Lista de Exercícios sobre relações métricas na ...



|[pic] | |

| |COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III |

| |1ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº. MARCOS JOSÉ |

| |professorwaltertadeu.mat.br |

LISTA – REVISÃO PFV – REGULAR – GABARITO

1) Seja [pic] (conjunto dos números naturais). Se [pic], marque a opção que define uma função de N em N?

( ) n é associado a sua metade.

( ) n é associado a seu antecessor.

( X ) n é associado ao resto de sua divisão por 7.

( ) n é associado a seu múltiplo.

Solução. Analisando cada opção, temos:

i) Os números ímpares não possuem metade inteira positiva, logo haverá elementos do domínio sem imagem. Exemplo: f(3) = 1,5 que não pertence a N.

ii) O antecessor de 0 (zero) é -1, que não pertence aos naturais.

iii) Cada número possui apenas um único resto na divisão por 7 e todos possuem esse resto. Logo, define uma função.

iv) Não define, pois os naturais possuem infinitos múltiplos, logo mais de uma imagem.

2)Seja f uma função de N em N definida por f(n) = 10 – 2n. Escreva o conjunto domínio e o conjunto imagem desta função.

D(f) = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Im(f) = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

Solução. Sendo uma função de N em N, não pode haver imagens negativas. Logo o maior valor do domínio será 5, pois f(5) = 10 – 2(5) = 0.

Logo as respectivas imagens dos elementos do domínio são:

f(0) = 10 – 2(0) = 10; f(1) = 10 – 2(1) = 8; f(2) = 10 – 2(2) = 6; f(3) = 10 – 2(3) = 4;

f(4) = 10 – 2(4) = 2 e f(5) = 10 – 2(5) =0.

3) Observe o gráfico da função polinomial [pic] mostrado a seguir. Responda:

a) Qual imagem da função no intervalo [-2, 2]?

Solução. Observando o gráfico temos que:

f(-2) = 2 e f(2) = - 6. Logo, Im(f) = [- 6, 2]

b) Determine o valor da expressão: y = f(f(-2)) + 3.f(2).

Solução. Identificando os valores no gráfico, temos:

[pic]

4) O valor de um carro usado é de R$ 9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$ 4.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, qual o valor de um carro com 1 ano de uso, em reais?

Solução 1. Se o gráfico é uma linha reta, então a função é da forma f(t) = at + b. No tempo inicial (t = 0) o carro vale R$9.000,00. Logo, f(0) = 9000 e quatro anos depois, f(4) = 4000. Substituindo na lei da função, temos:

[pic]

Logo, a função é f(x) = -1250x + 9000. É pedido o cálculo no ano t = 1. Substituindo, temos: f(1) = - 1250(1) + 9000 = 7750 reais.

Resposta: Após um ano o carro custa R$7750,00.

Solução 2. Utilizando uma regra de três, temos:

[pic].

5) Considere a relação [pic] e os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} .

a) Determine o conjunto R. b) Determine domínio e imagem da relação R.

c) R é uma função de A em B? Justifique sua resposta.

Solução. Os valores de “x” serão os elementos do conjunto A. Os valores de “y” serão calculados e, se forem elementos de B, formarão o par ordenado (x,y) de R.

a) [pic] b) D(R) = {1, 2, 3} Im(R) = {0, 2, 6}

c) Como todos os elementos de A se relacionaram com algum elemento de B e, além disso, cada elemento de A só relacionou-se com um único elemento de B, R é função de A em B.

6) Considere as funções com domínio nos números reais dadas por [pic] e [pic].

a) Calcule o valor de [pic] b) Determine o valor de x tal que f(x) = g(x).

Solução. Calculando as imagens sob as funções e igualando as imagens de “f” e “g”, temos:

a) [pic].

b) [pic].

7) Determine o domínio das funções definidas por: a) [pic] b) [pic].

Solução. É preciso verificar as condições de existências mais comuns: no conjunto dos números reais, os radicando de raiz de índice par não são negativos; os denominadores não serão nulos.

a) Não há restrições no numerador. O denominador apresenta uma raiz. Temos: [pic].

Logo, [pic]ou [pic] ou [pic].

b) O numerador possui uma raiz de índice par: [pic]. O denominador possui também uma raiz de índice par além de não poder ser nulo: [pic]. Reunindo ambas as restrições, temos: [pic] ou [pic].

8) Observe a função f cujo gráfico está representado,

a) indique o domínio e a imagem de f.

b) indique os intervalos onde f é crescente e decrescente.

c) indique os intervalos onde f > 0 e f < 0.

d) calcule o valor de f(0) + f(2) + f(4) + f(8) + f(12) + f(24)

Solução. Observando os valores mostrados no gráfico, temos:

a) Os limites no eixo X vão de 0 a 24. Logo, [pic]. O gráfico está verticalmente limitado entre os valores -5 e 13. Logo, [pic].

b) Os valores x = 2 e x = 8 indicam locais onde o gráfico muda a direção. Temos:

i) a função é crescente no intervalo [pic] ii) decrescente nos intervalos [pic] e [pic].

c) Os pontos onde a função intercepta o eixo X representam as raízes, isto é, os pontos de ordenada nula ou ainda os pontos onde a função se anula. A função é positiva, (gráfico acima do eixo X), f > 0, ou negativa (gráfico abaixo do eixo X), f < 0. Temos:

i) f > 0 nos intervalos [pic] e [pic]. ii) f < 0 no intervalo [pic].

d) Identificando os valores no gráfico, temos:

[pic].

9) Considere a função [pic], definida em R– {– 2}. Determine:

a) [pic] b) o elemento do domínio cuja imagem é igual a [pic].

Solução. Os valores são encontrados pela substituição ora no valor de “x”, ora no valor de f(x).

a) [pic].

b) [pic].

10) Considere as funções f e g definidas por [pic] e [pic]. Determine o valor de [pic].

Solução. Substituindo os valores, temos: [pic].

11) Dado o gráfico da função f mostrada, responda.

a) Qual o domínio e a imagem da função?

b) Em que intervalos a função é crescente?

c) Em que intervalo a função é decrescente?

d) Qual o valor de [pic]?

Solução. Observando os valores mostrados no gráfico, temos:

a) [pic] e [pic]. Repare que aparece o ponto (2,3) está aberto. Esta condição evita que x = 2 seja possua duas imagens, já que o ponto (2, -3) está no gráfico.

b) Em nenhum intervalo a função é crescente. No intervalo ]2, 6] a função é constante.

c) A função é decrescente no intervalo [-3, 2].

d) Identificando os valores no gráfico, temos: [pic].

12) Seja a relação R = {(x,y) em N×N | y = 8 – 2x} (N é o conjunto dos números naturais). Determine todos os pares ordenados que pertençam à relação R, indicando seu domínio e sua imagem.

Solução. Atenção para o fato de y = 8 – 2x ser um número natural. Logo, não pode ser negativo. Os possíveis valores de “x” são {0, 1, 2, 3, 4}. Se x = 5, y = 8 – 2(5) = -2 que não é natural. Calculando os pares ordenados de R, temos: [pic].

13) A empresa de telefonia celular ABC oferece um plano mensal para seus clientes com as seguintes características:

• Para um total de ligações de até 50 minutos, o cliente paga um valor fixo de R$40,00;

• Se os 50 minutos forem excedidos, cada minuto de excesso será cobrado pelo valor de R$1,50 (além dos R$40,00 fixos).

a) Determine o valor pago por um cliente que utilizou o celular por 74 minutos em certo mês.

Solução. Se o cliente utilizou 74 minutos, então foram ultrapassados (74 – 50) = 24 minutos. Logo o cliente pagará: [pic].

b) Em certo mês, utilizando o plano descrito acima, o valor a ser pago por um cliente foi de R$101,50. Determine quantos minutos foram utilizados.

Solução. Considerando “t” o número de minutos além dos 50 minutos, a equação que representa esta situação é R$101,50 = R$40,00 + t x R$1,50.

Resolvendo, temos: [pic]. Logo, foram utilizados no total (50 + 41) = 91 minutos.

14) Dada a função f(x) = –2x + 3, determine f(1).

Solução. Substituindo o valor de “x”, temos: [pic].

15) Dada a função f(x) = 4x + 5, determine x tal que f(x) = 7.

Solução. O valor procurado o elemento “x” do domínio que possui imagem y = 7.

Temos: [pic].

16) Escreva a função afim [pic], sabendo que:

a) f(1) = 5 e f(-3) = - 7 b) f(-1) = 7 e f(2) = 1 c) f(1) = 5 e f(-2) = - 4

Solução. Cada par de valores pertence à lei da função afim (equação de uma reta). Temos:

a) [pic].

Logo, a função é: [pic].

b) [pic].

Logo, a função é: [pic].

c) [pic].

Logo, a função é: [pic].

17) Estude a variação de sinal (f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0) das seguintes funções do 1º grau:

a) f(x) = x + 5 b) f(x) = -3x + 9 c) f(x) = 2 – 3x d) f(x) = -2x + 10 e) f(x) = - 5x

Solução. O gráfico da função afim ou linear (reta) intercepta o eixo X no ponto onde o gráfico se anula. Isto é, o ponto [pic]. Se o coeficiente “a” de “x” for positivo, a função é positiva para valores maiores que a raiz x0 e negativa para valores menores. Caso “a” < 0 ocorre o contrário. Os gráficos foram construídos no software “wolframalpha” – .br.

a) [pic].

b) [pic].

c) [pic].

d) [pic].

e) [pic].

18) Considere a função f: IR ( IR definida por f(x) = 5x – 3.

a) Verifique se a função é crescente ou decrescente b) O zero da função;

c) O ponto onde a função intersecta o eixo y; d) O gráfico da função;

e) Faça o estudo do sinal;

Solução. Analisando cada item de acordo com a caracterização da função afim, temos:

a) Como a = 5 > 0, a função é crescente.

b) O zero da função é o valor de “x” que anula a função: [pic].

c) O gráfico intersecta o eixo Y no ponto onde x = 0: [pic].

d) e) [pic]

19) A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos (-2, -63) e (5, 0). Determine essa função e calcule f(16).

Solução. Cada ponto (x,y) é da forma (x, f(x)). Utilizando o sistema, temos:

[pic].

Logo, a função é: [pic]. O valor pedido é: [pic].

20) Determine a lei da função cuja reta intersecta os eixos em (-8, 0) e (0, 4) e verifique:

a) Se a função é crescente ou decrescente b) A raiz da função c) o gráfico da função d) Calcule f(-1).

Solução. A lei pode ser encontrada da forma anterior pelo sistema. Outra forma de encontrá-la é através da equação da reta y = ax + b, que é a representação da função afim. Calculamos o coeficiente angular “a” e o linear “b”. Temos: [pic].

a) Como [pic], a função é crescente.

b) A raiz da função é o valor de “x” tal que f(x) = 0: [pic].

c) d) [pic].

21) Dadas às funções f e g, construa o gráfico das funções e descubra o ponto de intersecção dessas retas:

a) f(x) = -2x + 5 e g(x) = 2x + 5 b) f(x) = 5x e g(x) = 2x – 6 c) f(x) = 4x e g(x) = -x + 3

Solução. Os pontos de interseção podem ser encontrados igualando-se as duas equações em cada caso. Na interseção os valores de “x” das abscissas são os mesmos, assim como as ordenadas.

a) [pic].

Isto significa que o ponto (0, 5) é comum a ambas as retas. Atribuindo alguns valores a cada uma das funções podemos fazer um esboço do gráfico das duas.

b) [pic].

Isto significa que o ponto (-2, -10) é comum a ambas as retas. Atribuindo alguns valores a cada uma das funções podemos fazer um esboço do gráfico das duas.

c) [pic].

Isto significa que o ponto (0.6, 2.4) é comum a ambas as retas. Atribuindo alguns valores a cada uma das funções podemos fazer um esboço do gráfico das duas.

22) Um comerciante teve uma despesa de R$230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda:

a) Qual a lei dessa função f;

b) Para que valores de x têm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso?

c) Para que valores de x haverá um lucro de R$315,00?

d) Para que valores de x o lucro será maior que R$280,00?

Solução. Só haverá lucro se o total arrecadado com venda for maior que o gasto com a compra. Este total será o produto do número “x” de peças pelo valor de cada peça (R$5,00): Lucro = Venda – Compra.

a) L(x) = 5x - 230.

b) L(x) < 0 negativo implica que a venda foi baixa: [pic].

Podemos interpretar que se forem vendidas menos que 46 peças haverá prejuízo.

c) [pic].

d) [pic].

23) Dada a função afim f(x) = - 2x + 3, determine:

a) f(1) b) f(0) c) [pic] d) [pic]

Solução. Encontramos as imagens substituindo os valores na lei de f(x):

a) [pic] b) [pic]

c) [pic] d) [pic]

24) Dada a função afim f(x) = 2x + 3, determine os valores de x para que:

a) f(x) = 1 b) f(x) = 0 c) f(x) = [pic]

Solução. Encontramos os elementos do domínio.

a) [pic] b) [pic]

c) [pic]

25) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:

a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças.

b) calcule o custo para 100 peças.

Solução. A situação apresenta a lei de uma função afim. Temos:

a) C(x) = 0,5x + 8.

b) O custo de 100 peças é o valor de C(100) = 0,5(100) + 8 = R$58,00.

26) Dadas às funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções se interceptem no ponto (1, 6).

Solução. Se o ponto (1,6) satisfaz às duas leis, então f(1) = g(1) = 6. Substituindo nas leis, temos:

[pic].

27) Seja f a função afim definida por f(x) = – 4x + 1 e cujo gráfico é a reta r. Determinar a função afim g cuja reta correspondente passa por (1,– 1) e é paralela à reta r.

Solução. Na lei da função afim f(x) = ax + b, o valor de “a” é o coeficiente angular da reta que representa o gráfico da função. Este valor “a” pode ser calculado como a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo X. Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular.

Na função definida por f(x) = -4x + 1, o coeficiente angular vale a = -4. Logo a função g(x) pedida, terá uma lei da forma g(x) = -4x + b’. Para calcular o coeficiente angular b’, utilizamos o fato de que (1,-1) está na reta s de g(x). Logo, [pic]. Logo, [pic].

28)

Solução. A equação da função será da forma N(c) = a.c + b, onde “a” é o coeficiente angular e “b” o linear. Observando os pontos (700,115) e (100,97), temos:

i) [pic]. A equação está da forma N(c) = 0,03.c + b

ii) Escolhendo o ponto (100,97) , temos: [pic]. Logo, N(c) = 0,03c + 94.

29)

Solução. A função é quadrática com concavidade para baixo. Calculando raízes e vértices, vem:

i) raízes: [pic][pic]

ii) vértices: [pic][pic]

a) Verdadeira. O valor máximo é o yv = 18.

b) Falsa. Após t = 10, por exemplo, t = 11 temos f(t) = -6,5 < 0.

c) Falsa. Até t = 10 o valor de f(t) > 0.

d) Falsa. Para t = 10 a função assume o valor zero. (t = 10 é raiz)

e) Falsa. O valor mais alto é encontrado para f(4) = 18. Ou seja, para t = 4.

30)

Solução. Observe que o vértice mínimo é indicado por xv = 2. Logo, [pic]. O valor onde o gráfico intercepta o eixo Y é dado por (0,2). Logo q = 2. A equação portanto é dada pela expressão: f(x) = 3x2 – 12x + 2

31) Encontre as coordenadas do vértice do gráfico da f(x) = x2 – 7x + 12.

Solução. As coordenadas do vértice (mínimo, pois a = 1 > 0) são calculadas como:

[pic]. Logo as coordenadas são V [pic]

32)

Solução. O gráfico é de uma reta. Como a equação mostrada é do 2º grau, vemos que o coeficiente do termo t2 deve ser nulo. Logo, C = 0. A equação fica da forma S = A + Bt. O ponto onde o gráfico intercepta o eixo Y é o ponto S(0), ou seja, onde t = 0. Logo, S(0) = A + B.(0) = A e no gráfico esse ponto é o (0,12). Logo A = 12. O valor de B pode ser encontrado substituindo qualquer um dos pontos na equação. Escolhendo o ponto (4,- 4), temos:

[pic] Logo, A = 12; B = - 4; C = 0

33) Considere a função f(x) = x2 – 2x – 15.

Solução. Compare os cálculos com o gráfico.

a) Encontre as raízes.

[pic]

b) Exiba as coordenadas onde o gráfico intercepta o eixo Y.

O gráfico intercepta o eixo Y no ponto onde x = 0. f(0) = (0)2 – 2.(0) – 15 = - 15. Logo o ponto de interseção é (0,- 15).

c) Encontre as coordenadas do vértice.

[pic]. Logo as coordenadas são V [pic].

34) Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x2 –5x + 9, então x + y é igual a:

Solução. As coordenadas do vértice da parábola de equação f(x) = ax2 + bx + c são calculadas através das fórmulas:

i) [pic] ii) [pic]

Logo a soma pedida é: [pic].

35) O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 – 2x + k. Calcule, então, o valor de k.

Solução. Se um ponto (x,y) pertence à uma curva então satisfaz à equação dessa curva. No caso apresentado f(k) = 3k. Substituindo os valores, temos: [pic] Essa equação é satisfeita para k = 0 ou k = 4.

 36) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2x2 – 100x + 5000. Calcule o valor do custo mínimo.

Solução. O problema pede o valor mínimo de C(x). Esse valor é encontrado calculando as coordenadas do vértice da parábola representada pela equação. Especificamente o valor de yv.

i) [pic] ii) [pic]. Também calculado como C(25) = 2(25)2 – 100.(25) + 5000 = 1250 – 2500 + 5000 = - 1350 + 5000 = 3750.

O resultado indica que para produzir 25 peças se gasta no mínimo R$3750,00.

37) Observe o gráfico da função quadrática e responda o que se pede.

a) Escreva as coordenadas do ponto em que o gráfico intercepta o eixo das ordenadas.

Solução. O gráfico intercepta o eixo das ordenadas (Y) no ponto onde x = 0. Logo, calculando F(0), temos: F(0) = -2(0)2 +2(0) + 6 = 6. O ponto pedido é (0,6).

b) Quais os zeros da função?

Solução. Os zeros da função são os pontos onde a função se anula. São encontrados calculando as raízes da equação -2x2 + 2x + 6 = 0. Esses pontos são onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas (X). Resolvendo a equação, temos:

[pic].

c) Quais as coordenadas do vértice dessa função?

Solução. Identificando os coeficientes da equação, temos: a = - 2; b = 2 e c = 6. As coordenadas do vértice da função quadrática são calculadas pelas fórmulas:

i) [pic] ii) [pic]. Logo, [pic].

d) Escreva o intervalo da função em que ela assume valores estritamente positivos.

Solução. A função é estritamente negativa no intervalo onde os valores de f(x) são menores que zero. Observando o gráfico vê-se que, antes e após os zeros da função, o gráfico está entre as raízes. Logo, [pic].

e) Escreva o intervalo em que a função é crescente.

Solução. O gráfico é crescente até o valor xv. Logo f(x) é crescente em [pic].

38) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = - x² + 30x – 5, sendo “x” a quantidade mensal vendida. Qual deve ser a quantidade “x” de vendas para que o lucro seja L = R$220,00?

Solução. Pela informação do problema deseja-se que L(x) = 220. Substituindo esse valor na equação, temos:

[pic]

Logo a quantidade deverá ser de 15 vendas.

39) O conjunto - solução de [pic] é:

a) { } b) [3,5] c) R d) [-1,1] e) [pic]

Solução. Encontrando as raízes dos fatores e analisando, temos:

i) [pic]. Observe que não há raízes reais. Logo o gráfico com concavidade para baixo não intercepta o eixo X. Logo, este termo é sempre negativo. Logo, o produto [pic] será negativo se [pic]for positivo.

ii) x2 + 1 também não possui raízes reais. O gráfico com concavidade para cima está acima do eixo X. Logo sempre positivo.

Conclusão: [pic] para qualquer valor de x. Logo, S = R.

40) Os valores de x que satisfazem a inequação [pic] são tais que :

a) x 4 b) 0 < x < 4 c) x > 4 d) x < 4 e) x < 4 e x [pic]

Solução. Não podemos simplesmente multiplicar x por 1. A operação será feita igualando os denominadores e estudando o sinal da inequação: [pic]. Analisando os intervalos na tabela, temos:

| | | |0 | |4 | |

|N |[pic] |++ |++ |++ |0 |--- |

|D |[pic] |--- |0 |++ |++ |++ |

|N/D |[pic] |--- |[pic] |++ |0 |--- |

|N |[pic] |--- |--- |--- |0 |++ |

| |[pic] |--- |0 |++ |++ |++ |

| |[pic] |++ |++ |++ |0 |--- |

|D |[pic] |--- |0 |++ |0 |--- |

|N/D |[pic] |++ |[pic] |--- |[pic] |--- |

|N |[pic] |++ |++ |++ |0 |--- |

|D |[pic] |--- |0 |++ |++ |++ |

N/D |[pic] |-- |[pic] |++ |0 |--- | |

Esta 2ª condição é satisfeita no intervalo: [pic].

A solução final será a interseção das soluções de (i) e (ii).

O intervalo comum a ambas as inequações é o que possui valores de [pic].

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