ตอนที่ 2



เฉลยตอนที่ 1

1. ตอบ ง.

แนวคิด

= A(B(((B((C()

= A(B(

= A – B

สรุปว่าโจทย์ให้ n[(A(B()((B((C()] = 4

ซึ่งคือ n(A – B) = 4

และ n(B) = 5

n(A(B) = 2

จากสูตร n(A – B) = n(A) – n(A(B)

n(A) = n(A – B) + n(A(B)

= 4 + 2

= 6

n(P(A)) – n(P(B)) = [pic] = [pic] = 32 ตอบ

2. ตอบ 3

((ขอบอก(( เรื่องทฤษฎีบทเศษเหลือ ปัจจุบันออกสอบทุกปี (ปีละ 1 ข้อ) อย่าลืมอ่านไปนะครับ!

แนวคิด x – p หาร P(x) = [pic] เศษคือ [pic]

x + q หาร P(x) = [pic] เศษคือ [pic]

โจทย์บอกว่า เศษเท่ากัน

[pic] = [pic]

[pic] = 0 สูตรที่ใช้ x – c หาร p(x) จะเหลือเศษ p(c)

[pic] = 0

[pic] = 0

แต่โจทย์ว่า p ( -q ( p – q + 7 = 0

p – q = –7 ตอบ

3. ตอบ ข

ข้อนี้จัดว่ายากสำหรับคนที่ไม่เคยเจอโจทย์แบบนี้มาก่อน แต่ถ้าน้อง ๆ สังเกตข้อสอบ Ent

ในช่วงหลัง ๆ จะออกลักษณะแบบนี้มาหลายครั้งแล้ว จึงควรทำความคุ้นเคยเอาไว้ครับ

แนวคิด

หรม. ของ x กับ 100 = 1

และ 100 = [pic]

สรุปว่า x คือจำนวนที่ 2 หารไม่ลงตัว และ 5 หารไม่ลงตัว

ใช้แผนภาพช่วย

บริเวณแรเงา = A((B(

= U – (A(B)

|A = (x(U(2 หาร x ลงตัว( |B = (x(U(5 หาร x ลงตัว( |

|= (2, 4, 6, …, 100( |= (5, 10, 15, …, 100( |

|ผลบวกสมาชิกเซต A |ผลบวกสมาชิกเซต B |

|= 2 + 4 + 6 + … + 100 |= 5 + 10 + 15 + … + 100 |

|= [pic] [2 + 100] = 2550 |= [pic] [5 + 100] = 1050 |

A(B = (x(U(2 และ 5 หาร x ลงตัว( = (x(U(10 หาร x ลงตัว(

= (10, 20, 30, …, 100(

ผลบวกสมาชิกเซต A(B U = (1, 2, 3, …, 100(

= [pic] [1 + 100] = 550 ผลบวกใน U = 1 + 2 + … + 100

n(U) = [pic][1 + 100] = 550

n(A((B() = n(U) – n(A(B)

= n(U) – [n(A) + n(B) – n(A(B)]

ผลบวกก็เช่นกัน

= 5050 – [2550 + 1050 – 550]

= 2,000 ตอบ

สูตรที่ใช้ (1) เรื่องเซต n(A(B) = n(A) + n(B) – n(A(B)

(2) ผลบวก [pic] = [pic][[pic]]

4. ตอบ ก

ข้อนี้คล้ายกับข้อสอบ En มีนา 47 ที่พึ่งผ่านมา แบบการหาค่าความจริงแนวใหม่

(p ( q) ( (p ( q)

F

T F (ทำต่อไม่ได้ล่ะสิ)

เนื่องจาก p ( q เป็นเท็จ

สรุปได้ว่า p, q มีค่าความจริงตรงข้ามกันซึ่งอาจเป็น [pic]

แต่ p ( q เป็นจริง (1) จึงเป็นไม่ได้

pเป็นเท็จ, q เป็นจริง เท่านั้น

พิจารณาตัวเลือก 1] (F ( T) ( r ( F ( r ( T ตอบเลยเหอะ

2] T ( (F(r) ( T ( F ( F

3] F(~T ( F

4] F(~T ( F

5. ตอบ 2

ข้อนี้เป็นโจทย์ย้อนกลับของเรื่องตัวบ่งปริมาณ

การที่ [pic] จะเป็นจริง x ทุกตัวใน U จะต้องแทนแล้วจริง

นั่นก็คือ U ( เซตคำตอบอสมการ

[pic]

[pic]

เซตคำตอบอสมการ

U ในตัวเลือก 2 เป็นสับเซตของเซตคำตอบ

6. ตอบ ค

f(x) = x + 1

[pic] = [pic] จะหา [pic] ได้ = [pic]

แสดงว่า g(x) = [pic] = [pic]

|หา [pic] |หา [pic] |

|จาก [pic] = [pic] |จาก [pic] = [pic] |

|y = [pic] |y = [pic] |

|จะได้ว่า y ( 0 |เนื่องจาก [pic] ( 0 |

|[pic] = (y(y ( 0( |[pic] ( 1 |

| |y ( 1 |

[pic]

[pic]

[pic]– [pic] คือ [0, 1) ตอบ

วิธีลัด [pic]– [pic] แสดงว่า ค่าที่ใช้ได้ต้องอยู่ใน [pic]

แต่ไม่อยู่ใน [pic]

ดูช้อย [pic]: y = [pic] สังเกตว่า y = 1 ใช้ได้ (x=0ไง)

← ข้อที่ถูกต้องมี y = 1 (ตัดตัวเลือก 2, 4)

และสังเกตว่า y = -1 ก็เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น ตัดข้อ 1 ตอบข้อ3 ไปเลย จิ

7. ตอบ ง

การหา จำนวนสมาชิกเซต A ก็คืจำนวน f ที่ [pic] = {a, b} นั่นเอง

มีสมาชิก 3 ตัว สร้างได้

เมื่อคำนวณแล้วจะได้ = 4(3)(2) = 24 วิธี ตอบ

8. ตอบ 2

แนวคิด [pic] = [pic] f(2x – 1) = 4x – a

จะได้ g(x) = [pic] f(x) = [pic] – a ........(ระบบ ()

= 2x + 2 – a

[pic] = f(g(a)) = [pic] (โจทย์บอกมา)

[pic] = [pic]

[pic] = [pic]

[pic] = [pic]

[pic] = 0

(a – 5) (a – 4) = 0

a = 5, – 4 แต่โจทย์ว่า a > 0

( a = 5

f(x) = 2x + 2 – a

f(x) = 2x – 3

f(a) = 2a – 3 = 2(5) – 3 = 7 ตอบ

ความรู้ที่ต้องมี 1. หา f(x) จาก f (ไม่ใช่ x )

2. [pic] = f(g(x))

3. การหา Inverse ของ f(x)

9. ตอบ 4 (ข้อนี้เป็นข้อสอบ En 43 มี.ค. ซึ่งคล้าย ๆ En 47 มี.ค. เลยเอามาให้ดู)

วิธีจริง วาดรูป

จาก Law of sine

[pic] = [pic]

AB = [pic]

AB = [pic]

AB = [pic]

[pic]จากสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC จะได้ sin 45( = [pic]

หรือ h = AB sin 45( ….(แตก AB sin แบบ physics )

พ.ท.สามเหลี่ยม ABC = [pic]( ฐาน ( สูง

= [pic]

= [pic]

= [pic] ตอบ

วิธีลัด

20 = h[cot 45( + cot 60(]

พท. = [pic]

= [pic] ตอบ

10. ตอบ 2

ให้เส้นตรง [pic] ผ่านจุด (– 4, 1) และ (0, [pic])

เส้นตรง [pic] มีสมการเป็น 5x – 12y – 20 = 0

ถ้าเส้นตรง [pic] และ [pic] สัมผัสวงกลม C ข้อใดเป็นสมการวงกลม C

[pic] ผ่านจุด (– 4, 1) และ (0, [pic]) ความชัน [pic] = [pic] = [pic]

สมการ [pic] คือ 5x – 12y + k = 0

ผ่านจุด (– 4, 1) : 5(-4) – 12(1) + k = 0 ( k = 32

สมการ [pic] : 5x – 12y + 32 = 0

[pic] : 5x – 15y – 20 = 0

จะเห็นได้ว่า [pic] ขนานกับ [pic]

ดูจากช้อย 1, 3, 4 จะมี (h, k) วงกลม = (–6, 3) …. แต่ข้อ 2 (h, k) = (6, 3)

ลอง (h, k) = (–6, 3)

ระยะ (h, k) ถึง [pic] = ระยะ (h, k) ถึง [pic]

[pic] = [pic] ซึ่งไม่จริง จึงตอบ 2 เลย

11. ตอบ ก. เซต A 6x+6x + 2 = 2x + 22+1+2x+2

6x (1+6) = 2x(1+2+22)

6x . 7 = 2x . 7

6x = 2x

( x = 0 A = { 0 } (จริง ๆ น่าจะตอบข้อ 1 เลย เพราะ 0 คูณอะไรก็ได้ 0)

เซต B ควรรู้ สูตรลัด logc logbloga = d

[pic]x = ab

ดังนั้น log7 log2 log3 (2x-1) = 0

2x – 1 = [pic] = [pic]

2x – 1 = 9

x = 5 ( B = { 5 }

ผลคูณ สมาชิกเซต A กับ B = 0 ( 5 = 0 [pic]=0 , [pic] =0 ตอบ

12. ตอบ ค ไม่อยากบอกเลยว่า เรื่อง cofactor ของเมตริกซ์ นี้ออกสอบทุกปี ข้อนี้จึงไม่ควรพลาดนะ

[pic][pic]

[pic]

[pic] =[pic] [pic] = [pic]

= (1) [– 4 – 0] = – 4 = (–1) [10 – 4] = –6

จึงได้ว่า B = [pic]

ซึ่ง det B = 0 (เพราะโจทย์บอกว่า B เป็นเมตริกซ์เอกฐาน)

คูณลง – คูณขึ้น = 0

[pic] = 0

[pic] = 0

[pic] = 0

ผลบวกคำตอบ = [pic] = 4

13. ตอบ 1 (เรื่องนี้ออก En ปีละ 1 ข้อ มาตลอดนะครับ)

วาดรูป จุดมุมมี 4 จุด

จุด A เป็นจุดตัด 2x + 3y = 100 ----- (

y – x = 5 ----- (

ซึ่งแก้สมการได้ x = 21 , y = 26

( A (21, 26)

จุด B เป็นจุดตัด x + y = 10 ……….( จุด C x + y = 10 แต่ y = 2

y – x = 5 ……….( ( C(8, 2)

ซึ่ง B = [pic] (ฝากคิดเองนิดนึงนะ( จุด D 2x + 3y = 120 แต่ y = 2

( D = (57, 2)

นำ 4 จุดมุม แทนลง P

| |P = 3x + y |

| (21, 26) |P = 89 |

|[pic] |P = 15 ( min |

| (8, 2) |P = 26 |

| (57, 2) |P = 173 ( max |

14. ตอบ 3

เรื่องขนาด vector ออกสอบทุกปีเช่นกัน (อย่าพลาดนะ)

ถ้ากำหนด [pic] = [pic]

[pic] = [pic]

จะได้ [pic] = [pic] ซึ่ง [pic] = 5

[pic] = [pic] ซึ่ง [pic] = 1

จาก [pic] = [pic]

แทนสิ่งที่รู้ลงไป

[pic] = [pic] --------- (

จาก [pic] = [pic]

[pic] = [pic] ----------(

( – ( 24 = [pic]

6 = [pic]

ดังนั้น [pic] = [pic] = 6 ตอบ

วิธีลัด ใช้สูตรลัด [pic]– [pic] = [pic]

[pic] = [pic]

( [pic] = 6 ตอบเลยอิอิ…

15. ตอบ 1

[pic] = [pic]

[pic] = [pic]

[pic] = [pic]

[pic] = [pic]

[pic] = [pic]

[pic] = [pic]

[pic] = [pic] ยกกำลัง 2 สองข้าง

[pic] = 0

[pic] = 0

[pic] = 0

[pic] = [pic]

[pic] = [pic] ตอบครับ

16. ตอบ 4

ข้อความ ก. ถูก ให้ z = a + bi ( [pic] = [pic]

[pic] = a – bi ( [pic] = [pic]

[pic] = 2a ( [pic] = [pic]

[pic] = 2bi ( [pic] = [pic]

ดังนั้น [pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

วิธีลัด อาจแทนค่า z ง่าย ๆ เช่น 3 + 4i ดูว่าใช้ได้จริงหรือไม่ (ทำเองนะ)

ข้อความ ข. ผิด z = [pic] [pic] = [pic]

z = [pic] = [pic]

[pic] = [pic] = [pic]

หมายเหตุ - เรื่องสมบัติ z

- เรื่องทฤษฎีเดอมัวร์ ออก EN ประจำ (ไม่ควรพลาดเช่นกัน)

17. ตอบ 4

[pic] = [pic].....ตรงนี้คือEN39

= [pic]

ลัด กำลัง เท่า ( ตอบผลหาร ส.ป.ส. = [pic] = 4

วิธีจริง [pic] = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic]

[pic] = [pic]

= [pic]

วิธีลัด [pic] [pic] = [pic] ทันที (ใช้สูตร GNM.)

โจทย์หา [pic] = [pic]

= [pic] = 5.5

หมายเหตุ ข้อ 17 นี้ ผู้ออกเลียนแบบมาจาก EN 47 มี.ค. ที่ออก Concept นี้

18. ตอบ 3

|[pic] |[pic] |f(3) |

|[pic] |= [pic] |= [pic] |

|แทนได้ [pic] ( DIFF |= 9a – 6a |= 9a – 6a |

|3 x = 3 |= 3a |= 3a |

|[pic] 6 | | |

ฟังก์ชันต่อเนื่อง “3 กรอบ ตอบต้องเท่ากัน”

f(x) 6 = 3a = 3a

a = 2

แทนค่า f(x) = [pic] , x ( 3

f((x) = 4x , x ( 3

f((a) = f((2) = 8 ตอบ

19. ตอบ 2

เส้นตรง x + 4y = 10 มีความชัน = [pic] ( เส้นที่ตั้งฉากความชัน = 4

เส้นโค้ง y = [pic]

y( = [pic]

หาm ณ จุดใดๆ = [pic]

เส้นสัมผัสความชัน = 4

[pic] = 4

[pic] = 2

(3x + 2)(x – 1) = 0

x = 1, [pic]

ดังนั้น จุดสัมผัสในควอดรันต์ที่ 1 คือ (1, 1)

สมการเส้นสัมผัส [pic] มีความชัน 4

ได้ [pic] : 4x – y + c = 0

ผ่าน (1, 1) ( c = –3

สมการ 4x – y – 3 = 0

ระยะตัดแกน y (x = 0)

–y – 3 = 0

Y = –3 ตอบ

20. ตอบ 1

หมายเหตุ ข้อสอบ Calculus ปัจจุบันจะนิยมออกผสมกับฟังก์ชัน [pic] ประจำเลยนะ

แนวคิด จาก f(x) = [pic]

[pic] = [pic]

จะได้ g(x) = [pic] = [pic]

f((x) + g((x) = [pic]

f((1) + g((1) = [pic] = [pic]

21. ตอบ 2

แนวคิด

รูปแบบการ Integrate พื้นที่ออกทุกปีนะครับ

y = [pic]

พื้นที่ A = [pic]

= [pic]

= [pic]

( สมการ A = [pic]

หาค่าน้อยสุด

A( = [pic] = 0

2a = –6

a = –3

( พื้นที่น้อยสุด คิดจาก a = –3

ซึ่งคือ A = [pic] = 7 ตอบ

22. ตอบ 3 (ห้ามตอบข้อ 4 นะ)

เรื่องนี้ถึงยังไม่ได้เรียน แต่น้องก็อย่าลืมอ่านไปนะ (เพราะเรื่องนี้ชอบไปเป็นขาแจมกับเรื่องอื่น)

และโจทย์ หยิบของเนี่ย ออกทุกปีเลย!

แนวคิด P (ได้สีเดียวกัน) = P(ได้สีขาว 2) + P(ได้สีแดง 2) + P(ได้สีน้ำเงิน 2)

= [pic]

= [pic]

= [pic]

23. ตอบ 4

แนวคิด เลือกเลข 4 ตัวจาก 8 ตัว ทำได้ [pic] = 70 วิธี

เหตุการณ์ที่ผลคูณของเลข 4 ตัว คูณกันน้อยกว่า 0

และเป็นจำนวนคี่ คือ หยิบได้เลขคี่ทั้งหมด 4 ตัว ซึ่งมี 1 วิธี

( ความน่าจะเป็น = [pic] (ง่ายเนอะ)

24. ตอบ 3

แนวคิด หลายคนชอบทิ้งความน่าจะเป็น ทั้ง ๆ ที่ข้อนี้ คือเรื่องเซตแท้ ๆ

ให้ A = เหตุการณ์ที่หลอดไฟฟ้าห้องน้ำเสีย

B = เหตุการณ์ที่หลอดไฟฟ้าในครัวเสีย

จาก P(A(B) = P(A) + P(B) – P(A(B)

P(A(B) = 0.1 + 0.2 – 0.25 = 0.05

25. ตอบ 2

ปรับตารางให้คุ้นเคยก่อนนะ

|ช่วง |f |ความถี่สะสม |

|46 – 55 |4 |4 |

|56 – 65 |x |4 + x |

|66 – 75 |y |4 + x + y |

|76 – 85 |10 |14 + x + y |

|86 – 95 |7 |21 + x + y |

|96 – 105 |3 |24 + x + y |

| |24 + x + y | |

Note ข้อนี้น้อง ๆ ควรรู้ว่า ถ้าตำแหน่ง Q,D,P ที่จะหาพอดีตำแหน่งสุดท้ายของชั้นแล้ว

(วิธีลัด) ค่า Q, D, P ของตำแหน่งชั้น = ขอบบน ได้เลย

[pic] = 65.5 บังเอิ้น บังเอิญ ตรงกับขอบบนของชั้น 56 – 65

( ความถี่สะสม 4 + x = [pic] …………..(ลัดเลย)

16 + 4x = 24 + x + y

3x – y = 8 ……………(

Med = 75.5 บังเอิญตรงขอบบนชั้น 66 – 75 (เหมือนเดิมเลย)

( ความถี่สะสม 4 + x + y = [pic]

8 + 2x + 2y = 24 + x + y

x + y = 16 ……………(

แก้ ( และ ( ได้ x = 6, y = 10 ( N = 40 จำนวน

ต่อไปหา [pic] ซึ่งตรงกับตำแหน่ง [pic]

ซึ่งอยู่ในชั้นที่ 4 (ตำแหน่งสุดท้ายของชั้นอีกแล้ว)

( [pic] ตรงขอบบน คือ [pic] = 85.5

โจทย์ถาม ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์

( Q.D. = [pic]

= [pic]

= 10 ตอบ

26. ตอบ 2

แนวคิด สัมประสิทธิ์ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย = [pic]

แทนค่า 1.2 = [pic]

[pic] = 12

ต่อไปหา S.D. = [pic]

= [pic]

= 3

( สัมประสิทธิ์การแปรผัน = [pic]

= [pic] = [pic] = 0.25

27. ตอบ 1

ลัด จาก z ต่างกัน 1.96 – (–0.44) = 2.5

ซึ่งก็คือคะแนนต่างกัน 2.5 (SD)

= 2.5 (10)

= 25 คะแนน

คะแนนต่างกัน = พิสัย = 25

สูตร 1. Z = [pic] ออกทุกปี

2. พิสัย = [pic]

28. ตอบ 1

[pic] = ดัชนีราคาอย่างง่ายแบบใช้ค่าเฉลี่ยราคาสัมพัทธ์ปี 47 และ 46 โดยเทียบกับปี 45 (ปีฐาน)

[pic] = [pic]

= [pic]

= 111

[pic] = [pic]

= [pic]

โจทย์บอกว่า [pic] = 1

( 111 – [pic] = 1

333 – (0.05a + 200 ) = 3

แก้หา a = [pic] = 2,200 ตอบ

ตอนที่ 2 ข้อ 1 – 8 เป็นข้อสอบแบบอัตนัย ข้อละ 2 คะแนน

1. ตอบ 15

ข้อนี้ถือว่าง่ายมาก ๆ หวังว่า น้อง ๆ คงจะทำกันได้นะครับ

มาดูเซต A กัน [pic] ( 0 เซต B ( 2 – x ( < 5

(x – 8) (x + 2) ( 0 ( x – 2 ( < 5

–5 < x – 2 < 5

–2 8 –3 < x < 7

ดังนั้นเซต A = [-2, 8] ดังนั้นเซต B = (-3, 7)

A – B = [7, 8] = [a, b]

ดังนั้น a + b = 7 + 8 = 15

2. ตอบ 0.5

[pic]

=[pic] อยู่ [pic]

=[pic]

= [pic] = 0.5

( หมายเหตุ ปัจจุบันเรื่อง arc เนี่ย ออก En เป็นประจำ

ดังนั้นน้อง ๆ ควรเตรียมตัวอ่านไว้เยอะ ๆ นะครับ

วิธีลัด น้อง ๆ ควรมีความรู้ว่า

arcsin x + arccos x

arcsec x + arccosec x = [pic]

arctan x + arccot x

ดังนั้น arcsec 5 + arccosec 5 = [pic] ทันที ก็จะเร็วขึ้น

3. ตอบ 2

ข้อนี้ง่ายอีกแล้ว (แรก part 2 คะแนน ไม่อยากใจร้ายอ่ะ)

วิธีจริง [pic] = 0 วิธีลัด [pic]

[pic] = 199 + 9 – 64 จุดศูนย์กลางคือ [pic]

[pic] = 144 ดังนั้น [pic] = 0

[pic] = 1 จุดศูนย์กลางคือ [pic] = (1, 2)

เป็นไฮเปอร์โบลามีจุดศูนย์กลางที่ (1, 2) และ ( นำไปหา d = 2 เช่นกัน

ระยะทางสั้นที่สุด (ตั้งฉาก) จากจุด (1, 2) ไปเส้นตรง

3x + 4y – 21 = 0

คือ [pic] = 2

4. ตอบ 18

ให้ [pic] = A จะได้ว่า [pic] = [pic]

จากโจทย์ [pic] ( 3

[pic] ( 3

[pic] ( 0

[pic] ( 0 เนื่องจาก A ( 0

[pic] ( 0

(A – 2) (A – 1) ( 0

1 ( A < 2

1 ( [pic] ( 2 , x ( 0

1 ( [pic] ( 4

[pic]

2 ( x ( 16

เซตคำตอบ (2, 16)

a, b คือค่าขอบเขตบนน้อยที่สุด และขอบเขตล่างมากที่สุด ( a + b = 16 + 2 = 18

Note ข้อสอบ En ระบบใหม่ นิยมออก อสมการ log เป็นอัตนัย 2 คะแนนบ่อย ๆ

พี่จึงนำมาเก็งไว้ 1 ข้อ นะครับ

5. ตอบ 5

จาก (2[pic]–[pic]) ( ([pic]+ 2[pic]) = 5

2[pic]([pic]+ 4[pic]([pic]– 2[pic]([pic]– 2[pic]([pic] = 5

2([pic](2 + 3[pic]([pic]– 2([pic](2 = 5

แทนค่า [pic]+ 3[pic]([pic] – [pic] = 5

[pic]([pic] = 5

จากสูตร ([pic]+[pic](2 = ([pic](2 + ([pic](2 + 2[pic]([pic]u

([pic]+[pic](2 = 5 + 2(5) + 10

([pic]+[pic]( = 5

6. ตอบ 8

A = [pic] จะได้ เมตริกซ์ของไมเนอร์ คือ Mij =[pic]…..จากการปิดแถว_ปิดหลัก

จะได้ เมตริกซ์ของโคแฟคเตอร์คือ Cij =[pic]……..จากการ(-1)I+j Mij

จะได้ เมตริกซ์ผูกพันธ์ Adj(A) =[pic]……..จากการ Transpose Cij

det (AdjA) = = [pic] [pic] =

det ([pic]) = [pic] = [pic]

7. ตอบ 1.33

parabola which Directrix y = [pic]

Vertex (0, 1)

( para eQuation is [pic] = [pic]

[pic] = – y + 1

Y = [pic]

Find the area covered by parabola & x – axis

A = [pic]

= [pic]

= [pic]

= [pic] = 1.33 Ans (แปลออกป่ะ?)

8. ตอบ 9.8 (หน่วยพันล้าน)

ข้อนี้จัดว่าง่ายมากอีกข้อ เพราะคิดตรง ๆ เลย (เพียงแต่น้อง ๆ หลายคนไม่ได้อ่านมาเพราะเป็นสถิติ ม.6)

|พ.ศ. |x (ทอนค่า) |มูลค่า (y) |xy |[pic] |

|2542 |–2 |1 |–2 |4 |

|2543 |–1 |3 |–3 |1 |

|2544 |0 |4 |0 |0 |

|2545 |1 |5 |5 |1 |

|2546 |2 |9 |18 |4 |

| |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

สมการหลัก y = mx + C (เส้นตรง)

หา m , C จาก [pic] = [pic] ( 22 = m(0) + 5C

[pic] = [pic] ( 18 = m(10) + C(0)

( C = [pic] = 4.4 และ m = [pic] = 1.8

สมการความสัมพันธ์ y = 1.8x + 4.4

ปี 2547 (x = 3) y = 1.8(3) + 4.4 = 9.8 (หน่วยพันล้าน)

-----------------------

(

(a – b( = (b – a(

นะจ๊ะ

5 4 6

-2 0 7

1 2 0

[pic] ตรงกับตำแหน่งที่ [pic]

= [pic]

Med ตรงกับตำแหน่งที่ [pic]

= [pic]

จากกฎ ( ( ( ( ( ? ) = (

ดังนั้น B(((B((C() = B(

และอย่าลืมว่า A ( B( = A – B

สูตรที่ใช้

(1) ( ( (( ( ? ) = (

(2)n(A – B) = n(A) – n(A(B)

(3)n[P(A)] = [pic]

หาร 5 ลง หาร 2 ลง

A

B

-3

0

-2 -1 -1

1

0

0

1

ส่งไปจับกับ {a, b}

(ส่วนที่เหลือ 1 ตัว เลือกได้วิธีเดียว)

เลือกได้วิธีเดียว)

เลือก 2 ตัว จาก 3 ตัว

ที่เลือกไว้ใน * เพื่อจะไปจับกับ {a, b}

* เลือก 3 ตัวจาก

{1,2,3,4,5}

A

D

C

B

75(

60(

45(

มุม 15(, 75( ควรจำได้เพราะออกสอบบ่อย

x = h[cotA + cotB]

h

45(

60(

B

x

A

15(

75(

[pic]

[pic]

[pic]

h

สูตร Genius

20

(h,k)

[pic]

[pic]

A

D

B

C

y = 2

(60,0)

(10,0)

(0,10)

(0,40)

x+y = 10

2x+3y = 120

x–y = 5

a = max = 173

b = min = 15

a – b = 173 – 15 = 158

A

B

C

D

u

v

[pic]

[pic]

[pic]

0.17

0.475

0.33

SD=10

z = 1.96

[pic]

[pic]

z = 1.44

ผลบวก สูตร อนุกรมเลขคณิต

[pic] = [pic][[pic]]

หรือ

[pic] =[pic][พจน์แรก+ท้าย]

+ – +

– 3

– 2

8

A

B

A – B

8

7

7

A

B

5

(24

ให้ A = arcsec 5 นำมาวาดเป็นสามเหลี่ยม

1

สังเกตได้ว่า B = arccosec 5

( A + B = 90(

นั่นคือ arcsec 5 + arccosec 5 = [pic]

-8+ 0 -40

0+ 24 -8

คูณลง-คูณขึ้น =16 - -48 = 64

วิธีลัด det (AdjA)= (detA)มิติ-1

= (8) 3 – 1 .....ลองหา detA เอง

= 64

det ([pic]) = [pic] = [pic] เท่ากัน

[pic]

[pic]

แนวคิด จาก A =

-2 0

C13(A) = (-1)1+3

1 2

5 4

C13(A) = (-1)2+3 1 2

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download