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Reta de Euler: Filipe Quintino Dantas curso: FIC - GeoGebra - Matemática Din?micaObjetivo: 1) Fa?a um tri?ngulo qualquer no GeoGebra, em seguida localize estes três pontos e mostre que existe uma reta que os contém.2) Em qualquer tri?ngulo, existe um ponto chamado de "centro do círculo de Euler". Este ponto está no meio do segmento de reta que liga o ortocentro e o circuncentro, e a dist?ncia entre o baricentro ao circuncentro é igual à metade da dist?ncia entre o baricentro e o ortocentro. Localize "centro do círculo de Euler" e explique porque ele é também conhecido como "círculo de 7 pontos".Professor: CássioPasso a Passo:1? Passo – Insira os pontos A, B e C na janela de visualiza??o do Geogebra de forma que os três n?o fiquem alinhados, utilizando o bot?o , veja o exemplo: (Obs.: Para retirar os eixos da janela de visualiza??o, clique com o bot?o direito do mouse “dentro da janela de visualiza??o” e desmarque o ícone eixos :E também, para mudar o nome, legenda e cor do ponto, utilize o “bot?o direito do mouse” em cima do ponto, clique em propriedades e depois, na aba - básico, fa?a a altera??o do nome e legenda; e na aba - cor, defina a cor de sua preferência: (Sugest?o: Ponto A – Azul, Ponto B – Vermelho e Ponto C – Verde.) 2? Passo – Ligar os pontos AB, BC e CA, utilizando o segmento de reta , figura abaixo. Ent?o, dê um clique no ponto A e depois, no ponto B para criar o segmento AB, desta forma, repita o procedimento, anterior, para criar os segmentos BC e CD. Lembrando: para mudar o nome e a cor dos segmentos, utilize o bot?o direito do mouse em cima dos segmentos e defina a cor de sua preferência. (Sugest?o: Segmento(A, B) – nome: Segi e cor: Preto, Segmento(B, C) – nome: Segj e cor: Preto e Segmento(C, A) – nome: Segf e cor: Preto.)3? Passo – Definir o Ponto Médio no segmento AB, BC e CD, utilizando o ponto médio, figura abaixo. Dê um clique no ponto médio, , depois, no ponto A e B, assim, repita o procedimento, anterior, para criar os pontos médios em BC e CD. (Sugest?o: PontoMédio(A, B) – nome: PmD e cor: Marrom, PontoMédio(B, C) – nome: PmE e cor: Marrom e PontoMédio(C, A) – nome: PmF e cor: Marrom.)4? Passo – Definir a Mediana APmE, BPmF e CPmD, utilizando o segmento de reta . Ent?o, dê um clique no ponto A e depois, em PmE, desta forma, repita o procedimento, anterior, para criar o segmento B e PmF; e C e PmD. (Sugest?o: Segmento(A, PmE) – nome: Mdf – cor: Azul, Segmento(B, PmF) – nome: Mdg – cor: Azul e Segmento(C, PmD) – nome: Mdh – cor: Azul.)Obs.: O ponto de encontro das três medianas de um tri?ngulo, chamamos de Baricentro. Vamos utilizar o bot?o para definir o ponto de encontro “Baricentro”. (Sugest?o: Ponto – nome: BaricG, cor: Verde Claro.)5? Passo – Definir a Mediatriz AB, BC e CA, utilizando a Mediatriz , veja, figura abaixo: Ent?o, dê um clique no ponto A e depois, em B, para criar a Mediatriz AB, desta forma, repita o procedimento, anterior, para criar a Mediatriz BC e CA. (Sugest?o: Mediatriz(A, B) – nome: Mdtf – cor: Vermelho, Mediatriz(B, C) – nome: Mdtg – cor: Vermelho e Mediatriz(C, A) – nome: Mdth – cor: Vermelho.)Obs.: O ponto de encontro das três mediatrizes de um tri?ngulo, chamamos de Circuncentro. Vamos utilizar o bot?o para definir o ponto de encontro “Circuncentro”. (Sugest?o: Ponto – nome: CircunH, cor: Laranja.)6? Passo – Definir a altura do triangulo, utilizando a reta perpendicular entre o ponto A e a Reta(B, C), : Primeiramente, clique no ponto B e C para criar a Reta(B, C), : (Sugest?o: Reta(B, C) – nome: Retaf e cor: laranja)Próximo passo: clique no ponto A e depois na Reta(B, C) para criar a reta Perpendicular(A, Retaf): (Sugest?o: Perpendicular(A, Retaf) – nome: Perpf e cor: Roxo) – Lembrando: para a melhor visualiza??o, desloque o ponto A - duas unidades para a direita, paralela a Retaf.Em seguida, crie um segmento de reta, , em cima da reta perpendicular “Perpf” do Ponto A até a “Retaf”. (Sugest?o: Segmento(A, D) – nome: Altf e cor: Amarelo.)Obs.: Fa?a o procedimento 7? Passo – para criar as alturas com rela??o aos Pontos B e C, sugest?o, abaixo:- crie um segmento de reta, , em cima da reta perpendicular “Perpg” do Ponto B até a “Retag”. (Sugest?o: Segmento(B, E) – nome: Altg e cor: Amarelo.)- crie um segmento de reta, , em cima da reta perpendicular “Perph” do Ponto C até a “Retah”. (Sugest?o: Segmento(C, F) – nome: Alth e cor: Amarelo.)Obs.: O ponto de encontro das três alturas de um tri?ngulo com rela??o aos pontos A, B e C, chamamos de Ortocentro. Vamos utilizar o bot?o para definir o ponto de encontro “Ortocentro”. (Sugest?o: Ponto – nome: OrtocI, cor: Azul Claro.)7? Passo – Definir o polígono ABCA, utilizando o polígono , veja a figura:Assim, dê um clique no ponto A, depois, em B, logo, em C e por último em A, para criar a polígono ABC. (Sugest?o: Polígono(A, B, C) – nome: Triangulo1 – cor: Marrom Claro.)8? Passo – Definido os três pontos (Ortocentro, Baricentro e Circuncentro), desloca-se o ponto A, duas unidades para direita e paralela a Retaf, para melhorar a visualiza??o da cria??o da Reta de Euler:Primeiramente, clique no ponto Circuncentro (CircunH) e depois, no Ortocentro (OrtocI) para criar a Reta(CircunH, OrtocI), utilizando o bot?o : (Sugest?o: Reta(CircunH, OrtocI) – nome: RetaEuler e cor: Verde)9? Passo – Para criar o ponto "centro do círculo de Euler", utiliza o segmento de reta , que liga o ortocentro e o circuncentro, e depois, encontra-se o ponto médio do segmento .? (Sugest?o: Segmento(CircunH, OrtocI) – nome: SegH e cor: Vermelho; PontoMédio(CircunH, OrtocI) – nome: CenCirEuler e cor: Preto)Obs.: Pode-se observar na “janela de álgebra” que o Segmento SegK, ou seja, que possui a dist?ncia entre o baricentro ao circuncentro é igual à metade da dist?ncia entre o baricentro e o ortocentro, segmento (Segm). (Sugest?o: Segmento(CircunH, BaricG) – nome: SegK e cor: Preta; Segmento(BaricG, OrtocI) – nome: Segm e cor: Rosa)10? Passo – A explica??o porque ele, Círculo de Euler, é também conhecido como "círculo de 7 pontos”, está visível na figura, abaixo, quando o círculo intercepta os lados do tri?ngulos nos pontos (Pontos médios, Pontos das Mediatrizes, Pontos de encontro: medianas e alturas): (Sugest?o: Círculo(CenCirEuler, PmF) – nome: CírculoEuler e cor: Vermelho) ................
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