MATEMÁTICA FINANCEIRA



REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

Podemos definir como regime de capitalização os métodos pelo qual os capitais são remunerados. Os regimes de capitalização podem ser “SIMPLES” e “ COMPOSTO” ou método de capitalização linear e exponencial, respectivamente. Vejamos um exemplo;

EXEMPLO: Seja um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples e composta?

Regime de Capitalização Simples

|N |Capital Aplicado |Juros de cada período |Valor Acumulado |

|1 |R$ 1.000,00 |R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 |R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 |

|2 |R$ 1.000,00 |R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 |R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.200,00 |

|3 |R$ 1.000,00 |R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 |R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.300,00 |

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O

REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

M = R$ 1..300,00

C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00

C = R$ 1.000,00

Regime de Capitalização Composta

|N |Capital Aplicado |Juros de cada período |Valor |

| | | |Acumulado |

|1 |R$ 1.000,00 |R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 |R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 |

|2 |R$ 1.100,00 |R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 |R$ 1.000,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00 |

|3 |R$ 1.210,00 |R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 |R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.331,00 |

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O

REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

M = R$ 1..331,00

C . i = R$ 100,00 M1 . i = R$ 110,00 M2 . i = R$ 121,00

C = R$ 1.000,00

JUROS COMPOSTOS

1. CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS

Podemos entender os juros compostos, como sendo o que popularrmente chamamos de juros sobre juros. Observe novamente a demonstração do regime de capitalização composta. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros.

Regime de Capitalização Composta

|N |Capital Aplicado |Juros de cada período |Valor |

| | | |Acumulado |

|1 |R$ 1.000,00 |R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 |R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 |

|2 |R$ 1.100,00 |R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 |R$ 1.000,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00 |

|3 |R$ 1.210,00 |R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 |R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.331,00 |

DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O

REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

M = R$ 1.331,00

C . i = R$ 100,00 M1 . i = R$ 110,00 M2 . i = R$ 121,00

C = R$ 1.000,00

2. VALOR FUTURO (FV) ou MONTANTE (M)

EXEMPLO: Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.

Dados:

FV = ?

PV = R$ 5.000,00

i = 4% ao mês

n = 5 meses

FUNÇÃO “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX]

Com a seqüência de teclas [STO] [EEX] aparecerá no visor da calculadora HP 12C a letra “C”. Se a letra “C” não estiver aparecendo no visor, a HP-12C faz esse cálculo com base na chamada “convenção linear”, em que os juros são calculados de acordo com o regime de capitalização composta para períodos inteiros e de acordo com o regime de capitalização simples para períodos fracionários. Vamos comprovar:

EXEMPLO: Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.450.300,00, aplicado à taxa de 15% ao ano, durante 3,5 anos.

Dados:

PV = R$ 1.450.300,00

i = 15% ao ano

n = 3,5 anos.

Observe que existe uma diferença de R$ 5.777,83, vejamos o por quê?

1º PASSO: determinar o valor futuro para o período de 3 anos (período inteiro) pelo regime de juros compostos.

FV (3 anos) = 1.450.300 (1,15) 3 = R$ 2.205.725,01

2º PASSO: determinar o valor dos juros correspondentes a meio ano (período fracionário) pelo regime de juros simples.

J (meio ano) = ( 1.450.300 x 0,15 x 180 ) / 360 = R$ 165.429,38

3º PASSO: determinar o valor futuro total (3,5 anos)

FV (3,5 anos) = R$ 2.205.725,01 + R$ 165.429,38 = R$ 2.371.154,39

3. VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL (C)

EXEMPLO: No final de dois anos, o Sr. Carlos deverá efetuar um pagamento de R$ 2.000,00 referente ao valor de um empréstimo contratado na data de hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: Qual o valor emprestado?

Dados:

FV = R$ 2.000,00

i = 4% ao mês

n = 24 meses

PV = ?

4. PRAZO (n)

ou

ou n =

EXEMPLO: Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês.

Dados:

n = ?

PV = R$ 24.278,43

FV = R$ 41.524,33

i = 3% ao mês

FUNÇÃO [FRAC] e [INTG]

Através da função [FRAC] é possível eliminar a parte inteira de um número e manter a parte a parte fracionária.

Através da função [INTG] é possível eliminar a parte fracionária de um número e manter a parte inteira.

Vamos comprovar:

Tomando como base o Exemplo anterior, temos que o prazo foi de 18,156731...meses, observe que existe uma parte fracionária, que neste caso representa a quantidade de dias. Para calculamos a quantidade de dias, basta multiplicar a parte fracionária por 30 (mês comercial).

Solução Única.

Estando com o número 18,156731... no visor da calculadora HP 12C, observar o procedimento a seguir:

[g] FRAC 30 [x]

4,701928 dias

no caso de dias, poderemos arredondar o número para maior, então poderemos dizer que a resposta do Exemplo 18, seja 18 meses e 5 dias.

Para o mesmo Exemplo 18, poderemos eliminar a parte fracionária e ficar com a parte inteira, fazendo a seqüência teclas: [g] INTG.

5. TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS

Ou

EXEMPLO: A loja “Arrisca tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 210 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?

Dados:

i = ?

PV = R$ 10.210,72

FV = R$ 14.520,68

n = 210 dias

EXERCÍCIOS SOBRE JUROS COMPOSTOS

1. Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês.

Resposta: R$ 144.504,39

2. Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de dois anos. Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo.

Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano.

3. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo de R$ 20.000,00 será resgatado por R$ 36.018,23.

Resposta: 5 trimestres (ou 15 meses).

4. Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 18,00% ao ano, para ter R$ 1.000.000,00 ao final de 19 meses?

Resposta: R$ 769.461,37

EXERCÍCIOS DE REFORÇO - SOBRE JUROS COMPOSTOS

5. Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 700.000,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado.

Resposta: R$ 1.708.984,38

6. Em que prazo uma aplicação de 374.938,00, à taxa de 3,25% ao mês, gera um resgate de R$ 500.000,00.

Resposta: 9 meses

7. Um terreno está sendo oferecido por R$ 4.500,00 à vista ou R$ 1.500,00 de entrada e mais uma parcela de R$ 3.500,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a taxa média para aplicação em títulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao mês (taxa líquida, isto é, com o Imposto de Renda já computado), determinar a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo.

Resposta: A melhor opção é comprá-lo a prazo

8. Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado a 3,755% ao mês.

Resposta: 11 meses.

9. A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de

R$ 820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros.

Resposta: R$ 396.288,79

10. Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês?

Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês.

11. No fim quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu valor:

a) no regime de capitalização composta; (Resposta: 35,35 meses)

b) no regime de capitalização simples. (Resposta: 75 meses)

12. Qual o montante produzido pela aplicação de R$ 580,00, à taxa de 17,5% ao ano, pelo prazo de 213 dias?

Resposta: 638,07

13. Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias, produziu um montante de R$ 5.000,00?

Resposta: R$ 3.584,32

14. A aplicação de R$ 211.009,90 proporcionou um resgate de R$ 322.033,58 no final de seis meses. Determinar a taxa mensal dessa operação.

Resposta: 7,3% ao mês.

15. Certa aplicação rende 0,225% ao dias. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua aplicação?

Resposta: 308 dias

16. Quanto uma pessoa resgatará no final de 93 dias se aplicar R$ 2.000,00 à taxa de 15% ao ano?

Resposta: R$ 2.073,53

17. Qual é o número de dias necessário para que uma aplicação de R$ 1.000,00 produza um valor de resgate de R$ 3.000,00, se a taxa de juros contratual for de 4,8% ao mês?

Resposta: 703 dias

18. Um título de renda fixa é emitido com um prazo de dois meses e valor de resgate de R$ 10.000,00. Determinar seu valor de emissão para que seja garantida ao investidor uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de juros compostos.

Resposta: R$ 9.842,40

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C = M ( ( 1 + i ) n

M = C ( 1 + i ) n

FV = PV ( 1 + i ) n

Solução 1

FV = 5.000 ( 1 + 0,04) 5

FV = 5.000 ( 1,04 ) 5

FV = 5.000 (1,216653...)

FV = R$ 6.083,26

Solução 2 (HP 12C)

5000 [ENTER]

1 [ENTER]

0,04 [+]

5 [yx] [x]

R$ 6.083,26

Solução 3 (HP 12C)

[f] FIN

5000 [CHS] [PV]

4 [i]

5 [n]

[FV]

R$ 6.083,26

Solução 1:

FV = 1.450.300 (1 + 0,15) 3,5

R$ 2.365.376,56

Usando a HP 12C com “C” no visor.

[f] FIN

1450300 [CHS] [PV]

15 [i]

3,5 [n]

FV

R$ 2.365.376,56

Usando a HP 12C sem “C” no visor.

[f] FIN

1450300 [CHS] [PV]

15 [i]

3,5 [n]

FV

R$ 2.371.154,39

PV = FV ( ( 1 + i ) n

Solução 1

PV = 2.000 / (1 + 0,04) 24

PV = 2.000 / (1,04) 24

PV = 2.000 / 2,563304...

PV = R$ 780,24

Solução 2

PV = 2.000 x 1 / (1 + 0,04) 24

PV = 2.000 x 1 / (1,04) 24

PV = 2.000 x 1 / 2,563304...

PV = 2.000 x 0,390121...

PV = R$ 780,24

Solução 3: (HP 12C)

2000 [ENTER]

1 [ENTER]

0,04 [+]

24 [yx] [:]

R$ 780,24

Solução 4: (HP 12C)

[f] FIN

2000 [CHS] [FV]

4 [i]

24 [n]

PV

R$ 780,24

[pic]

n =[pic]

Solução 1:

n = LN(41.524,33) – LN(24.278,43)

LN (1,03)

n = 10,634035... – 10,097344...

0,029559...

n = 0,536691...

0,029559...

n = 18,156731... meses

Solução 2:

n = {LN(41.524,33) / LN(24.278,43)}

LN (1,03)

n = LN (1,710338)

LN (1,03)

n = 0,536691...

0,029559...

n = 18,156731... meses

Solução 3: (HP 12C)

41.524,33 [g] LN

24.278,43 [g] LN [-]

1,03 [g] LN [:]

n = 18,156731...

Solução 4: (HP 12C)

41.524,33 [ENTER]

24.278,43 [:] [g] LN

1,03 [g] LN [:]

n = 18,156731...

Solução 5: (HP 12C)

[f] FIN

41524,33 [CHS] [FV]

24278,43 [PV]

3 [i]

[n]

19 meses

Onde:

QQ = Quanto eu Quero

QT = Quanto eu Tenho

i ={[pic]QQ/QT – 1} x 100

Solução 1:

i = {(14.520,68 / 10.210,72 ) 30/210 – 1} x 100

i = {(14.520,68 / 10.210,72 ) 30/210 – 1} x 100

i = {(1,422101...) 0,142857 – 1} x 100

i = {(1,422101...) 0,142857 – 1} x 100

i = {1,051592 – 1} x 100

i = {0,051592) x 100

i = 5,16% ao mês.

Solução 2:

14520,68 [ENTER]

10210,72 [:]

30 [ENTER] 210 [:] [yx]

1 [-] 100 [x]

5,16% ao mês

Solução 3:

10210,72 [CHS] [PV]

14520,68 [FV]

7 [n]

[i]

5,16% ao mês.

i ={(1 + i) QQ/QT – 1} x 100

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