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01 - (ITA SP/2007) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?
Gab:125 comissões
02 - (ITA SP/2010) Sabe-se que o polinômio
p(x) = x5 – ax3 + ax2 – 1, a(R, admite a raiz –i. Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p:
I. Quatro das raízes são imaginárias puras.
II. Uma das raízes tem multiplicidade dois.
III. Apenas uma das raízes é real.
Destas, é (são) verdadeira(s) apenas
a) I. b)II. c)III. d)I e III. e)II e III.
Gab: C
03 - (ITA SP/2009) Considere o triângulo ABC de lados [pic]; [pic] e [pic] e ângulos internos [pic], [pic] e [pic]. Sabendo-se que a equação [pic] admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) O triângulo é retângulo apenas se [pic]
e) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.
Gab: E
04 - (ITA SP/2007) Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo
logk ( xy ) = 49,
logk ( x / z) = 44.
Então, logk (xyz) é igual a
a) 52. b)61. c)67. d)80. e) 97.
Gab: A
05 - (ITA SP/2008) Para [pic], o conjunto solução de [pic] é
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d)[pic]
e) A única solução é x = 0
Gab: D
06 - (ITA SP/2010) Se z é uma solução da equação em C,
[pic]
pode-se afirmar que
a) i(z – [pic]) < 0
b) i(z – [pic]) > 0
c) |z| ( [5, 6]
d) |z| ( [6, 7]
e) [pic]
Gab: E
07 - (ITA SP/2010) Os argumentos principais das soluções da equação em z,
iz + 3[pic] + (z + [pic])2 – i = 0, pertencem a
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Gab: C
08 - (ITA SP/2009) Se [pic] e [pic], então, o número complexo [pic] é igual a
a) a + bi
b) –a + bi
c) (1 – 2a2b2) + ab(1 + b2)i
d) a – bi
e) 1 – 4a2b2 + 2ab(1 – b2)i.
Gab: B
09 - (ITA SP/2007) Assinale a opção que indica o módulo do número complexo
[pic]
a) [pic]
b) (1+ sen x)/2
c) cos2 x
d) [pic]
e) [pic]
Gab: E
10 - (ITA SP/2007) Se A, B, C forem conjuntos tais que [pic] [pic] [pic] então [pic] [pic], nesta ordem,
a) formam uma progressão aritmética de razão 6.
b) formam uma progressão aritmética de razão 2.
c) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é 11.
d) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31.
e) não formam uma progressão aritmética.
Gab: D
11 - (ITA SP/2010) Considere a progressão aritmética (a1, a2, …, a50) de razão d. Se [pic] e [pic], então d – a1 é igual a
a) 3 b)6 c)9 d)11 e) 14
Gab: D
12 - (ITA SP/2008) Considere o quadrado ABCD com lados de 10m de comprimento. Seja M um ponto sobre o lado [pic] e N um ponto sobre o lado [pic], eqüidistantes de A. Por M traça-se uma reta r paralela ao lado [pic] e por N uma reta s paralela ao lado [pic], que se interceptam no ponto O. Considere os quadrados AMON e OPCQ, onde P é a intersecção de s com o lado [pic] e Q é a intersecção de r com o lado [pic].
Sabendo-se que as áreas dos quadrados AMON, OPCQ e ABCD constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica, então a distância entre os pontos A e M é igual, em metros, a
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Gab: D
13 - (ITA SP/2010) Um polinômio real [pic], com a5 = 4; tem três raízes reais distintas, a, b e c, que satisfazem o sistema
[pic]
Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais têm multiplicidade dois, pode-se afirmar que p(1) é igual a
a)–4 b)–2 c)2 d)4 e)6.
Gab: A
14 - (ITA SP/2007) Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio 9x2 ( 63x + c, numa diferença de dois cubos
(x + a)3 ( (x + b)3
Neste caso, [pic] é igual a
a)104. b)114. c)124. d)134. e)144.
Gab: B
15 - (ITA SP/2010) Considere as circunferências
C1 : (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4 e C2 : (x – 10)2 + (y – 11)2 = 9. Seja r uma reta tangente interna a C1 e C2, isto é, r tangencia C1 e C2 e intercepta o segmento de reta [pic] definido pelos centros O1 de C1 e O2 de C2. Os pontos de tangência definem um segmento sobre r que mede
a)[pic] b)[pic] c)[pic] d)[pic] e)9
Gab: A
16 - (ITA SP/2009) Sejam C uma circunferência de raio R > 4 e centro (0; 0) e [pic] uma corda de C.
Sabendo que (1; 3) é ponto médio de [pic]; então uma equação da reta que contém [pic] é
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Gab: B
17 - (ITA SP/2006) Os focos de uma elipse são [pic] e [pic]. Os pontos [pic] e [pic], [pic], estão na elipse. A área do triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a
a)[pic] b)[pic] c)[pic] d)[pic] e)[pic]
Gab: D
18 - (ITA SP/2007) Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado pelas retas 2x = y, x = 2y e x = (2y + 10. A área desse triângulo mede
a)15/2. b)13/4. c) 11/6. d)9/4. e)7/2.
Gab: A
19 - (ITA SP/2008) Um diedro mede 120º. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume [pic] que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a
a)[pic] b)[pic] c)[pic] d)[pic] e)2
Gab: E
20 - (ITA SP/2006) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m2.
Gab: [pic]
21 - (ITA SP/2010) Um cilindro reto de altura [pic] está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem 3 cm, o volume do cilindro, em cm3, é igual a
a)[pic] b)[pic] c)[pic] d)[pic] e)[pic]
Gab: D
22 - (ITA SP/2009) Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8cm de altura e de 60º de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam [pic] do vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm3, é igual a
a)[pic] b)[pic] c)[pic] d)[pic] e)[pic]
Gab: A
23 - (ITA SP/2006) Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede [pic]. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60º com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm2, é
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Gab: A
24 - (ITA SP/2006) Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos [pic] e [pic] interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda [pic] da circunferência intercepta o segmento [pic] no ponto G. Se [pic], [pic], [pic], [pic] e [pic], então GF vale
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
Gab: D
25 - (ITA SP/2009) Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma circunferência de raio R=2cm, sabe-se que o lado [pic] mede 2cm e o ângulo interno [pic] mede 30º. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm; igual a
a)[pic] b)[pic] c)[pic] d)2[pic] e)[pic]
Gab: D
26 - (ITA SP/2005) Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual a:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Gab: C
27 - (ITA SP/2010) A expressão [pic] é igual a
a)[pic]
b)[pic]
c)[pic]
d)[pic]
e)[pic]
Gab: B
28 - (ITA SP/2010) O valor da soma [pic], para todo ( ( R, é igual a
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Gab: A
29 - (ITA SP/2008) O conjunto imagem e o período de [pic] são, respectivamente,
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Gab: C
30 - (ITA SP/2008) Determine todos os valores [pic] tais que a equação (em x) [pic] admita apenas raízes reais simples.
Gab: Para [pic]
31 - (ITA SP/2008) Sendo [pic] o contradomínio da função arco-seno e [pic] o contradomínio da função arco-cosseno, assinale o valor de [pic].
a) [pic] b)[pic] c)[pic] d)[pic] e)[pic]
Gab: B
32 - (ITA SP/2010) A equação em x,
[pic], x ( R\{0},
a) admite infinitas soluções, todas positivas.
b) admite uma única solução, e esta é positiva.
c) admite três soluções que se encontram no intervalo [pic].
d) admite apenas soluções negativas.
e) não admite solução.
Gab: B
33 - (ITA SP/2007) Assinale a opção que indica a soma dos elementos de [pic], sendo:
[pic] e [pic]
a) 0 b)1 c)2 d)[pic] e)[pic]
Gab: C
34 - (ITA SP/2008) Sejam r e s duas retas paralelas distando 10cm entre si. Seja P um ponto no plano definido por r e s e exterior à região limitada por estas retas, distando 5cm de r. As respectivas medidas da área e do perímetro, em cm2 e cm, do triângulo equilátero PQR cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, são iguais a
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Gab: B
35 - (ITA SP/2008) Um triângulo acutângulo de vértices A, B e C está inscrito numa circunferência de raio [pic]. Sabe-se que [pic] mede [pic] e [pic] mede [pic]. Determine a área do triângulo ABC.
Gab: A = 6
36 - (ITA SP/2008) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso nessa população.
a) [pic] b)[pic] c)[pic] d)[pic] e)[pic]
Gab: A
37 - (ITA SP/2003) Considere o conjunto S = {(a, b) ( N x N : a + b = 18}. A soma de todos os números da forma [pic], ((a, b) ( S, é:
a) 86 b)9! c) 96 d) 126 e)12!
Gab: A
38 - (IME RJ/2007) Seja a matriz D dada por:
[pic]
na qual p, q e r são lados de um triângulo cujos ângulos opostos são, respectivamente, [pic]. O valor do determinante de D é:
a) (1 b)0 c)1 d)[pic] e)p + w + r
Gab: B
39 - (IME RJ/2007) Seja [pic], onde R é o conjunto dos números reais, tal que:
[pic]
O valor de f((4) é:
a) [pic] b)[pic] c)[pic] d)[pic] e)[pic]
Gab: D
40 - (IME RJ/2007) Sejam z e w números complexos tais que:
[pic]
onde [pic] representam, respectivamente, os números complexos conjugados de z e w. O valor de z + w é:
a) 1 – i
b) 2 + i
c) –1 + 2i
d) 2 – 2i
e) –2 + 2i
Gab: D
41 - (IME RJ/2007) Um quadrado de lado igual a um metro é dividido em quatro quadrados idênticos. Repete-se esta divisão com os quadrados obtidos e assim sucessivamente por n vezes. A figura abaixo ilustra as quatro primeiras etapas desse processo. Quando [pic], a soma em metros dos perímetros dos quadrados hachurados em todas as etapas é:
[pic]
[pic]
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
Gab: C
42 - (IME RJ/2007) Considere o sistema de equações dado por:
[pic]
Sendo b1, b2 e b3 valores reais quaisquer, a condição para que o sistema possua solução única é:
a) a = 0
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) a = 2b1 + b2 + 3b3
Gab: C
43 - (IME RJ/2007)
Sabendo que log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 5 = 0,6989, o menor número entre as alternativas abaixo é:
a) 430 b)924 c)2540 d)8120 e)62515
Gab: A
44 - (UFG GO/2008/2ª Fase) Os computadores digitais codificam e armazenam seus programas na forma binária. No código binário, que é um sistema de numeração posicional, as quantidades são representadas somente com dois algarismos: zero e um. Por exemplo, o código [pic], no sistema binário, representa o número [pic], do sistema de numeração decimal. Assim sendo, calcule quantos códigos binários podem ser escritos com exatamente nove algarismo, considerando que o primeiro algarismo do código binário é [pic].
Gab: 256
45 - (UFG GO/2009/Julho) Considere a matriz [pic] e a função definida por [pic]. Determine o valor de [pic], tal que [pic].
Gab: [pic]
46 - (UFG GO/2009/2ª Fase) Considere o polinômio [pic], onde a e b são números reais. Calcule os valores de a e b, sabendo que o número complexo 2 + i é uma raiz de p(x).
Gab: [pic]
47 - (UFG GO/2009/1ª Fase) A tabela abaixo mostra a quantidade de rebanho bovino e a área de pastagens entre 1970 e 2006 na região Centro-Oeste.
[pic]
GLOBORURAL. São Paulo, n. 22, set. 2008, p. 25.
Especial Centro-Oeste. (Adaptado).
De acordo com os dados apresentados nessa tabela,
a) de 1970 a 2006, a área de pastagens sempre aumentou de um ano para outro.
b) em 1980, cada animal ocupava em média uma área superior a 2 hectares.
c) de 1970 a 2006, a área de pastagens aumentou na mesma proporção que o plantel de bovinos.
d) em 2006, a média de animais por hectare era aproximadamente igual ao dobro da média de animais por hectare em 1970.
e) em 2006, o rebanho representava cinco vezes o rebanho em 1970.
Gab: B
48 - (UFG GO/2009/1ª Fase) Os gráficos abaixo mostram a evolução da produção de etanol no Brasil e nos Estados Unidos, no período de 2004 a 2008.
[pic]
GLOBORURAL. São Paulo n. 275, set. 08, p. 63. (Adaptado).
De acordo com os dados apresentados nos gráficos acima,
a) a taxa de crescimento da produção dos Estados Unidos, de 2004 para 2008, foi de 265%.
b) no período de 2004 a 2006, a produção total americana foi superior à brasileira.
c) o aumento da produção no Brasil, de 2007 para 2008, representou 30% do aumento da produção dos Estados Unidos, no mesmo período.
d) no período de 2004 a 2008, a produção média americana foi superior à produção média brasileira.
e) na safra de 2008, os dois países produziram juntos mais de 65 bilhões de litros.
Gab: D
49 - (UFG GO/2008/1ª Fase) O gráfico abaixo mostra a prevalência de obesidade da população dos EUA, na faixa etária de 20 a 74 anos, para mulheres e homens, e de 12 a 19 anos, para meninas e meninos.
[pic]
De acordo com os dados apresentados neste gráfico,
a) de 1960 a 2002, em média, 30% dos homens estavam obesos.
b) a porcentagem de meninas obesas, no período 1999-2002, era o dobro da porcentagem de meninas obesas no período 1988-1994.
c) no período 1999-2002, mais de 20% dos meninos estavam obesos.
d) no período 1999-2002, mais de 50% da população pesquisada estava obesa.
e) a porcentagem de mulheres obesas no período 1988-1994 era superior à porcentagem de mulheres obesas no período 1976-1980.
Gab: E
50 - (UFG GO/2009/Julho) Para fazer traduções de textos para o inglês, um tradutor A cobra um valor inicial de R$ 16,00 mais R$ 0,78 por linha traduzida e um outro tradutor, B, cobra um valor inicial de R$ 28,00 mais R$ 0,48 por linha traduzida. A quantidade mínima de linhas de um texto a ser traduzido para o inglês, de modo que o custo seja menor se for realizado pelo tradutor B, é:
a) 16 b)28 c)41 d)48 e) 78
Gab: C
51 - (UFG GO/2009/2ª Fase) A teoria da cronologia do carbono, utilizada para determinar a idade de fósseis, baseia-se no fato de que o isótopo do carbono 14 (C-14) é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio e que a quantidade de C-14 na atmosfera é a mesma que está presente nos organismos vivos. Quando um organismo morre, absorção de C-14, através de respiração ou alimentação, cessa, e a quantidade de C-14 presente no fóssil é dada pela função [pic], onde [pic] é dado em anos a partir da morte do organismo, [pic] é a quantidade de C-14 para [pic] e [pic] é uma constante. Sabe-se que [pic] anos após a morte, a quantidade de C-14 presente no organismo é a metade da quantidade inicial (quando [pic]).
No momento em que um fóssil foi descoberto, a quantidade de C-14 medida foi de [pic]. Tendo em vista estas informações, calcule a idade do fóssil no momento em que ele foi descoberto.
Gab: t = 28.000 anos
52 - (UFG GO/2009/2ª Fase) O eucalipto é muito usado para a produção de papéis e celulose por causa da qualidade da matéria-prima e seu curto ciclo de vida. Um produtor de eucalipto possui uma plantação de terminada espécie adequada ao clima e ao tipo de solo de tal região.
Essa espécie tem seu crescimento modelado pela função [pic], onde h é a altura (em metros) em função do tempo t (em anos) e k é uma constante. Sabe-se que esse eucalipto alcança a altura de 10 m em 2 anos e que o produtor realizará o corte quando as árvores tiverem 8 anos.
Com base nestas informações, calcule o valor da constante k e a altura que os eucaliptos terão, em metros, quando o produtor for realizar o corte.
Gab: [pic]
53 - (UFG GO/2008/1ª Fase) A lei de resfriamento de Newton estabelece para dois corpos, A e B, com temperatura inicial de 80 ºC e 160 ºC, respectivamente, imersos num meio com temperatura constante de 30 ºC, que as temperaturas dos corpos, após um tempo t, serão dadas pelas funções
TA = 30 + 50 x 10–kt
e
TB = 30 + 130 x 10–2kt
onde k é uma constante. Qual será o tempo decorrido até que os corpos tenham temperaturas iguais?
a) (1 k)log 5
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Gab: C
54 - (UFG GO/2010/1ª Fase) Considere o polinômio p(x) = x3 – 9x2 + 25x - 25. Sabendo-se que o número complexo z = 2+i é uma raiz de p, o triângulo, cujos vértices são as raízes de p, pode ser representado, no plano complexo, pela seguinte figura:
a)[pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Gab: A
55 - (UFG GO/2009/2ª Fase) Dois automóveis, a uma distância X um do outro, deslocam-se, um em direção ao outro, com velocidades médias constantes de 25 m/s e 20 m/s, respectivamente.
Calcule:
a) o décimo termo da seqüência dada pela distância entre os dois automóveis a cada segundo, admitindo que o primeiro termo dessa seqüência é X = 800 m;
b) o valor de X, sabendo que os dois automóveis deverão encontrar-se após 30 segundos.
Gab: a)[pic] b)[pic]
56 - (UFG GO/2007/2ª Fase) A figura abaixo representa uma seqüência de cinco retângulos e um quadrado, todos de mesmo perímetro, sendo que a base e a altura do primeiro retângulo da esquerda medem 1 cm e 9 cm, respectivamente. Da esquerda para a direita, as medidas das bases desses quadriláteros crescem, e as das alturas diminuem, formando progressões aritméticas de razões a e b, respectivamente.
Calcule as razões dessas progressões aritméticas.
[pic]
Gab: a = 0,8 b = –0,8
57 - (UFG GO/2010/2ª Fase) A “árvore pitagórica fundamental” é uma forma estudada pela Geometria Fractal e sua aparência característica pode representar o formato dos galhos de uma árvore, de uma couve-flor ou de um brócolis, dependendo de sua variação. A árvore pitagórica abaixo foi construída a partir de um triângulo retângulo, ABC, de lados AB = 3, AC = 4 e CB = 5, e de quadrados construídos sobre seus lados. A figura ramifica-se em quadrados e triângulos retângulos menores, semelhantes aos iniciais, sendo que os ângulos [pic], [pic] e [pic] são congruentes, seguindo um processo iterativo que pode se estender infinitamente.
[pic]
Com base nessas informações, calcule a área do triângulo GHI, integrante dessa árvore pitagórica.
Gab: A = 2,4576
58 - (UFG GO/2008/2ª Fase) Ao observar problemas de transmissão de dados via linha telefônica, o matemático Benoit Mandelbrot associou a distribuição dos erros de transmissão com o conjunto de Cantor. Para construir o conjunto de Cantor, a partir de um segmento de comprimento [pic], utiliza-se o seguinte processo:
No 1º passo, divide-se o segmento em três partes iguais e retira-se a parte central; no 2º passo, cada segmento restante do 1º passo é dividido em três partes iguais, retirando-se a parte central de cada um deles; e assim sucessivamente, como mostra a figura abaixo.
[pic]
Repetindo-se esse processo indefinidamente, obtém-se o conjunto Cantor. Com base nesse processo, calcule a soma dos tamanhos de todos os segmentos restantes no 20º passo. (5,0 pontos)
Gab:[pic]
59 - (UFG GO/2007/1ª Fase) Considere o polinômio:
p(x) = (x ( 1) (x ( 3)2 (x ( 5)3 (x ( 7)4 (x ( 9)5 (x ( 11)6.
O grau de p(x) é igual a
a) 6 b) 21 c)36 d) 720 e)1080
Gab: B
60 - (UFG GO/2010/1ª Fase) Segundo uma pesquisa realizada no Brasil sobre a preferência de cor de carros, a cor prata domina a frota de carros brasileiros, representando 31%, seguida pela cor preta, com 25%, depois a cinza, com 16% e a branca, com 12%. Com base nestas informações, tomando um carro ao acaso, dentre todos os carros brasileiros de uma dessas quatro cores citadas, qual a probabilidade de ele não ser cinza?
a) [pic] b)[pic] c)[pic] d)[pic] e)[pic]
Gab: E
61 - (UFG GO/2010/2ª Fase) Observa-se empiricamente, em diversas séries estatísticas quantitativas, que é muito maior a frequência de dados cujo primeiro dígito (à esquerda) é 1 do que a frequência de dados cujo primeiro dígito é 9. Por exemplo, na série de população dos 5.565 municípios brasileiros publicada pelo IBGE em
2009, existem 1.619 municípios cuja população é expressa por um número iniciado por 1 (por exemplo: Goiânia, 1.281.975 habitantes), enquanto em apenas 209 municípios a população é expressa por um número iniciado por 9 (por exemplo: Itumbiara, 92.832 habitantes). Esse fato é conhecido como lei de Benford, e é expresso da seguinte maneira: em um conjunto de observações numéricas satisfazendo essa lei, a probabilidade de que o primeiro dígito seja D, em que D pode assumir os valores inteiros de 1 a 9, é dada por: PD = log(1 + 1/D).
De acordo com essas informações, para uma série de dados que satisfaz a lei de Benford, extraindo um dado ao acaso, qual é a probabilidade de se ter o primeiro dígito menor do que 5?
Use log2 = 0,3
Gab: PD ................
................
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