Identidades Trigonometricas de Ángulos Multiples Para Cuarto de Secundaria

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ?NGULOS MULTIPLES

Objetivos Deducir las identidades relativas a funciones trigonom?tricas de ?ngulo doble.

IDENTIDADES TRIGONOM?TRICAS DE ?NGULOS M?LTIPLES A. ?NGULOS DOBLES.- Se tiene:

Sen del ?ngulo doble Sen(x x) SenxCosx CosxSenx

Sen2x=2Senx Cosx Ejemplo: Sen(10a) = Sen(5a+5a)

= 2Sen 5a Cosa Coseno del ?ngulo doble: Cos(x+x)=CosxCosx-SenxSenx Cos2x=Cos2x-Sen2x Tambi?n: Cos2x=1-2Sen2x Cos2x=2Cos2x-1 Ejemplo: Cos6=Cos23-Sen23 Tambi?n: Cos6 =1-2Sen23

=2Cos23-1 Tangente del ?ngulo Doble: Tan(x x) Tanx Tanx

1 TanxTanx Tan2x 2Tanx

1 Tan2 x

IDENTIDADES AUXILIARES Sabemos que: Cos2x=1-2Sen2x Ejemplo: Tan4= 2Tanx

1 Tan2 x

Ejemplo:



Tan4= 2Tan2 1 Tan2 2

IDENTIDADES AUXILIARES

Sabemos que:

Cos2x==1-2Sen2x

Sen2x= 1 Cos2x

2

Adem?s Cos2x=2Cos2x-1

Cos2x= 1 Cos2x 2

B. ?NGULO MITAD

Seno del ?ngulo mitad: Si:

Sen2x= 1 Cos2x

2

Si x= 2

Sen

1 Cos

2

2

Ejemplo:

Sen 45 1 Cos45

2

2

Coseno del ?ngulo mitad:

Cos 1 Cos

2

2

Ejemplo:

Cos 75 1 Cos75

2

2

Tan 1 Cos 2 1 Cos

Ejemplo:

Tan 30 1 Cos30

2

1 Cos30

Nota: El signo del 2? miembro se elige seg?n el cuadrante del arco y de raz?n

2

trigonom?trica que lo afecta.

Ejemplo:

Sen 315 1 Cos315

2

2

1 2

2

2

2 2 2

C. ?NGULO TRIPLE



Seno del ?ngulo triple Si: Sen(2x+x)=Sen2xCosx+Cos2xSenx Como: Sen2x=2SenxCosx Cos2x=1-2Sen2x Sen3x=3Senx-4Sen3x Ejemplo Sen45?=Sen3(15) =3Sen15-4Sen315 An?logamente Cos3x=4Cos3x-3Cosx

3Tanx Tan3 x Tan3x=

1 3Tan2 x IDENTIDADES AUXILIARES Senx Sen(60-x) Sen(60+x)= 1 Sen3x

4

Cosx Cos(60-x) Cos(60+x)= 1 Cos3x

4

Tanx Tan(60-x) Tan(60+x)=Tan3x Ctgx Ctg(60?-x) Ctg(60?-x) = Ctg3x

CONSTRUYENDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Simplificar:

a) 2Sen10x Cos10x Resoluci?n: b) Sen29x - Cos29x Resoluci?n 2. Si Tan= 3

3 Calcular Sen2 Resoluci?n:

12 3. Si Cos= ; 270? < < 360?

13

Calcular: Sen 2



Resoluci?n: 4. Calcular:

(Sen7?30'+Cos7?30')2 Resoluci?n 5. Simplificar: F 1 4Cos3 4x 3Cos4x

2(3Sen2x 4Sen3 2x)2 Resoluci?n: REFORZANDO MIS CAPACIDADES 1. Simplificar:

a. Cos2 7x - Sen2 7x b. 1-2Sen25x c. 2Cos24x-1 d. 4Cos3 7-3Cos7x e. 3Sen10?-4Cos380? 2. Si Sen= 3

3 Calcular Cos

2 3. Si Sen=

3 90? ................
................

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