três l?mpadas de cores diferentes ? vermelha, amarela e verde. Observe a figura. Considere as seguintes informa??es:? cada módulo pode acender apenas uma l?mpada por vez;? qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simult?neo de três l?mpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três l?mpadas apagadas;? duas mensagens s?o diferentes quando pelo menos uma das posi??es dessas cores acesas é diferente.Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir.a) 4800b) 1580c) 2400d) 1680Um estudante possui dez figurinhas, cada uma com o escudo de um único time de futebol, distribuídas de acordo com a tabela. right791600Para presentear um colega, o estudante deseja formar um conjunto com cinco dessas figurinhas, atendendo, simultaneamente, aos seguintes critérios:– duas figurinhas dever?o ter o mesmo escudo;– três figurinhas dever?o ter escudos diferentes entre si e também das outras duas. De acordo com esses critérios, o número máximo de conjuntos distintos entre si que podem ser formados é igual a:a) 32b) 40c) 56d) 72 right13366200Uma rede é formada de tri?ngulos equiláteros congruentes, conforme a representa??o ao lado. Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos tri?ngulos percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais s?o todos iguais a d. Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a:a) 20b) 15c) 12d) 10Todas as n capitais de um país est?o interligadas por estradas pavimentadas, de acordo com o seguinte critério: uma única estrada liga cada duas capitais. Com a cria??o de duas novas capitais, foi necessária a constru??o de mais 21 estradas pavimentadas para que todas as capitais continuassem ligadas de acordo com o mesmo critério. Determine o número n de capitais, que existiam inicialmente nesse país.a) 10b) 11c) 12d) 13Uerj 2015 – 1?(M)Um painel de ilumina??o possui nove se??es distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, s?o acesas, ao acaso, duas se??es de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas.Observe quatro diferentes possibilidades de ilumina??o do painel:O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de ilumina??o do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y<60.Os valores respectivos de x e y s?o:a) 4 e 12b) 8 e 24c) 25 e 12d) 50 e 24 Uerj 2016 – DiscursivaUma crian?a possui um cofre com 45 moedas: 15 de dez centavos, 15 de cinquenta centavos e 15 de um real. Ela vai retirar do cofre um grupo de 12 moedas ao acaso. Há vários modos de ocorrer essa retirada. Admita que as retiradas s?o diferenciadas apenas pela quantidade de moedas de cada valor.Determine quantas retiradas distintas, desse grupo de 12 moedas, a crian?a poderá realizar. Uerj 2015 – DiscursivaCom o objetivo de melhorar o tráfego de veículos, a prefeitura de uma grande cidade prop?s a constru??o de quatro terminais de ?nibus. Para estabelecer conex?o entre os terminais, foram estipuladas as seguintes quantidades de linhas de ?nibus:? do terminal A para o B, 4 linhas distintas;? do terminal B para o C, 3 linhas distintas;? do terminal A para o D, 5 linhas distintas;? do terminal D para o C, 2 linhas distintas.N?o há linhas diretas entre os terminais A e C.Supondo que um passageiro utilize exatamente duas linhas de ?nibus para ir do terminal A para o terminal C, calcule a quantidade possível de trajetos distintos que ele poderá fazer. Uerj 2014 – 2?(M)Uma crian?a ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a crian?a consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo:(B,B,M,C,M,C) ou (B,M,M,C,B,C) ou (C,M,M,B,B,C)O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a:A) 6B) 90C) 180D) 720Gabarito Combinatória da UERJCBAABCBDBBAB“x+y+z = 12” R: 9112+10 = 22BCombinatória do ENEMEnem 2019 – 1? Azul – 171(M)Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vag?es de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vag?es, 4 s?o pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vag?es, ordenados crescentemente segundo suas numera??es, conforme ilustrado na figura.De acordo com as possíveis varia??es nas colora??es dos vag?es, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combina??es, é dada porEnem 2019 – 1? Azul – 156(M)Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois s?o canhotos, decidem realizar um torneio de v?lei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realiza??o do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos.De quantas maneiras diferentes podem ser formadasessas quatro duplas?A) 69B) 70C) 90D) 104E) 105Enem 2013 – 1? Azul – 138(F)Um banco solicitou aos seus clientes a cria??o de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.Entretanto, um especialista em sistemas de seguran?a eletr?nica recomendou à dire??o do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a cria??o de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua vers?o minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.Uma forma de avaliar uma altera??o no sistema de senhas é a verifica??o do coeficiente de melhora, que é a raz?o do novo número de possibilidades de senhas em rela??o ao antigo.O coeficiente de melhora da altera??o recomendada é:Solu??o: 2018 -1? Azul – 165(M)O Sal?o do Automóvel de S?o Paulo é um evento no qual vários fabricantes exp?em seus modelos mais recentes de veículos, mostrando, principalmente, suas inova??es em design e tecnologia.Disponível em: . Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado).Uma montadora pretende participar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na regi?o central do sal?o, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete. Para compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros compactos, de modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que ser?o expostos. A posi??o dos carros dentro de cada estande é irrelevante. Uma express?o que fornece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser compostos é Enem 2017 – 2? Azul -149(F)Desde 1999 houve uma significativa mudan?a nas placas dos carros particulares em todo o Brasil. As placas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres alfanuméricos, foram acrescidas de uma letra, passando a ser formadas por sete caracteres, sendo que os três primeiros caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) e os quatro últimos devem ser algarismos (de O a 9). Essa mudan?a possibilitou a cria??o de um cadastro nacional unificado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou significativamente a quantidade de combina??es possíveis de placas. N?o s?o utilizadas placas em que todos os algarismos sejam iguais a zero.Nessas condi??es, a quantidade de placas que podem ser utilizadas é igual aEnem 2017 – 1? Azul – 178(F)Como n?o s?o adeptos da prática de esportes, um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores. O campe?o será aquele que conseguir o maior número de pontos. Observaram que o número de partidas jogadas depende do número de jogadores, como mostra o quadro:Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas ser?o realizadas?a) 64b) 56c) 49d) 36e) 28Enem 2017 – 1? Azul – 177(F)Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milh?o de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco op??es de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das op??es.A empresa quer escolher uma op??o de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número n?o seja superior ao dobro do número esperado de clientes.A op??o que mais se adequa às condi??es da empresa éa) I.b) II.c) III.d) IV.e) V.Enem 2017 – 1? Azul – 160(F)O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com m?os que se unem formando a ta?a Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regi?es vizinhas tenham cores diferentes.De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?a) 15b) 30c) 108d) 360e) 972Enem 2017 – 1? Azul – 143(M)Um brinquedo infantil caminh?o-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.No setor de produ??o da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. S?o utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminh?o-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminh?o-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudan?a de posi??o dos carrinhos no caminh?o-cegonha n?o gera um novo modelo do brinquedo. Com base nessas informa??es, quantos s?o os modelos distintos do brinquedo caminh?o-cegonha que essa empresa poderá produzir?Enem 2016 – 2? Azul – 172(M)57295351968500Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai fez o seguinte desenho e o entregou à crian?a juntamente com três lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte somente os círculos, de modo que aqueles que estejam ligados por um segmento tenham cores diferentes.De quantas maneiras diferentes a crian?a pode fazer o que o pai pediu?a) 6.b) 12.c) 18.d) 24.e) 72.Enem 2016 – 1? Azul – 147(M)O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 s?o canhotos e 6 s?o destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibi??o entre dois desses jogadores, porém, n?o poder?o ser ambos canhotos.Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibi??o?Solu??o: 2016 – 1? Azul – 168(M)Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posi??o. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.Disponível em: . Acesso em: 14 dez. 2012.O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado porResolu??o: 2015 -1? Azul – 164(F)Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas est?o marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis s?o as mostradas em branco.Disponível em: . Acesso em: 30 out. 2013 (adaptado).O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado porResolu??o: 2015 – 1? Azul – 147(M)Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos s?o julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campe? será a escola que obtiver maior pontua??o na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campe? será a que alcan?ar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a divulga??o das notas do jurado B no quesito Bateria.Quantas configura??es distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campe? a Escola II?A 21B 90C 750D 1 250E 3 125Solu??o: 2015 – 2? Azul – 169(F)A bandeira de um estado é formada por cinco faixas, A, B, C, D e E, dispostas conforme a figura.Deseja-se pintar cada faixa com uma das cores verde, azul ou amarelo, de tal forma que faixas adjacentes n?o sejam pintadas com a mesma cor.O cálculo do número de possibilidades distintas de se pintar essa bandeira, com a exigência acima, éA) 1 X 2 X 1 X 1 X 2.B) 3 X 2 X 1 X 1 X 2.C) 3 X 2 X 1 X 1 X 3.D) 3 X 2 X 1 X 2 X 2.E) 3 X 2 X 2 X 2 X 2.Resolu??o: 2014 – Azul – 163(F)Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lan?amentos, sendo 8 filmes de a??o, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lan?amentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de a??o e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de a??o e um de drama, até que todos os lan?amentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?A) 20×8!+(3!)2B) 8!×5!×3!C) (8!×5!×3!)28D) (8!×5!×3!)22E) 16!28Resolu??o: Enem 2013 – Azul – 165(D)Um artes?o de joias tem à sua disposi??o pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango n?o quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes. A figura ilustra uma joia, produzida por esse artes?o, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posi??es ocupadas pelas base nas informa??es fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artes?o poderá obter?A 6B 12C 18D 24E 36Solu??o: Enem: ECACCEEEBCAEACBBB ................
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