MATEMÁTICAS II . 2º BACHILLERATO CIENCIAS E INGENIERÍA ...

IES CRIST?BAL COL?N

MATEM?TICAS II . 2? BACHILLERATO CIENCIAS E INGENIER?A

EJERCICIOS

MAYO 2003

DERIVADAS Y APLICACIONES

NOTA: Los ejercicios han sido propuestos o reservas de las Pruebas de Aptitud para el Acceso a la Universidad de los Alumnos de LOGSE (Universidades Andaluzas).

1.- La cantidad de madera, en funci?n del tiempo (en a?os), viene definida por la funci?n

Se pide:

a) Sabiendo que en uno de los cinco primeros a?os la producci?n alcanza un m?ximo, hallar dicho a?o y el valor de la cantidad de madera producida.

b) Sabiendo que antes de los 20 primeros a?os la producci?n alcanza un m?nimo, hallar dicho a?o y el valor de la producci?n en ese a?o.

c) Esbozar la gr?fica de la funci?n f.

2.- El costo de fabricaci?n diaria en ,0 de un cierto art?culo viene dado, en funci?n del n?mero x de unidades producidas, por la expresi?n

Si toda la producci?n diaria se vende a un precio unitario, en ptas., de diarias que deben fabricarse para alcanzar un beneficio m?ximo.

. Halle el n?mero de unidades

3.- El coeficiente de elasticidad de un cierto producto, en funci?n de la temperatura en grados cent?grados, viene definido por la funci?n

Se pide:

a) Probar que el coeficiente de elasticidad es siempre (para cualquier valor de t) positivo.

b) Probar que para

, la funci?n g alcanza un m?ximo y un m?nimo relativos. Hallar el valor de la

temperatura para que la elasticidad sea m?nima. Hallar el valor m?nimo de la elasticidad.

4.- De la funci?n f, dada por

, se sabe que la gr?fica de su derivada f?es la recta que pasa por

los puntos (2,-1) y (-2,1). Tambi?n se sabe que el m?ximo de f es 1. Determine a, b y c.

5.- El coste, en miles de pesetas, de la fabricaci?n de n unidades de un art?culo viene dado por la funci?n

Se sabe que el n?mero de unidades fabricadas diariamente desde el inicio de la jornada laboral hasta la hora t es

a) Exprese anal?ticamente el coste de fabricaci?n en funci?n de t. b) Calcule el coste de fabricaci?n al cabo de una jornada de trabajo de 7 horas. c) En el caso de que se fabricaran 50 unidades y de que se vendiese cada unidad a 200.000 ptas.,

calcule el beneficio obtenido.

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6.- Dada la funci?n f definida por

a) Represente la funci?n. b) Determine los puntos en los que la funci?n no es derivable.

7.- Dada la funci?n

definida para

,

a) Estudie su comportamiento para valores grandes de x y alrededor de x=3. b) Estudie su crecimiento y decrecimiento. c) Represente su gr?fica.

8.- La funci?n f, definida por la expresi?n

verifica que su gr?fica pasa por el punto (-1,0) y tiene tangente paralela al eje OX en el punto (0,4). a) Determine la funci?n f (calcule a, b y c). b) Calcule la recta tangente a la gr?fica de f en el punto de abscisa 3. c) Calcule el punto de inflexi?n de f.

9.- En una empresa de producci?n y venta de ordenadores, la diferencia diaria entre ingresos y gastos, en miles de pesetas, viene dada por la expresi?n

donde x representa el n?mero de unidades vendidas en un d?a. a) Esboce la gr?fica de la funci?n. b) ?Qu? n?mero de unidades vendidas por d?a proporciona el mayor beneficio, teniendo en cuenta que la empresa no produce m?s de 12 ordenadores por d?a? c) ?Qu? n?mero de unidades vendidas por d?a proporciona el menor beneficio, teniendo en cuenta que la empresa produce m?s de 6 y no m?s de 12 ordenadores por d?a?

10.- Represente la gr?fica de m?nimos y convexidad.

, estudiando con detalle crecimiento y decrecimiento, m?ximos y

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11.- En un cierto cultivo, el ?ndice de crecimiento de un bacilo viene dado, en funci?n de la temperatura t expresada en grados cent?grados, por la expresi?n

Se sabe que a la temperatura de 6?C el ?ndice alcanza un m?ximo local y que a la temperatura de 12?C el ?ndice alcanza un m?nimo local.

a) Halle a y b. b) Sabiendo que el bacilo s?lo puede vivir entre 4?C y 16?C, halle la temperatura para la que el ?ndice de

crecimiento es m?ximo. c) Esboce la gr?fica de la funci?n f considerada definida sobre R.

12.-El coste total para el reciclaje diario de x toneladas de vidrio viene dado, en miles de pesetas, por la expresi?n

Si diariamente se vende toda la producci?n de vidrio reciclado al precio de

miles de pesetas por

tonelada, halle la cantidad de vidrio que debe reciclarse cada d?a para lograr un beneficio m?ximo.

13.- Dada la funci?n:

a) Representar gr?ficamente f. b) Estudiar su continuidad y derivabilidad. c) Estudiar el crecimiento y decrecimiento e investigar si hay as?ntotas.

14.- Estudia la continuidad y derivabilidad de la funci?n:

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15.- Dada la gr?fica de la funci?n f:

a) Obtener los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. b) Obtener los puntos del dominio donde sea discontinua.

c) Obtener los valores de:

;

;

.

d) Obtener los valores de f'(3) y f'(7). e) Obtener los puntos donde no sea derivable.

16.- La gr?fica de la funci?n f es:

a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

b) Determinar los intervalos de concavidad y de convexidad.

c) Hallar los puntos

tales que f(x)= 0 y determinar, en ese intervalo, d?nde se alcanzan los

m?ximos locales.

d) Determinar las as?ntotas verticales y razonar si existen as?ntotas horizontales.

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17.- La gr?fica de la derivada de f(x) es de la forma:

a) Una de estas tres gr?ficas es un esbozo de f(x). ?Cu?l de ellas? Argumenta tu respuesta.

a)

b)

c)

b) Halla la expresi?n anal?tica de la funci?n f'(x) y de la funci?n f(x).

18.- Consid?rese la curva de ecuaci?n

.

a) ?Cu?nto debe valer k si las tangentes en los puntos A(1,f(1)) y B(-2,f(-2)) son paralelas? b) Determina las ecuaciones de ambas tangentes.

19.- Una colonia de bacterias tarda un mes en iniciar su reproducci?n. La funci?n que da su n?mero en funci?n del tiempo t en meses, es

Se pide: a) Estudia si la poblaci?n es funci?n continua del tiempo. b) Calcula la tasa de variaci?n media de la poblaci?n en los intervalos [0,1] y [1,3].

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