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1.Num lago, a relação entre a intensidade I da luz (em lúmens) a uma profundidade de [pic] metros é dada por: [pic]
1.1. Qual é a intensidade de luz à profundidade de 10 metros?
1.2. Mostra que [pic]
1.3. Considerando que o lago tem 100 metros de profundidade, calcula [pic] e [pic]e explica o significado de cada um destes valores.
1.4. A partir de que profundidade é a intensidade da luz inferior a [pic] lúmen?
1.5. Explica de que forma resolverias a alínea anterior utilizando exclusivamente a calculadora gráfica.
2. Num teste de memória, a percentagem de indivíduos que se lembram de um número com oito dígitos durante pelo menos t segundos é [pic]
2.1. Determina a percentagem de indivíduos que se lembram do número 18345679 ao fim de 5 segundos.
2.2. Resolve a equação [pic]. Apresente o resultado em segundos, arredondados às unidades, e explique o significado do valor obtido.
2.3. Considera a figura onde se encontra parte da representação gráfica da função [pic]. Determina a área do trapézio [ABCO]. Nota: Utiliza a calculadora, apresentando o resultado com uma casa decimal. Nos cálculos intermédios, se procederes a arredondamentos, conserve duas casas decimais.
3. Se [pic], qual das expressões seguintes representa [pic]:
(A) [pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) [pic]
4.O valor de [pic] para o qual o ponto [pic] pertence ao gráfico da função [pic] é:
(A) [pic] (B)[pic] (C)[pic] (D) [pic]
5.Considera uma função [pic] real de variável real, definida por [pic], com [pic]e [pic][pic]
Considera ainda que os pontos A(-1, 0) e B(0, -2) pertencem ao gráfico de [pic].
5.1. Determina [pic]e [pic].
5.2. Mostra que o ponto do gráfico de f que tem abcissa 4 pertence à bissectriz dos quadrantes pares.
5.3. Verifica que [pic] pertence ao contradomínio e indica o respectivo objecto.
5.4. O gráfico de [pic]passa pelo ponto de coordenadas [pic], sendo [pic]. Determina [pic].
6. Um produto acabou de ser lançado no mercado. Prevê-se que, nos próximos anos, o preço [pic], em euros, seja dado em função do tempo [pic], em anos, por [pic]
6.1. Qual o preço de lançamento?
6.2. Qual o preço previsto para daqui a 5 anos?
6.3. Mostra que [pic] e interpreta o significado no contexto da situação apresentada.
6.4. Exprime [pic] em função de[pic].
7.Sejam [pic], [pic] e [pic] três números reais tais que [pic]. Qual das igualdades seguintes é necessariamente verdadeira?
(A)[pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) [pic]
8. Num laboratório, foi colocado um purificador de ar. Num determinado dia, o purificador foi ligado às zero horas e desligado algum tempo depois. Ao longo desse dia, o nível de poluição do ar diminuiu, enquanto o purificador esteve ligado. Uma vez o purificador desligado, o nível de poluição do ar começou de imediato a aumentar. Admite que o nível de poluição do ar no laboratório, medido em [pic]de ar, às [pic] horas desse dia, pode ser dado por:
[pic]
Nas duas alíneas seguintes, sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.
8.1. Qual é o nível de poluição à uma hora e trinta minutos da tarde? Apresenta o resultado na unidade considerada, arredondado às décimas.
8.2. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, resolve o seguinte problema: “Quanto tempo esteve o purificador de ar ligado?” Apresenta o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).
9. Em determinada espécie de árvores destinadas à indústria da madeira, o diâmetro médio [pic]do tronco, em centímetros, está relacionado com o número [pic]de anos decorridos após a plantação através da igualdade:
[pic]
9.1. Exprime [pic] em função de [pic].
9.2. Qual o diâmetro médio das árvores na altura da plantação? (Apresenta o resultado com aproximação às décimas de centímetro).
9.3. Verifica que, para qualquer valor de [pic], a diferença [pic] é constante. Determina essa constante e interpreta o seu valor, no contexto da situação descrita.
9.4. Admitindo que as árvores são cortadas quando o diâmetro médio do tronco atinge os 25 centímetros, determina o número de anos, com aproximação às unidades, que decorre entre a plantação e o corte das árvores.
10.Admite que o número de habitantes de um certo país é dado por: [pic] com N expresso em milhões e sendo t, o número de anos contado desde o início do ano 2000.
10.1. Determina o número de habitantes do referido país em 2000.
10.2. Passado quanto tempo (em mês e ano) a população duplicou?
10.3. Em que ano serão atingidos os 45 milhões de habitantes?
10.4. A longo prazo, quantos habitantes terá, presumivelmente o país, se aquele modelo continuar válido?
11. No referencial da figura estão representadas graficamente as funções [pic]. Sabe-se que:
• [pic]
• O ponto B pertence ao eixo das ordenadas e ao gráfico de [pic]
• O ponto A pertence a [pic]
A área do triângulo [pic] é igual a:
(A) [pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) Nenhuma das opções anteriores
12. Sejam [pic] duas funções reais de variável real, sendo [pic]. Sabe-se que o domínio da função [pic] é [pic]. Qual das seguintes representações gráficas pode corresponder à função [pic]?
13. No referencial da figura encontram-se representadas as funções [pic] tais que
[pic] e [pic]
A área do triângulo [pic] é igual a :
(A) [pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) [pic]
14. Sabendo que [pic], o valor de[pic] é igual a:
(A) [pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) Nenhuma das opções anteriores
15. Considera a função [pic] tal que [pic] e a função [pic], cujo gráfico se encontra representado na figura. O domínio de [pic] é:
(A) [pic] (B)[pic] (C)[pic] (D) [pic]
16. Considera a função [pic]cujo gráfico se encontra representado na figura ao lado e a função [pic] definida por [pic].
O domínio da função [pic] é:
(A) [pic] (B)[pic]
(C)[pic] (D) [pic]
17. Sejam [pic]e [pic]dois números reais positivos. Na figura está parte da representação de uma função [pic], de domínio [pic], definida por [pic]. Tal como a figura sugere, os pontos [pic] e [pic] pertencem ao gráfico de [pic]. Quais são os valores de [pic]e[pic]?
(A) [pic] (B) [pic] (C) [pic] (D) [pic]
18. Considera as funções [pic] e [pic] definidas por [pic] e [pic]
Recorrendo a processos exclusivamente analíticos resolve as seguintes condições:
18.1. [pic] 18.2. [pic]
19. No referencial da figura, estão representações da bissectriz dos quadrantes impares, através da reta [pic], e do gráfico da função [pic],tal que [pic]. O ponto de interseção do gráfico da função [pic], com o eixo das abcissas é representado por [pic] e a interseção do gráfico da função [pic], com a bissetriz dos quadrantes impares, é representado por [pic].Mostra que a área do triângulo [pic] é igual a [pic]
20. O Paulo e alguns amigos apreciadores de cicloturismo decidiram dar um passeio de bicicleta. Sabe-se que o passeio durou três horas e que a altitude [pic]a que o Paulo se encontra, [pic] horas após ter dado início ao passeio, é dada pela expressão:
[pic] com [pic] em horas e [pic]em centenas de metros
Recorrendo a processos exclusivamente analíticos resolve as duas primeiras alíneas. Nos cálculos intermédios conserva sempre duas casas decimais
20.1. A que altitude se encontra a casa do Paulo?
20.2. Calcula quanto tempo tinha decorrido quando, pela segunda vez, o Paulo se encontrava a 650 metros de altitude. Apresenta o resultado em horas e minutos, arredondado às unidades.
20.3. Recorrendo à máquina gráfica, determina durante quanto tempo o passeio se efetuou em locais de altitude não superior a 700 metros. Apresenta o resultado em horas e minutos, arredondando estes últimos às unidades. Regista na tua folha de papel o (os) gráfico (os) considerados.
21. Considera as funções [pic] e [pic] definidas por
[pic] e [pic]
21.1. Resolve a equação [pic]
21.2. Na figura, está representada, em referencial o. m . [pic] , parte do gráfico da função [pic] e um rectângulo [pic]. Determina a área desse retângulo.
22. Admite que a percentagem de habitantes com telemóvel, numa cidade, é dada pelo seguinte modelo matemático[pic], [pic] em anos e correspondendo 1990 a [pic]
22.1. Qual a percentagem de habitantes com telemóvel em 1998? Apresenta o resultado arredondado às unidades.
22.2. Calcula [pic] e interpreta o resultado no contexto do problema.
23. Um certo ambientador, depois de aberto, começa a evaporar tendo uma duração limitada. Ao fim de 8 dias restam 12g de ambientador e ao fim de 16 dias restam 9g de ambientador. Admite que a quantidade de ambientador restante, em gramas, [pic] dias após este ser aberto, é dada por: [pic]
23.1. Mostra que [pic] e que [pic]
23.2. Sabendo que uma embalagem deste tipo de ambientador foi aberta no dia 4 de Novembro, indica em que dia está vazio.
24.Admite que a concentração de “Curabem” é dada por: [pic]
Para o tratamento ter o efeito desejado é necessário tomar um 2º fármaco no instante em que a concentração de “Curabem” atinge o valor máximo, sendo também necessário garantir que, após a administração do 2º fármaco, a concentração de “Curabem” por litro de sangue se mantenha superior a 3,5 mg, pelo menos durante 3 horas.
Sabe-se que o doente tomou o “Curabem” às 0 horas e o 2º fármaco às 11 horas e 30 minutos.
Numa composição matemática, explica de forma clara o cumprimento, ou não, por parte do doente das indicações médicas e se estão reunidas as condições para que o tratamento tenha o efeito desejado.
25.A quantidade Q de cafeína num indivíduo, t horas após a ingestão da mesma, é dada pela expressão [pic].
Um indivíduo tomou uma chávena de café que contém 80mg de cafeína.
Sabe-se que o tempo de semivida da cafeína no organismo é de, aproximadamente, 4 horas.
25.1. Determina os valores de [pic] e a.
25.2. Que quantidade de cafeína permanece no organismo, passadas 3 horas do momento em que o indivíduo tomou o café? Apresenta o resultado arredondado às décimas.
25.3. Admite que para valores inferiores a 15mg de cafeína no organismo a mesma deixa de exercer efeitos estimulantes.
Determina graficamente, recorrendo à calculadora, o período de tempo em que a cafeína funcionou como estimulante. Apresenta o resultado em horas e minutos (os minutos arredondados às unidades).
Nota: A semivida de uma substância cuja quantidade decresce é o tempo necessário para que essa quantidade passe a metade.
26. Admite que, ao longo dos séculos XIX e XX e dos primeiros anos do século XXI, a população de Portugal Continental, em milhões de habitantes, é dada, aproximadamente, por
[pic]
(considera que [pic] é medido em anos e que o instante [pic]corresponde ao início do ano 1864)
26.1. De acordo com este modelo, qual será a população de Portugal Continental no final do presente ano? Apresenta o resultado em milhões de habitantes, arredondado às décimas.
Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos conserva, no mínimo, três casas decimais.
26.2. Sem recorrer à calculadora (a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos), resolve o seguinte problema:
De acordo com este modelo, em que ano a população de Portugal Continental foi de 3,7 milhões de habitantes?
Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos conserva, no mínimo, três casas decimais
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